第28章 銳角三角函數(shù)綜合練-2023-2024學(xué)年 人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

第28章銳角三角函數(shù)一、單選題1．如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為C，D．若，則等于（

）

A． B． C． D．2．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點、、、均在格點上，與相交于點，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．3．如圖，，分別為的切線，切點為，，點為弧上一動點，過點作的切線，分別交，于點，，作的內(nèi)切圓，若，的半徑為，的半徑為，則的面積是（

）A． B． C． D．4．如圖，分別經(jīng)過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．5．如圖，中，是線段上的一個動點，以為直徑畫分別交于，連接，則線段長度的最小值為（）

A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，，，連接，點E為上一個動點，點F為上一個動點，連接，且始終滿足，則線段的最小值為（）A．1 B． C． D．27．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為6的，，連交于E，若E為的中點，且，則四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．8．如圖，在點處，看建筑物頂端的仰角為，向前走了6米到達(dá)點即米，在點處看點的仰角為，則的長用三角函數(shù)表示為（

）A． B． C． D．9．某路燈示意圖如圖所示，它是軸對稱圖形．若，，與地面垂直且，則燈頂A到地面的高度為（

）mA． B． C． D．10．如圖，在正方形中，，點是邊上的動點（點不與端點重合），的垂直平分線分別交于點，當(dāng)時，的長為（

）

A．2 B． C． D．4二、填空題11．如圖，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則．

12．如圖，在平行四邊形中，對角線交于點O，將沿翻折得到，連接，，則．13．如圖，為半圓O的直徑，點O為圓心，點C是弧上的一點，沿為折痕折疊交于點M，連接，若點M為的黃金分割點，則的值．14．綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實踐．如圖，無人機(jī)從地面的中點A處豎直上升30米到達(dá)B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）

15．如圖，坡角為的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹，當(dāng)太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影長為m，則大樹的高為．（請用含m，的式子表示）三、解答題16．如圖，是的直徑，弦于點E，點F在上，與交于點G，點H在的延長線上，且是的切線，延長交的延長線于點M．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長．17．在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)至位置，點在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大??；(2)已知點和邊上的點滿足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．18．如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點，連接并延長交于點E，連接，過C作的垂線交于點F，點G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．(2)①求證：．②若，求的值，(3)如圖2，當(dāng)點O恰好在上且時，求的長．19．年月日點分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點時，從位于地面處的雷達(dá)站測得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時測得仰角為．

(1)求點離地面的高度；(2)求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)20．為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動室墻外安裝避陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時，求陰影的長．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

參考答案：1．D解：連接、、，交于，如圖，

，與相切，切點分別為，，，，平分，，，，，，∵∴∵∴在中，，，．2．C

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．3．D如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與、、的交點分別為、、連接、、、、、、，，根據(jù)題意，過點作的切線，分別交，于點，，，分別為的切線，是的角平分線．4．A解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點作軸于點，則，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴，取點，則是的中位線，∴，∵，∴點在半徑為的上運(yùn)動，∵是的中位線，∴，∴，當(dāng)與相切時，最大，則正弦值最大，在中，，過點作軸，過點作于點，過點作于點，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，,則∴∴∴解得：∴∴的最大值為，5．B解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時，直徑最短，連接，，過點作，垂足為，如圖所示：

在中，，，，即此時圓的直徑為，，而，，在中，，，，，即線段長度的最小值為，6．D解：∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴取中點O，E在以為直徑的圓上，∴，∴當(dāng)取最小值時，也為最小值，∵E為上的動點，∴當(dāng)時，OE最短，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴．7．C解：如圖所示，過點O作，垂足為F，連接．

∵，∴．在中，，∴．∴．∴．如圖所示，過點A作，垂足為N，過點C作，垂足為M．

∵E為的中點，，∴∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．在中，．∴，在和中，，∴．∴．∴四邊形的面積．8．D解：，，，，由題可知，為直角三角形，在中，，即：，，9．B解：如圖，過點E作于點E，過點C作于點M，所以，四邊形是矩形，∴，∵路燈圖是軸對稱圖形，且，∵在中，又∴，∴即燈頂A到地面的高度為10．C解：如圖作于．

四邊形是正方形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，設(shè)，則，垂直平分線段，，，，，11．解：方法一：∵，∴設(shè)，則，∴∵矩形的面積是6，是對角線，∴的面積為，即∴在中，即即解得：在中，∵對角線軸，則，∴,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，方法二：∵，∴設(shè)，則，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．12．解：如圖所示，連接，過點作交的延長線于點，設(shè)，交于點，過點作于點，∵在平行四邊形中，對角線交于點O，∴∵將沿翻折得到，∴，∴是直角三角形；∵，∴∴，∴，∴∵平行四邊形的面積∴∴∴,∴∵∴∴∴即解得：，故答案為：．13．過點作垂足為,延長交半于點連接由折疊得：，，∵點為的黃金分割點，，∵為半圓的直徑，，，，，，∵四邊形是半的內(nèi)接四邊形，，，，，在中,，故答案為：．14．/如圖所示，過點E作于點M，過點F作于點N，

由題意可得，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅樓頂部E的俯角為，∴，∴，∴，∵點A是的中點，∴，由題意可得四邊形是矩形，∴，∵尚美樓頂部F的俯角為，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案為：．15．如圖，延長交水平地面于點D，過點C作于點E，設(shè)的延長線與水平地面交于點O，結(jié)合題意可知，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．故答案為：．16．(1)證明見解析(2)（1）證明：連接，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如圖所示：由（1）得，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴（負(fù)值舍去），∴．17．(1)(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）（1）解：∵∴，在中，∴（2）證明：（?。┳C法一：如圖，延長，交于點，則，

∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，∴．∴．∵，即，∴，即點是斜邊的中點．∴．證法二：∵，是斜邊的中點，∴點在以為圓心，為直徑的上．

∵，∴垂直平分．∴．∴．∵，∴．∴．∴．證法三：∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，是斜邊的中點，∴點在以為圓心，為直徑的上．∴．（ⅱ）如圖所示，過點作于點，

∵，∴，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴18．(1)(2)①證明見解析；②；(3)（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵為中點，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；②設(shè)，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，即，∴，∴，∴（負(fù)根舍去）；（3）解法一：如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過作于，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，（負(fù)根舍去），由（2）①知，∴．解法二：如圖，延長，分別交、于M、N