2023-2024學(xué)年遼寧省大連市中山區(qū)嘉匯中學(xué)八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年遼寧省大連市中山區(qū)嘉匯中學(xué)八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項1．（3分）下列與大連有關(guān)的圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各項長度的木棒首尾相接可以組成三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，53．（3分）下列各式計算正確的是（）A．（﹣3x3）2＝9x5 B．（﹣2a）2＝﹣4a2 C．a(chǎn)2?a2＝a4 D．（ab2）3＝ab64．（3分）如圖，△AEC≌△DFB，若∠A＝50°，∠F＝105°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．35° B．25° C．105° D．155°5．（3分）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計）建立平面直角坐標(biāo)系，某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時對應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（）A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）6．（3分）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） C．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x7．（3分）已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個多邊形是（）A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形8．（3分）如果多項式y(tǒng)2+my+16是完全平方式，那么m的值為（）A．8 B．﹣8 C．±4 D．±89．（3分）一輛貨車行駛25千米與一輛小車行駛35千米所用時間相同，已知小車每小時比貨車多行駛20千米，求兩車的速度各為多少？設(shè)貨車的速度為x千米/小時，依題意列方程，正確的是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①AD是∠BAC的平分線；②∠ADB＝120°；③點D在AB的垂直平分線上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）正常人體的紅細胞平均直徑約為0.00000733m，數(shù)0.00000733用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）計算x3y4÷（﹣2xy3）的結(jié)果為．13．（3分）已知等腰三角形的周長20cm，一邊長為8cm，則它的腰長是．14．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F，連結(jié)DE．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，則∠EAD的度數(shù)為．15．（3分）如圖，∠AOB＝30°，點P是它內(nèi)部一點，OP＝2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是．三、解答題（本題共8小題，其中16題8分，17題10分，18題8分，19題9分，20題8分，21題816．（8分）因式分解：（1）8a3b2c﹣12ab3；（2）﹣2x2+8xy﹣8y2．17．（10分）（1）計算：；（2）解方程：．18．（8分）如圖、△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠A＝36°．（1）作邊AB的垂直平分線MN，交AC于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接BD，求∠DBC的度數(shù)；（3）CD的長為（用含m、n的式子表示）．19．（9分）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．大連某中學(xué)為了落實雙減政策，豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動，開設(shè)了書法社團，計劃為學(xué)生購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套，已知某文化用品店每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價比B型號的“文房四寶”的標(biāo)價高30%，若按標(biāo)價購買需花費4300元，其中購買B型號“文房四寶”花費3000元．（1）求每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價．（2）若經(jīng)過與店主協(xié)商，考慮到購買較多，店主同意該中學(xué)按A型號“文房四寶”九折，B型號“文房四寶”八折的優(yōu)惠價購入，則購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費多少元？20．（8分）如圖，△ABC中，∠B＝45°，點D在邊AB上，DC＝AC，AE⊥DC，垂足為F，AE交BC于點E．（1）用等式表示∠BAE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求證：AE＝DC．21．（8分）操作與探究（1）如圖1，在邊長為a的正方形正中間剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照圖中的線段分割成四個等腰梯形，將四個等腰梯形拼成一個大平行四邊形．剪拼前后的兩個圖形可以驗證的乘法公式是（填序號）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）④a2+b2＝（a+b）2﹣2ab思考與創(chuàng)新（2）利用上面得到的乘法公式解決問題：①已知a+b＝7，ab＝10，求a2﹣b2的值；②（任選其一）模仿圖1，任選圖2或圖3用割拼的方法在左邊內(nèi)畫圖驗證（1）中得到的乘法公式成立．（畫的圖形中標(biāo)注a、b）22．（12分）綜合實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點，連接AD，BE平分∠ABC交AD于點E，點F是AC上一點，連接FE并延長交BC于點G，∠AEF＝∠ABD，求證：∠BAD＝∠CGF．（1）獨立思考：求證：∠BAD＝∠CGF．（2）實踐探究：在同學(xué)們獨立完成后，王老師又提出了新問題，求證DG＝AF，王老師的問題引發(fā)了同學(xué)們的思考，各小組進行了積極的討論，仍不得其解．王老師給出提示：“數(shù)學(xué)中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路．”“善思小組”的同學(xué)茅塞頓開，在對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)AB＝BD時，很容易發(fā)現(xiàn)AE＝DE，請你完成圖2特殊情況下的證明DG＝AF．（3）問題解決：相信你從上面也得到了啟發(fā)，參將“善思小組”的思路，請你在圖1中完成王老師的問題，證明DG＝AF．23．（12分）問題提出：已知△ABC是等邊三角形，將等邊三角形ADE繞A旋轉(zhuǎn)，過點C作CF∥AD，CF＝AD，連接BE，EF，BF．（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點E在線段AB上，猜想△BEF的形狀；（2）探究遷移如圖2，當(dāng)點E不在線段AB上，（1）中猜想的結(jié)論是否依然成立，請說明理由；（3）拓展應(yīng)用在△ADE繞著點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)EF與AC延長線垂直，交于點K時，若AB＝2，BE＝6.5，求S△ABF．

2023-2024學(xué)年遼寧省大連市中山區(qū)嘉匯中學(xué)八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項1．（3分）下列與大連有關(guān)的圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形；選項C存在使直線兩旁圖形完全重合的直線，據(jù)此B項是軸對稱圖形，選項A、B、D都不是軸對稱圖形．故選：C．2．（3分）下列各項長度的木棒首尾相接可以組成三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A．1+2＝3，不能組成三角形，故此選項不符合題意；B．3+4＞6，能組成三角形，故此選項符合題意；C．2+3＝5，不能組成三角形，故此選項不符合題意；D．2+2＜5，不能組成三角形，故此選項不合題意．故選：B．3．（3分）下列各式計算正確的是（）A．（﹣3x3）2＝9x5 B．（﹣2a）2＝﹣4a2 C．a(chǎn)2?a2＝a4 D．（ab2）3＝ab6【解答】解：A．（﹣3x3）2＝9x5，則A選項不符合題意；B．（﹣2a）2＝4a2，則B選項不符合題意；C．a(chǎn)2?a2＝a4，則C選項符合題意；D．（ab2）3＝a3b6，則D選項不符合題意．故選：C．4．（3分）如圖，△AEC≌△DFB，若∠A＝50°，∠F＝105°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．35° B．25° C．105° D．155°【解答】解：∵△AEC≌△DFB，∠F＝105°，∴∠E＝∠F＝105°，∵∠A＝50°，∴∠ACE＝180°﹣∠A﹣∠E＝25°，故選：B．5．（3分）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計）建立平面直角坐標(biāo)系，某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時對應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（）A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）【解答】解：某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時對應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（1.5，1）．故選：D．6．（3分）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） C．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x【解答】解：A、是多項式乘法，故選項錯誤；B、提公因式法，故選項正確；C、右邊不是積的形式，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故選項錯誤；D、右邊不是積的形式，故選項錯誤．故選：B．7．（3分）已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個多邊形是（）A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形【解答】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得（n﹣2）?180＝1080，解得n＝8．∴這個多邊形的邊數(shù)是8．故選：B．8．（3分）如果多項式y(tǒng)2+my+16是完全平方式，那么m的值為（）A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8【解答】解：由題意可知：m＝±8，故選：D．9．（3分）一輛貨車行駛25千米與一輛小車行駛35千米所用時間相同，已知小車每小時比貨車多行駛20千米，求兩車的速度各為多少？設(shè)貨車的速度為x千米/小時，依題意列方程，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，得．故選：A．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①AD是∠BAC的平分線；②∠ADB＝120°；③點D在AB的垂直平分線上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，所以①正確；∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝120°，所以②正確；∴∠BAD＝∠B，∴DA＝DB，∴點D在AB的垂直平分線上，所以③正確；∵∠CAD＝30°，AD＝2CD，∴BD＝2CD，∴BC＝3CD，∴S△DAC：S△ABC＝1：3，所以④正確．故選：D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）正常人體的紅細胞平均直徑約為0.00000733m，數(shù)0.00000733用科學(xué)記數(shù)法表示為7.33×10﹣6．【解答】解：0.00000733用科學(xué)記數(shù)法表示為：7.33×10﹣6，故答案為：7.33×10﹣6．12．（3分）計算x3y4÷（﹣2xy3）的結(jié)果為．【解答】解：．故答案為：．13．（3分）已知等腰三角形的周長20cm，一邊長為8cm，則它的腰長是8cm或4cm．【解答】解：∵當(dāng)腰為8cm時，底邊長＝20﹣8﹣8＝4cm，能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)诪?cm時，三角形的腰＝（20﹣8）÷2＝6cm，其他兩邊長為6cm，6cm．故答案為：8cm或4cm．14．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F，連結(jié)DE．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，則∠EAD的度數(shù)為28°．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣36°﹣44°＝100°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×36°＝18°．∵AE⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠ABD＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAD＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°．故答案為：28°．15．（3分）如圖，∠AOB＝30°，點P是它內(nèi)部一點，OP＝2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是2．【解答】解：作點P關(guān)于OA對稱的點P1，作點P關(guān)于OB對稱的點P2，連接P1P2，與OA交于點Q，與OB交于點R，此時△PQR的周長最?。畯膱D上可看出△PQR的周長就是P1P2的長，∵∠AOB＝30°，∴∠P1OP2＝60°．∵OP1＝OP2，∴△OP1P2是等邊三角形．∴P1P2＝OP1＝OP＝2．∴△PQR周長的最小值是2．即PQ+QR+RP的最小值是2故答案為：2．三、解答題（本題共8小題，其中16題8分，17題10分，18題8分，19題9分，20題8分，21題816．（8分）因式分解：（1）8a3b2c﹣12ab3；（2）﹣2x2+8xy﹣8y2．【解答】解：（1）8a3b2c﹣12ab3＝4ab2（2a2c﹣3b）；（2）﹣2x2+8xy﹣8y2＝﹣2（x2﹣4xy+4y2）＝﹣2（x﹣2y）2．17．（10分）（1）計算：；（2）解方程：．【解答】解：（1）＝＝＝＝1；（2），去分母得x﹣2（x﹣2）＝﹣3，解得x＝7，經(jīng)檢驗，x＝7是原方程的解．18．（8分）如圖、△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠A＝36°．（1）作邊AB的垂直平分線MN，交AC于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接BD，求∠DBC的度數(shù)；（3）CD的長為m﹣n（用含m、n的式子表示）．【解答】解：（1）邊AB的垂直平分線MN，如圖所示，；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴，∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；（3）由（2）得∠DBC＝36°，DA＝DB，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BC＝DB＝n，∴DA＝DB＝n，∵AB＝AC＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m﹣n．故答案為：m﹣n．19．（9分）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．大連某中學(xué)為了落實雙減政策，豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動，開設(shè)了書法社團，計劃為學(xué)生購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套，已知某文化用品店每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價比B型號的“文房四寶”的標(biāo)價高30%，若按標(biāo)價購買需花費4300元，其中購買B型號“文房四寶”花費3000元．（1）求每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價．（2）若經(jīng)過與店主協(xié)商，考慮到購買較多，店主同意該中學(xué)按A型號“文房四寶”九折，B型號“文房四寶”八折的優(yōu)惠價購入，則購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費多少元？【解答】解：（1）設(shè)每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價為x元，則每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價為1.3x元．根據(jù)題意得：，解得：x＝100．經(jīng)檢驗：x＝100是分式方程的解，答：每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價為100元．（2）由（1）得：每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價為130元，∴購買A型號的“文房四寶”共（套），購買B型號的“文房四寶”共（套），打折后，A型號的“文房四寶”需花費：10×130×0.9＝1170（元），打折后，B型號的“文房四寶”需花費：30×100×0.8＝2400（元），∴購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費1170+2400＝3570（元），答：購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費3570元．20．（8分）如圖，△ABC中，∠B＝45°，點D在邊AB上，DC＝AC，AE⊥DC，垂足為F，AE交BC于點E．（1）用等式表示∠BAE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求證：AE＝DC．【解答】（1）解：∠BAE＝∠ACD，理由如下：∵DC＝AC，∴∠ADC＝∠DAC＝（180°﹣∠ACD）＝90°﹣∠ACD，∵AE⊥DC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADC+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣（90°﹣∠ACD）＝∠ACD；（2）證明：∵AE⊥DC，∴∠CFE＝90°，∴∠AEC+∠FCE＝90°，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝45°+∠ACD，∴∠FCE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（45°+∠ACD）＝45°﹣∠ACD，∴∠ACB＝∠FCE+∠ACD＝45°﹣∠ACD+∠ACD＝45°+∠ACD，∴∠AEC＝∠ACB，∴AE＝AC，∵DC＝AC，∴AE＝DC．21．（8分）操作與探究（1）如圖1，在邊長為a的正方形正中間剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照圖中的線段分割成四個等腰梯形，將四個等腰梯形拼成一個大平行四邊形．剪拼前后的兩個圖形可以驗證的乘法公式是③（填序號）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）④a2+b2＝（a+b）2﹣2ab思考與創(chuàng)新（2）利用上面得到的乘法公式解決問題：①已知a+b＝7，ab＝10，求a2﹣b2的值；②（任選其一）模仿圖1，任選圖2或圖3用割拼的方法在左邊內(nèi)畫圖驗證（1）中得到的乘法公式成立．（畫的圖形中標(biāo)注a、b）【解答】解：（1）圖1中左邊4個等腰梯形的面積為a2﹣b2，右邊大平行四邊形面積為（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴剪拼前后的兩個圖形可以驗證的乘法公式是③，故答案為：③；（2）①∵a+b＝7，ab＝10，∴（a+b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝49，∴a2+20+b2＝49，∴a2+b2＝29，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝29﹣2×10＝9，∴a﹣b＝±3，當(dāng)a﹣b＝3時，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7×3＝21；當(dāng)a﹣b＝﹣3時，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7×（﹣3）＝﹣21；∴a2﹣b2的值為21或﹣21；②證明：如圖所示，選圖2，左邊陰影的面積為a2﹣b2，右邊陰影的面積為（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；如圖所示，選圖3，左邊陰影的面積為a2﹣b2，右邊陰影的面積為，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．22．（12分）綜合實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點，連接AD，BE平分∠ABC交AD于點E，點F是AC上一點，連接FE并延長交BC于點G，∠AEF＝∠ABD，求證：∠BAD＝∠CGF．（1）獨立思考：求證：∠BAD＝∠CGF．（2）實踐探究：在同學(xué)們獨立完成后，王老師又提出了新問題，求證DG＝AF，王老師的問題引發(fā)了同學(xué)們的思考，各小組進行了積極的討論，仍不得其解．王老師給出提示：“數(shù)學(xué)中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路．”“善思小組”的同學(xué)茅塞頓開，在對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)AB＝BD時，很容易發(fā)現(xiàn)AE＝DE，請你完成圖2特殊情況下的證明DG＝AF．（3）問題解決：相信你從上面也得到了啟發(fā)，參將“善思小組”的思路，請你在圖1中完成王老師的問題，證明DG＝AF．【解答】（1）證明：由題意知，∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝∠CGF+∠GED，∵∠GED＝∠AEF＝∠ABD，∴∠BAD＝∠CGF；（2）證明：∵AB＝BD，BE平分∠ABC，AB＝AC，∴∠BAD＝∠BDA，AE＝DE，∠ABC＝∠C，如圖2，延長GE到M，使EM＝GE，連接AM，．在△AEM和△DEG中，，∴△AEM≌△DEG（SAS），∴AM＝DG，∠AMG＝∠DGM，∵∠BAD＝∠CGF，∠BAD＝∠BDA，∴∠CGF＝∠BDA，∵∠CGF+∠C+∠CFG＝180°＝∠BDA+∠ABD+∠BAD，∴∠CFG＝∠BAD＝∠CGF，∴∠AFM＝∠CFG＝∠CGF＝∠AMG，∴AM＝AF＝DG，∴DG＝AF；（3）證明：如圖1，在AB上截取BH，使BH＝BG，連接EH，延長AE到N，使EN＝EF，連接GN，∵BE平分∠ABC，∴∠HBE＝∠GBE，∵BH＝BG，∠HBE＝∠GBE，BE＝BE，∴△HBE≌△GBE（SAS），∴HE＝GE，∠BHE＝∠BGE，∴∠AHE＝∠CGF，∵∠BAD＝∠CGF，∴∠AHE＝∠BAD，∴AE＝HE＝GE，∵AE＝GE，∠AEF＝∠GEN，EN＝EF，∴△AEF≌