7.2 復數的四則運算-2022-2023學年高一數學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊）

試卷第=page66頁，共=sectionpages88頁7.2復數的四則運算【考點梳理】考點一復數加法與減法的運算法則1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).考點二復數加減法的幾何意義如圖，設復數z1，z2對應向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復數z1＋z2對應，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復數z1－z2對應.考點三復數乘法的運算法則和運算律1.復數的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3考點四復數除法的法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個復數，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).【題型歸納】題型一：復數加減法的代數運算1．（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校?？计谀┰O復數滿足，則（

）A． B． C．4 D．52．（2022·高一）已知為虛數單位，計算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2021·高一）已知復數，，．（1）求實數的值；（2）若，，求的取值范圍．題型二：復數加減法的幾何意義4．（2022春·北京西城·高一北京市第十三中學?？茧A段練習）已知復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．5．（2021春·高一課時練習）如圖，設向量，，所對應的復數為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝06．（2022·全國·高一專題練習）設復數在復平面上對應向量，將向量繞原點O按順時針方向旋轉后得到向量，對應復數，則（

）A． B． C． D．題型三：復數代數形式的乘法除法運算7．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎铝忻}：(1)“為實數”的充要條件是“”；(2)若，則；(3)；(4).在復數集中，上述命題正確的個數是(

)A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·高一課時練習）計算．(1)；(2)；(3).9．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜豐中學?？计谥校┮阎獜蛿担?，其中為非零實數．(1)若是實數，求的值；(2)若，復數為純虛數，求實數的值；題型四：復數范圍內因式分解和乘方10．（2022春·福建福州·高一統考期中）多項式在復數集中因式分解的結果是（

）A． B．C． D．11．（2023·高一課時練習）已知集合，則下列復數：①；②；③；④，其中屬于集合M的為（

）．A．①②； B．①③； C．①④； D．①③④．12．（2022春·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習）已知復數，那么（

）A． B． C． D．題型五：復數范圍內解方程13．（2022春·廣西南寧·高一校聯考期末）已知復數，是關于x的方程的兩個根，則（

）A．9 B．81 C． D．8214．（2022春·山東菏澤·高一統考期中）已知復數（i為虛數單位），若z是關于x的方程的一個虛根，則實數m＝（

）A．2 B．－2 C．1 D．－115．（2022春·河南·高一校）已知是方程在復數范圍內的兩個根，則（

）A． B． C．2 D．3題型六：共軛復數問題16．（2022秋·山東臨沂·高一校考階段練習）已知z=，(i是虛數單位)的共軛復數為，則在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限17．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎翘摂祮挝?，復數，下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．的共軛復數對應的點在第三象限C．的實部為1 D．的共軛復數的模為118．（2022·高一單元測試）已知復數，且，則（

）A． B． C．， D．，題型七：復數的綜合運算19．（2023·高一課時練習）已知復數，，其中i是虛數單位，．(1)若，是實系數一元二次方程的兩個虛根，求m，n的值；(2)求的值域．20．（2022春·浙江金華·高一統考期中）已知復數是虛數單位.(1)若復數在復平面上對應點落在第一象限，求實數的取值范圍；(2)若虛數是實系數一元二次方程的根，求實數值.21．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┮阎獜蛿?是虛數單位)，且為純虛數(是的共軛復數).(1)求實數的值及復數的模；(2)若復數在復平面內所對應的點在第二象限，求實數的取值范圍.【雙基達標】一、單選題22．（2023·高一課時練習）在復數范圍內，有下列命題：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復數是某一元二次方程的根，則一定是方程的另一個根；④若z為純虛數i，則z的平方根為虛數．上述命題中真命題的個數為（

）A．3 B．2 C．0 D．123．（2023·全國·高一專題練習）在復平面內，復數（i為虛數單位）的共軛復數對應的點位于（

）．A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．24．（2023·高一課時練習）復數與（a，b，c，）的積是純虛數，則（

）A．且 B．或C．且 D．或25．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎P于的實系數一元二次方程有兩個虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．26．（2022·高一課時練習）非零復數、在復平面內分別對應向量、（為坐標原點），若，則（

）A．、、三點共線 B．是直角三角形C．是等邊三角形 D．以上都不對27．（2022春·廣東潮州·高一饒平縣第二中學校考期中）設復數滿足，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限28．（2022·高一課時練習）已知復數滿足則（

）A． B． C． D．29．（2023·高一課時練習）設復數是方程的一個根．(1)求；(2)設（其中i是虛數單位，），若的共軛復數滿足，求．30．（2023·高一課時練習）復數，其中為虛數單位．(1)求及；(2)若，求實數，的值．【高分突破】一、單選題31．（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎?，且，i為虛數單位，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．832．（2022·全國·高一假期作業(yè)）若，則集合中的元素個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．無數個33．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如果關于x的方程的一個根是i，那么下列關于復數a的說法中正確的是（

）A．a一定是實數 B．a可能是實數，也可能是虛數C．a一定是純虛數 D．a一定是虛數，但不是純虛數34．（2022·高一課時練習）若復數，則復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限35．（2022·江蘇·高一開學考試）設復數z的模長為1，在復平面對應的點位于第一象限，且滿足，則（

）A． B． C． D．36．（2022·高一單元測試）已知，且，，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題37．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）以下四種說法正確的是（

）A．=iB．復數的虛部為C．若z=，則復平面內對應的點位于第二象限D．復平面內，實軸上的點對應的復數是實數38．（2022春·吉林長春·高一?？计谥校┤魪蛿担樘摂祮挝唬?，則下列結論正確的是（

）A． B．的虛部為C．為純虛數 D．39．（2022·高一單元測試）下列關于復數的四個命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的共軛復數的虛部為1C．若，則的最大值為3D．若復數，滿足，，，則40．（2022春·河南周口·高一?？茧A段練習）已知i為虛數單位，以下四種說法中正確的是（

）A．是純虛數 B．若，則復平面內對應的點位于第四象限C．若，則 D．已知復數z滿足，則z在復平面內對應的點的軌跡為直線41．（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知復數z滿足，則下列關于復數z的結論正確的是（）A．B．復數z的共軛復數為＝﹣1﹣iC．復平面內表示復數z的點位于第二象限D．復數z是方程x2+2x+3＝0的一個根42．（2022·高一單元測試）已知（，是虛數單位），，定義：，則下列結論正確的是（

）A．對任意，都有B．若是z的共軛復數，則恒成立C．若，則D．對任意，則恒成立三、填空題43．（2023·高一課時練習）在復數范圍內因式分解：______．44．（2023·高一課時練習）以下4個式子：①；②；③；④，正確的是______（寫出正確編號）．45．（2023·高一單元測試）已知復數滿足，且為實數，則______．46．（2023·高一課時練習）已知關于的實系數方程有一個模為1的虛根，則實數的值為______．47．（2023·高一課時練習）設有下面四個命題：是為純虛數的充要條件；：設復數，，則在復平面內對應的點位于第四象限；：復數的共軛復數；：設是虛數，是實數，則．其中真命題的個數為______．四、解答題48．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中學校考期末）已知關于的一元二次方程的兩根為、．(1)若為虛數，求的取值范圍；(2)若，求的值．49．（2022春·上海金山·高一上海市金山中學校考期末）已知復數為虛數單位．(1)若是關于的實系數方程的一個復數根，求的值；(2)若為實數，求的值．50．（2022春·上海楊浦·高一上海市控江中學?？计谀┮阎獜蛿?，設復數分別對應復平面上的點.定義復數.(1)若，求；(2)當點在線段上運動時，求的最大值.51．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）設復數和，其中是虛數單位，．(1)若，求的取值范圍；(2)若，且和為某實系數一元二次方程的兩根，求實數所有取值的集合．52．（2022春·上海黃浦·高一上海市大同中學?？计谀┮阎獜蛿担?，其中為虛數單位，．(1)當、是實系數一元二次方程的兩個虛根時，求實數、的值．(2)求的值域．【答案詳解】1．B【分析】由復數的加減運算求出復數z，根據模的計算求得答案.【詳解】，，故選:B.2．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根據復數的運算法則運算即得.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．3．（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由虛部為求解實數的值；（2）數形結合求解的取值范圍.【詳解】（1）因為，，所以．又因為，所以，解得或．又因為，所以．（2）由（1）知，設，由，所以，得，而，∴，∴，故．∴，∵，∴，故．4．B【分析】設復數z在復平面內對應的點為Z，由復數的幾何意義可知點的軌跡為軸，則問題轉化為軸上的動點到定點距離的最小值，從而即可求解.【詳解】解：設復數z在復平面內對應的點為Z，因為復數z滿足，所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為軸，又表示點到點的距離，所以問題轉化為軸上的動點到定點距離的最小值，所以的最小值為2，故選：B.5．D【分析】由向量，結合向量減法運算得，再由復數的幾何意義即可求解.【詳解】由題圖可知，，，∴z1＋z2－z3＝0.故選：D【點睛】本題考查復數與復平面的對應關系，向量的線性運算，屬于中檔題6．A【分析】先把復數化為三角形式，再根據題中的條件求出復數，利用復數相等的條件得到和的值，求出.【詳解】因為，所以，設，，，則，，即，，，故.故選：A.【點睛】本題考查復數的幾何意義及復數的綜合運算，較難.解答時要注意將、化為三角形式然后再計算.7．B【分析】利用復數和它的共軛復數的關系，以及復數的運算法則判斷正誤.【詳解】對于(1)，設()，則，為實數等價于，也等價于，所以“為實數”的充要條件是“”，(1)正確；對于(2)，由可得，所以或，當時，易得；當時，設，則，所以，，所以，綜上所述，若，則，故(2)正確；對于(3)，當，時，，，不能比較大小，(3)錯誤；對于(4)，當，時，，，故(4)錯誤.故選：B.8．(1)(2)(3)【分析】根據復數四則運算法則計算即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3），，，原式.9．(1)；(2)；【分析】（1）運用復數乘法及若為實數則，計算可得結果.（2）運用共軛復數及復數除法及若為純虛數則，計算可得結果.【詳解】（1）∵為實數，∴，又∵為非零實數，∴．（2）∵，∴，∴為純虛數，∴∴m的值為2.10．A【分析】首先求出方程的復數根，即可得解；【詳解】解：對于方程，因為，所以有兩個虛根，即，，所以；故選：A11．C【分析】根據復數的運算法則即可求解．【詳解】①；②；③④故選：C12．D【分析】先計算，再根據復數的運算法則計算代數式的值.【詳解】由題，則，所以.故選：D.13．C【分析】利用求根公式和復數的模求解.【詳解】解：因為復數，是關于x的方程的兩個根，所以，所以或．故選：C14．A【分析】將代入到，根據復數相等的條件可得結果.【詳解】依題意可得，即，所以.故選：A.15．A【分析】求出即得解.【詳解】解：方程在復數范圍內的兩個根為，不妨設，，所以.故選：A16．D【分析】先利用復數的除法運算化簡復數z，再得到共軛復數和其對應的點的坐標，判斷所在的象限即可.【詳解】因為z==2+i，所以z的共軛復數為=2﹣i，則在復平面上對應的點為(2，﹣1)，位于第四象限.故選：D.17．D【分析】首先求出復數，從而根據實部虛部的概念即可直接判斷AC選項，然后求出的共軛復數為，結合模長公式以及復數在復平面所對應點的特征即可判斷BD選項.【詳解】因為，所以，所以的虛部為，故A錯誤；的共軛復數為，其對應的點是，在第一象限，故B錯誤；的實部為，故C錯誤；的共軛復數為，則模長為，故D正確，故選：D.18．A【分析】利用共軛復數的概念以及復數的四則運算進行計算.【詳解】∵，∴，，∴解得.故B，C，D錯誤.故選：A.19．(1)，(2)【分析】（1）利用題給條件求得，再利用根與系數關系即可求得m，n的值；（2）先求得的表達式，再利用三角函數性質即可求得的值域．【詳解】（1），是實系數一元二次方程的兩個虛根，則，解之得則，，則，（2），，則，由，可得則的值域為．20．(1)(2)【分析】（1）求出，由其對應點的坐標列不等式求解；（2）也是方程的根，根據韋達定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因為在復平面上對應點落在第一象限，所以，解得，所以（2）因為虛數是實系數一元二次方程的根，所以是方程的另一個根，所以，所以，所以，所以，所以.21．(1)(2)【分析】（1）根據復數的乘法運算算出，然后可得答案；（2）對進行運算化簡，然后可得答案.【詳解】（1）由題意得為純虛數，所以，所以；（2），因為在復平面內所對應的點在第二象限，所以，所以.22．D【分析】對于①②，根據平方根的定義即可判斷；對于③，舉反例即可排除；對于④，利用平方根的定義與復數相等的性質求得的平方根，從而得以判斷.【詳解】對于①，的平方根有兩個，分別為和，故①錯誤；對于②，1的平方根是和1，故②錯誤；對于③，令，則是方程的一個根，但方程的另一個根是，并非，實際上，只有實系數方程的虛根才是共軛復數，故③錯誤；對于④，設的平方根為，則，即，故，解得或，所以的平方根為或，顯然z的平方根是虛數，故④正確；綜上：①②③錯誤，④正確，故真命題的個數為.故選：D.23．D【分析】根據復數的除法運算化簡復數，再得其共軛復數，即可判斷其所在象限位置.【詳解】解：，所以其共軛復數為，它在復平面所對應的點坐標為，位于第四象限.故選：D.24．C【分析】先利用復數乘法化簡，再利用純虛數定義即可得到選項.【詳解】又復數與（a，b，c，）的積是純虛數，則，故選：C25．C【分析】利用二次方程的韋達定理及完全平方公式即可得解.【詳解】因為方程有兩個虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿足要求，所以.故選：C.26．B【分析】設，根據，可得，從而可將復數用表示，再判斷各個選項即可.【詳解】解：設，則，故，因為，所以，所以，所以或，故或，當時，，當時，，所以，所以是直角三角形，故、、三點不共線且不是等邊三角形.故選：B.27．D【分析】先利用復數的運算得到，利用題意可得到，則，即可得到答案【詳解】因為，所以可得，解得，所以，對應點為，位于第四象限，故選：D28．C【分析】根據式子進行變形,求出即可.【詳解】解：由，得,故選：C．29．(1)或；(2).【分析】（1）利用實系數一元二次方程的求根公式解得；（2）根據復數的乘法運算及復數的模的運算可得，進而即得.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以或；（2）由，可得，當時，，所以，解得，當時，，當時，.30．(1)，(2)【分析】（1）首先根據復數的運算求解出復數，進而根據復數的模長公式求解；（2）首先將代入等式，然后根據等式關系構造方程組，解方程組即可得到實數，的值.【詳解】（1）∵，∴．（2）由（1）可知，由，得：，即，∴，解得31．B【分析】設，由可知z對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，而表示圓上的點到的距離，由此可確定的最大值．【詳解】解：∵，故設，，∴，∴，故復數對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∵表示圓上的點到點的距離，∴的最大值是，故選：B．32．C【分析】根據復數的運算法則，化簡得到，進而得到答案.【詳解】根據復數的運算法則，可得，所以，則，，，，，…，所以集合中只有3個元素．故選：C33．D【分析】根據i是方程的根，代入求解.【詳解】解：因為i是方程的根，所以．故選：D34．A【分析】由復數的乘方運算化簡復數z，再判斷對應點所在的象限即可.【詳解】，故復數在復平面內對應的點為，位于第一象限．故選：A35．C【分析】設，且，利用得，模長為1得，求出后可得.【詳解】設，因為在復平面對應的點位于第一象限，所以，由得，因為復數z的模長為1，所以，解得，所以，.故選：C.36．B【分析】設，則，再由可得，從而可求出.【詳解】設，則，，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故選：B.37．ABD【分析】利用復數的乘方運算計算判斷A，C；利用復數的意義判斷B；利用復數的幾何意義判斷D作答.【詳解】對于A，，A正確；對于B，復數的虛部為，B正確；對于C，，則，復平面內對應的點在y軸負半軸上，C不正確；對于D，復平面內，實軸上的點對應的復數是實數，D正確.故選：ABD38．ACD【分析】由的冪運算的周期性可求得；根據復數模長、虛部定義、乘方運算和共軛復數定義依次判斷各個選項即可.【詳解】；對于A，，A正確；對于B，由虛部定義知：的虛部為，B錯誤；對于C，為純虛數，C正確；對于D，由共軛復數定義知：，D正確.故選：ACD.39．ACD【分析】根據復數模、共軛復數的積運算即可判斷A，由復數除法的運算及共軛復數、虛部的概念判斷B，根據復數模的幾何意義及圓的性質判斷C，利用復數的加減運算、模的運算求解可判斷D.【詳解】設，對A，，，故正確；對B，，所以，，其虛部為，故錯誤；對C，由的幾何意義，知復數對應的動點到定點的距離為1，即動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示動點到定點的距離，由圓的性質知，，故正確；對D，設，因為，，所以，又，所以，所以，所以，故正確.故選：ACD40．CD【分析】A.由是實數判斷；B.化簡，再利用復數的幾何意義判斷；C.由判斷；D.令，由求解判斷.【詳解】是實數，故A錯誤；因為，所以，所以復平面內對應的點位于第三象限，故B錯誤，若，則，故，故C正確，令，則，所以，化簡得，所以，所以z在復平面內對應的點的軌跡為直線，故D正確，故選：CD41．ABC【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，然后逐一分析四個選項得答案．【詳解】由，得．；，復平面內表示復數的點的坐標為，位于第二象限；，復數不是方程的一個根．故選：ABC．42．BD【分析】利用共軛復數及復數的減法法則，結合新定義逐一計算即可求解.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，，則，則，故B正確；對于C，若，則錯誤，如，滿足,但，故C錯誤；對于D，設，則，，，由，，得恒成立，故D正確．故選：BD．43．或【分析】將式子變形，構造出平方差形式在因式分解.【詳解】因為，所以①，②，故答案為：或.44．①③④【分析】根據復數的乘法和除法運算，分別證明等式.【詳解】設，，，所以，，所以，故①正確；因為，當時，所以，當時，不成立，故②錯誤；設，，，不同時為0，，所以，，所以，故③正確；，所以，，所以，故④正確.故答案為：①③④45．或或．【分析】設復數，根據實數共軛的性質可得，化簡得，進而分類討論即可代入求解.【詳解】設化簡得解得或將代入可得，（1）當時，即則有，此時（2）當時，則，故有則有或綜上所述故或或．故答案為：或或．46．【分析】根據實系數一元二次方程有虛根的性質，結合判別式、根與系數關系、復數與其共軛復數乘積的關系，可以求出結果.【詳解】因為關于的實系數一元二次方程有一個模為1的虛根，所以方程的判別式小于零，即或，由已知兩根是互為共軛的虛根，設為，而由題意可知：，由根與系數的關系可