第07講 空間幾何體初步（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

第07講空間幾何體初步【人教A版2019】·模塊一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征·模塊二簡單幾何體的表面積與體積·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如，一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.(2)定理的實質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.

④多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點，如圖中頂點A，B，A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個旋轉(zhuǎn)體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸：平面曲線旋轉(zhuǎn)時所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2．棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.相關(guān)概念(1)底面(底)：兩個互相平行的面；

(2)側(cè)面：其余各面；

(3)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(4)頂點：側(cè)面與底面的公共頂點.(1)底面(底):多邊形面；

(2)側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面；

(3)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(4)頂點：各側(cè)面的公共頂點.(1)上底面：原棱錐的截面；

(2)下底面：原棱錐的

底面.

(3)側(cè)面：其余各面.

(4)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(5)頂點：側(cè)面與底面的公共頂點.圖形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱錐S-ABCD(或四棱錐S-AC)棱臺ABCD-A'B'C'D'結(jié)構(gòu)特征(1)底面互相平行且全等；

(2)側(cè)面都是平行四邊形；

(3)側(cè)棱都相等，且互相平行.(1)底面是多邊形；

(2)側(cè)面都是三角形；

(3)側(cè)面有一個公共頂點.(1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；

(2)各側(cè)棱的延長線交于一點；(3)各側(cè)面為梯形.分類棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐……由幾棱錐截得的就叫幾棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺球定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.相關(guān)概念(1)軸：旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面.

(4)母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.(1)軸：旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面：直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面.

(4)母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線

(5)頂點：母線的交點.(1)上底面：原圓錐的截面.

(2)下底面：原圓錐的底面.

(3)軸：上、下底面圓心的連線所在的直線.

(4)側(cè)面：原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面.

(5)母線：原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分.(1)球心：半圓的圓心.

(2)半徑：連接球心和球面上任意一點的線段.

(3)直徑：連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段.圖形及表示圓柱OO'圓錐SO圓臺OO'球O結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.

(2)圓柱有無數(shù)條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(1)底面是圓面.

(2)有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點.

(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.

(2)有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點.

(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸

的截面(軸截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點的集合.

(2)球的截面都是圓面.棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.4．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡單組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

(2)簡單組合體的構(gòu)成形式

①由簡單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(2)中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(3)中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.5．正方體的截面形狀的探究通過嘗試、歸納，有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時，這個四邊形中至少有一組對邊平行.

(3)截面可以是五邊形，且此時五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形，且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【考點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征】【例1.1】（2023·全國·高一隨堂練習）下列命題正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺【解題思路】根據(jù)常見幾何體的基本特征判斷各選項即可.【解答過程】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故A錯誤；對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；對于C，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；對于D，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故D錯誤.故選：C.【例1.2】（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習）下列說法正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．多面體至少有5個面D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【解題思路】根據(jù)多面體、棱柱和棱臺的定義判斷即可.【解答過程】A選項：各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯；B選項：有2個面平行，其余各面都是梯形，但若是各側(cè)棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺，故B錯；C選項：多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體，故C錯；D選項：根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側(cè)棱，6個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故D正確.故選：D.【變式1.1】（2023下·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習）下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（

）A．五棱錐 B．三棱臺C．三棱柱 D．四棱錐【解題思路】根據(jù)棱錐和棱柱的特征逐個求解其棱數(shù)進行判斷【解答過程】因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐，故選：A.【變式1.2】（2023下·遼寧鐵嶺·高一?？计谀┧欣忾L均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2的正三棱錐，則所得棱臺的高為（

）A．463 B．263 C．【解題思路】利用小三棱錐和大三棱錐的比例求解即可.【解答過程】

如圖，根據(jù)題意可得所得棱臺為正三棱臺，該棱臺的高等于大正三棱錐的高的23設(shè)大正三棱錐的高為DH，則：BH=因為大正三棱錐的高為:DH=D所以該棱臺的高為23故選：A.【考點2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【例2.1】（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）下列命題正確的是（

）A．以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑【解題思路】根據(jù)圓錐、圓柱、圓臺的特點判斷各選項即可.【解答過程】對于A，根據(jù)圓錐的特點，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故A正確；對于B，以直角梯形的直角腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，故B錯誤；對于C，圓柱、圓臺都有兩個底面，而圓錐只有一個底面，故C錯誤；對于D，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，故D錯誤.故選：A.【例2.2】（2023下·河北張家口·高一?？茧A段練習）下列說法中正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．圓錐的頂點?圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺D．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓【解題思路】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項判斷即可.【解答過程】以矩形的一條對角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；因為圓錐的頂點與底面圓心連線垂直底面，所以圓錐的頂點?圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線可以構(gòu)成直角三角形，故B正確；用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺，故C錯誤；當球面上兩點是球的直徑的端點時，過這兩點的大圓有無數(shù)個，故D錯誤.故選：B.【變式2.1】（2023上·上海徐匯·高二位育中學?？计谥校┌岩粋€圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓錐母線在圓臺中的部分）長為12，則原圓錐的母線長為（

）A．16 B．18 C．20 D．22【解題思路】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【解答過程】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為CDAB=1設(shè)圓錐的母線長為l，根據(jù)相似比可得CDAB=ED即原圓錐的母線長為16.故選：A.【變式2.2】（2022下·高一課時練習）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離為（

）A．25 B．23 C．42【解題思路】將錐體側(cè)面展開為扇形，先求出所得扇形圓心角，再根據(jù)兩點間線段距離最短，求最短路徑.【解答過程】由題意，底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π＝4nπ180，解得n＝所以展開圖中∠PSC＝90°，故PC＝25，所以小蟲爬行的最短距離為25.故選：A.【考點3簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征】【例3.1】（2023·高一課時練習）如圖所示的簡單組合體的組成是（

）A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱【解題思路】直接觀察,即可出答案.【解答過程】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選：B.【例3.2】（2022上·北京·高二?？茧A段練習）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【解題思路】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.【解答過程】當截面ABCD如下圖為軸截面時，截面圖形如（1）所示；當截面ABCD如下圖不為軸截面時，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀；故選：D.【變式3.1】（2023上·四川·高二校聯(lián)考期中）如圖，這是某同學繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為310，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為22，A，B，C是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則BC=（

A．2 B．3 C．2 D．5【解題思路】過點B，C作垂直于正四棱錐底面的截面，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理和三角形相似，求解即可.【解答過程】過點B，C作垂直于正四棱錐底面的截面，如圖所示，由題意可得DE=310因為正四棱錐的底面邊長為6，所以EF=62，DG=HI的長度為正四棱柱底面正方形對角線的長度，即HI=4，JA因為HA'EG=D因為BJHA'=DJ故選：C.【變式3.2】（2023下·河南商丘·高一校聯(lián)考階段練習）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個頂點【解題思路】根據(jù)幾何體的形狀逐個選項判斷即可.【解答過程】據(jù)圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個面，B不正確；該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個頂點，D正確．故選：B.【考點4平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【例4.1】（2022·高一課時練習）下列敘述中，正確的個數(shù)是（

）①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的知識逐一判斷即可.【解答過程】①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺，故②錯；③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球，故④正確．故選：B.【例4.2】（2022下·廣東珠海·高一?？茧A段練習）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可得正確的選項.【解答過程】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球，而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，故選：B.【變式4.1】（2023下·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，某工廠生產(chǎn)的一種機器零件原胚的直觀圖是一個中空的圓臺，中空部分呈圓柱形狀，且圓柱底面圓心與圓臺底面圓心重合，該零件原胚可由下面圖形繞對稱軸（直線l）旋轉(zhuǎn)而成，這個圖形是（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形成過程即可得出選項.【解答過程】根據(jù)零件原胚的直觀圖可知，中空部分呈圓柱形狀，而圓柱形狀由矩形旋轉(zhuǎn)形成，圓臺由梯形旋轉(zhuǎn)形成，分析四個選項，A項，旋轉(zhuǎn)后圓臺；C項，旋轉(zhuǎn)后圓臺；D項，球體中挖去一個小球；故選：B.【變式4.2】（2023·高一課時練習）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是()

A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B．該組合體仍然關(guān)于軸l對稱C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D．該組合體中的球和半球只有一個公共點【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形成過程，逐項判斷，即可得出選項.【解答過程】將該幾何體繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球，半球組成的，由此A選項錯誤故選A.模塊二模塊二簡單幾何體的表面積與體積1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.4．球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.5．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【考點1多面體的表面積與體積】【例1.1】（2023上·河北衡水·高三?？茧A段練習）O,O1分別為正四棱臺ABCD-A1BA．22 B．62 C．76【解題思路】分別算出上下底面面積，結(jié)合高以及棱臺體積公式運算即可.【解答過程】由題意可知上、下底面的面積、高分別為S1所以正四棱臺的體積為V=1故選：C.【例1.2】（2023·全國·模擬預測）已知體積為36π的球O與正四面體P1-A1B1A．13 B．33 C．3 D【解題思路】設(shè)球O的半徑為R，根據(jù)球O的體積為36π，求得半徑R，設(shè)正四面體P1-A1B1C1的棱長為aa>0，易得正四面體的高h=63a，利用等體積法求得棱長，將正四面體P2-【解答過程】解：設(shè)球O的半徑為R，因為球O的體積為36π，所以43πR設(shè)正四面體P1-A1B所以該正四面體的體積VP又VP所以212a3=3a2如圖所示，易知正方體的內(nèi)切球即與正四面體P2-因為球O的半徑R=3，所以正方體的棱長為6，則正四面體P2-A所以SP故選：D．【變式1.1】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點均在同一個半徑為A．3 B．33 C．6 D．【解題思路】利用正三棱柱外接球的性質(zhì)得到a,h的關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式即可得解.【解答過程】解法一：設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a3，故又三棱柱的側(cè)面積S=3ah，所以S2當h=2時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3ah最大值為3解法二：設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a因為a23+當且僅當a=62，h=2時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3ah故選：B.【變式1.2】（2023上·上海黃浦·高二格致中學?？计谥校┱嗝骟w被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（

）

A．618 B．69 C．612【解題思路】利用四棱錐體積公式，可得正八面體的體積，再根據(jù)正三角形面積公式可得正八面體的表面積.【解答過程】

如圖所示，連接AC，EF∩AC=O，則四邊形ABCD為正方形，且EO⊥平面ABCD，由正八面體可知，AB=BC=EA=EC=2，則AC=22，EO=所以V=2V表面積S=8S所以VS故選：B.【考點2旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積】【例2.1】（2023下·陜西西安·高一期中）兩個球表面積的比為1:4，則體積的比為（

）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不確定【解題思路】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.【解答過程】設(shè)兩球的半徑分別為r1，r∵表面積之比S1S2=4∴體積之比V1故選：C.【例2.2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為26π，則該圓臺的體積為（

A．76π3 B．383π3 C【解題思路】利用圓臺的表面積公式求得母線長，進而求得圓臺的高，從而利用圓臺的體積公式即可得解.【解答過程】設(shè)圓臺的母線長為l．高為h．所以π×12所以h=l所以該圓臺的體積V=13×故選：D．【變式2.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐PO中，用一個平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個圓錐PO1和一個圓臺O1O，若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18A．12 B．14 C．23【解題思路】根據(jù)體積之比可得半徑之比，即可根據(jù)圓錐和圓臺的側(cè)面積的公式即可求解.【解答過程】設(shè)圓錐PO1,PO的底面圓半徑分別為r,R因為VPO1VPO=即R=2r，L=2l.所以SP故選：D.【變式2.2】（2023上·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（

）A．2π B．3π C．23【解題思路】由題意作圖，根據(jù)圓錐與圓柱的幾何性質(zhì)，可得到答案.【解答過程】由題意作圖如下：由題設(shè)可知該圓錐的高PO=h=23該圓柱的底面半徑為OF=r，由△PDC～△PAB，則CDAB=PQPO故該圓柱的側(cè)面積S=2π當x=3時，側(cè)面積S取得最大值2故選：C.【考點3球的截面問題】【例3.1】（2023上·天津河東·高三?？茧A段練習）用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構(gòu)成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（

）A．13π B．52πC．20π D．36π【解題思路】根據(jù)球中截面圓的性質(zhì)，結(jié)合錐體體積公式即可求解半徑，進而由球表面積公式求解.【解答過程】設(shè)平面截得截面圓的半徑為r，球半徑為R,所以2=R所以外接球的表面積為4π故選：B.【例3.2】（2023上·上海閔行·高二校考期末）如圖，已知平面α截球O所得截面圓的半徑為3，該球面的點到平面α的最大距離為3，則球O的體積為（

）

A．4π3 B．8π3 C．【解題思路】根據(jù)條件求出球O的半徑即可.【解答過程】依題意得：截面圓半徑r=3，設(shè)球O的半徑為R，則球心O到截面圓的距離d=3-R如圖，由勾股定理得：R2=3-R2+33故選：D.【變式3.1】（2023上·高二課時練習）已知三棱錐P-ABC滿足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點，且AD=3DC，球O為三棱錐P-ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π，則球O的表面積為（

A．72π B．86π C．112π D．128π【解題思路】先找到外接球球心，過BC的中點M作OM//PA，則OM⊥平面ABC，取OM=12PA，則O為P-ABC外接球球心，過點D作球O的截面，最大的截面過球心，最小的截面是過D且與OD【解答過程】如圖，M是BC邊中點，E是AC邊中點，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，

作OM//PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，AM,MD?平面ABC，∴OM⊥AM,OM⊥MD，取OM=12PA∴O是三棱錐P-ABC的外接球的球心.E是AC中點，則ME//AB，ME=12AB=3，∵AD=3DC，∴ED=14AC=2，設(shè)PA=2a，則OM=a，OD2=O∴OA過D且與OD垂直的截面圓半徑為r，則r=O這是最小的截面圓半徑，最大的截面圓半徑等于球半徑OA，∴πOA2OA2=故選：D.【變式3.2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）一個球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積S=2πRH，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個半徑為R的球體被平面所截獲得兩個球缺，其高之比為H1H2A．12 B．85 C．2011【解題思路】由球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑，從而求出表面積，可解此題.【解答過程】∵H1H2=2，H1+∴S1故選：B.【考點4幾何體與球的切、接問題】【例4.1】（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）如圖：三棱臺ABC-A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，球心位于上下底面所在的兩個平行平面之間，AA1=B

(1)求三棱臺ABC-A(2)計算球O的體積．【解題思路】（1）點O1,O2分別是正△ABC和△A1B1C1的中心，球的半徑為R，且O1（2）在Rt△OO1A中，OO1【解答過程】（1）如圖

設(shè)點O1,O2分別是正△ABC和△A1B1C在等邊△ABC中，由AB=3，得A同理，得A1如下圖，過點A作AP⊥A1O2，則在△A所以正三棱臺ABC-A1B1CO1所以MN=372，所以正三棱臺ABC-A

正三棱臺ABC-A1B又因為正三棱臺ABC-A12所以正三棱臺ABC-A1B（2）在Rt△OO1即OO12+1=R即3-OO12所以球O的體積為：V=4【例4.2】（2022上·四川·高二校考階段練習）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為2cm

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積V；(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.【解題思路】（1）求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑，進而去除圓柱的體積，相減即可答案；（2）結(jié)合第一問得到內(nèi)切球半徑，求出內(nèi)切球體積，再根據(jù)將三棱柱補形為長方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.【解答過程】（1）因為底面三角形的邊長分別為3cm，4cm，由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm，4又因為三棱柱ABC-A1B所以V

設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r=2圓柱體積VO所以剩下的幾何體的體積V=(12-2（2）由（1）可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為1cm則內(nèi)切球球的體積V=4直三棱柱ABC-A1B它的外接球的球半徑R滿足2R=32所以，該直三棱柱的外接球的表面積為S=4π【變式4.1】（2023上·上海浦東新·高二?？计谥校┤鐖D，已知球O的表面積為900π，ABCD-(1)若AB=12，BC=9，求球心O到平面ABCD的距離：(2)若ABCD-A1【解題思路】（1）由球的表面積可得半徑R，又球為長方體的外接球，則直徑等于體對角線，進而可側(cè)棱長，即可求解；（2）根據(jù)外接球得2a2【解答過程】（1）由球O的表面積為900π=4πR2即2R=(12)2+因為球位長方體的外接球，則球心即為長方體的中心；則球心O到平面ABCD的距離為AA（2）ABCD-A1B1C1D則2R=a2+S側(cè)當且僅當2a2=即b=152，a=15則V=a×a×b=15×15×152【變式4.2】（2022下·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）如圖，在長方體ABCD-A1(1)若該長方體被過頂點A，B1，D(2)若該長方體的所有頂點都在球O的球面上，求球O的體積和表面積.【解題思路】（1）利用柱體和錐體的體積公式即可求解；（2）根據(jù)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線長度，即可求出外接圓半徑，再結(jié)合球的表面積和體積公式即可求解.【解答過程】（1）因為長方體的體積為V長三棱錐的體積為VA-所以剩余部分的體積為V=2-（2）由題可知球O為長方體的外接球，則球O的半徑R=1故球O的體積為V球球O的表面積：S=4π模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023上·新疆·高二八一中學?？茧A段練習）下列幾何體中為圓柱的是（）A．

B．

C．

D．

【解題思路】結(jié)合幾何體的特征逐個判斷即可.【解答過程】易得A為圓錐，B為圓柱，C為棱臺，D為球．故選：B．2．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【解題思路】根據(jù)圓柱，棱柱，棱臺，棱錐的定義進行判斷.【解答過程】對于A，以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，而以矩形的一條對角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；對于B，若棱柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；對于C，如圖所示，若AB=AC=CD=BD=4，BC=AD=3，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時底面BCD不是正三角形，故C錯誤；對于D，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.若截面與底面不平行，則不是梭臺，故D錯誤.故選：B.3．（2023下·高一課時練習）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（

）A． B． C． D．【解題思路】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)可知A選項符合題意.【解答過程】此幾何體自上向下是由一個圓錐和一個圓臺構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.4．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知圓錐的高為3，若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐的表面積為（

）A．6π B．63π C．9π D【解題思路】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，由已知數(shù)據(jù)計算出圓錐底面半徑和母線長，可求圓錐的表面積.【解答過程】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示，由已知O1D=1,SO因為SO=3，所以圓錐底面圓半徑AO=SO?tan30°則圓錐的表面積為S=π故選：C．5．（2023下·廣東深圳·高一?？计谥校┤鐖D所示的幾何體是數(shù)學奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（

）A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成B．一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成D．一個球、一個五棱柱、一個校臺構(gòu)成【解題思路】根據(jù)組合體基本構(gòu)成即可得答案.【解答過程】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.故選：B.6．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）若正五邊形ABCDE的中心為O，以AO所在的直線為軸，其余五邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個幾何體，則（

）A．該幾何體為圓臺B．該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體C．該幾何體為圓柱D．該幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的簡單組合體【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的概念判斷即可.【解答過程】由題意可知形成如圖的幾何體，

該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體.故選：B.7．（2023上·湖南衡陽·高三校聯(lián)考階段練習）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為1km，峰底A到峰頂S的距離為4km，B是山坡SA的中點.為了發(fā)展當?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當公路長度最短時，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（A．2km B．3km C．25【解題思路】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖，即可根據(jù)弧長公式可得∠A'【解答過程】以SA為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖.則從點A到點B的最短路徑為線段A'B，lA過S作SP⊥A'B因為A'B=4故選:D.8．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預測）如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，AB=6,A1B1=2，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的34，若圖1和圖2中溶液體積分別為A．34 B．3839 C．1 D【解題思路】根據(jù)棱臺的體積公式，列出兩個等式，相除即可得到本題答案.【解答過程】設(shè)四棱臺的高度為h，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，則V1所以V1故選：D.9．（2023上·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）三棱錐A-BCD的四個頂點都在表面積為20π的球O上，點A在平面BCD的射影是線段BC的中點，AB=BC=23，則平面BCD被球O截得的截面面積為（A．23π BC．4π D．【解題思路】分別找出△BCD和△ABC的外接圓圓心F和H，通過過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A-BCD外接球球心O，再通過幾何關(guān)系求出△BCD外接圓半徑，即可求其被球O截得的圓的面積．【解答過程】設(shè)BC中點為E，∵點A在平面BCD的射影是線段BC的中點E，∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形．取AC中點為G，連接BG交AE于H，則H是△ABC外心．連接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，則F為△BCD外心．過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A-BCD外接球球心O，則四邊形OHEF是矩形，OF=HE=1連接OB，BF，設(shè)△BCD外接圓半徑FD=BF=r，設(shè)球O半徑為OB=R．∵球O的表面積為20π，∴4∴在Rt△OBF中，r=BF=R∴平面BCD被球O截得的截面面積πr故選：C.10．（2023上·山東青島·高三?？计谥校┤鐖D，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1=2，AC=BC=1A．81π16 B．6π C．243【解題思路】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.【解答過程】因為△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=1，所以△ABC的外接圓的圓心為AB的中點O1，且A設(shè)A1B1的中點為E，連接O1E