第07講 空間幾何體初步（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第07講空間幾何體初步【人教A版2019】·模塊一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征·模塊二簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對(duì)于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如，一個(gè)牛奶包裝箱可以抽象出長(zhǎng)方體.(2)定理的實(shí)質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面：圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.

④多面體的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，如圖中頂點(diǎn)A，B，A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸：平面曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺(tái)定義有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái).相關(guān)概念(1)底面(底)：兩個(gè)互相平行的面；

(2)側(cè)面：其余各面；

(3)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(4)頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).(1)底面(底):多邊形面；

(2)側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面；

(3)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(4)頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn).(1)上底面：原棱錐的截面；

(2)下底面：原棱錐的

底面.

(3)側(cè)面：其余各面.

(4)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(5)頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).圖形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱錐S-ABCD(或四棱錐S-AC)棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'結(jié)構(gòu)特征(1)底面互相平行且全等；

(2)側(cè)面都是平行四邊形；

(3)側(cè)棱都相等，且互相平行.(1)底面是多邊形；

(2)側(cè)面都是三角形；

(3)側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn).(1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；

(2)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；(3)各側(cè)面為梯形.分類(lèi)棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐……由幾棱錐截得的就叫幾棱臺(tái)，例如，由三棱錐截得的棱臺(tái)叫三棱臺(tái).3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺(tái)球定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.相關(guān)概念(1)軸：旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面.

(4)母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.(1)軸：旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面：直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面.

(4)母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線

(5)頂點(diǎn)：母線的交點(diǎn).(1)上底面：原圓錐的截面.

(2)下底面：原圓錐的底面.

(3)軸：上、下底面圓心的連線所在的直線.

(4)側(cè)面：原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面.

(5)母線：原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分.(1)球心：半圓的圓心.

(2)半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段.

(3)直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段.圖形及表示圓柱OO'圓錐SO圓臺(tái)OO'球O結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱兩個(gè)底面是圓面而不是圓.

(2)圓柱有無(wú)數(shù)條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(1)底面是圓面.

(2)有無(wú)數(shù)條母線，長(zhǎng)度相等且交于頂點(diǎn).

(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.

(2)有無(wú)數(shù)條母線，等長(zhǎng)且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).

(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過(guò)軸

的截面(軸截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(diǎn)(球心)的距離等于定長(zhǎng)(半徑)的所有點(diǎn)的集合.

(2)球的截面都是圓面.棱柱與圓柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體，棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體.4．簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡(jiǎn)單組合體的定義由柱體、錐體、臺(tái)體、球等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.

(2)簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式

①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.②由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.

(3)常見(jiàn)的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個(gè)四棱柱挖去一個(gè)三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(2)中幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(3)中幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成.5．正方體的截面形狀的探究通過(guò)嘗試、歸納，有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形中至少有一組對(duì)邊平行.

(3)截面可以是五邊形，且此時(shí)五邊形必有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形，且此時(shí)六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對(duì)應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【考點(diǎn)1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征】【例1.1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺(tái)【解題思路】根據(jù)常見(jiàn)幾何體的基本特征判斷各選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺(tái)或組合圖形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；對(duì)于D，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：C.【例1.2】（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．多面體至少有5個(gè)面D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【解題思路】根據(jù)多面體、棱柱和棱臺(tái)的定義判斷即可.【解答過(guò)程】A選項(xiàng)：各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但若是各側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：多面體是指四個(gè)或四個(gè)以上多邊形所圍成的立體，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故D正確.故選：D.【變式1.1】（2023下·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（

）A．五棱錐 B．三棱臺(tái)C．三棱柱 D．四棱錐【解題思路】根據(jù)棱錐和棱柱的特征逐個(gè)求解其棱數(shù)進(jìn)行判斷【解答過(guò)程】因?yàn)槲謇忮F有10條棱，三棱臺(tái)有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐，故選：A.【變式1.2】（2023下·遼寧鐵嶺·高一?？计谀┧欣忾L(zhǎng)均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐，則所得棱臺(tái)的高為（

）A．463 B．263 C．【解題思路】利用小三棱錐和大三棱錐的比例求解即可.【解答過(guò)程】

如圖，根據(jù)題意可得所得棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，該棱臺(tái)的高等于大正三棱錐的高的23設(shè)大正三棱錐的高為DH，則：BH=因?yàn)榇笳忮F的高為:DH=D所以該棱臺(tái)的高為23故選：A.【考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【例2.1】（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）下列命題正確的是（

）A．以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面D．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑【解題思路】根據(jù)圓錐、圓柱、圓臺(tái)的特點(diǎn)判斷各選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，根據(jù)圓錐的特點(diǎn)，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故A正確；對(duì)于B，以直角梯形的直角腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓柱、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面，而圓錐只有一個(gè)底面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.故選：A.【例2.2】（2023下·河北張家口·高一?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)D．過(guò)球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓【解題思路】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即可.【解答過(guò)程】以矩形的一條對(duì)角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳A錐的頂點(diǎn)與底面圓心連線垂直底面，所以圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線可以構(gòu)成直角三角形，故B正確；用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)球面上兩點(diǎn)是球的直徑的端點(diǎn)時(shí)，過(guò)這兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：B.【變式2.1】（2023上·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谥校┌岩粋€(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓錐母線在圓臺(tái)中的部分）長(zhǎng)為12，則原圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．16 B．18 C．20 D．22【解題思路】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為CDAB=1設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)相似比可得CDAB=ED即原圓錐的母線長(zhǎng)為16.故選：A.【變式2.2】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長(zhǎng)SA為4，若小蟲(chóng)P從點(diǎn)A開(kāi)始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲(chóng)爬行的最短距離為（

）A．25 B．23 C．42【解題思路】將錐體側(cè)面展開(kāi)為扇形，先求出所得扇形圓心角，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，求最短路徑.【解答過(guò)程】由題意，底面圓的直徑AB＝2，故底面周長(zhǎng)等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得2π＝4nπ180，解得n＝所以展開(kāi)圖中∠PSC＝90°，故PC＝25，所以小蟲(chóng)爬行的最短距離為25.故選：A.【考點(diǎn)3簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征】【例3.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的簡(jiǎn)單組合體的組成是（

）A．棱柱、棱臺(tái) B．棱柱、棱錐C．棱錐、棱臺(tái) D．棱柱、棱柱【解題思路】直接觀察,即可出答案.【解答過(guò)程】由圖知，簡(jiǎn)單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選：B.【例3.2】（2022上·北京·高二校考階段練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【解題思路】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.【解答過(guò)程】當(dāng)截面ABCD如下圖為軸截面時(shí)，截面圖形如（1）所示；當(dāng)截面ABCD如下圖不為軸截面時(shí)，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀；故選：D.【變式3.1】（2023上·四川·高二校聯(lián)考期中）如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為310，底面邊長(zhǎng)為6，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為22，A，B，C是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點(diǎn)，則BC=（

A．2 B．3 C．2 D．5【解題思路】過(guò)點(diǎn)B，C作垂直于正四棱錐底面的截面，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理和三角形相似，求解即可.【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)B，C作垂直于正四棱錐底面的截面，如圖所示，由題意可得DE=310因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為6，所以EF=62，DG=HI的長(zhǎng)度為正四棱柱底面正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度，即HI=4，JA因?yàn)镠A'EG=D因?yàn)锽JHA'=DJ故選：C.【變式3.2】（2023下·河南商丘·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個(gè)面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)【解題思路】根據(jù)幾何體的形狀逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【解答過(guò)程】據(jù)圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個(gè)面，B不正確；該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)，D正確．故選：B.【考點(diǎn)4平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【例4.1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)；③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)逐一判斷即可.【解答過(guò)程】①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯(cuò)；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺(tái)，故②錯(cuò)；③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯(cuò)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球，故④正確．故選：B.【例4.2】（2022下·廣東珠?！じ咭恍？茧A段練習(xí)）銅錢(qián)又稱(chēng)方孔錢(qián)，是古代錢(qián)幣最常見(jiàn)的一種．如圖所示為清朝時(shí)的一枚“嘉慶通寶”，由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個(gè)球B．一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球挖去一個(gè)正方體【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可得正確的選項(xiàng).【解答過(guò)程】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球，而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱，故選：B.【變式4.1】（2023下·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某工廠生產(chǎn)的一種機(jī)器零件原胚的直觀圖是一個(gè)中空的圓臺(tái)，中空部分呈圓柱形狀，且圓柱底面圓心與圓臺(tái)底面圓心重合，該零件原胚可由下面圖形繞對(duì)稱(chēng)軸（直線l）旋轉(zhuǎn)而成，這個(gè)圖形是（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程即可得出選項(xiàng).【解答過(guò)程】根據(jù)零件原胚的直觀圖可知，中空部分呈圓柱形狀，而圓柱形狀由矩形旋轉(zhuǎn)形成，圓臺(tái)由梯形旋轉(zhuǎn)形成，分析四個(gè)選項(xiàng)，A項(xiàng)，旋轉(zhuǎn)后圓臺(tái)；C項(xiàng)，旋轉(zhuǎn)后圓臺(tái)；D項(xiàng)，球體中挖去一個(gè)小球；故選：B.【變式4.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的平面軸對(duì)稱(chēng)圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，下面說(shuō)法不正確的是()

A．該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體B．該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱(chēng)C．該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)D．該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程，逐項(xiàng)判斷，即可得出選項(xiàng).【解答過(guò)程】將該幾何體繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，該組合體是由圓臺(tái)、圓柱、圓錐和球，半球組成的，由此A選項(xiàng)錯(cuò)誤故選A.模塊二模塊二簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長(zhǎng)，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長(zhǎng)，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺(tái)正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺(tái)側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長(zhǎng)，h'為斜高)，S正棱臺(tái)表=S正棱臺(tái)側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺(tái)的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺(tái)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，S圓臺(tái)側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見(jiàn)求法(1)常見(jiàn)的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問(wèn)題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相減.4．球的截面(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿(mǎn)足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.5．幾何體與球的切、接問(wèn)題常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：【考點(diǎn)1多面體的表面積與體積】【例1.1】（2023上·河北衡水·高三校考階段練習(xí)）O,O1分別為正四棱臺(tái)ABCD-A1BA．22 B．62 C．76【解題思路】分別算出上下底面面積，結(jié)合高以及棱臺(tái)體積公式運(yùn)算即可.【解答過(guò)程】由題意可知上、下底面的面積、高分別為S1所以正四棱臺(tái)的體積為V=1故選：C.【例1.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知體積為36π的球O與正四面體P1-A1B1A．13 B．33 C．3 D【解題思路】設(shè)球O的半徑為R，根據(jù)球O的體積為36π，求得半徑R，設(shè)正四面體P1-A1B1C1的棱長(zhǎng)為aa>0，易得正四面體的高h(yuǎn)=63a，利用等體積法求得棱長(zhǎng)，將正四面體P2-【解答過(guò)程】解：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的體積為36π，所以43πR設(shè)正四面體P1-A1B所以該正四面體的體積VP又VP所以212a3=3a2如圖所示，易知正方體的內(nèi)切球即與正四面體P2-因?yàn)榍騉的半徑R=3，所以正方體的棱長(zhǎng)為6，則正四面體P2-A所以SP故選：D．【變式1.1】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)半徑為A．3 B．33 C．6 D．【解題思路】利用正三棱柱外接球的性質(zhì)得到a,h的關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式即可得解.【解答過(guò)程】解法一：設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a3，故又三棱柱的側(cè)面積S=3ah，所以S2當(dāng)h=2時(shí)，等號(hào)成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3ah最大值為3解法二：設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a因?yàn)閍23+當(dāng)且僅當(dāng)a=62，h=2時(shí)，等號(hào)成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3ah故選：B.【變式1.2】（2023上·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谥校┱嗝骟w被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（

）

A．618 B．69 C．612【解題思路】利用四棱錐體積公式，可得正八面體的體積，再根據(jù)正三角形面積公式可得正八面體的表面積.【解答過(guò)程】

如圖所示，連接AC，EF∩AC=O，則四邊形ABCD為正方形，且EO⊥平面ABCD，由正八面體可知，AB=BC=EA=EC=2，則AC=22，EO=所以V=2V表面積S=8S所以VS故選：B.【考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積】【例2.1】（2023下·陜西西安·高一期中）兩個(gè)球表面積的比為1:4，則體積的比為（

）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不確定【解題思路】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.【解答過(guò)程】設(shè)兩球的半徑分別為r1，r∵表面積之比S1S2=4∴體積之比V1故選：C.【例2.2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為26π，則該圓臺(tái)的體積為（

A．76π3 B．383π3 C【解題思路】利用圓臺(tái)的表面積公式求得母線長(zhǎng)，進(jìn)而求得圓臺(tái)的高，從而利用圓臺(tái)的體積公式即可得解.【解答過(guò)程】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l．高為h．所以π×12所以h=l所以該圓臺(tái)的體積V=13×故選：D．【變式2.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐PO中，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個(gè)圓錐PO1和一個(gè)圓臺(tái)O1O，若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18A．12 B．14 C．23【解題思路】根據(jù)體積之比可得半徑之比，即可根據(jù)圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積的公式即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)圓錐PO1,PO的底面圓半徑分別為r,R因?yàn)閂PO1VPO=即R=2r，L=2l.所以SP故選：D.【變式2.2】（2023上·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）某圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（

）A．2π B．3π C．23【解題思路】由題意作圖，根據(jù)圓錐與圓柱的幾何性質(zhì)，可得到答案.【解答過(guò)程】由題意作圖如下：由題設(shè)可知該圓錐的高PO=h=23該圓柱的底面半徑為OF=r，由△PDC～△PAB，則CDAB=PQPO故該圓柱的側(cè)面積S=2π當(dāng)x=3時(shí)，側(cè)面積S取得最大值2故選：C.【考點(diǎn)3球的截面問(wèn)題】【例3.1】（2023上·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構(gòu)成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（

）A．13π B．52πC．20π D．36π【解題思路】根據(jù)球中截面圓的性質(zhì)，結(jié)合錐體體積公式即可求解半徑，進(jìn)而由球表面積公式求解.【解答過(guò)程】設(shè)平面截得截面圓的半徑為r，球半徑為R,所以2=R所以外接球的表面積為4π故選：B.【例3.2】（2023上·上海閔行·高二?？计谀┤鐖D，已知平面α截球O所得截面圓的半徑為3，該球面的點(diǎn)到平面α的最大距離為3，則球O的體積為（

）

A．4π3 B．8π3 C．【解題思路】根據(jù)條件求出球O的半徑即可.【解答過(guò)程】依題意得：截面圓半徑r=3，設(shè)球O的半徑為R，則球心O到截面圓的距離d=3-R如圖，由勾股定理得：R2=3-R2+33故選：D.【變式3.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐P-ABC滿(mǎn)足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點(diǎn)，且AD=3DC，球O為三棱錐P-ABC的外接球，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π，則球O的表面積為（

A．72π B．86π C．112π D．128π【解題思路】先找到外接球球心，過(guò)BC的中點(diǎn)M作OM//PA，則OM⊥平面ABC，取OM=12PA，則O為P-ABC外接球球心，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，最大的截面過(guò)球心，最小的截面是過(guò)D且與OD【解答過(guò)程】如圖，M是BC邊中點(diǎn)，E是AC邊中點(diǎn)，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，

作OM//PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，AM,MD?平面ABC，∴OM⊥AM,OM⊥MD，取OM=12PA∴O是三棱錐P-ABC的外接球的球心.E是AC中點(diǎn)，則ME//AB，ME=12AB=3，∵AD=3DC，∴ED=14AC=2，設(shè)PA=2a，則OM=a，OD2=O∴OA過(guò)D且與OD垂直的截面圓半徑為r，則r=O這是最小的截面圓半徑，最大的截面圓半徑等于球半徑OA，∴πOA2OA2=故選：D.【變式3.2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積S=2πRH，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個(gè)半徑為R的球體被平面所截獲得兩個(gè)球缺，其高之比為H1H2A．12 B．85 C．2011【解題思路】由球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑，從而求出表面積，可解此題.【解答過(guò)程】∵H1H2=2，H1+∴S1故選：B.【考點(diǎn)4幾何體與球的切、接問(wèn)題】【例4.1】（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）如圖：三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，球心位于上下底面所在的兩個(gè)平行平面之間，AA1=B

(1)求三棱臺(tái)ABC-A(2)計(jì)算球O的體積．【解題思路】（1）點(diǎn)O1,O2分別是正△ABC和△A1B1C1的中心，球的半徑為R，且O1（2）在Rt△OO1A中，OO1【解答過(guò)程】（1）如圖

設(shè)點(diǎn)O1,O2分別是正△ABC和△A1B1C在等邊△ABC中，由AB=3，得A同理，得A1如下圖，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥A1O2，則在△A所以正三棱臺(tái)ABC-A1B1CO1所以MN=372，所以正三棱臺(tái)ABC-A

正三棱臺(tái)ABC-A1B又因?yàn)檎馀_(tái)ABC-A12所以正三棱臺(tái)ABC-A1B（2）在Rt△OO1即OO12+1=R即3-OO12所以球O的體積為：V=4【例4.2】（2022上·四川·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為2cm

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積V；(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.【解題思路】（1）求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而去除圓柱的體積，相減即可答案；（2）結(jié)合第一問(wèn)得到內(nèi)切球半徑，求出內(nèi)切球體積，再根據(jù)將三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榈酌嫒切蔚倪呴L(zhǎng)分別為3cm，4cm，由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm，4又因?yàn)槿庵鵄BC-A1B所以V

設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r=2圓柱體積VO所以剩下的幾何體的體積V=(12-2（2）由（1）可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為1cm則內(nèi)切球球的體積V=4直三棱柱ABC-A1B它的外接球的球半徑R滿(mǎn)足2R=32所以，該直三棱柱的外接球的表面積為S=4π【變式4.1】（2023上·上海浦東新·高二校考期中）如圖，已知球O的表面積為900π，ABCD-(1)若AB=12，BC=9，求球心O到平面ABCD的距離：(2)若ABCD-A1【解題思路】（1）由球的表面積可得半徑R，又球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，則直徑等于體對(duì)角線，進(jìn)而可側(cè)棱長(zhǎng)，即可求解；（2）根據(jù)外接球得2a2【解答過(guò)程】（1）由球O的表面積為900π=4πR2即2R=(12)2+因?yàn)榍蛭婚L(zhǎng)方體的外接球，則球心即為長(zhǎng)方體的中心；則球心O到平面ABCD的距離為AA（2）ABCD-A1B1C1D則2R=a2+S側(cè)當(dāng)且僅當(dāng)2a2=即b=152，a=15則V=a×a×b=15×15×152【變式4.2】（2022下·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1(1)若該長(zhǎng)方體被過(guò)頂點(diǎn)A，B1，D(2)若該長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，求球O的體積和表面積.【解題思路】（1）利用柱體和錐體的體積公式即可求解；（2）根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度，即可求出外接圓半徑，再結(jié)合球的表面積和體積公式即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為V長(zhǎng)三棱錐的體積為VA-所以剩余部分的體積為V=2-（2）由題可知球O為長(zhǎng)方體的外接球，則球O的半徑R=1故球O的體積為V球球O的表面積：S=4π模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023上·新疆·高二八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列幾何體中為圓柱的是（）A．

B．

C．

D．

【解題思路】結(jié)合幾何體的特征逐個(gè)判斷即可.【解答過(guò)程】易得A為圓錐，B為圓柱，C為棱臺(tái)，D為球．故選：B．2．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【解題思路】根據(jù)圓柱，棱柱，棱臺(tái)，棱錐的定義進(jìn)行判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，而以矩形的一條對(duì)角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若棱柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；對(duì)于C，如圖所示，若AB=AC=CD=BD=4，BC=AD=3，滿(mǎn)足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面BCD不是正三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).若截面與底面不平行，則不是梭臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（

）A． B． C． D．【解題思路】將A、B、C、D選項(xiàng)圖形繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)可知A選項(xiàng)符合題意.【解答過(guò)程】此幾何體自上向下是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.4．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓錐的高為3，若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐的表面積為（

）A．6π B．63π C．9π D【解題思路】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算出圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)，可求圓錐的表面積.【解答過(guò)程】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示，由已知O1D=1,SO因?yàn)镾O=3，所以圓錐底面圓半徑AO=SO?tan30°則圓錐的表面積為S=π故選：C．5．（2023下·廣東深圳·高一?？计谥校┤鐖D所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎(jiǎng)杯，該幾何體由（

）A．一個(gè)球、一個(gè)四棱柱、一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成B．一個(gè)球、一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)棱臺(tái)構(gòu)成C．一個(gè)球、一個(gè)四棱臺(tái)、一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成D．一個(gè)球、一個(gè)五棱柱、一個(gè)校臺(tái)構(gòu)成【解題思路】根據(jù)組合體基本構(gòu)成即可得答案.【解答過(guò)程】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)球、一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)棱臺(tái)構(gòu)成.故選：B.6．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）若正五邊形ABCDE的中心為O，以AO所在的直線為軸，其余五邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則（

）A．該幾何體為圓臺(tái)B．該幾何體是由圓臺(tái)和圓錐組合而成的簡(jiǎn)單組合體C．該幾何體為圓柱D．該幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的簡(jiǎn)單組合體【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念判斷即可.【解答過(guò)程】由題意可知形成如圖的幾何體，

該幾何體是由圓臺(tái)和圓錐組合而成的簡(jiǎn)單組合體.故選：B.7．（2023上·湖南衡陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為1km，峰底A到峰頂S的距離為4km，B是山坡SA的中點(diǎn).為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（A．2km B．3km C．25【解題思路】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，即可根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得∠A'【解答過(guò)程】以SA為分界線，將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，可得其展開(kāi)圖如圖.則從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑為線段A'B，lA過(guò)S作SP⊥A'B因?yàn)锳'B=4故選:D.8．（2023·河南·信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，AB=6,A1B1=2，圖1中液面高度恰好為棱臺(tái)高度的一半，圖2中液面高度為棱臺(tái)高度的34，若圖1和圖2中溶液體積分別為A．34 B．3839 C．1 D【解題思路】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，列出兩個(gè)等式，相除即可得到本題答案.【解答過(guò)程】設(shè)四棱臺(tái)的高度為h，在圖1中，中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為5，則V1所以V1故選：D.9．（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為20π的球O上，點(diǎn)A在平面BCD的射影是線段BC的中點(diǎn)，AB=BC=23，則平面BCD被球O截得的截面面積為（A．23π BC．4π D．【解題思路】分別找出△BCD和△ABC的外接圓圓心F和H，通過(guò)過(guò)F作平面BCD的垂線，過(guò)H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐A-BCD外接球球心O，再通過(guò)幾何關(guān)系求出△BCD外接圓半徑，即可求其被球O截得的圓的面積．【解答過(guò)程】設(shè)BC中點(diǎn)為E，∵點(diǎn)A在平面BCD的射影是線段BC的中點(diǎn)E，∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形．取AC中點(diǎn)為G，連接BG交AE于H，則H是△ABC外心．連接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，則F為△BCD外心．過(guò)F作平面BCD的垂線，過(guò)H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐A-BCD外接球球心O，則四邊形OHEF是矩形，OF=HE=1連接OB，BF，設(shè)△BCD外接圓半徑FD=BF=r，設(shè)球O半徑為OB=R．∵球O的表面積為20π，∴4∴在Rt△OBF中，r=BF=R∴平面BCD被球O截得的截面面積πr故選：C.10．（2023上·山東青島·高三?？计谥校┤鐖D，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1=2，AC=BC=1A．81π16 B．6π C．243【解題思路】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.【解答過(guò)程】因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，AC=BC=1，所以△ABC的外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)O1，且A設(shè)A1B1的中點(diǎn)為E，連接O1E