第07講 空間幾何體初步(人教A版2019必修第二冊)(解析版)_第1頁
第07講 空間幾何體初步(人教A版2019必修第二冊)(解析版)_第2頁
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文檔簡介

第07講空間幾何體初步【人教A版2019】·模塊一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征·模塊二簡單幾何體的表面積與體積·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對于空間中的物體,如果只考慮其形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如,一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.(2)定理的實質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體:一般地,由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面:圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱:兩個面的公共邊叫做多面體的棱,如圖中棱AA',棱BB'等.

④多面體的頂點:棱與棱的公共點叫做多面體的頂點,如圖中頂點A,B,A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體:一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個旋轉(zhuǎn)體,它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸:平面曲線旋轉(zhuǎn)時所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.相關(guān)概念(1)底面(底):兩個互相平行的面;

(2)側(cè)面:其余各面;

(3)側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊;

(4)頂點:側(cè)面與底面的公共頂點.(1)底面(底):多邊形面;

(2)側(cè)面:有公共頂點的各個三角形面;

(3)側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊;

(4)頂點:各側(cè)面的公共頂點.(1)上底面:原棱錐的截面;

(2)下底面:原棱錐的

底面.

(3)側(cè)面:其余各面.

(4)側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊;

(5)頂點:側(cè)面與底面的公共頂點.圖形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱錐S-ABCD(或四棱錐S-AC)棱臺ABCD-A'B'C'D'結(jié)構(gòu)特征(1)底面互相平行且全等;

(2)側(cè)面都是平行四邊形;

(3)側(cè)棱都相等,且互相平行.(1)底面是多邊形;

(2)側(cè)面都是三角形;

(3)側(cè)面有一個公共頂點.(1)上、下底面互相平行,且是相似圖形;

(2)各側(cè)棱的延長線交于一點;(3)各側(cè)面為梯形.分類棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱,例如,三棱柱、四棱柱……棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐,例如,三棱錐、四棱錐……由幾棱錐截得的就叫幾棱臺,例如,由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.3.圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺球定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺.半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.相關(guān)概念(1)軸:旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面:平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面.

(4)母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.(1)軸:旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面:直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面.

(4)母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,斜邊都叫做圓錐的母線

(5)頂點:母線的交點.(1)上底面:原圓錐的截面.

(2)下底面:原圓錐的底面.

(3)軸:上、下底面圓心的連線所在的直線.

(4)側(cè)面:原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面.

(5)母線:原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分.(1)球心:半圓的圓心.

(2)半徑:連接球心和球面上任意一點的線段.

(3)直徑:連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段.圖形及表示圓柱OO'圓錐SO圓臺OO'球O結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.

(2)圓柱有無數(shù)條母線,圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面,過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(1)底面是圓面.

(2)有無數(shù)條母線,長度相等且交于頂點.

(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面,過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.

(2)有無數(shù)條母線,等長且延長線交于一點.

(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面,過軸

的截面(軸截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面,所以球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面.另外,球面也可看成空間中,到定點(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點的集合.

(2)球的截面都是圓面.棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體,棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體,棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.4.簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡單組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

(2)簡單組合體的構(gòu)成形式

①由簡單幾何體拼接而成,如圖(1)所示.②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成,如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體:圖(1)中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體:圖(2)中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體:圖(3)中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.5.正方體的截面形狀的探究通過嘗試、歸納,有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形:等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時,這個四邊形中至少有一組對邊平行.

(3)截面可以是五邊形,且此時五邊形必有兩組分別平行的邊,同時有兩個角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形,且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【考點1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征】【例1.1】(2023·全國·高一隨堂練習(xí))下列命題正確的是(

)A.有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B.有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體是棱錐C.有兩個面平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺【解題思路】根據(jù)常見幾何體的基本特征判斷各選項即可.【解答過程】對于A,有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱,可能是棱臺或組合圖形,故A錯誤;對于B,有一個面是多邊形,其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐,故B錯誤;對于C,根據(jù)棱柱的定義,有兩個面平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱,故C正確;對于D,用一個平行于底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺,故D錯誤.故選:C.【例1.2】(2023上·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí))下列說法正確的是(

)A.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B.有2個面平行,其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C.多面體至少有5個面D.六棱柱有6條側(cè)棱,6個側(cè)面,側(cè)面均為平行四邊形【解題思路】根據(jù)多面體、棱柱和棱臺的定義判斷即可.【解答過程】A選項:各側(cè)面都是正方形的四棱柱,可以是底面為菱形的直棱柱,不一定是正方體,故A錯;B選項:有2個面平行,其余各面都是梯形,但若是各側(cè)棱的延長線不能交于一點,則該幾何體不是棱臺,故B錯;C選項:多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體,故C錯;D選項:根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側(cè)棱,6個側(cè)面,側(cè)面均為平行四邊形,故D正確.故選:D.【變式1.1】(2023下·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習(xí))下列幾何體中,棱數(shù)最多的是(

)A.五棱錐 B.三棱臺C.三棱柱 D.四棱錐【解題思路】根據(jù)棱錐和棱柱的特征逐個求解其棱數(shù)進行判斷【解答過程】因為五棱錐有10條棱,三棱臺有9條棱,三棱柱有9條棱,四棱錐有8條棱,所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐,故選:A.【變式1.2】(2023下·遼寧鐵嶺·高一??计谀┧欣忾L均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2的正三棱錐,則所得棱臺的高為(

)A.463 B.263 C.【解題思路】利用小三棱錐和大三棱錐的比例求解即可.【解答過程】

如圖,根據(jù)題意可得所得棱臺為正三棱臺,該棱臺的高等于大正三棱錐的高的23設(shè)大正三棱錐的高為DH,則:BH=因為大正三棱錐的高為:DH=D所以該棱臺的高為23故選:A.【考點2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【例2.1】(2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中)下列命題正確的是(

)A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑【解題思路】根據(jù)圓錐、圓柱、圓臺的特點判斷各選項即可.【解答過程】對于A,根據(jù)圓錐的特點,以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐,故A正確;對于B,以直角梯形的直角腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺,故B錯誤;對于C,圓柱、圓臺都有兩個底面,而圓錐只有一個底面,故C錯誤;對于D,圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長,故D錯誤.故選:A.【例2.2】(2023下·河北張家口·高一??茧A段練習(xí))下列說法中正確的是(

)A.圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B.圓錐的頂點?圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形C.用一平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺D.過球上任意兩點,有且僅有一個大圓【解題思路】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項判斷即可.【解答過程】以矩形的一條對角線為軸,旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱,故A錯誤;因為圓錐的頂點與底面圓心連線垂直底面,所以圓錐的頂點?圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線可以構(gòu)成直角三角形,故B正確;用一平行底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺,故C錯誤;當球面上兩點是球的直徑的端點時,過這兩點的大圓有無數(shù)個,故D錯誤.故選:B.【變式2.1】(2023上·上海徐匯·高二位育中學(xué)校考期中)把一個圓錐截成圓臺,已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4,母線(原圓錐母線在圓臺中的部分)長為12,則原圓錐的母線長為(

)A.16 B.18 C.20 D.22【解題思路】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【解答過程】由題意可得,幾何體如下圖所示:取軸截面可知,圓臺的上、下底面半徑的比為CDAB=1設(shè)圓錐的母線長為l,根據(jù)相似比可得CDAB=ED即原圓錐的母線長為16.故選:A.【變式2.2】(2022下·高一課時練習(xí))如圖,圓錐的底面圓直徑AB為2,母線長SA為4,若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C,則小蟲爬行的最短距離為(

)A.25 B.23 C.42【解題思路】將錐體側(cè)面展開為扇形,先求出所得扇形圓心角,再根據(jù)兩點間線段距離最短,求最短路徑.【解答過程】由題意,底面圓的直徑AB=2,故底面周長等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°,根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π=4nπ180,解得n=所以展開圖中∠PSC=90°,故PC=25,所以小蟲爬行的最短距離為25.故選:A.【考點3簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征】【例3.1】(2023·高一課時練習(xí))如圖所示的簡單組合體的組成是(

)A.棱柱、棱臺 B.棱柱、棱錐C.棱錐、棱臺 D.棱柱、棱柱【解題思路】直接觀察,即可出答案.【解答過程】由圖知,簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選:B.【例3.2】(2022上·北京·高二校考階段練習(xí))如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面,下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體,現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體,則截面圖形可能是(

)A.(2)(5) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(1)(5)【解題思路】應(yīng)用空間想象,討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.【解答過程】當截面ABCD如下圖為軸截面時,截面圖形如(1)所示;當截面ABCD如下圖不為軸截面時,截面圖形如(5)所示,下側(cè)為拋物線的形狀;故選:D.【變式3.1】(2023上·四川·高二校聯(lián)考期中)如圖,這是某同學(xué)繪制的素描作品,圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成,正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面,正四棱錐的側(cè)棱長為310,底面邊長為6,正四棱柱的底面邊長為22,A,B,C是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點,則BC=(

A.2 B.3 C.2 D.5【解題思路】過點B,C作垂直于正四棱錐底面的截面,根據(jù)題意,結(jié)合勾股定理和三角形相似,求解即可.【解答過程】過點B,C作垂直于正四棱錐底面的截面,如圖所示,由題意可得DE=310因為正四棱錐的底面邊長為6,所以EF=62,DG=HI的長度為正四棱柱底面正方形對角線的長度,即HI=4,JA因為HA'EG=D因為BJHA'=DJ故選:C.【變式3.2】(2023下·河南商丘·高一校聯(lián)考階段練習(xí))某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息,如圖,每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體,則下列結(jié)論不正確的是(

A.該幾何體的面是等邊三角形或正方形B.該幾何體恰有12個面C.該幾何體恰有24條棱D.該幾何體恰有12個頂點【解題思路】根據(jù)幾何體的形狀逐個選項判斷即可.【解答過程】據(jù)圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形,A正確;該幾何體恰有14個面,B不正確;該幾何體恰有24條棱,C正確;該幾何體恰有12個頂點,D正確.故選:B.【考點4平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【例4.1】(2022·高一課時練習(xí))下列敘述中,正確的個數(shù)是(

)①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺;③用一個平面去截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺;④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球.A.0 B.1 C.2 D.3【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的知識逐一判斷即可.【解答過程】①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐,故①錯;②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺,故②錯;③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,可得到一個圓錐和一個圓臺,用不平行于圓錐底面的平面不能得到,故③錯;④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球,故④正確.故選:B.【例4.2】(2022下·廣東珠?!じ咭恍?茧A段練習(xí))銅錢又稱方孔錢,是古代錢幣最常見的一種.如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”,由一個圓和一個正方形組成,若繞旋轉(zhuǎn)軸(虛線)旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體是(

)A.一個球B.一個球挖去一個圓柱C.一個圓柱D.一個球挖去一個正方體【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可得正確的選項.【解答過程】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球,而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱,故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸(虛線)旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱,故選:B.【變式4.1】(2023下·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,某工廠生產(chǎn)的一種機器零件原胚的直觀圖是一個中空的圓臺,中空部分呈圓柱形狀,且圓柱底面圓心與圓臺底面圓心重合,該零件原胚可由下面圖形繞對稱軸(直線l)旋轉(zhuǎn)而成,這個圖形是(

)A. B.C. D.【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形成過程即可得出選項.【解答過程】根據(jù)零件原胚的直觀圖可知,中空部分呈圓柱形狀,而圓柱形狀由矩形旋轉(zhuǎn)形成,圓臺由梯形旋轉(zhuǎn)形成,分析四個選項,A項,旋轉(zhuǎn)后圓臺;C項,旋轉(zhuǎn)后圓臺;D項,球體中挖去一個小球;故選:B.【變式4.2】(2023·高一課時練習(xí))如圖所示,是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形,若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體,下面說法不正確的是()

A.該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B.該組合體仍然關(guān)于軸l對稱C.該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D.該組合體中的球和半球只有一個公共點【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形成過程,逐項判斷,即可得出選項.【解答過程】將該幾何體繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體,該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球,半球組成的,由此A選項錯誤故選A.模塊二模塊二簡單幾何體的表面積與體積1.多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形,

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長,h為高),

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積,h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形,S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長,h'為斜高),S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積,h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形,S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長,h'為斜高),S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積,h為棱臺的高)2.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,S圓柱側(cè)=2πrl,表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積,h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,S圓錐側(cè)=πrl,表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積,h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán),S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l,

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積,h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3.空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法:直接代入公式求解.

②等體積法:四面體的任何一個面都可以作為底面,只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法:將幾何體補成易求解的幾何體,如棱錐補成棱柱,三棱柱補成四棱柱等.

④分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題,首先應(yīng)弄清它的組成部分,其表面有哪些底面和側(cè)面,各個面的面積應(yīng)該怎樣求,然后根據(jù)公式求出各個面的面積,最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分,求出各簡單幾何體的體積,再相加或相減.4.球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時,截面的半徑即球的半徑,此時球的截面就是球的大圓;

②當截面不過球心時,截面的半徑小于球的半徑,此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面;

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式:.

圖形解釋如下:

在球的軸截面圖中,截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R,以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r,OO'=d.則在Rt△OO'C中,有,即.5.幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種:一種是內(nèi)切球,另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案:【考點1多面體的表面積與體積】【例1.1】(2023上·河北衡水·高三??茧A段練習(xí))O,O1分別為正四棱臺ABCD-A1BA.22 B.62 C.76【解題思路】分別算出上下底面面積,結(jié)合高以及棱臺體積公式運算即可.【解答過程】由題意可知上、下底面的面積、高分別為S1所以正四棱臺的體積為V=1故選:C.【例1.2】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知體積為36π的球O與正四面體P1-A1B1A.13 B.33 C.3 D【解題思路】設(shè)球O的半徑為R,根據(jù)球O的體積為36π,求得半徑R,設(shè)正四面體P1-A1B1C1的棱長為aa>0,易得正四面體的高h=63a,利用等體積法求得棱長,將正四面體P2-【解答過程】解:設(shè)球O的半徑為R,因為球O的體積為36π,所以43πR設(shè)正四面體P1-A1B所以該正四面體的體積VP又VP所以212a3=3a2如圖所示,易知正方體的內(nèi)切球即與正四面體P2-因為球O的半徑R=3,所以正方體的棱長為6,則正四面體P2-A所以SP故選:D.【變式1.1】(2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點均在同一個半徑為A.3 B.33 C.6 D.【解題思路】利用正三棱柱外接球的性質(zhì)得到a,h的關(guān)系式,從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式即可得解.【解答過程】解法一:設(shè)正三棱柱底面邊長為a,高為h,底面外接圓的半徑為r,則2r=asin60°=2a3,故又三棱柱的側(cè)面積S=3ah,所以S2當h=2時,等號成立,則三棱柱的側(cè)面積S=3ah最大值為3解法二:設(shè)正三棱柱底面邊長為a,高為h,底面外接圓的半徑為r,則2r=asin60°=2a因為a23+當且僅當a=62,h=2時,等號成立,則三棱柱的側(cè)面積S=3ah故選:B.【變式1.2】(2023上·上海黃浦·高二格致中學(xué)??计谥校┱嗝骟w被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖,該幾何體是一個棱長為2的正八面體,則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為(

A.618 B.69 C.612【解題思路】利用四棱錐體積公式,可得正八面體的體積,再根據(jù)正三角形面積公式可得正八面體的表面積.【解答過程】

如圖所示,連接AC,EF∩AC=O,則四邊形ABCD為正方形,且EO⊥平面ABCD,由正八面體可知,AB=BC=EA=EC=2,則AC=22,EO=所以V=2V表面積S=8S所以VS故選:B.【考點2旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積】【例2.1】(2023下·陜西西安·高一期中)兩個球表面積的比為1:4,則體積的比為(

)A.1:2 B.1:4C.1:8 D.不確定【解題思路】由表面積的比得到半徑之比,再得到體積之比.【解答過程】設(shè)兩球的半徑分別為r1,r∵表面積之比S1S2=4∴體積之比V1故選:C.【例2.2】(2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1,3,其表面積為26π,則該圓臺的體積為(

A.76π3 B.383π3 C【解題思路】利用圓臺的表面積公式求得母線長,進而求得圓臺的高,從而利用圓臺的體積公式即可得解.【解答過程】設(shè)圓臺的母線長為l.高為h.所以π×12所以h=l所以該圓臺的體積V=13×故選:D.【變式2.1】(2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中)如圖,在圓錐PO中,用一個平行于底面的平面去截圓錐PO,可得一個圓錐PO1和一個圓臺O1O,若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18A.12 B.14 C.23【解題思路】根據(jù)體積之比可得半徑之比,即可根據(jù)圓錐和圓臺的側(cè)面積的公式即可求解.【解答過程】設(shè)圓錐PO1,PO的底面圓半徑分別為r,R因為VPO1VPO=即R=2r,L=2l.所以SP故選:D.【變式2.2】(2023上·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末)某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形,在該圓錐中內(nèi)接一個圓柱,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為(

)A.2π B.3π C.23【解題思路】由題意作圖,根據(jù)圓錐與圓柱的幾何性質(zhì),可得到答案.【解答過程】由題意作圖如下:由題設(shè)可知該圓錐的高PO=h=23該圓柱的底面半徑為OF=r,由△PDC~△PAB,則CDAB=PQPO故該圓柱的側(cè)面積S=2π當x=3時,側(cè)面積S取得最大值2故選:C.【考點3球的截面問題】【例3.1】(2023上·天津河?xùn)|·高三??茧A段練習(xí))用與球心O距離為2的平面截球,所得截面與球心O構(gòu)成的圓錐的體積為6π,則球的表面積為(

)A.13π B.52πC.20π D.36π【解題思路】根據(jù)球中截面圓的性質(zhì),結(jié)合錐體體積公式即可求解半徑,進而由球表面積公式求解.【解答過程】設(shè)平面截得截面圓的半徑為r,球半徑為R,所以2=R所以外接球的表面積為4π故選:B.【例3.2】(2023上·上海閔行·高二??计谀┤鐖D,已知平面α截球O所得截面圓的半徑為3,該球面的點到平面α的最大距離為3,則球O的體積為(

A.4π3 B.8π3 C.【解題思路】根據(jù)條件求出球O的半徑即可.【解答過程】依題意得:截面圓半徑r=3,設(shè)球O的半徑為R,則球心O到截面圓的距離d=3-R如圖,由勾股定理得:R2=3-R2+33故選:D.【變式3.1】(2023上·高二課時練習(xí))已知三棱錐P-ABC滿足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是線段AC上一點,且AD=3DC,球O為三棱錐P-ABC的外接球,過點D作球O的截面,若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π,則球O的表面積為(

A.72π B.86π C.112π D.128π【解題思路】先找到外接球球心,過BC的中點M作OM//PA,則OM⊥平面ABC,取OM=12PA,則O為P-ABC外接球球心,過點D作球O的截面,最大的截面過球心,最小的截面是過D且與OD【解答過程】如圖,M是BC邊中點,E是AC邊中點,∵AB⊥AC,∴M是△ABC的外心,

作OM//PA,∵PA⊥平面ABC,∴OM⊥平面ABC,AM,MD?平面ABC,∴OM⊥AM,OM⊥MD,取OM=12PA∴O是三棱錐P-ABC的外接球的球心.E是AC中點,則ME//AB,ME=12AB=3,∵AD=3DC,∴ED=14AC=2,設(shè)PA=2a,則OM=a,OD2=O∴OA過D且與OD垂直的截面圓半徑為r,則r=O這是最小的截面圓半徑,最大的截面圓半徑等于球半徑OA,∴πOA2OA2=故選:D.【變式3.2】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)一個球體被平面截下的一部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直徑被截后,剩下的線段長叫做球缺的高,球缺曲面部分的面積S=2πRH,其中R為球的半徑,H為球缺的高.如圖,若一個半徑為R的球體被平面所截獲得兩個球缺,其高之比為H1H2A.12 B.85 C.2011【解題思路】由球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑,從而求出表面積,可解此題.【解答過程】∵H1H2=2,H1+∴S1故選:B.【考點4幾何體與球的切、接問題】【例4.1】(2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末)如圖:三棱臺ABC-A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上,球心位于上下底面所在的兩個平行平面之間,AA1=B

(1)求三棱臺ABC-A(2)計算球O的體積.【解題思路】(1)點O1,O2分別是正△ABC和△A1B1C1的中心,球的半徑為R,且O1(2)在Rt△OO1A中,OO1【解答過程】(1)如圖

設(shè)點O1,O2分別是正△ABC和△A1B1C在等邊△ABC中,由AB=3,得A同理,得A1如下圖,過點A作AP⊥A1O2,則在△A所以正三棱臺ABC-A1B1CO1所以MN=372,所以正三棱臺ABC-A

正三棱臺ABC-A1B又因為正三棱臺ABC-A12所以正三棱臺ABC-A1B(2)在Rt△OO1即OO12+1=R即3-OO12所以球O的體積為:V=4【例4.2】(2022上·四川·高二??茧A段練習(xí))如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,其高為2cm

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面,挖去一個圓柱,求剩余部分幾何體的體積V;(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.【解題思路】(1)求出三棱柱的體積,得到三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑,進而去除圓柱的體積,相減即可答案;(2)結(jié)合第一問得到內(nèi)切球半徑,求出內(nèi)切球體積,再根據(jù)將三棱柱補形為長方體得到外接球半徑,求出外接球的表面積.【解答過程】(1)因為底面三角形的邊長分別為3cm,4cm,由勾股定理逆定理可知:底面三角形為直角三角形,兩直角邊分別為3cm,4又因為三棱柱ABC-A1B所以V

設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,則r=2圓柱體積VO所以剩下的幾何體的體積V=(12-2(2)由(1)可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為1cm則內(nèi)切球球的體積V=4直三棱柱ABC-A1B它的外接球的球半徑R滿足2R=32所以,該直三棱柱的外接球的表面積為S=4π【變式4.1】(2023上·上海浦東新·高二校考期中)如圖,已知球O的表面積為900π,ABCD-(1)若AB=12,BC=9,求球心O到平面ABCD的距離:(2)若ABCD-A1【解題思路】(1)由球的表面積可得半徑R,又球為長方體的外接球,則直徑等于體對角線,進而可側(cè)棱長,即可求解;(2)根據(jù)外接球得2a2【解答過程】(1)由球O的表面積為900π=4πR2即2R=(12)2+因為球位長方體的外接球,則球心即為長方體的中心;則球心O到平面ABCD的距離為AA(2)ABCD-A1B1C1D則2R=a2+S側(cè)當且僅當2a2=即b=152,a=15則V=a×a×b=15×15×152【變式4.2】(2022下·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中)如圖,在長方體ABCD-A1(1)若該長方體被過頂點A,B1,D(2)若該長方體的所有頂點都在球O的球面上,求球O的體積和表面積.【解題思路】(1)利用柱體和錐體的體積公式即可求解;(2)根據(jù)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線長度,即可求出外接圓半徑,再結(jié)合球的表面積和體積公式即可求解.【解答過程】(1)因為長方體的體積為V長三棱錐的體積為VA-所以剩余部分的體積為V=2-(2)由題可知球O為長方體的外接球,則球O的半徑R=1故球O的體積為V球球O的表面積:S=4π模塊三模塊三課后作業(yè)1.(2023上·新疆·高二八一中學(xué)校考階段練習(xí))下列幾何體中為圓柱的是()A.

B.

C.

D.

【解題思路】結(jié)合幾何體的特征逐個判斷即可.【解答過程】易得A為圓錐,B為圓柱,C為棱臺,D為球.故選:B.2.(2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)??寄M預(yù)測)下列關(guān)于空間幾何體的敘述,正確的是(

)A.圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形,那它一定是正棱錐D.用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【解題思路】根據(jù)圓柱,棱柱,棱臺,棱錐的定義進行判斷.【解答過程】對于A,以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱,而以矩形的一條對角線為軸,旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱,故A錯誤;對于B,若棱柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形,則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直,則側(cè)棱與底面垂直,此時棱柱一定是直棱柱,故B正確;對于C,如圖所示,若AB=AC=CD=BD=4,BC=AD=3,滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形,但此時底面BCD不是正三角形,故C錯誤;對于D,用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.若截面與底面不平行,則不是梭臺,故D錯誤.故選:B.3.(2023下·高一課時練習(xí))能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是(

)A. B. C. D.【解題思路】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)可知A選項符合題意.【解答過程】此幾何體自上向下是由一個圓錐和一個圓臺構(gòu)成,是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選:A.4.(2023上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí))已知圓錐的高為3,若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1,則該圓錐的表面積為(

)A.6π B.63π C.9π D【解題思路】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面,由已知數(shù)據(jù)計算出圓錐底面半徑和母線長,可求圓錐的表面積.【解答過程】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示,由已知O1D=1,SO因為SO=3,所以圓錐底面圓半徑AO=SO?tan30°則圓錐的表面積為S=π故選:C.5.(2023下·廣東深圳·高一校考期中)如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯,該幾何體由(

)A.一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成B.一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成C.一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成D.一個球、一個五棱柱、一個校臺構(gòu)成【解題思路】根據(jù)組合體基本構(gòu)成即可得答案.【解答過程】由圖可知,該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.故選:B.6.(2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末)若正五邊形ABCDE的中心為O,以AO所在的直線為軸,其余五邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個幾何體,則(

)A.該幾何體為圓臺B.該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體C.該幾何體為圓柱D.該幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的簡單組合體【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的概念判斷即可.【解答過程】由題意可知形成如圖的幾何體,

該幾何體是由圓臺和圓錐組合而成的簡單組合體.故選:B.7.(2023上·湖南衡陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖是一坐山峰的示意圖,山峰大致呈圓錐形,峰底呈圓形,其半徑為1km,峰底A到峰頂S的距離為4km,B是山坡SA的中點.為了發(fā)展當?shù)芈糜螛I(yè),現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路,當公路長度最短時,公路距山頂?shù)淖罱嚯x為(A.2km B.3km C.25【解題思路】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖,即可根據(jù)弧長公式可得∠A'【解答過程】以SA為分界線,將圓錐的側(cè)面展開,可得其展開圖如圖.則從點A到點B的最短路徑為線段A'B,lA過S作SP⊥A'B因為A'B=4故選:D.8.(2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖,兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液,AB=6,A1B1=2,圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半,圖2中液面高度為棱臺高度的34,若圖1和圖2中溶液體積分別為A.34 B.3839 C.1 D【解題思路】根據(jù)棱臺的體積公式,列出兩個等式,相除即可得到本題答案.【解答過程】設(shè)四棱臺的高度為h,在圖1中,中間液面四邊形的邊長為4,在圖2中,中間液面四邊形的邊長為5,則V1所以V1故選:D.9.(2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)??茧A段練習(xí))三棱錐A-BCD的四個頂點都在表面積為20π的球O上,點A在平面BCD的射影是線段BC的中點,AB=BC=23,則平面BCD被球O截得的截面面積為(A.23π BC.4π D.【解題思路】分別找出△BCD和△ABC的外接圓圓心F和H,通過過F作平面BCD的垂線,過H作平面ABC的垂線,兩垂線的交點即為三棱錐A-BCD外接球球心O,再通過幾何關(guān)系求出△BCD外接圓半徑,即可求其被球O截得的圓的面積.【解答過程】設(shè)BC中點為E,∵點A在平面BCD的射影是線段BC的中點E,∴AE⊥平面BCD,AE⊥BC,∴AB=AC,又∵AB=BC,∴△ABC是等邊三角形.取AC中點為G,連接BG交AE于H,則H是△ABC外心.連接ED,在ED上取F,使得FD=2EF,則F為△BCD外心.過F作平面BCD的垂線,過H作平面ABC的垂線,兩垂線的交點即為三棱錐A-BCD外接球球心O,則四邊形OHEF是矩形,OF=HE=1連接OB,BF,設(shè)△BCD外接圓半徑FD=BF=r,設(shè)球O半徑為OB=R.∵球O的表面積為20π,∴4∴在Rt△OBF中,r=BF=R∴平面BCD被球O截得的截面面積πr故選:C.10.(2023上·山東青島·高三??计谥校┤鐖D,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,AA1=2,AC=BC=1A.81π16 B.6π C.243【解題思路】由條件確定球心位置,引入變量表示球的半徑,由此確定球的表面積及其最大值.【解答過程】因為△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=1,所以△ABC的外接圓的圓心為AB的中點O1,且A設(shè)A1B1的中點為E,連接O1E

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