【大單元教學(xué)】魯教版2023年七年級(jí)大單元 代數(shù)部分 教學(xué)設(shè)計(jì)

七年級(jí)下冊(cè)代數(shù)部分大單元教學(xué)研訓(xùn)

數(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)之一，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量

關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石，可以幫助學(xué)生

從數(shù)量的角度清晰準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

初中階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域包含“數(shù)與式””方程與不等

式”和“函數(shù)”三個(gè)主題。在六年級(jí)及七年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)中，

學(xué)生已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)及它們的四則運(yùn)算、代數(shù)式、一元一次

方程、一次函數(shù)等內(nèi)容。七年級(jí)下冊(cè)代數(shù)部分包括二元一次

方程組（第七章）和一元一次不等式與一元一次不等式組（第

十一章）。

第一部分二元一次方程組

一、《課標(biāo)》要求：

1.探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用方程、函數(shù)進(jìn)

行表述的方法，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí).

2.初步學(xué)會(huì)在具體的情境中能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問

題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意

識(shí)，提高實(shí)踐能力.

3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組，體會(huì)方程

是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.

4.掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組和簡(jiǎn)單的

5.體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，會(huì)利用待定系數(shù)

法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.

二'學(xué)情分析

在六年級(jí)及七年級(jí)上冊(cè)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程和一次函

數(shù)的相關(guān)知識(shí)，初步感受了方程的模型作用，并積累了一些利用方程

解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn).在此基礎(chǔ)上，本章將進(jìn)一步研究二元一次方程

組的有關(guān)概念、解法和應(yīng)用等，它是一元一次方程的繼續(xù)和發(fā)展，同

時(shí)又是今后學(xué)習(xí)線性方程組及平面解析幾何等知識(shí)的基礎(chǔ)，因此，本

章的學(xué)習(xí)將使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程的模型思想，感受代數(shù)方法的優(yōu)越

性，同時(shí)也將有助于鞏固有理數(shù)、整式的運(yùn)算、一元一次方程等知識(shí).

二、教材分析

本章共5節(jié)。第1節(jié)二元一次方程：通過豐富的實(shí)例，建立二元

一次方程和二元一次方程組，觀察歸納出有關(guān)概念，并從中體會(huì)方程

的模型思想；第2節(jié)解二元一次方程組：通過具體實(shí)例總結(jié)出二元一

次方程組的兩種基本方法：代入消元法和加減消元法；第3節(jié)二元一

次方程組的應(yīng)用：再次根據(jù)問題情境，進(jìn)行列二元一次方程組解決實(shí)

際問題的訓(xùn)練。使學(xué)生在列方程組的建模過程中，強(qiáng)化方程的模型思

想，培養(yǎng)列方程解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)和能力，在實(shí)際問題的解決過程

中提高學(xué)生的解題技能；第4節(jié)二元一次方程與一次函數(shù)，通過對(duì)二

元一次方程、二元一次方程組與一次函數(shù)關(guān)系的討論，建立方程與函

數(shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從“圖形”的角度看待二元一次方程和二元一次

方程組，并通過待定系數(shù)法，利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表

達(dá)式；第5節(jié)三元一次方程組的基本解法為選學(xué)內(nèi)容，是對(duì)解二元一

次方程組的拓展提升。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組的過程，體會(huì)方程的模型

思想，發(fā)展學(xué)生靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良

好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

2.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念，會(huì)解簡(jiǎn)單的二元一次方程組

（數(shù)字系數(shù)）；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解

決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并能檢驗(yàn)解的合理性.

3.體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程、二元一次方程組的關(guān)系，會(huì)利用待

定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.

4.了解解二元一次方程組和三元一次方程組的“消元”思想，從而初

步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問題為簡(jiǎn)單問題的化歸思想.

三、教學(xué)重難點(diǎn)

1.理解“消元”思想，會(huì)用代入消元法和加減消元法解二元一次方程

組；

2、能利用二元一次方程組解決實(shí)際問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題

的能力；

3、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的解。

4、能利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式。

四'知識(shí)盤點(diǎn)

（一）定義

1、二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次

數(shù)都是1的方程.

注意：判斷一個(gè)方程是否是二元一次方程，有時(shí)需先將方程變形,

將其轉(zhuǎn)化為ax+by=c（其中a,b,c是常數(shù)，且a≠0,b≠0）的形式再判

斷.

2、二元一次方程組：共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成

的一組方程.

注意：整個(gè)方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)，而不是每個(gè)方程都必

須含有兩個(gè)未知數(shù).

3、二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的

值.

4、二元一次方程組的解:二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解.

注意：一般情況下，二元一次方程的解有無數(shù)組，二元一次方

程組的解只有一組.

驗(yàn)證：將一組數(shù)值分別代入方程的兩邊，看兩邊的值是否相等，

若相等，則這組數(shù)值是方程組的解，否則不是。

（二）代入消元法

1、定義：將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代

數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，從消元而消去一個(gè)未知數(shù)，化

二元一次方程組為一元一次方程，這種解方程組的方法稱為代入消元

法。

2、步驟：一變、二代、三求、四回代、五再求、六寫解

（三）加減消元法

1、定義：通過將兩個(gè)方程相加（誠(chéng)）消去其中一個(gè)未知數(shù)，將二元一

次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，這種解二元一次方程組的方法叫

作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.。

2、步驟：觀察系數(shù)定方法、加減轉(zhuǎn)化為一元、解出相應(yīng)未知數(shù)、代

入求解另一未知數(shù)、寫出方程組的解

（四）二元一次方程組的應(yīng)用

1、列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟

審清題意，找出問題中

的兩個(gè)等也關(guān)系

審___L

設(shè)出兩個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)

設(shè)

根據(jù)問題中的兩個(gè)

等斌關(guān)系.列出二

元一次方程組

列二元一次'l列

方程組解應(yīng)

解方程組.得出

用題的步驟

未知I數(shù)的值

解

IJ

檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值

是否符合實(shí)際意義

.驗(yàn)../------------------

,____,寫出答案（包括單位名稱）

答---------------------

2、題型歸納

題型等量關(guān)系

⑴雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=頭數(shù)；

雞兔同籠

⑵雞的只數(shù)義2+兔的只數(shù)X4=腳的只數(shù).

⑴兩數(shù)和=較大的數(shù)+較小的數(shù)；

和差倍分

⑵較大的數(shù)=較小的數(shù)X倍數(shù)土多（或少）的數(shù)

如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于

配套問題

乙產(chǎn)品數(shù)的a倍，即甲產(chǎn)品數(shù)∕a=乙產(chǎn)品數(shù)/b

⑴銷售額=售價(jià)×銷量⑵利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)

銷售問題⑶總利潤(rùn)=總銷售額-總成本=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）義銷量（4）打折后的價(jià)格=

原價(jià)義折數(shù)又1/10

順流速度=靜水速度+水流速度；

逆流速度=靜水速度-水流速度；

行船問題

順流路程=順流速度×順流時(shí)間；

逆流路程=逆流速度×逆流時(shí)間.

速度時(shí)間路程

甲XtXt

相遇問題

乙ytyt

等量關(guān)系路程之和等于總路程：s=xt+yt

速度時(shí)間路程

追及問題甲XtXt

乙ytyt

等量關(guān)系路程之差等于相距的路程：s=∣xt-yt∣

_S平路IS坡路

f_S坡路IS平路

上下坡問題,甲→乙一十,乙→甲一l-

V平路V上坡V下坡V平路

(1)求解數(shù)字問題時(shí)一般采用間接設(shè)元法，即通常設(shè)組成這個(gè)多位數(shù)的

各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字.

⑵一個(gè)三位數(shù),百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,個(gè)位數(shù)字是C,則這個(gè)三位

數(shù)字問題

數(shù)可表示為100a+10b+c.

(3)設(shè)X是一個(gè)兩位數(shù),y是一個(gè)三位數(shù)，若將X放在y的左邊得到一個(gè)

五位數(shù)，則這個(gè)五位數(shù)可表示為1000x+y.

(五)二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

(1)二元一次方程kχ-y+b=O(k≠0)與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是---

對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)一次函數(shù)，反之亦

然。

(2)二元一次方程kχ-y+b=0(kH0)的解與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)

圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的。

(3)一般地，以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與相

應(yīng)的一次函數(shù)的圖象相同，是一條直線。

(六)二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

⑴一般地，從圖象的角度看，確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，相當(dāng)于求

相應(yīng)的二元一次方程組的解；解一個(gè)二元一次方程組相當(dāng)于確定相應(yīng)

兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)。

⑵如果二元一次方程組無解，那么對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象平行

(無交點(diǎn))；如果二元一次方程組有一組解，那么對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)

的圖象相交(有一個(gè)交點(diǎn))；如果二元一次方程組有無數(shù)個(gè)解，那么

對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象重合(有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)).

(七)待定系數(shù)法

(1)設(shè)出函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b;

(2)把已知條件代入，得到關(guān)于k,b的方程組

(3)解方程組，求出k,b的值；

(4)將k,b的值代入并寫出函數(shù)表達(dá)式.

五、考點(diǎn)精析

例1:已知方程(*3)/+/-8=°是關(guān)于x、y的二元一次方程，

求m、n的值.

解析：由題意，得nT=l,且m-3≠0,m2-8=1,

解得n=2,m=-3.

易錯(cuò)分析：解答此題時(shí)，容易只注意X,y的次數(shù)為1,而忽略了X

的系數(shù)不為零，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

?2x-y=-1L

例2:用代入法解二元一次方程組」3y=3.

解：由①得y=2x+ll,③

把③代入②，得4x+3(2x+ll)=3,解得x=-3,

把x=-3代入③，得y=5,

?X=Z=-3

，原方程組的解為Iv-S

3(x-l)=4(y-4)

例3：用加減法解二元一次方程組

I5(y-l)=3(x+5)

3x-4y=-13①

解：化簡(jiǎn)整理得:

3x-5y=-20②

由①-②得:y=7,

把y=7代入①得x=5.

LX=5

由此可得二元一次方程組的解為Y

Lγ=7

【歸納拓展】

①代入消元法是將其中的一個(gè)方程寫成“y=”或“X=”的形式，并把

它代入另一個(gè)方程，得到一個(gè)關(guān)于X或y的一元一次方程求得X或y

值.

②加減消元法是通過兩個(gè)方程兩邊相加(或相減)消去一個(gè)未知數(shù)，

把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

^^2a+b,3Λ_6..a-h

例4：若3xyΛ和4x)的和是單項(xiàng)式，則a+b=()0

2a+b=6①

解：根據(jù)題意得:

a-b=3②

由①+②得3a=9

a=3

把a(bǔ)=3代入①得：b=0

所以a+b=3

3x-y=5,12x+3y=-4,

例5:已知關(guān)于x,y的方程組l^+5by=-22和［ax-by=S

有相同解，求相a)b的值.

解：因?yàn)閮山M方程組有相同的解，所以可得方程組

3x-y=S∫4aχ+5by=-22.fχ=l

(1)Mx+3y=-4;和(2)IaX-by=8解方程組(1)得&=々(3)

Na-I的=-22,(a=Z

(4

把(3)代入方程組(2)得：I"%=&解得N=3,

所以(-a)b=(-2)3=-8.

點(diǎn)撥：

因?yàn)閮蓚€(gè)方程組有相同的解，所以只要將兩個(gè)方程組重組，

將不含有a,b的兩個(gè)方程聯(lián)立，組成新的方程組，求出X和y的值,

再代入含有a,b的兩個(gè)方程中，解關(guān)于a,b的方程組即可得出a,

b的值.

例6：A、B兩碼頭相距140km,一艘輪船在其間航行，順?biāo)叫?/p>

用了7h,逆水航行用了10h.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速

度.

解：設(shè)輪船在靜水中的速度為Xkm/h,水流速度為ykm/h,根據(jù)題

意得：

?+y)=m∫x=17.

10(x-yj=μa解得卜三；

所以這艘輪船在靜水中的速度為17km/h,水流速度為3km/h.

點(diǎn)撥：

解本題的關(guān)鍵是找到順?biāo)俣?、逆水速度和船在靜水中的速

度、水流速度之間的關(guān)系，再結(jié)合公式“路程=速度義時(shí)間”列方程

組.

例7：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b和y

Lfcr=7-A

=mx+n的圖象相交于點(diǎn)(2,-1),則關(guān)于x、y的方程組；叩+”了的

X=2

例8：如圖所示，已知點(diǎn)A(6,0)、點(diǎn)B(0,2).

(1)求直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若C為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AOBC的面積為3時(shí)，試求點(diǎn)C的

坐標(biāo).

解：(1)設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k≠0),

,6Jt+?=0t-^3

根據(jù)題意，得解得b=2

1

.??直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為a

(2)VB(0,2),/.OB=2.

又???△()BC的面積為3,

Λ?0BC中OB邊上的高為3

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-3或3.

當(dāng)x=-3時(shí)，y=3;當(dāng)x=3時(shí)，y=1

；?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,3)或(3,1)。

x+y=l?

<y+z=6

例9：解方程組lz+x=3?

中考鏈接：（2021年泰安中考14題）

《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半

而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何？”其大

意是：“今有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢，若乙把其一半的

錢給甲，則甲的錢數(shù)為50；而甲把其的錢給乙，則乙的錢數(shù)也為50o

問甲、乙各有多少錢？”設(shè)甲的錢數(shù)為X,乙的錢數(shù)為y,根據(jù)題意,

可列方程組為O

第二部分

一元一次不等式與一元一次不等式組

一、《課標(biāo)》要求：

1.體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過程，理解不等式；掌握

必要的運(yùn)算技能；探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用不

等式進(jìn)行表述的方法.

2.通過用不等式表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型思想，建立符號(hào)

意識(shí).

3.初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，

并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，

提高實(shí)踐能力.

4.結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì).

5.能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集;

會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集.

6.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)

單的問題.

二'學(xué)情分析：

學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組

和一次函數(shù)，開始研究簡(jiǎn)單的不等關(guān)系。通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初

步體會(huì)到生活中量與量之間的關(guān)系是眾多而且復(fù)雜的，面對(duì)大量的同

類量，最容易想到的就是它們有大小之分。并且學(xué)生已初步經(jīng)歷了建

立方程模型和函數(shù)關(guān)系解決一些實(shí)際問題的“數(shù)學(xué)化”過程，為分析

量與量之間的關(guān)系積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，以此為基礎(chǔ)展開不等式的學(xué)

習(xí)，順理成章.

三、教材分析

本章共6節(jié)。第1節(jié)不等關(guān)系：用實(shí)例引入，使學(xué)生在歸納的過

程中認(rèn)識(shí)不等式模型，體會(huì)到生活中的不等關(guān)系大量存在，并初步建

立用不等式模型解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的應(yīng)用意識(shí).第2節(jié)不等式的基本

性質(zhì)：類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷類比

猜想、嘗試、歸納、得出結(jié)論的合情推理過程，探索不等式的三條基

本性質(zhì)，使學(xué)生能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化.第3節(jié)不等式的解集：

用實(shí)例引入，在建立不等式之后研究其解集及數(shù)軸表示，讓學(xué)生結(jié)合

實(shí)際意義來理解不等式的解集，并引導(dǎo)學(xué)生感受不等式的解與方程的

解的異同.第4節(jié)一元一次不等式：經(jīng)歷認(rèn)識(shí)一元一次不等式的概念、

求解一元一次不等式，以及應(yīng)用一元一次不等式的過程，逐步積累數(shù)

學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).第5節(jié)一元一次不等式與一次函數(shù)：研究一元一次不等

式與一次函數(shù)的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的綜合認(rèn)識(shí)，建立數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)

部知識(shí)之間的聯(lián)系，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并運(yùn)用這種聯(lián)系解決一些

簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).第6節(jié)一元一次不等式組：

將解一元一次不等式組的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式的問題，再借

助數(shù)軸確定其解集。

四'教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷將一些實(shí)際問題抽象為不等式的過程，進(jìn)一步體會(huì)模型思

想，建立符號(hào)意識(shí).

2.結(jié)合具體問題，了解不等式的意義.

3.探索并掌握不等式的基本性質(zhì).

4.理解不等式（組）的解及解集的含義；會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等

式，并能在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集；會(huì)解一元一次不等式

組，并會(huì)用數(shù)軸確定其解集.

5.通過用數(shù)軸表示不等式（組）的解的過程，發(fā)展幾何直觀.

6.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)

單的實(shí)際問題，并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理，

發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

7.初步體會(huì)不等式、方程、函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.

8.進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.

五、教學(xué)重難點(diǎn)

1、掌握不等式的基本性質(zhì)，能熟練的運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)

行不等式的變形;

2、能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集;

3、會(huì)用不等式和數(shù)軸兩種方法確定不等式的解集；

4、會(huì)利用數(shù)軸求一元一次不等式組的解集；

5、能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)

單的問題。

六、知識(shí)盤點(diǎn)

（一）不等式

定義：用不等號(hào)（>,<,W）連接而成的式子叫作不等式.

注意：判斷一個(gè)式子是否為不等式，關(guān)鍵是看所給的式子是否含

有不等號(hào)，與不等式是否成立無關(guān)。

列不等式的意義：列不等式就是用不等式表示代數(shù)式之間的不等

關(guān)系.

列不等式的步驟：1、分析題意，找出題中的各種量；2、弄清各

種量之間的不等關(guān)系；3、用代數(shù)式表示各種量；4、用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)

將具有不等關(guān)系的量連接起來.

基本語言與符號(hào)表示

1、若X是正數(shù),則x>02、若X是負(fù)數(shù),則x<0.

3、若X是非負(fù)數(shù)，貝IJXNO4、若X是非正數(shù)，則XWO

5、若X大于y,則x>y6、若X小于y,則x<y.

7、若X不大于y,則XWy8、若X不小于y,則x》y.

9、若x,y同號(hào)，則xy>O,（或x∕y>O）

（二）不等式的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)L不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方

向不變.用字母表示：如果a>b,那么a±c>b±c;如果a<b,那

么a±c<b±c.

基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的

a>b

方向不變.用字母表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc或（Cc）

a<b

如果a<b,c>0,那么ac<bc或（CC）

基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的

a<b

方向改變.用字母表示：如果a>b,cV0,那么acVbc或（CC）

a>b

如果a<b,c>0,那么ac<bc或（CC）

其他性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：若a>b,則bVa.

（2）傳遞性：若a>b,且b>c,則a>c.

（3）相加法則：若a>b,c>d,則a+c>b+d.

（4）相減法則：若a>b,c<d,則a-c>b-d.

（5）相乘法則，若a>b>O.c>d>O,則ac>bd.

（三）不等式組的解集

1、概念：解一一能使不等式成立的未知數(shù)的值，稱為這個(gè)不等式的

解.

解集一一把一個(gè)不等式的解的全體稱為這個(gè)不等式的解集.

解不等式一一求不等式的解集的過程叫作解不等式.

2、不等式的解集在數(shù)軸上的表示:

Γx>aΓx<a:Γx>a：Γx<a

(α>δ)?,x>b：--l-?--<--6----:I--Ix<bJIx>6

X宇式組一廠

x>ax<b無解

的解集b<x<a

----—-----------------------------X......................................J--

3、不等式組的解集在數(shù)軸上的表示:

「不等式國(guó)Γx>aΓx<aΓx>a

(0>6)??x>btx<b受工?ri

.示箏式始一…14

；'x>ax<b無解

的解集b<x<a

-------—----

藪軸：廠一工二~-T一

口人.■—I

表示baba?Ξ

------------~FF?j

巧記大大小小大小小大

;同大取大同小取小

口訣無處找

4、一元一次不等式的解法

變形名稱具體做法依據(jù)

不等式的基

去分母不等式兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)

本性質(zhì)2、3

分配律、去括

去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)

號(hào)法則

把含未知數(shù)的項(xiàng)都移到不等號(hào)的左邊，常數(shù)項(xiàng)都移到不等式的基

移項(xiàng)

不等號(hào)右邊本性質(zhì)1

合并同類合并同類項(xiàng)

同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變

項(xiàng)法則

在不等式的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(或乘以未知數(shù)

不等式的基

系數(shù)化為1系數(shù)的倒數(shù))，將不等式化為“xVa(x≤a)”或"x

本性質(zhì)2、3

>a(x≥a)”

5、一元一次不等式與一次函數(shù)

(1)不等式kx+b>O(k≠0)的解集一直線y=kx+b(k≠0)在X軸上

方的部分所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍.

(2)不等式kx+b<O(k≠0)的解集<=>直線y=kx+b(k≠0)在X軸下

方的部分所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍.

(3)不等式kx+b>a(k≠0)的解集=>直線y=kx+b(k≠0)在直線

y=a上方的部分所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍.

(4)不等式kx+b<a(k≠0)的解集u=>直線y=kx+b(k≠0)在直線

y=a下方的部分所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍.

(5)不等式kιx+bι>k2x+b2(kιk2≠0)的解集U≥?線y=kιx+bι(kι≠0)

在直線y=k2x+b2(k2≠O)上方的部分所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍.

(6)不等式k,x+b∣<k2x+b2(k∣k2≠0)的解集U>直線y=k,x+b1(k∣≠0)

在直線y=k2x+b2(k2WO)下方的部分所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍.

6、一元一次不等式組的應(yīng)用

(1)審：分析題目中的已知量、未知量及它們之間的關(guān)系，找出

題目中的不等關(guān)系.

(2)設(shè)：設(shè)出合適的未知數(shù).

(3)歹U：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出一元一次不等式組

(4)解：解不等式組，可以借助數(shù)軸，也可以用口訣.

(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的不等式組的解集是否符合題意及實(shí)際意

義.

(6)答：寫出答語，

注意:與列方程(組)解決實(shí)際問題一樣,列一元一次不等式組時(shí),

單位要統(tǒng)一.

七、考點(diǎn)精析

例1根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將3-2(X-I)<1化為“x>a”或

“xVa”的形式.

解析去括號(hào)，得3~2x+2<l,

合并同類項(xiàng)，得5-2χVl,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都減去5,得-2x04,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都除以-2,得x>2.

例2小明距書店8km,他上午8:30出發(fā)，以15km∕h

的速度行駛了Xh之后又以18km/h的速度行駛，結(jié)

果在9:00前趕到了書店，請(qǐng)列出不等式.

解析由題意，得15x+18(?x)>8

點(diǎn)撥根據(jù)實(shí)際情況，抓住關(guān)鍵詞語，弄清不等關(guān)

系，把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示

的不等式.

例2要使不等式?3x-a≤0的解集為XN1,那么a應(yīng)滿足什

么條件？

解析根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,得?3x≤a,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,得爐?不

,.'x≥1,g=1，解得a=-3.

點(diǎn)撥利用不等式的解集求字母值的方法：

(1)求出不等式的解集；

(2)根據(jù)不等式的解集的唯一性，得出關(guān)于字母的方程:

(3)求出字母的值.

例4解不等式2-3,并把此不等式的解集表示在如

圖所示的數(shù)軸上.

II111IIA

-3-2-10123

解：去分母，得3(x^~l)+622(2x+l),

去括號(hào)，得3x-3+624x+2,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-x>T,

系數(shù)化為1,得x≤l,

在數(shù)軸上表示不等式的解集，如圖所示：

_Illi---1---------

-3-2-10123

點(diǎn)撥解一元一次不等式的一般步驟：1.去分母；2.去括號(hào)；3.

移項(xiàng)；4.合并同類項(xiàng)；5.系數(shù)化為1.它與解一元一次方程的步驟一

樣，只是解不等式時(shí)，將不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，要

改變不等號(hào)的方向.

2x-y=3m

例5已知關(guān)于X,y的二元一次方程組X-2y=6的解滿足X

+y>3,求滿足條件的m的取值范圍.

2x-y=3m,①

解：［x-2y=6,②

①-②，得x+y=3m-6,

Vx+y>3,Λ3m-6>3Λm>3.

點(diǎn)撥方程組的兩個(gè)方程相減表示出x+y,代入已知不等式即

可求出m的取值范圍.

例1如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，直線ty-kx-

Γj∏?y-^x÷2?ΓΛA<m.1）.

（1）求m的值和直線L的表達(dá)式：

（2）設(shè)直線