2023年高考數(shù)學一輪復習習題：第十章第2節(jié)　隨機抽樣

第2節(jié)隨機抽樣

考綱要求L理解隨機抽樣的必要性和重要性；2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;

了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.會用隨機抽樣的基本方法解決一些簡單的實際問題.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.簡單隨機抽樣

(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取"個個體作為樣本如

果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都也笠，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽

樣.

(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)定義：當總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出

的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.

(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟

假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.

①先將總體的N個個體編號；

②確定分段間隔k,對編號進行分段，當斗〃是樣本容量)是整數(shù)時，取Zd(否則，先剔除

一些個體)；

③在第I段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號/(/≤?);

④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將/加上間隔Z得到第2個個體編號0±四，再加々得

到第3個個體編號(/+2%),……，依次進行下去，直到獲取整個樣本.

3.分層抽樣

⑴定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取

一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

(2)應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

?——常用結(jié)論與微點提醒

1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的.

2.系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個體的編號相差分段間隔&的整數(shù)倍.

3.分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比.

診斷自測

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關(guān).()

(2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣?()

(3)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).()

(4)要從1002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，

這樣對被剔除者不公平.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

〉教材衍化

2.在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5(X)O名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200

名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析.在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()

A.總體B.個體

C.樣本的容量D.從總體中抽取的一個樣本

答案A

解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中每1名居民的閱讀時間

是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的

一個樣本，樣本容量是200.

3.一個公司共有N名員工，下設(shè)一些部門，要采用等比例分層抽樣的方法從全體員工中抽

取樣本容量為”的樣本，已知某部門有機名員工,那么從該部門抽取的員工人數(shù)是.

答案T

解析每個個體被抽到的概率是設(shè)這個部門抽取了X個員工，則方=￡，,X=等.

??考題體驗

4.(2020?上饒一模)總體由編號為00,01,02,…,48,49的5。個個體組成,利用下面的隨機

數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依

次選取兩個數(shù)字，則選出的第3個個體的編號為()

附：第6行至第9行的隨機數(shù)表如下：

26357900337091601620388277574950

32114919730649167677873399746732

27486198716441487086288885191620

7477Olll163024042979799196835125

A.3B.16C.38D.20

答案D

解析按隨機數(shù)表法，從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩

個數(shù)字,超出(M)?49及重復的不選，則編號依次為33,16,20,38,49,32,…,則選出的第3

個個體的編號為20,故選D.

5.(2021?鄭州調(diào)研)某校有高中生1500人，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法抽取50人作問卷調(diào)查，將高

一、高二、高三學生(高一、高二、高三分別有學生495人、490人、515人)按1,2,3,…，

1500編號，若第一組用簡單隨機抽樣的方法抽取的號碼為23,則所抽樣本中高二學生的人

數(shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

答案C

解析采用系統(tǒng)抽樣法從1500人中抽取50人，所以將1500人平均分成50組，每組30

人，并且在第一組抽取的號碼為23,所以第〃組抽取的號碼為即=23+（〃-1）義30=30"-7,

而高二學生的編號為496到985,所以496W30”-7≤985,又〃?N*,所以17≤"W33,則

共有17人，故選C.

6.（2018?全國川卷）某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異.為

了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽

樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是.

答案分層抽樣

解析因為不同年齡段的客戶對公司的服務評價有較大差異，所以需按年齡進行分層抽樣，

才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務的客觀評價.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一簡單隨機抽樣及其應用自主演練

1.下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是（）

A.在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號

碼的后四位為2709的為三等獎

B.某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是

否合格

C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構(gòu)改革

的意見

D.用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗

答案D

解析A,B不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡單隨機抽樣,

因為總體中的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣.故選D.

2.用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一

個體。“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是（）

I1r31

?-?θ-10B-IO-5

1?3?

c?5,ToD?IO,W

答案A

解析在抽樣過程中，個體。每一次被抽中的概率是相等的，因為總體容量為10,故個體

?！暗谝淮伪怀榈健钡目赡苄耘c“第二次被抽到”的可能性均為??,故選A.

3.（2021?南昌一模）總體由編號為01,02,…,19,20的20個個體組成,利用下面的隨機數(shù)表

選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取

兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

答案D

解析從第1行第5列和第6列組成的數(shù)65開始由左到右依次選出的數(shù)為08,02/4,07,01,

所以第5個個體編號為OL

感悟升華1.簡單隨機抽樣需滿足：（1）被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；（2）逐個抽?。唬?）

是不放回抽??；（4）是等可能抽取.

2.簡單隨機抽樣常有抽簽法（適用于總體中個體數(shù)較少的情況）、隨機數(shù)法（適用于個體數(shù)較

多的情況）.

考點二系統(tǒng)抽樣及其應用師生共研

【例1】（1）（2021.太原調(diào)研）某校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況,

將每個班編號，依次為1到24,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣法，抽取4個班進行調(diào)查，若抽到的最小編

號為3,則抽取的最大編號為（）

A.15B.18C.21D.22

（2）（2019全國I卷）某學校為了解IoOo名新生的身體素質(zhì),將這些學生編號為1,2,…，1000,

從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗.若46號學生被抽到，則

下面4名學生中被抽到的是（）

A.8號學生B.200號學生

C.616號學生D.815號學生

（3）中央電視臺為了解觀眾對某綜藝節(jié)目的意見，準備從502名現(xiàn)場觀眾中抽取10%進行座

談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進行分組時，需剔除個個體，抽樣間

隔為.

答案（I）C（2）C（3）210

24

解析（1）由已知得間隔數(shù)為Z=z^=6,則抽取的最大編號為3+（4—1）X6=21.

⑵根據(jù)題意，系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，

所以抽樣間隔為喘=10.

因為46除以10余6,所以抽到的號碼都是除以10余6的數(shù)，結(jié)合選項知應為616.故選C.

(3)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10,余數(shù)是2,所以每組有10名

觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時，應先用簡單隨機抽樣的方法從502名觀

眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號為1,2,3,…，500,

并均勻分成50段，每段含怨=10個個體.所以需剔除2個個體，抽樣間隔為10.

感悟升華1.如果總體容量N能被樣本容量”整除，則抽樣間隔為k=。否則，可隨機地

從總體中剔除余數(shù)，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，特別注意，每個個體被抽到的機會均是3

2.系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對應的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本

的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼.

【訓練1】(1)(2021?衡水調(diào)研)衡水中學高三⑵班現(xiàn)有64名學生，隨機編號為0,1,2,…,

63,依編號順序平均分成8組，組號依次為1,2,3,…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為

8的樣本，若在第一組中隨機抽取的號碼為5,則在第6組中抽取的號碼為.

(2)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若將運動員按成績由好到差編為1-35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在

區(qū)間［139,151］上的運動員人數(shù)是.

答案⑴45(2)4

解析(1)分組間隔為?6?4=8,：在第一組中隨機抽取的號碼為5,二在第6組中抽取的號碼

O

為5+5X8=45.

(2)依題意，可將編號為1?35號的35個數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個數(shù)據(jù)，從每組中抽取一

人.

成績在區(qū)間［139,151］上共有20個數(shù)據(jù)，分在4個小組內(nèi)，每組抽取1人，共抽取4人.

考點三分層抽樣及其應用多維探究

角度1求某層入樣的個體數(shù)

【例2】某電視臺在網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有

20000人，其中各種態(tài)度對應的人數(shù)如下表所示：

最喜愛喜愛一般不喜歡

4800720064001600

電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取IOO人進行詳細的調(diào)查，為此要進行

分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應抽取的人數(shù)分別為()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析法一因為抽樣比為王舐=上，所以每類人中應抽取的人數(shù)分別為480OX焉=

^?J?j?J?jΛ^?J?J^?J?J

24,720OX為=36,6400X^=32,1600X志=8.

^?J?∕乙Ii/1，乙

法二最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800：7200：6400：1600=6：9：8：2,

69

所以每類人中應抽取的人數(shù)分別為匚H口；XIoO=24,,,O,×100=36,

6十9十8十2λ6十o9十8十2o

8“2C

6+9+8+2×100=32>6+9+8+2×1°O-8?

角度2求總體或樣本容量

【例3】(l)(2021?東北三省四校聯(lián)考)某中學有高中生960人，初中生480人，為了了解學

生的身體狀況，采用分層抽樣的方法，從該校學生中抽取容量為〃的樣本，其中高中生有

24人，那么〃等于()

A.12B.18C.24D.36

(2)(2020?西安調(diào)研)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中

抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生

產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件.

答案(I)D(2)1800

24

解析(1)根據(jù)分層抽樣方法知QAC工n二C=急,解得〃=36.

VOUI4oUVOU

(2)由題設(shè)，抽樣比為焉磊.

設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品為X件，則高=50,.?.x=3000.

故乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為4800—3000=1800.

感悟升華1.求某層應抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.

2.已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式

進行計算.

樣本容量

3.分層抽樣的計算應根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=

總體容量

各層樣本數(shù)量,,

各層個體數(shù)量

【訓練2](1)(2020?郴州二模)已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分

別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取

30%的戶主進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()

A.240,18B.200,20C.240,20D.200,18

(2)(2021.合肥模擬)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分

別有40種，10種，30種，20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測，若

采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是.

答案(I)A(2)6

解析(1)樣本容量n=(250+150+400)×30%=240,抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為

150×30%×40%=18.

(2)抽樣比為水匚后為=｝則抽取的植物油類種數(shù)是10X：=2,抽取的果蔬類食品種

t

τχ√II?JIDUI∕ΛJJJ

數(shù)是20×∣=4,所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是2+4=6.

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2020?蘭州二模)某學校為響應“平安出行”號召，擬從2019名學生中選取50名學生加

入“交通志愿者”，若采用以下方法選取：先用簡單隨機抽樣方法剔除19名學生，剩下的

2000名再按照系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學生入選的概率()

A.不全相等B.均不相等

C.都相等，且為小D.都相等，且為湍ξ

答案D

解析先用簡單隨機抽樣方法剔除19名學生，剩下的2000名再按照系統(tǒng)抽樣的方法抽取,

則每名學生入選的概率相等，且為p=??j,故選D.

2.(2021.永州模擬)現(xiàn)從已編號(1?50)的50位同學中隨機抽取5位以了解他們的數(shù)學學習

狀況，用選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5位同學的編號可能是（）

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34

答案B

解析抽樣間隔為芋=10,只有選項B符合題意.

3?（2020?長春一模）完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家

庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會購買能力的某項指標；②從某中學的15名藝

術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學習負擔情況.宜采用的抽樣方法依次是（）

A.①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣

B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣

C.①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣

D.①②都用分層抽樣

答案B

4.在一個容量為N的總體中抽取容量為〃的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層

抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為0，pι,P3,則（）

A.P?=P2<P3B.P2=P3<P1

C.P∣=p3<"2D.Pl=P2=P3

答案D

解析由隨機抽樣的知識知，三種抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，故選D.

5?（2021?襄陽聯(lián)考）如圖是調(diào)查某學校高三年級男女學生是否喜歡數(shù)學的等高條形圖，陰影部

分的高表示喜歡數(shù)學的頻率.己知該年級男、女生各500名（所有學生都參加了調(diào)查），現(xiàn)從

所有喜歡數(shù)學的學生中按分層抽樣的方式抽取32人，則抽取的男生人數(shù)為（）

答案C

解析由題中等高條形圖可知喜歡數(shù)學的女生和男生的人數(shù)比為1：3,,所以抽取的男生人

數(shù)為24做選C.

6.某中學400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本，若用分層抽樣

方法，則40歲以下年齡段應抽?。ǎ?/p>

A.40人B.200人

C.20人D.10人

答案C

解析由圖知,40歲以下年齡段的人數(shù)為400×50%=200,若采用分層抽樣應抽取200

=20（Λ）.

7.為了解IoOo名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則

分段的間隔為（）

A.50B.40C.25D.20

答案C

解析由系統(tǒng)抽樣的定義知，分段間隔為曙=25.

8.某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分

層抽樣的方法進行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為4,b,c,且α,b,C構(gòu)

成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為（）

A.800雙B.IoOo雙

C.1200雙D.I500雙

答案C

解析因為a,b,C成等差數(shù)列，所以26=α+c,即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總

數(shù)的去根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占12月份生產(chǎn)總數(shù)的;,即為1200

雙皮靴.

二、填空題

9.某單位在崗職工共620人，為了調(diào)查工人用于上班途中的時間，決定抽取62名工人進行

調(diào)查，若采用系統(tǒng)抽樣方法將全體工人編號等距分成62段，再用簡單隨機抽樣法得到第1

段的起始編號為4,則第40段應抽取的個體編號為.

答案394

解析將620人的編號分成62段，每段10個編號，按系統(tǒng)抽樣，所抽取工人編號成等差數(shù)

列，因此第40段的編號為4+（40—I）XIo=394.

10.假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚鼠胺是否超標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取

60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，將800袋牛奶按OOO,001,…，799進行編號，

若從隨機數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀,則得到的第4個樣本個體的編號是（下

面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行）.

87421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

答案068

解析由隨機數(shù)表知，前4個樣本的個體編號分別是331,572,455,068.

11.某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3OOo件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計

員制作了如下的統(tǒng)計表格：

產(chǎn)品類別ABC

產(chǎn)品數(shù)量（件）1300

樣本容量（件）130

由于不小心，表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容

量比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是_______件.

答案800

Y

解析設(shè)樣本容量為X,則獲面乂1300=130,；3=300.

：.A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300—130=170（件）.

設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y,則y+y+10=170,.?.y=80.

.?.C產(chǎn)品的數(shù)量為端^X80=800（件）.

12.某校高三年級共有30個班，學校心理咨詢室為了了解同學們的心理狀況，將每個班編

號，依次為1到30,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5個班進行調(diào)查，若抽到的編號之和為75,

則抽到的最小的編號為.

答案3

30

解析系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為彳=6.設(shè)抽到的最小編號為X,則x+（6+x）+（12+x）+（18+

x）+（24+x）=75,所以X=3.

B級能力提升

13.我國古代數(shù)學算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)

七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣（）

A.104人B.108人C.112人