福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（解析版）

龍巖市2022?2023學(xué)年高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘滿分150分）

注意事項(xiàng)：

1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的答案均填寫(xiě)在答題卡上.

2.答題要求見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)符合題目要求.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.

1.等差數(shù)列｛%｝的公差”=-2,且％+%+%=39,則此數(shù)列前6項(xiàng)和等于（）

A.72B.74C.76D.78

【答案】A

【解析】

【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出小，再利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算前6項(xiàng)和即可.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得q+4+%=3%=39,解得％=13,

數(shù)歹IJ｛??｝前6項(xiàng)和為=3（%+4）=3（24+d）=3（2X13—2）=72.

故選：A.

2.“直線2x+ay—3=0與直線0x+2y+5=O相互平行”是“。=2”的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】先通過(guò)直線平行的判斷公式求出“，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.

【詳解】因?yàn)橹本€2x+αy-3=0與直線ax+2y+5=O相互平行，

則2x2=αxα,解得α=±2,

又當(dāng)4=12時(shí)，兩直線均不重合，

故4=±2,

所以“直線2x+紗-3=O與直線6+2），+5=O相互平行”是“a=2”的必要不充分條件.

故選：C

3.在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春，開(kāi)幕式上“二十四

節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.容融同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取3個(gè)介紹給外國(guó)朋友，則這

3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的選法種數(shù)為（）

A.2024B.1771C.276D.253

【答案】D

【解析】

【分析】題意即為從剩下的23個(gè)里面選2個(gè)，利用排列數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”，則從剩下的23個(gè)里面選2個(gè)即可，

2

則選法種數(shù)為Ct3=至出=253.

2

故選：D.

4.2000多年前，我國(guó)的思想家墨子給出圓的概念：“一中同長(zhǎng)也意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周

的長(zhǎng)都相等，這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100年.已知O為原點(diǎn)，∣OP∣=g,若

（?∕ξλ

M--,?-，則線段PM長(zhǎng)的最大值為O

I22J

31-35

A.—B.~C.-D.一

2244

【答案】A

【解析】

【分析】P點(diǎn)圓上，點(diǎn)M在圓外，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到圓外的點(diǎn)的最大距離.

【詳解】由∣OP∣=g,尸點(diǎn)在以。為圓心T為半徑的圓上，∣0M卜1,點(diǎn)M在圓外，則線段PM長(zhǎng)的最

大值為1+上1=13.

22

故選：A

5.為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、"射"、“御”、“書(shū)"、"數(shù)''六門

體驗(yàn)課程，每天開(kāi)設(shè)一門，連續(xù)開(kāi)設(shè)6天，則O

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有30種

B.課程"書(shū)''不排在第三天的不同排法共有720種

C.課程“禮”、“數(shù)”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種

D.課程“樂(lè)”、"射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件利用排列、組合知識(shí)，逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,從六門課程中選兩門的不同選法有C；=15（種），A選項(xiàng)不正確；

對(duì)于B,除第三天外的5天中任取1天排“書(shū)”，再排其他五門體驗(yàn)課程共有5A；=600（種），B選項(xiàng)不

正確；

對(duì)于C,“禮”“數(shù)”排在不相鄰兩天，先排其余四門課程，再用插空法排入“禮”“數(shù)”

則不同排法共有"用=480（種），C選項(xiàng)不正確；

對(duì)于D,六門課程的全排列有A：=720（種）,“樂(lè)”、"射"、"御"排在都相鄰的三天的不同排法有A；A：=144

（種），貝樂(lè)"、"射"、"御’’排在不都相鄰的三天的不同排法共有720-144=576（種），D選項(xiàng)正確.

故選：D

6.設(shè)αwN,且“<17,若52?°??能被17整除，則。等于（）

A.0B.IC.13D.16

【答案】D

【解析】

［分析】將522儂+。=（51+1產(chǎn)2+”利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，通過(guò)51能被17整除可得I+α能被17整除，

進(jìn)而可得。的值.

20222022

【詳解】52+a=（51+1）+a=Cb2512°22+C］,2512°2∣+C菰2512°2°++C歌;51+C遙+α,

5220+α能被］7整除，

20222022020

且C°O225I+Go2251'+?51++C歌51能被17整除，

故C鴕+α=l+α能被17整除，

觀察選項(xiàng)可得α=16.

故選：D.

1*2?y2h

1.已知雙曲線|一j?=l（α>0乃>0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為五的直線交雙曲線于點(diǎn)A（xl,χ）,

交雙曲線的漸近線于點(diǎn)3（毛,%），且玉<0<Z?若IFBl=3|硒，則雙曲線的離心率是（）

V—B.巫C.√6D.y[2

42

【答案】B

【解析】

【分析】直線與漸近線聯(lián)立方程組，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由∣Eδ∣=3∣E4∣求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可

Mh~r2Q?/?

而點(diǎn)A在雙曲線上，于是有J—=解得二=2,所以離心率e=￡=士.

Aa236a2h2a22a2

故選：B.

8.記S“是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和，4=4.數(shù)列也｝滿足〃=病，且

)則下列選項(xiàng)里送的是()

an=2(2+?.1)(n≥2

A.an=8λ∕-4

C.數(shù)列an>的最大項(xiàng)為

?y)729

<%+ι?

D.>—lu-<-

￡SliSf4

【答案】C

【解析】

【分析】由已知條件結(jié)合％與S”的關(guān)系，解出數(shù)列{%},{2},{5}的通項(xiàng)公式，再求選項(xiàng)中數(shù)列求和和

最值問(wèn)題.

【詳解】由4="一5,1(〃22)與々=厄，得a.=b：-%5≥2),又q=2仇+〃_J(〃？2),

所以"一?∣=2("+%)(〃≥2),即(2+b,?)(b“-b,?)=2(bl,+?.l)(n>2).

因?yàn)镾“#0,所以2+2ι≠0,,所以d-2_]=2(〃22).

又4=6=8=2,所以數(shù)列{4}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.

則2=2+2(〃-1)=2〃，所以S“=4〃2.

當(dāng)“22時(shí)，q=S“一S,τ=8〃-4,q=4也符合.

.?.q,=8"-4,A選項(xiàng)正確;

白1Y1111?1_11?÷f1「

§5；=§4^<4+16+4§1(1^1)=4+16+4§^(1^1)-1

Illl7

<—+----F-X-=B選項(xiàng)正確;

4164216

(目?(8"+4]

7V當(dāng)為

—?(8π-4),c,,>O,l-?≥1時(shí)，解得

設(shè)CMm%8〃一4

〃<4,

(7n6722X

數(shù)列X「q的最大項(xiàng)為c4=c5=--,c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

?9√6561

寸%=<8〃+42/7+1IS(I1]IL1]1岳十

七SkSk+】222

?4??4(?+l)4?^?(?+l)^4￡[二伙+])J(?+l)-J4

確.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：題中數(shù)列不等式涉及放縮，通項(xiàng)放縮技巧證明數(shù)列不等式的關(guān)鍵在于觀察通項(xiàng)特征

和所證結(jié)論，適當(dāng)調(diào)整放縮幅度，做到放縮得恰到好處，同時(shí)還要做到放縮求和兩兼顧.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把答案填涂在

答題卡上.

9.下列說(shuō)法正確的有O

A.直線/:(，〃+I)X+(加-1)卜一2加=0恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)

B.方程f+,2-2χ+2y-根=0表示圓

C.圓/+V=16與圓(X—3)2+(y-4)2=4有兩條公切線

D.圓V+y2=16上有且只有三點(diǎn)到直線/：%一5，+28=0的距離等于2

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A：依題意可得(x+y-2)m+(x—y)=0,令L，解得即可求出直線過(guò)定點(diǎn)

坐標(biāo)，對(duì)于B,將方程化為(x-lf+(y+l)2=2+機(jī)，再分2+加＞0、2+機(jī)=0、2+加＜0三種情況

討論，對(duì)于C,求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，即可判斷兩圓相交，對(duì)于D,求出圓心到直線的

距離，結(jié)合圓的半徑，即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于A：直線/:(777+l)x+(加-l)＞-2∕n=0,g∣j(x+γ-2)∕n+(x-γ)=0,

x+v-2=0(X=I、

令《?八，解得《，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(z1,1)，故A正確；

x-y=0[γ=l

對(duì)于B：方程χ2+y2-2x+2y-加=0,即(X-Iy+(y+l)'=2+機(jī)，

當(dāng)2+MI＞0,即機(jī)＞-2時(shí)方程d+y2-2x+2y-根=O表示圓，

當(dāng)2+m=0,即加=一2時(shí)方程V+y2-2χ+2y-m=0表示點(diǎn)(1,-1),

當(dāng)2+m＜0,即m＜一2時(shí)方程Y+y2—2χ+2y-m=0不表示任何圖形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：圓/+V=16的圓心坐標(biāo)為0(0,0),半徑4=4,

圓(x-3)2+(y-4『=4的圓心坐標(biāo)為A(3,4).半徑々=2,

又∣OA∣=J32+42=5,即一目＜∣Q4∣＜[+與，所以兩圓相交，故兩圓有兩條公切線，故C正確;

2Λ∕5

對(duì)于D：圓心。(0,0)到直線l?.χ-y+2y[2=Q的距離d="(爐=2，

又圓的半徑4=4,所以圓上有且只有三點(diǎn)到直線/的距離等于2,故D正確;

故選：ACD

10.在《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，六朝才得

到其關(guān)”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一

天的一半，走了6天才到達(dá)目的地”，則O

A.此人第二天走的路程占全程的L

4

B.此人第三天走走了48里路

C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里

D.此人第五天和第六天共走了18里路

【答案】BD

【解析】

【分析】由題意，此人每天走路程構(gòu)成等比數(shù)列，由已知條件求出首項(xiàng)和公比，就可以解決數(shù)列問(wèn)題了.

【詳解】設(shè)此人第〃天走了凡里路，則數(shù)列｛0,,｝是首項(xiàng)為4,公比4為3的等比數(shù)列，因?yàn)?/p>

a'(1^26)

56=-Z=378，解得4=192,

l-?

2

“=192x^=96,所以此人第二天走了96里路，g>?,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

23784

<?=192×i=48,所以此人第三天走了48里路，B選項(xiàng)正確；

%=192x,=24,4—4=192—24=168,此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里，C選項(xiàng)

8

錯(cuò)誤；

a5+Λ6=192×∣-?+-?-|=18,此人第五天和第六天共走了18里路，所以D選項(xiàng)正確.

U632J

故選：BD.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(2,l)在拋物線Uf=2py(p>0)上，過(guò)點(diǎn)B(0,T)的直線交C于P,Q

兩點(diǎn)，則O

A.C的焦點(diǎn)為(0,2)

B.直線AB與C相切

C.OP0。為定值

D.?BP?-?BQ?>?BAf

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用點(diǎn)在拋物線上即可求出拋物線方程，從而可判斷A；聯(lián)立AB與拋物線的方程求得切點(diǎn)，從

而可判斷B；聯(lián)立直線/與拋物線的方程，得到玉X2,進(jìn)而求得Xy2,從而判斷C；利用距離公式及弦長(zhǎng)

公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,將A(2,l)代入拋物線Cd=2"y(p>0),得4=2p,即p=2,

所以拋物線方程為Y=4y,故拋物線的焦點(diǎn)為((U),故A錯(cuò)誤；

1-(-1)

對(duì)于B，&"=-=1，所以直線AB的方程為y=X-I,

ab2-0

y=x-l

聯(lián)立《，，，可得J一4χ+4=0,解得χ=2,則y=l,

Λ^=4y

所以直線AB與拋物線Y=4y相切于A(2,l),故B正確；

對(duì)于C,設(shè)過(guò)B的直線為/,若直線/與N軸重合，則直線/與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=丘-1,Pa,乂),。(々,火)，

y=Ax-I

聯(lián)立,，得f—4版+4=0，則A=16%2-16>0,則公>1，

匕=4y

所以％+々=4k,X,X2=4,貝IJXy2=今??==1-

所以。戶?OQ=%%2+y%=5，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镮BpI=JmrlX11，IBQI=Jl+公KI，

所以IBPI?∣BQI=(1+公)IXlwl=4(l+∕)>8,

而|區(qū)4『=(2-0)2+(1+1)2=8,所以忸斗忸Q∣>∣B4∣2,故D正確.

故選：BCD.

12.已知數(shù)列｛凡｝滿足。2“一。2,1=4〃-3,。2"+生“+1=4〃-1,若數(shù)列｛凡｝的前50項(xiàng)和為1275,則()

A.4+4=2

B.。3=1

。是常數(shù)列

C.ɑ?+a3,a5+α7,?,&5+47

D.a?+q,4+“8，，”46+”48是等差數(shù)列

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可得“2,1+。2,用=2，%“+。2"+2=8〃，對(duì)A:根據(jù)題意利用并項(xiàng)求和結(jié)合等差

數(shù)列求和運(yùn)算可得%+。2=3；對(duì)B：由4+%=3,根據(jù)通過(guò)賦值運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)。2.-1+。2角=2

分析判斷；對(duì)D:根據(jù)。2”+2-。2,用=4〃+1結(jié)合等差數(shù)列的定義分析判斷.

[詳解]則々“+

Vα2n-α2,,-1=4n-3,a2ll+a2n+l=4n-?,4,1+i=2,

又?；+々”+1=4〃T，?,,+2-々“+I=4〃+1,

.,.a2ll+a2tl+2=Sn,

對(duì)A：可得：

"1+42+LQ50=(4+%)+[(43+〃5)+(%+q)+L+(々47+。49)]+[(04+)+(a8+/)+L+(%8+?o)]

=(αl+?)+2×12+(l6+32+L+192)=(4+=(4+4)+1272=1275,

解得4+4=3,A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由。2〃一。2,1=4〃-3,令〃=1,則%—4=1，解得4=1,%=2,

由。2"+%"+1=4〃T，令〃=1，則生+%=2+。3=3,解得。3=1，B正確;

對(duì)C:?.?“2i+%+ι=2,

故α∣+%=%+%=L=45+。47=2,即4+%，%+%，，%5+47是常數(shù)列，C正確；

對(duì)D：?.?%,+%+2=8〃，則(。2"+4+%+6)一(4"+%,+2)=8("+2)—8〃=16,

故生+。4，。6+。8，,/6+。48是以公差為16的等差數(shù)列，D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意分析可得=2，。2“+4"+2=8〃，故分奇偶項(xiàng)討論，把相鄰的

奇項(xiàng)(或偶項(xiàng))合并為一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，再進(jìn)行求和運(yùn)算，同時(shí)注意對(duì)q+4的處理.

第∏卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線4ox+y=1與直線x+(l-α)y=-1互相垂直，則α=.

【答案】T

【解析】

【分析】根據(jù)直線一般式方程下的兩條直線垂直的公式計(jì)算即可.

【詳解】直線4αx+y=l與直線x+(l—α)y=-1互相垂直

則4(2+(1-6Z)=0,

解得“=-1.

故答案為：--.

14.在4+J)的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中含X項(xiàng)的系數(shù)為.

35

【答案】—

8

【解析】

【分析】先寫(xiě)出產(chǎn)]的展開(kāi)式的通項(xiàng)(M，然后利用前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列來(lái)列方程求得〃，

再令通項(xiàng)中的X的次數(shù)為1可求得「，進(jìn)而可求出展開(kāi)式中含尤項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為&=α(jη”[壺)=∕c聲?

根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列得2χJc；=&C：+?e?,

解得〃=8或〃=1（舍去）

3

令4—r=1,得廠=4,

4

???展開(kāi)式中含X項(xiàng)的系數(shù)gc；=y.

35

故答案為：—.

O

15.在遞增的等比數(shù)列｛%｝中，％=2g，%+為=8,則為I=.

β2O2l

【答案】√3

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的公比為9，q>l,先通過(guò)條件得小,再利用久經(jīng)="得答案.

a202?

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,<7>1,

aβ=25/3,

%+%=~7÷4/=2+2?∣3q3=8,

qq,

解得/=?/?或［3=2^（舍去），

Λ-?=?3=√3.

?2∣

故答案為：?∣3.

16.如圖，已知橢圓專+y2=ι.設(shè)A,B是桶圓上異于P（0』）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q（0,；）在線段AB上，直

線以，PB分別交直線y=-gx+3于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)尸到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為：ICq的

最小值為.

【答案】①.智②.華

【解析】

【分析】①設(shè)兩點(diǎn)間的距離公式表示∣PE∣,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.②設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立直線與橢圓

方程，韋達(dá)定理求出兩根之和，兩根之積，因此可以求出C,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出距離，根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值.

【詳解】①設(shè)點(diǎn)E(χ,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則

IPEI=JX2+(yT)2=JTl),2—2),+]3=Jτ(y+?),因此，當(dāng)E點(diǎn)的坐標(biāo)為

(土方相,一()時(shí)，歸目取到最大值^^.

②由題意，設(shè)AB直線方程為)，=丘+:&王，乂),5(々,％)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得

,1

V=kxH----12k—9

\2,則(1+12^)/+12依一9=0,則為+X,=---------7,xlx2=-----------設(shè)

2,21+12左2-1+12/

X+?ιπ2y-11o2

C(x,y),D(x,y),由小與CD的直線方程聯(lián)立解得：XC=C一7.同理解得

ccDD(Zκ÷IP)Xl—1

XL(2=￡一1，則

3加［16/+1

CD=______Iw-力

--當(dāng)k=__時(shí),

(2?+1)2X1Λ2-(2?+1)(X1+X2)+1^Ξpz+ι∣3

PAIICD,PB//CD,不符合題意，；令弘+1=/,則CD=遺廬(二與十嶼,所以當(dāng)人=1_

2V9r252516

時(shí)，ICDl取得最小值，且最小值為竽.

故答案為：①型?;②述

115

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知圓C的圓心在X軸上，且經(jīng)過(guò)A(TI)和8(3,3)兩點(diǎn).

(1)求圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(7,5)的直線加被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,求直線用的斜率.

【答案】(1)x2+y2-4x-6=0

43

(2)k=—或k=一

34

【解析】

【分析】(1)設(shè)出圓的方程，代入已知點(diǎn)，列方程組求解即可；

(2)設(shè)出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線機(jī)的斜率.

【小問(wèn)1詳解】

由圓C的圓心在X軸上，設(shè)圓C的方程為Y+V+Dr+F=O,

1+1—O+F=O。=—4

解得《

'9+9+3。+尸=O

所以圓C的方程為f+y2-4jL6=0;

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)?+丁=10,圓心C(2,0),半徑r=J而，

設(shè)直線加的斜率為底則直線”的方程為＞=Z(x-7)+5,即日一y—7Z+5=0,

直線團(tuán)被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,

‘2%-7%+5丫

哂=10,

、?∣k2+?,

43

解得&=一或k=±.

34

18.在①知％,。25成等比數(shù)列，②S5=α∣3,③數(shù)列,勺前IO項(xiàng)和為55這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.

已知等差數(shù)列｛6,｝的前”項(xiàng)和為S,,,公差d=2,旦

(1)求數(shù)列{為}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列I」一I的前IOO項(xiàng)和.

{anaπ+i

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)an=2n-?

⑵?

201

【解析】

【分析】(1)若選①可得再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出修，即可求出通項(xiàng)公式;

若選②根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式求出％,即可求出通項(xiàng)公式;

若選③則1+〃，再根據(jù)數(shù)列的前10項(xiàng)和為55,求出力,即可求出通項(xiàng)公式;

n[∏J

(2)由(1)可得—1二51{罰1一五力1,利)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得

【小問(wèn)1詳解】

解：若選①：由題意有。：=4。25,貝IJ(4+6)2=4(q+48),解得q=l,又d=2,

所以％=1+(〃-1)x2=2〃-1.

5x4

若選②：由S5=陽(yáng)得5α∣+三一x2=q+24,解得α∣=l,又4=2,

所以％=1+(〃-1)x2=2〃-1.

π(n-l)C

若選③：S,叫+下―x2

—=--------------------=-1+rt

nn

由題意得10(q-1)+(1+2+3++10)=55,解得q=l,又d=2,

那么=1+(〃-1)X2=2〃-1,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a,l=2n-l.

【小問(wèn)2詳解】

11Ifl1

解：由(I)得-----=-一...??,??-7~~7一丁TT

a,lan+l(2n-1)(2∕J+1)2〃+1

1111

所以----+----+----++-------

Cl^Cl^y。100。[01

=-[(1——)+--)+++(--------)]

233557199201

=UIq=當(dāng)

2(201J201'

19.己知(α-2x)7=4+α1(x-l)+%(x-l)~++O7(X-I):其中α>(),且/的系數(shù)是-22680.

(1)求”的值；

(2)計(jì)算：(i)(4+/+%+4)("1+4+"5+%)；

(ii)∣/∣+∣qI+∣%∣+L÷?ci11

(以上結(jié)果可保留塞的形式)

【答案】(1)3

(2)(i)?(l-?'4);(ii)2187

【解析】

【分析】(1)求出(4-2x)7的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)(M，令r=3,可求出V的系數(shù)，列方程可求α的值；

(2)(i)令x=2和X=O得兩個(gè)等式，利用兩個(gè)等式整體計(jì)算可得(4+4+%+4)?(4+6+4+%)；

2l

(i?)令=/,則無(wú)=/+1,可得(l-2f)'=?0++ajt++a.1t^,通過(guò)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得(1-Zr),

各項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而可得同+同+同+L+⑷的值.

【小問(wèn)1詳解】

r,rrr7rr

(a-2x)7的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+λ=C1a-?(-2x)=(-2)a-C；x,

令r=3,得(—2)3尸C=-22680,

.?a2=9?又。＞0,

.?.α=3；

【小問(wèn)2詳解】

(i)由(1)得(3—2x)7=%+4(x-l)+%++α7(x-l)7,

令X=2得QO+4+a2++%=(3-2x2)=—1(X),

令X=O得%—4+%——%=3,②，

①+②得2(%+∏2+%+4)=-1+3,,二4+4+/+&=2(-1+3,)，

①一②得2(q+q+6+%)=一?—37,Uy+4+4+%=萬(wàn)(-1—W)，

.?.(4+4+4+4>(,+4+%+47)=((-1+37卜((-1_3，)=；(1_3");

(ii)令x-l=f,則X=￡+1,

13-2(f+1)]=(1-2f)=flθ+Λ∣∕÷ci-tt~++ci-jt1>

(1—2/)7的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為M*M=a(-2f)"=(-2)*C步，

4，4，。4，。6為正數(shù)，al,a3,a5,a1為負(fù)數(shù)，

==

∣<2θ∣+∣qI+,J+L+1tz71CIQ-q+g——(IJ3=2187.

20.在平面直角坐標(biāo)系屹y中，已知點(diǎn)耳(一1,0),乙(1,0),|岬|+|八隼|=2&,點(diǎn)用的軌跡為<7.

(1)求C的方程；

2

(2)是否存在過(guò)點(diǎn)”的直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、8,滿足S0A8=]?若存在，求直線/的方

程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】(1)—+γ2=l

2

(2)x+y+l=O或X-y+l=0

【解析】

【分析】(1)由軌跡特征可知是橢圓，待定系數(shù)法求C的方程；

2

(2)設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，由ScMB=I結(jié)合韋達(dá)定理求解

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樾糜?2,IM制+1M閭=20>|不訃

所以C是以點(diǎn)片，工為左右焦點(diǎn)的橢圓，于是α=J5,c=l,故8=1,

2

因此C的方程為三+丁=1.

2

【小問(wèn)2詳解】

直線/的斜率明顯不為0,設(shè)/：X=沖一1,

2

代人橢圓C的方程化簡(jiǎn)得(根2+2)y-2my-l=0,

設(shè)—)向“2),則X+%=-W=^

2

.I∣2,-2Λ8〃?~+82y∣2×?jm+1

則|乂一必|=(X+%)--4My2=(∕+7尸Iyl-%I=

W2+2

SoAB=IlCHI?IY一%I=及X2N+1=1，所以/+1=2或4+1=；(舍)，

2，〃~+232

解得加=土1,所以直線/的方程為χ+y+l=0或χ-y+l=0

21.“綠水青山就是金山銀山”，治理垃圾是改善環(huán)境的重要舉措之一.去年某地區(qū)產(chǎn)生的垃圾排放量為300

萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列治理措施，預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始，連續(xù)6年，每年的垃圾排放量比上

一年減少10萬(wàn)噸，從第7年開(kāi)始，每年的垃圾排放量為上一年的90%.

(1)求該地區(qū)從今年開(kāi)始的年垃圾排放量勺關(guān)于治理年數(shù)"("∈N*)的函數(shù)解析式；

(2)該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)“年垃圾排放量不高于150萬(wàn)噸”這一目標(biāo)，那么至少要經(jīng)過(guò)多少年？

(3)設(shè)T“為從今年開(kāi)始”年內(nèi)年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)

有的治理措施是有顯著效果的；否則，認(rèn)為無(wú)顯著效果，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有顯著效果，并說(shuō)明

理由.

(參考數(shù)據(jù)：0.93=0.729,0.9"=0.6561,0.95=0.59049,0.96=0.531441)

-IOn+300,1≤?<6

【答案】(Da=-(〃∈N")

n240x0.9”，〃≥7

(2)至少要經(jīng)過(guò)11年

(3)現(xiàn)有的治理措施是有顯著效果的，理由見(jiàn)解析

【解析】

(分析】(1)設(shè)治理〃年后，該地區(qū)的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列｛%｝,當(dāng)〃W6,數(shù)列｛凡｝是首項(xiàng)為G=290,

公差為TO的等差數(shù)列，當(dāng)〃27時(shí)數(shù)列｛4,｝是首項(xiàng)為%=0?9。6,公比為0.9的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列

的通項(xiàng)公式，從而得解；

(2)由(1)可得當(dāng)〃N7時(shí)才有4≤150,令4=240×0.9,-6≤150,結(jié)合所給數(shù)據(jù)求出?的取值范圍，

即可得解；

S

(3)設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則7；一,即可得到

n

MT=(%,i)+(%L%)+(α丁/)++(%「耳),再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷出

(川―，<0,即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)治理N年后，該地區(qū)的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列伍,J,

當(dāng)〃≤6時(shí)，數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為q=300-10=290,公差為-10的等差數(shù)列，

則a“=ai+(〃一l)d=290+(/?-1)×(-10)=-IOn+300；

當(dāng)〃27時(shí)，數(shù)列僅“｝是首項(xiàng)為由=0§。6,公比為0.9的等比數(shù)列，

則a,,=%/-=240X0.9"6,

-IOn+300,1≤M≤6/.

因此，治理〃年后，該地區(qū)的年垃圾排放量的表達(dá)式為4=1240/09'/〃〉7，(〃wN

【小問(wèn)2詳解】

解：由(1)及題意得q=240>150,所以〃≥7時(shí)才有為<150,

,,6,6

因此an=240X0.9^≤15(),即0.9-≤0.625，

又OS4=0.6561,0.95=0.59049,所以〃一6>4,即〃>1(),nmin=11,

因而該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，那么至少要經(jīng)過(guò)11年.

【小問(wèn)3詳解】

S

解：設(shè)S”為數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和，則7；二。，

n

由于7；\—工二SnzSn=(〃+1電二ng向一Sn

*“〃+1n(n+l)π(π÷l)π

=(4〃+1-4)+(6,M-%)+(《3-/)+一區(qū),)

5+1)”

由(1)知，1≤"≤6時(shí)，απ=-IOn+300,則｛4｝遞減數(shù)列,

“≥7時(shí)，4=24()X0.9"6,則｛4,｝為遞減數(shù)列，

且為<4，因此｛《J為遞減數(shù)列，

于是4,,+∣-α∣<0,an+l-a2<0,an+i-a3<0,???,al,+l-an<0,

因此卻「。<0,

所以數(shù)列｛<｝為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，

故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有顯著效果的.

22

22.已知F(4,0)為雙曲線c：'一方=1(α>0,〃>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,6),P(xl,χ),。(七，%)在C

上.

(1)若直線AP,A。的斜率之和為0,求直線PQ的斜率；

(2)若x∣>X2>0,%>0,過(guò)戶的直線/與C的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，PQ//MN,過(guò)P且

斜率為-0的直線與過(guò)。且斜率為6的直線交于點(diǎn)G,若IGMl=IGN求證：G,M,N三點(diǎn)共線.

【答案】(1)Z=—2

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)由雙曲線過(guò)點(diǎn)44,6)及c=4,求出/,即可得到雙曲線方程，設(shè)P(xl,yi),Q(x2,y2),PQ-.

丫=丘+加，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理,根據(jù)左械+須0=0,求出攵=一2或加=6—4%，

即可得解；

(2)設(shè)直線MN方程為y=-x-4),設(shè)G(Xo,%)，M(X3,為)，N(X4，”)，聯(lián)立直線與3/-丁=0,

消元、列出韋達(dá)定理，由IGM=IGN可得(XO-芻)2+(%-%)2=(%)一%)2+(%-乂)2,從而得到

x0+kya=,再由直線PG的斜率為-百，直線QG的斜率為√3，得至IJγl-γ2=-√3(^+Λ2-2x0),

從而表示出直線PG的方程,代入雙曲線方程中求出P的橫坐標(biāo)々，同理得到巧，即可得到%=-4),

從而得解.

【小問(wèn)1詳解】

22

解：因?yàn)辄c(diǎn)A(4,6)在雙曲線C：?一一J=I上，

0216-a2

所以二一泮下=1，解得〃=4,或/=64，

Cr16-a

22

又16—∕>o,則/=4,所以雙曲線C：--?-?l.

412

設(shè)尸（孫弘），Q（X2，%），易知直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：y=kx+mt

y=kx+m

聯(lián)立《χ2J可得