2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2-2 函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

?最新考綱?

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義.

2.會運用基本初等函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性.

考向預(yù)測?

考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與

應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用仍是高考考查的熱點，題型多以選擇題為主，屬中檔題.

學(xué)科素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算.

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記2個知識點

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

_________________增函數(shù)_____________________________減函數(shù)____________

一般地，設(shè)函數(shù)危)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意

兩個自變量值XI，X2____________________________________________________

定義當(dāng)XIVX2時，都有兀ri)次X2)，那

當(dāng)X1≤X2時,都有危1)勺(功，那么就說函數(shù)

么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是

")在區(qū)間D上是________

,v=Λv)

g)g)

圖象描述O卜I*~X

~~o?~χl^^?X

自左向右看圖象是自左向右看圖象是

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間D上是或,則稱函數(shù)y=∕(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=∕(x)的.

(3)若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間。內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)時,火幻在區(qū)間。上為增函數(shù)；當(dāng)

時，Hx)在區(qū)間。上為減函數(shù).

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函

數(shù)，否則為減函數(shù).簡稱“同增異減”.

［提醒］有多個單調(diào)區(qū)間時應(yīng)分開寫，不能用符號“U”連接，也不能用“或”連接，

只能用”或“和”連接.

2.函數(shù)的最值

前提_______________設(shè)函數(shù)y=√(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足_______________

(1)對于任意χG∕,都有________；(1)對于任意χG∕,都有________；

條件

(2)存在Xo∈/,使得一_(2)存在Xo∈/,使得一

結(jié)論_________M是y=∕(x)的最大值__________________M是y=∕(x)的最小值_________

［提醒］(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最

值一定在端點取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值).

二、必明3個常用結(jié)論

1.函數(shù)y=Λχ)(Λχ)>O或加)<0)在公共定義域內(nèi)與y=-∕(χ),y=六的單調(diào)性相反.

2.“對勾函數(shù)"尸x+%>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一?),(?,+∞)i單調(diào)遞減

區(qū)間是［—正，0),(0,F］.

3.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價變形：Vxι,X2e［a,句且X1WX2，則(XI—X2)［∕S)一

Hx2)］>0=坐i義>0=Aχ)在⑷上是增函數(shù)；(XLX2)&1)一加2)k000止皿<0=Λx)在

xl-χ2×l-χ2

［a,上是減函數(shù).

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或"X”).

(1)函數(shù)y=M是R上的增函數(shù).()

(2)函數(shù)y=1的單調(diào)減區(qū)間是(一8,o)u(0,+∞).()

(3)若函數(shù)N=∕(x)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+∞).()

(4)對于函數(shù)/(x),X∈f>,若對任意X∣,X2^D,X1≠X2且(XI—X2)［/(X1)—/(X2)］>0,則函數(shù)

.危)在區(qū)間。上是增函數(shù).()

(5)已知函數(shù)y=∕(x)在R上是增函數(shù)，則函數(shù)y=/(—x)在R上是減函數(shù).()

(二)教材改編

2.［必修l?P39習(xí)題A組T3改編］下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()

A.y-2?x?B.y—6—x

C.y=［D.y-~x2+6

3.［必修l?P31例4改編］函數(shù)y=W在［2,3］上的最小值為()

A.2B.-C.-D.--

232

(三)易錯易混

4.(忽視加數(shù)的定義城出錯)函數(shù)寅X)=In(4+3x—χ2)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

5.(忘記法數(shù)的單調(diào)區(qū)間出錯)已知函數(shù)y=∕(x)是定義在［-2,2］上的減函數(shù)，且出+

i)<f(2a),則實數(shù)。的取值范圍是.

(四)走進高考

6.［2021?全國甲卷］下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.人》)=一XB.√(x)=QX

C../(X)=X2D.Xx)=Vx

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間［基礎(chǔ)性］

角度1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

1.(一題多%試討論函數(shù)寅X)=昔(20)在(一1，1)上的單調(diào)性.

聽課筆記：

反思感悟利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)取值：設(shè)Xl,X2是定義域內(nèi)的任意兩個值，且X1≤X2.

(2)作差、變形：作差火、2)一危1),并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判

斷差的符號的方向變形.

(3)定號：確定差的符號，當(dāng)符號不確定時，可以進行分類討論.

(4)判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論.

［提醒］判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.

角度2利用函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.求函數(shù)兒打=-x2+2,∣+l的單調(diào)區(qū)間.

聽課筆記：

一題多變

(變條件)若題2中函數(shù)變?yōu)椤?x)=∣-χ2+2χ+l∣,如何求解?

反思感悟由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點

(1)單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；

(2)圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.

角度3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3.函數(shù)/(x)=In(X2—2χ-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-∞,-2)B.(-8,1)

C.(1,+∞)D.(4,+∞)

聽課筆記：

反思感悟復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定方法

若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的

單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.

考點二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用［綜合性］

角度1比較函數(shù)值的大小

07

［例1］⑴［2022?武漢模擬］己知函數(shù)/)=品一±若α=Λ2∣3),/>=/4),c=χiog38),

則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

(2)已知函數(shù)次X)的圖象向左平移1個單位長度后關(guān)于歹軸對稱，當(dāng)冷>為>1時，［f(X2)-

/(X∣)］(X2-Xi)VO恒成立，設(shè)6=/(2),C=∕(3),則α,b,C的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

聽課筆記：

反思感悟利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)性質(zhì)，將自

變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題通常選用數(shù)形結(jié)合的方法

進行求解.

角度2求函數(shù)的最值(值域)

［例2］(l)［2022?河南鄭州調(diào)研］函數(shù)段)=正—專在χC［l,4］上最大值為最小值為

陽，則M-m的值是()

31Q11

A.-B.2C.-D.—

1644

(2)函數(shù)y=然的最大值為.

聽課筆記：

反思感悟利用函數(shù)單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(可結(jié)合

本節(jié)微專題理解)

［提醒］(1)求函數(shù)的最值時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.

(2)求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的

最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值.

角度3解函數(shù)不等式

［例3］已知R上的函數(shù)加)滿足：@Kx+y)=f(x)+,Ay)+1；②當(dāng)χ>0時，∕χ)>-l.

(I)求/(O)的值，并證明y(χ)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

(2)若41)=1,解關(guān)于X的不等式√(χ2+2χ)+γ(i—χ)>4.

聽課筆記：

一題多變

(變條件，變問題)例3中，函數(shù)√(x)滿足的條件改為“定義域為(O,+∞),./(?)=Λxι)

一左2)，當(dāng)x>l時，/(x)<0”.

⑴求用)的值；

(2)證明：/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；

(3)求不等式人2%+l)M2-χ)的解集.

反思感悟

求解含T5〉的不等式，應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為<M勺(〃)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉

應(yīng)注意〃7,〃應(yīng)在定義域內(nèi)取值.

角度4求參數(shù)的值或取值范圍

[例4](l)[2022?哈爾濱模擬]已知函數(shù)火X)=Fx—2，°<x≤l,在(0,十8)上為單調(diào)

Ilogax,X>1,

遞增函數(shù)，則。的取值范圍為()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(1,2]D.(0,2]

(2)[2022?貴陽市高三摸底]函數(shù)y=?言在(一1,十8)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是

()

A.Cl=-3B.a<3

C.Λ≤-3D.3

聽課筆記:

反思感悟利用單調(diào)性求參數(shù)的方法

(1)依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與已知單調(diào)區(qū)間比較.

(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間口，切上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調(diào).

(3)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.

【對點訓(xùn)練】

1.［2022?西安模擬］已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，當(dāng)XlWX2且巾，X2d(l,+

8)時，［/(X2)—y(XI)］<X2—X∣)<O恒成立，設(shè)b=fi,2'),c=∕(e),則〃，b,C的大小關(guān)

系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

2.設(shè)函數(shù)HX)=B在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為M,〃?，財/=()

3.如果函數(shù)/(X)=(2-a)x+l,x<l,滿足對任意XlWX2,都有坦叱3>0

(axX≥1χ1^χ2

成立，那么實數(shù)Q的取值范圍是()

A.(O,2)B.(1,2)

C.(2,+∞)D.［|,2)

χ3V0

'—'若/(2-χ2)刁(X),則實數(shù)X的取值

(ln(x+l),X>0,

范圍是.

微專題?求函數(shù)最值的常用方法

思想方法

一、單調(diào)性法

［例1］函數(shù)y(x)=γ+b3>0)在方2］上的值域為*,2卜則O=,h=.

解析：?.%)=—W+6(α>0)在［；,2］上是增函數(shù)，

.?√(x)min=∕φ=∣,7(x)max=y(2)=2.

∣-2a+b=∣,

即L；+b=2,解得α=l,6=∣.

答案：iI

名師點評利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域是最基本的方法，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定

函數(shù)的單調(diào)性.

二、不等式法

主要是指運用均值不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法.常用的不等式

有以下幾種：

22

a+b^2ab(afb為實數(shù));

≥√ab(t7^0,620):

α?≤(^)2≤?^(α,b為實數(shù)).

[例2]已知函數(shù)兀V)=梯寢，則外)的最大值為.

解析：設(shè)f=sinx+2,則f∈[l,3],則s??=(f-2)z,則g(f)=魚*=f+7—4(lWf≤3),

由“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(f)在口，2)上為減函數(shù)，在(2,3]上為增函數(shù)，Xg(I)=I,g(3)

=1,所以g(∕)max=g(l)=l.即7(x)的最大值為1.

答案：1

名師點評在利用均值不等式法求函數(shù)最值時，必須注意“一正”“二定”“三相等”，

特別是“三相等”，是我們易忽略的地方，容易產(chǎn)生失誤.

Ξ^換元法

換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目彩式去靈活選擇

換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的最值問題，從而求出原函數(shù)的最

值.如可用三角代換解決形如序+〃=]及部分根式函數(shù)形式的最值問題.

[例3](1)函數(shù)道X)=X+2√ΓM?勺最大值為；

(2)求函數(shù)y=x—√4—χ2的值域.

解析：(1)設(shè)Vl-x=f020),所以X=I—產(chǎn)，所以y=/(X)=X+2√I-X=I—理+2/=T

+2r+1=—?—1)2+2.所以當(dāng)E=I即X=O時，ymax=∕α)max=2.

(2)換元法：由4—x2≥0,得一2WxW2,

所以設(shè)x=2cos8(e∈[0,π]),

則y=2cosθ~√4—4cos2θ=2cos0-2sinθ

=2VΣc0s(θ+1),

因為。+步玲τ].

所以COS+[―1,?j,

所以卜6[—2魚，2].

答案：(1)2(2)γ∈[-2√2,2]

名師點評在使用換元法時注意換元后新元的范圍(即定義域)，特別是三角換元后新函

數(shù)的周期性對值域的影響.

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值

的一種常用的方法.

a,a>b

一函數(shù)√(x)=max{∣x+l∣,[χ-2∣)(x∈R)

{b,a<b,

的最小值是.

解析:由[x+l∣2∣χ-2|,得(X+l)22(x—2)2.

1f∣x+1∣,X≥?,

2

所以所以於)=(1

2(JX-2∣,x<-.

其圖象如圖所示：

由圖象易知，當(dāng)X=：時，函數(shù)有最小值，所以f(x)min=∕(3=E+1|=*

答案：I

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

積累必備知識

1.(1)增函數(shù)減函數(shù)上升的下降的(2)增函數(shù)減函數(shù)單調(diào)區(qū)間(3rω>θ

/(x)<0

2./(x)≤Λ∕f(x0)=M/(x)≥Λ∕√(xo)=M

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)√(5)√

2.解析：對于A,y=2(x∣在［0,+8)上是增函數(shù)，所以在(0,1)上是增函數(shù)，正確；對

于B,函數(shù)y=6—X在R上是減函數(shù)，所以在(O,1)上是減函數(shù)，錯誤；對于C,函數(shù)y=｝在

(0,+8)上是減函數(shù)，所以在(0,1)上是減函數(shù)，錯誤；對于D,函數(shù)y=-x2+6在［0,+

8)上是減函數(shù)，所以在(O,1)上是減函數(shù)，錯誤.故選A.

答案：A

3.解析：因為y=」在［2,3］上單調(diào)遞減，所以Mnin=I="故選B.

X-IT3-1L7

答案：B

4.解析：由4+3χ-x2>0得出函數(shù)段)的定義域為一1VXV4.令∕=4+3χ-x2,則y(x)=lnt.因

為函數(shù)/在(—1,|］上單調(diào)遞增，在［|,4)上單調(diào)遞減,而函數(shù)y=ln∕在定義域上單調(diào)遞增.根

據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［|,4).

答案:g.4)

(—2≤a+1≤2

5.解析：由條件知］-2≤2a≤2,解得：一IWaVL

?a÷1>2a

答案：|一1,1)

6.解析：對于y(x)=一χ,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/)是減函數(shù)，故A不符合題意；

對于/(x)=gf,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，")是減函數(shù)，故B不符合題意；對于外)=χ2,

由二次函數(shù)的圖象可知，段)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，故C不符合

題意；對于.e)=W=X由編函數(shù)的性質(zhì)可知，.危)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，故選D.

答案：D

提升關(guān)鍵能力

考占一

1.解析：方法1：設(shè)一1<?<X2<1,D=α(m="(l+SJ

加)一√U2)=α(l+套)一+涓)=譚念I(lǐng)P

由于-1VXl<X2<1,

所以X2-^X∣>0,XLIV0,X2—l<0>

故當(dāng)心O時，"I)—ΛX2)>O,即7(X1)次X2),函數(shù)段)在(T,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)“<0時，γ(x,)-y(x2)<0,

即火XI)勺(必),函數(shù),危)在(一1,1)上單調(diào)遞增?

方法2：

_(ax),(x-l)-ax(x-l)f_a(x-l)-ax__a

?/⑶(X-I)2(X-1)?~(x-l)2,

當(dāng)。>0時，/(x)<0,函數(shù)火X)在(一1,D上單調(diào)遞減;

當(dāng)α<0時，/(x)>0,函數(shù)/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.

-X2+2x+1,X>0,

2.解析：/(X)=

-X2-2x+1,X<O

-(X-1)2+2,x≥0,

-(x+I)?+2,X<0.

畫出函數(shù)圖象，如圖所示，則單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1］和［0,”，單調(diào)遞減區(qū)間為(一

1,0)和(1,+∞).

一題多變

解析：函數(shù)y=∣-χ2+2x+”的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)y=∣-χ2+2χ+l∣的單

調(diào)遞增區(qū)間為(1一或,1］和(1+或，+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1—√2］和(1,1+√Σ］.

3.解析：由χ2-2x-8>0,得x>4或x<—2.

設(shè)∕=x2-2x—8,則y=lnf為增函數(shù).

要求函數(shù)兀0的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)f=χ2-2χ-8在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間.

???函數(shù)f=%2—2x—8在(-8,—2)上單調(diào)遞減，在(4,+8)上單調(diào)遞增，.?.函數(shù)y(χ)的

單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞).

答案：D

考點二

例1解析：⑴函數(shù)/(x)=*是R上的減函數(shù)，又log38<2<2'3<2'?4=40?7,所以

Λ40?7)<∕(2>?3)<∕(log38),即b<α<c,選C.

(2)由于函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)y=∕(x)

的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以〃=/(—m=∕g).當(dāng)X2>X∣>1時，網(wǎng)2)-/(XM(X2—制)VO恒成

立，等價于函數(shù)兀V)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.故選D項.

答案：(I)C(2)D

例2解析：(1)因為和y=-專在［1,4］上是增函數(shù)，所以/(x)=√ji—專在［1,4］

上是增函數(shù)，所以M=/(x)max=∕(4)=2-9=之/M=∕(l)=0.因此M-ZH=今故選A項.

⑵令√χ2+4=f,則122,

.β.x2=Z2-4,，尸J-=4

7t2+ιt+∣

設(shè)〃(f)=r+;,則1(f)在［2,+8)上為增函數(shù)，

二/?(f)min=4(2),

.?.jW=%=o時取等號).

即了最大值為|.

答案：(I)A(2)∣

例3解析：(1)令X=y=0,得<0)=—1.

在R上任取X1>X2,

則Xl—X2>0,fi,X?—X2)>—1.

又T(Xl)=/[(Xl-X2)+x2]=Λx∣-X2)+./(X2)+IXX2),

所以函數(shù)段)在R上是單調(diào)增函數(shù).

(2)由義1)=1,得負(fù)2)=3,/(3)=5.

由√(x2+2x)+√(l-χ)>4,

得人/+2x)+/I-X)+1>5,

即7(N+x+l)刁(3),

又函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù)，故χ2+χ+ι>3,解得χ<-2或x>l,故原不等式的解集為

{x∣x<-2或x>l}.

一題多變

解析：(1)令Xl=X2>o,代入得T(I)=