（江蘇專用）高考數學二輪復習 第三篇 第32練 矩陣與變換、坐標系與參數方程試題 理-人教版高三數學試題

第32練矩陣與變換、坐標系與參數方程[明晰考情]1.命題角度：常見的平面變換與矩陣的乘法運算，二階矩陣的逆矩陣及其求法，矩陣的特征值與特征向量的求法；極坐標和參數方程的簡單綜合運用.2.題目難度：中檔難度.考點一線性變換、二階矩陣及其求法方法技巧線性變換問題一般是設變換T：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，求出原曲線在T的變換下得到的曲線，再根據條件求相應的系數值.1.已知變換矩陣A：平面上的點P(2，－1)，Q(－1,2)分別變換成點P1(3，－4)，Q1(0,5)，求變換矩陣A.解設所求的變換矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，依題意，可得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,－4))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,5))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b＝3，,2c－d＝－4，,－a＋2b＝0，,－c＋2d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝－1，,d＝2，))所以所求的變換矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,－12)).2.已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－43))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))，求二階矩陣X，使得MX＝N.解設X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))，由題意有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－43))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))，根據矩陣乘法法則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－z＝4，,2y－w＝－1，,－4x＋3z＝－3，,－4y＋3w＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝－1，,z＝5，,w＝－1.))∴X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－1,5－1)).3.已知曲線C1：x2＋y2＝1，對它先作矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))對應的變換，再作矩陣B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0m,10))對應的變換，得到曲線C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求實數m的值.解BA＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0m,10))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02m,10))，設P(x0，y0)是曲線C1上的任一點，它在矩陣BA變換作用下變成點P′(x′，y′)則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02m,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2my0,x0))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2my0，,y′＝x0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)′，,y0＝\f(1,2m)x′.))又點P在曲線C1上，則y′2＋eq\f(x′2,4m2)＝1，所以m2＝1，所以m＝±1.4.(2017·江蘇)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02)).(1)求AB；(2)若曲線C1：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程.解(1)因為A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，所以AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,10)).(2)設Q(x0，y0)為曲線C1上任意一點，它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)辄cP(x，y)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,10))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y0＝x，,x0＝y(tǒng)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)，,y0＝\f(x,2).))因為點Q(x0，y0)在曲線上C1上，所以eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝1，從而eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,8)＝1，即x2＋y2＝8.因此曲線C1在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線C2：x2＋y2＝8.考點二逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量方法技巧1.由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組，常用于求二階矩陣，要注意變換的前后順序.2.求矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))就是要求待定的字母，利用條件建立方程組，確立待定的字母的值，從而求出矩陣，待定系數法是求這類問題的通用方法.5.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,12)).(1)求A的逆矩陣A－1；(2)若點P在矩陣A對應的變換作用下得到點P′(3,1)，求點P的坐標.解(1)因為A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,12))，又2×2－1×3＝1≠0，所以A可逆，從而A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－3,－12)).(2)設P(x，y)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,12))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,1))，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝A－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,－1))，因此，點P的坐標為(3，－1).6.求矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(36),\s\do5(52))))的特征值與屬于每個特征值的一個特征向量.解矩陣A的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－3－6,－5λ－2))，令f(λ)＝0，得λ2－5λ－24＝0，所以λ1＝8，λ2＝－3為矩陣A的兩個特征值.①當λ1＝8時，解相應線性方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－6y＝0，,－5x＋6y＝0，))可任取一解eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,5))，得λ＝8的一個特征向量α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,5)).②當λ2＝－3時，解相應線性方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x－6y＝0，,－5x－5y＝0.))可任取一解eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，得λ＝－3的一個特征向量α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).7.(2018·無錫調研)已知二階矩陣A對應的變換將點M(1,1)變換成M′(3,3)，將點N(－1,2)變換成N′(3,0).(1)求矩陣A的逆矩陣A－1；(2)若向量β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,5))，計算A3β.解(1)設A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋b,c＋d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3，))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a＋2b,－c＋2d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2b＝3，,－c＋2d＝0，))解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,21))，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\f(2,3),\f(2,3)－\f(1,3))).(2)矩陣A的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－2,－2λ－1))＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3，令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，從而求得對應的一個特征向量分別為α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).令β＝mα1＋nα2，求得m＝3，n＝－2，所以A3β＝A3(3α1－2α2)＝3(A3α1)－2(A3α2)＝3(λeq\o\al(3,1)α1)－2(λeq\o\al(3,2)α2)＝3·33eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))－2·(－1)3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(83,79)).8.(2018·如皋調研)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2b,13))屬于特征值λ的一個特征向量為α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).(1)求實數b，λ的值；(2)若曲線C在矩陣A對應的變換作用下，得到的曲線為C′：x2＋2y2＝2，求曲線C的方程.解(1)由題意得Aα＝λα，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2b,13))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，解得b＝0，λ＝2.(2)由(1)知，矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,13)).設曲線C上的一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，在矩陣A的作用下得到點P′(x′，y′).eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,13))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x,x＋3y))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝x＋3y，))將上式代入方程x′2＋2y′2＝2，得(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，整理得3x2＋9y2＋6xy－1＝0.所以曲線C的方程為3x2＋9y2＋6xy－1＝0.考點三曲線的極坐標方程方法技巧曲線極坐標方程的應用一般有兩種思路：一是將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立，根據極坐標的意義求解.要注意題目所給的限制條件及隱含條件.9.在極坐標系中，設直線θ＝eq\f(π,3)與曲線ρ2－10ρcosθ＋4＝0相交于A，B兩點，求線段AB中點的極坐標.解方法一將直線θ＝eq\f(π,3)化為直角坐標方程，得y＝eq\r(3)x，將曲線ρ2－10ρcosθ＋4＝0化為直角坐標方程，得x2＋y2－10x＋4＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x，,x2＋y2－10x＋4＝0，))并消去y，得2x2－5x＋2＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝2，所以AB中點的橫坐標為eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5,4)，縱坐標為eq\f(5,4)eq\r(3)，化為極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(π,3))).方法二聯(lián)立直線l與曲線C的極坐標方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝\f(π,3)，,ρ2－10ρcosθ＋4＝0，))消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，所以線段AB中點的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ρ1＋ρ2,2)，\f(π,3)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(π,3))).10.(2018·宿遷質檢)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點O重合，極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t－1))(t為參數)，曲線C的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ－3＝0.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)求直線l被曲線C截得線段的長.解(1)直線l的普通方程為y＝eq\r(3)x－1，曲線C的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝4.(2)曲線C表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))為圓心，2為半徑的圓，圓心到直線l的距離d＝1，故直線l被曲線C截得的線段長為2eq\r(22－12)＝2eq\r(3).11.在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－2eq\r(2)ρsinθ－1＝0.(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)求曲線C上的點到直線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(6),2)＝0距離最大的點P的直角坐標.解(1)因為ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2eq\r(2)y－1＝0，θ∈[0,2π).(2)直線方程為x－eq\r(3)y＋eq\r(6)＝0，圓C的標準方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(2))2＝4，所以設圓上點P的坐標為(－1＋2cosθ，eq\r(2)＋2sinθ)，θ∈[0,2π)，則d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋2cosθ－\r(3)\r(2)＋2sinθ＋\r(6))),2)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))－1)),2)，所以當coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝－1，即θ＝eq\f(2π,3)時距離最大，此時點P的坐標為(－2，eq\r(2)＋eq\r(3)).12.在極坐標系中，直線C1的極坐標方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點，點P在射線OM上(O為極點)，且滿足OP·OM＝4，記點P的軌跡為C2，求曲線C2上的點到直線C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋t，,y＝1＋t))(t為參數)的距離的最大值.解設點P(ρ′，θ′)，M(ρ1，θ′)，依題意得ρ1sinθ′＝2，ρ′ρ1＝4，消去ρ1，得ρ′＝2sinθ′，故曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ(ρ≠0).化為直角坐標方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，是以點(0,1)為圓心，1為半徑的圓.又直線C3的普通方程為x－y＝2，故圓心到直線C3的距離d＝eq\f(3\r(2),2)，故曲線C2上的點到直線C3的距離的最大值為1＋eq\f(3\r(2),2).考點四參數方程方法技巧過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數方程的標準形式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數)，t的幾何意義是有向線段P0P的數量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數分別為t1，t2，則P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數為eq\f(1,2)(t1＋t2).13.(2018·蘇州調研)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝a－2t))(其中t為參數).在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ＝4cosθ.(1)分別寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；(2)若直線l與圓C相切，求實數a的值.解(1)直線l的普通方程是2x＋y－a－2＝0，圓C的直角坐標方程是(x－2)2＋y2＝4.(2)由(1)知圓心為C(2,0)，半徑r＝2，設圓心到直線的距離為d，因為直線與圓相切，所以d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4－a－2)),\r(5))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－a)),\r(5))＝2，解得a＝2±2eq\r(5).14.(2018·江蘇省南京外國語學校質檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2cosα，,y＝2sinα))(α為參數，m為常數).以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2).若直線l與圓C有兩個公共點，求實數m的取值范圍.解圓C的普通方程為(x－m)2＋y2＝4.直線l的極坐標方程化為ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\r(2)，即eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y＝eq\r(2)，化簡得x＋y－2＝0.因為圓C的圓心為C(m,0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|m－2|,\r(2))，所以d＝eq\f(|m－2|,\r(2))＜2，解得2－2eq\r(2)＜m＜2＋2eq\r(2).15.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcosφ，,y＝tsinφ))(t為參數)，φ∈[0，π)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ.(1)若直線l與圓C相切，求φ的值；(2)已知直線l與圓C交于A，B兩點，記點A，B相應的參數分別為t1，t2，當t1＝2t2時，求AB的長.解(1)圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4，將直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程得(tcosφ－4)2＋(tsinφ)2＝4，即t2－8tcosφ＋12＝0，因為直線l與圓C相切，所以Δ＝(8cosφ)2－4×12＝0，所以cosφ＝eq\f(\r(3),2)或cosφ＝－eq\f(\r(3),2)，φ∈[0，π)，所以φ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcosφ，,y＝tsinφ))代入圓C的直角坐標方程(x－2)2＋y2＝4，得t2－8tcosφ＋12＝0，因為t1,2＝eq\f(8cosφ±\r(64cos2φ－48),2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝8cosφ，,t1·t2＝12，))又t1＝2t2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＝8cosφ，,2t\o\al(2,2)＝12))?64cos2φ＝54，所以AB＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1－t2))＝eq\r(64cos2φ－48)＝eq\r(,6).16.(2018·如皋調研)已知在平面直角坐標系xOy中，圓M的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5\r(3),2)＋2cosθ，,y＝\f(7,2)＋2sinθ))(θ為參數)，以Ox軸為極軸，O為極點建立極坐標系，在該極坐標系下，圓N是以點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(π,3)))為圓心，且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))的圓.(1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標方程；(2)求圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值.解(1)將方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5\r(3),2)＋2cosθ，,y＝\f(7,2)＋2sinθ))消去參數θ，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,2)))2＝4，所以圓M的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,2)))2＝4.點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(π,3)))和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))的直角坐標分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，所以圓N的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，半徑為r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2))2)＝1，故圓N的直角坐標方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝1.(2)由(1)得圓M，N的圓心距為MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(5\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(7,2)))2)＝4，所以圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值為dmin＝MN－3＝4－3＝1.1.已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,21))，其中a∈R，若點P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點P′(－4,0).(1)求實數a的值；(2)求矩陣M的特征值及其對應的特征向量.解(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,21))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4,0))，得2－2a＝－4?a＝3.(2)由(1)知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,21))，則矩陣M的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－3,－2λ－1))＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩陣M的特征值為－1與4.當λ＝－1時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－2x－3y＝0，,－2x＋λ－1y＝0))?x＋y＝0，∴矩陣M的屬于特征值－1的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))；當λ＝4時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－2x－3y＝0，,－2x＋λ－1y＝0))?2x－3y＝0.∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,2)).2.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,1a))(a為實數).(1)若矩陣A存在逆矩陣，求實數a的取值范圍；(2)若直線l：x－y＋4＝0在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x－y＋2a＝0，求實數a的值；(3)在(2)的條件下，求A5.解(1)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1,1a))＝a2－1≠0，∴a≠±1.(2)設l上任一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))在A的變換作用下變?yōu)辄ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x′，y′))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,1a))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax＋y,x＋ay))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝ax＋y，,y′＝x＋ay，))所以x′－y′＋2a＝ax＋y－x－ay＋2a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a))y＋2a＝0，所以a＝2.(3)A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(54,45))，A4＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(54,45))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(54,45))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4140,4041