《總體離散程度的估計(jì)》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》，本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的估計(jì)量；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的回顧，進(jìn)一步研究和學(xué)習(xí)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征以及初步應(yīng)用，有利于進(jìn)一步完善對統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)識的系統(tǒng)性，加深對統(tǒng)計(jì)學(xué)思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.會用樣本的極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體。B.通過用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的研究，滲透統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想和方法。C.培養(yǎng)學(xué)生收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、歸納和整理數(shù)據(jù)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。1.數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運(yùn)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差2.邏輯推理：運(yùn)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行推斷3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算4.數(shù)據(jù)分析：運(yùn)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分析判斷【教學(xué)重點(diǎn)】：方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：如何利用樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差對總體數(shù)據(jù)作出分析及判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為xn②特征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).頻率直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);②容易得到①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;②無法客觀地反映總體特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù),即排序靠前或靠后的幾個(gè)數(shù)據(jù)的影響;②容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)能反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大二、情境與問題樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會使我們作出對總體的片面判斷,因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).例如:有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?提示:經(jīng)計(jì)算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7同理可得x乙=7.他們的平均成績一樣②難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(3)考慮一個(gè)容量為2的樣本:x1<x2,其樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為x2-x12,如果記a=x提示x和a的幾何意義如圖所示.顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)據(jù)較分散;標(biāo)準(zhǔn)差越小,則a越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)x的周圍.2.填空(1)假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”,即|xi-x|(i=1,2,…,n)作為xi到x的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到x的“平均距離”為1n∑i=1n|xi-x|.為了避免式中含有絕對值,通常改用平方來代替,即1n∑i=1n(xi由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致,我們對方差開平方,取它的算術(shù)平方根,即1n∑i(2)如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則稱S2=1N∑i=1N(Yi-Y)2為總體方差,S=S2為總體標(biāo)準(zhǔn)差.與總體均值類似,總體方差也可以寫成加權(quán)的形式.如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=1N∑i=1(3)如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為y,則稱s2=1n∑i=1n(yi-y)2對標(biāo)準(zhǔn)差和方差的理解(1)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時(shí),就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標(biāo)準(zhǔn)差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會越過極差.(6)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的取值范圍為[0,+∞).當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.(8)在實(shí)際問題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機(jī)性.做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.()②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.()答案:①√②×2.對劃艇運(yùn)動員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.解:x甲=16×(27+38+30+37+35s甲2=16×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=x乙=16×(33+29+38+34+28s乙2=16×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=1所以x甲這說明甲、乙兩運(yùn)動員的最大速度的平均值相同,但乙比甲更穩(wěn)定,故乙比甲更優(yōu)秀.有關(guān)平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是mx+a(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.(4)方差的簡化公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2],或?qū)懗蓅2=2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)x=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為,方差為答案:118解析:因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)x=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2x+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=例1在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為,方差記為;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為eq\x\to(x)，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則這個(gè)樣本的方差為s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2]跟蹤訓(xùn)練1．在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和方差．所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟(1)確定eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，(2)確定eq\x\to(x)；(3)應(yīng)用公式s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]．計(jì)算s2.9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計(jì)算出樣本平均數(shù)=8.79,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈6.20如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個(gè).也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在內(nèi).樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.由回顧知識出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到對反映樣本數(shù)字離散程度的估計(jì)量；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)習(xí)的重要性。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過具體問題，讓學(xué)生感受反映樣本數(shù)字離散程度的估計(jì)量；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)學(xué)習(xí)解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握反映樣本數(shù)字離散程度的估計(jì)量；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法，并熟悉的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1,x2,…,xn的平均值 B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo),故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.2.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為()A.65 B.65 C.解析:由平均值為1可得a+0+1+2+35解得a=-1,所以樣本方差s2=(-1-1答案:D3.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則以下選項(xiàng)判斷不正確的有()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析:由題意可知,甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6,A錯(cuò);甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯(cuò);甲、乙的成績的方差分別為15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=12答案:ABD4.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動會射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均成績和方差如下表所示:若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動會射擊項(xiàng)目比賽,最佳人選是.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個(gè))甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)x8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4答案:丙解析:分析表格數(shù)據(jù)可知,乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多,又丙的方差比乙小,說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.5.計(jì)算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根據(jù)簡化公式進(jìn)行計(jì)算,也可以把每個(gè)數(shù)據(jù)減去一個(gè)數(shù),用找齊法計(jì)算.解:(解法一)x2=542+552+532+562+572+5826≈3083.17,x(解法二)每個(gè)數(shù)據(jù)減去55得到新的數(shù)據(jù)組-1,0,-2,1,2,3,該組數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)組的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+96≈3.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.176.在一次科技知識競賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚赫埜鶕?jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識，判斷這兩個(gè)組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由．解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組好些．(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成績在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成績在80分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成績較好．(4)從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于等于90分的有20人，乙組成績大于等于90分的有24人，所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多．同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成績較好．通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.極差的定義及特征：2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及特征總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義3.會求方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并做出決策4.方差的運(yùn)算性質(zhì)：5.會求分層抽樣的方差五、課時(shí)練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的估計(jì)量；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的回顧，進(jìn)一步研究和學(xué)習(xí)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征以及初步應(yīng)用，有利于進(jìn)一步完善對統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)識的系統(tǒng)性，加深對統(tǒng)計(jì)學(xué)思想方法的理解。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！?.2.4總體離散程度的估計(jì)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用樣本的極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體。2.通過用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的研究，滲透統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想和方法。3.培養(yǎng)學(xué)生收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、歸納和整理數(shù)據(jù)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】：方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】：如何利用樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差對總體數(shù)據(jù)作出分析及判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性?！局R梳理】一、溫故知新(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為xn②特征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).頻率直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);②容易得到①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;②無法客觀地反映總體特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù),即排序靠前或靠后的幾個(gè)數(shù)據(jù)的影響;②容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)能反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大【學(xué)習(xí)過程】一、情境與問題樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會使我們作出對總體的片面判斷,因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).例如:有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?提示:經(jīng)計(jì)算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7同理可得x乙=7.他們的平均成績一樣②難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(3)考慮一個(gè)容量為2的樣本:x1<x2,其樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為x2-x12,如果記a=x提示x和a的幾何意義如圖所示.顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)據(jù)較分散;標(biāo)準(zhǔn)差越小,則a越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)x的周圍.2.填空(1)假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”,即|xi-x|(i=1,2,…,n)作為xi到x的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到x的“平均距離”為1n∑i=1n|xi-x|.為了避免式中含有絕對值,通常改用平方來代替,即1n∑i=1n(xi由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致,我們對方差開平方,取它的算術(shù)平方根,即1n∑i(2)如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則稱S2=1N∑i=1N(Yi-Y)2為總體方差,S=S2為總體標(biāo)準(zhǔn)差.與總體均值類似,總體方差也可以寫成加權(quán)的形式.如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=1N∑i=1(3)如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為y,則稱s2=1n∑i=1n(yi-y)2對標(biāo)準(zhǔn)差和方差的理解(1)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時(shí),就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標(biāo)準(zhǔn)差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會越過極差.(6)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的取值范圍為[0,+∞).當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.(8)在實(shí)際問題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機(jī)性.做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.()②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.()2.對劃艇運(yùn)動員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.有關(guān)平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是mx+a(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.(4)方差的簡化公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2],或?qū)懗蓅2=跟蹤訓(xùn)練2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)x=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為,方差為例1在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為eq\x\to(x)，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則這個(gè)樣本的方差為s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2]1．在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和方差．所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟(1)確定eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，(2)確定eq\x\to(x)；(3)應(yīng)用公式s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]．計(jì)算s2.9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計(jì)算出樣本平均數(shù)=8.79,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈6.20如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個(gè).也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在內(nèi).樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.【達(dá)標(biāo)檢測】1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1,x2,…,xn的平均值 B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)2.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為()A.65 B.65 C.3.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則以下選項(xiàng)判斷不正確的有()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差4.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動會射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均成績和方差如下表所示:若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動會射擊項(xiàng)目比賽,最佳人選是.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個(gè))

甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)x8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.45.計(jì)算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.6.在一次科技知識競賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚赫埜鶕?jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識，判斷這兩個(gè)組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由．【課堂小結(jié)】1.極差的定義及特征：2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及特征總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義3.會求方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并做出決策4.方差的運(yùn)算性質(zhì)：5.會求分層抽樣的方差參考答案：學(xué)習(xí)過程做一做1.答案:①√②×2.解:x甲=16×(27+38+30+37+35s甲2=16×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=x乙=16×(33+29+38+34+28s乙2=16×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=1所以x甲這說明甲、乙兩運(yùn)動員的最大速度的平均值相同,但乙比甲更穩(wěn)定,故乙比甲更優(yōu)秀.跟蹤訓(xùn)練2.答案:118解析:因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)x=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2x+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=例1解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為,方差記為;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得1．所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6達(dá)標(biāo)檢測1.答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo),故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.2解析:由平均值為1可得a+0+1+2+35解得a=-1,所以樣本方差s2=(-1-1答案:D3.(多選)解析:由題意可知,甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6,A錯(cuò);甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯(cuò);甲、乙的成績的方差分別為15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=12答案:ABD4.答案:丙解析:分析表格數(shù)據(jù)可知,乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多,又丙的方差比乙小,說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.5.分析可以根據(jù)簡化公式進(jìn)行計(jì)算,也可以把每個(gè)數(shù)據(jù)減去一個(gè)數(shù),用找齊法計(jì)算.解:(解法一)x2=542+552+532+562+572+5826≈3083.17,(解法二)每個(gè)數(shù)據(jù)減去55得到新的數(shù)據(jù)組-1,0,-2,1,2,3,該組數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)組的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+96≈3.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.176.解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組好些．(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成績在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成績在80分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成績較好．(4)從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于等于90分的有20人，乙組成績大于等于90分的有24人，所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多．同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成績較好．9.3統(tǒng)計(jì)案例公司員工的肥胖情況調(diào)查分析【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解統(tǒng)計(jì)報(bào)告的組成部分．2.可對統(tǒng)計(jì)案例進(jìn)行初步分析.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：①了解統(tǒng)計(jì)報(bào)告的組成部分；②對統(tǒng)計(jì)案例進(jìn)行初步分析.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：對統(tǒng)計(jì)案例進(jìn)行初步分析.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本218-219頁，填寫。1.統(tǒng)計(jì)報(bào)告的主要組成部分（1）標(biāo)題．（2）前言.簡單交代調(diào)查的目的、方法、范圍等背景情況，使讀者了解調(diào)查的基本情況.（3）主題展示數(shù)據(jù)分析的全過程；首先要明確所關(guān)心的問題是什么，說明數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息；根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需要，說明如何選擇合適的圖標(biāo)描述和表達(dá)數(shù)據(jù)；從樣本數(shù)據(jù)中提取能刻畫其特征的量，如均值、方差等，用于比較男、女員工在肥胖狀況上的差異；通過樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，分析公司員工胖瘦程度的整體.（4）結(jié)尾對主題部分的內(nèi)容進(jìn)行概括，結(jié)合控制體重的一般方法，提出控制公司員工體重的建議.【牛刀小試】1.一組數(shù)據(jù)的方差一定是（）A．正數(shù)B．復(fù)數(shù)C．任意實(shí)數(shù)D．非負(fù)數(shù)2.對于數(shù)據(jù)3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列結(jié)論：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．43．已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均數(shù)為a,x4,x5,x6,…,x10的平均數(shù)為b,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()A． B． C． D．4．某天有10名工人生產(chǎn)同一零部件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a、b、c從小到大的關(guān)系依次是________.【自主探究】題型一由統(tǒng)計(jì)信息解決實(shí)際問題例1甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)，試根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8例2為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.跟蹤訓(xùn)練一1．樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5，條形圖如圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A．第一組 B．第二組C．第三組 D．第四組2．某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.的分組企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）附：.【達(dá)標(biāo)檢測】1．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A．2, B．2,3 C．4, D．4,32．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．1203．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；134．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3，若該樣本平均數(shù)為1，則樣本方差為________．5．對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合計(jì)M1(1)求出表中M，p及圖中a的值；(2)若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù)；(3)估計(jì)這次學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)人數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)．答案小試牛刀1.D.2．A.3．B.4.自主探究例1【答案】甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定【解析】甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2)＋(9.8－10)2]÷5＝0.24.因?yàn)?.24＞0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．例2【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)由題得，解得，由，解得.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，乙離子殘留百分比的平均值為跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】D.【解析】選D.法一：第一組中，樣本數(shù)據(jù)都為5，標(biāo)準(zhǔn)差為0；第二組中，樣本數(shù)據(jù)為4，4，4，5，5，5，6，6，6，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(\r(6),3)；第三組中，樣本數(shù)據(jù)為3，3，4，4，5，6，6，7，7，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(2\r(5),3)；第四組中，樣本數(shù)據(jù)為2，2，2，2，5，8，8，8，8，標(biāo)準(zhǔn)差為2eq\r(2)，故標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是第四組．法二：從四個(gè)圖形可以直觀看出第一組數(shù)據(jù)沒有波動性，第二、三組數(shù)據(jù)的波動性都比較小，而第四組數(shù)據(jù)的波動性相對較大，利用標(biāo)準(zhǔn)差的意義可以直觀得到答案．2．【答案】(1)增長率超過的企業(yè)比例為，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為；（2）平均數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)差.【解析】(1)由題意可知，隨機(jī)調(diào)查的個(gè)企業(yè)中增長率超過40%的企業(yè)有個(gè)，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)有個(gè)，所以增長率超過40%的企業(yè)比例為21100，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2(2)由題意可知，平均值y=標(biāo)準(zhǔn)差的平方：s2所以標(biāo)準(zhǔn)差s=0.0296當(dāng)堂檢測 1-3.DCD4.2.5．【答案】見解析【解析】(1)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因?yàn)閍是對應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商，所以a＝＝0.12.(2)因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有240人，在[10,15)內(nèi)的頻率是0.25，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60.(3)估計(jì)這次學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)人數(shù)的眾數(shù)是＝17.5.因?yàn)閚＝＝0.6，所以樣本中位數(shù)是15＋≈17.1，估計(jì)這次學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)人數(shù)的中位數(shù)是17.1.樣本平均人數(shù)是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估計(jì)這次學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)人數(shù)的平均數(shù)是17.25.《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》同步練習(xí)一、選擇題1．對于一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2,3，…，n)，如果將它們改變?yōu)閤i＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，則下列結(jié)論正確的是()A．平均數(shù)與方差均不變B．平均數(shù)變，方差保持不變C．平均數(shù)不變，方差變D．平均數(shù)與方差均發(fā)生變化2．如圖：樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，他們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）A．B．C．D．3．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差4．某位同學(xué)參加歌唱比賽，有8位評委．歌唱結(jié)束后，各評委打分的平均數(shù)為5，方差為3．又加入一個(gè)特邀嘉賓的打分為5，此時(shí)這9個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A．， B．， C．， D．，5．（多選題）下面是甲、乙兩位同學(xué)高三上學(xué)期的5次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績，現(xiàn)只知其從第1次到第5次分?jǐn)?shù)所在區(qū)間段分布的條形圖（從左至右依次為第1至第5次），則從圖中可以讀出一定正確的信息是（）A．甲同學(xué)的成績的平均數(shù)大于乙同學(xué)的成績的平均數(shù)B．甲同學(xué)的成績的中位數(shù)在115到120之間C．甲同學(xué)的成績的極差小于乙同學(xué)的成績的極差D．甲同學(xué)的成績的中位數(shù)小于乙同學(xué)的成績的中位數(shù)6．（多選題）4．王明同學(xué)隨機(jī)抽查某市10個(gè)小區(qū)所得到的綠化率情況如下表所示：小區(qū)綠化率（%）20253032小區(qū)個(gè)數(shù)2431則關(guān)于這10個(gè)小區(qū)綠化率情況，下列說法正確的是()A．方差是13% B．眾數(shù)是25% C．中位數(shù)是25% D．平均數(shù)是26.2%二、填空題7．國家禁毒辦于年月日至月日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動中答對的題數(shù)分別是、、、、，則這五位同學(xué)答對題數(shù)的方差是____.8．某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為_____．9．某校甲、乙兩個(gè)班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如表所示，若以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為，則______.學(xué)號1號2號3號4號5號甲班67787乙班6767910．某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機(jī)詢問了該班5名男生和5名女生在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績，5名男生的成績分別為86，94，88，92，90，5名女生的成績分別為88，93，93，88，93.①這種抽樣方法是一種分層隨機(jī)抽樣；②這5名男生成績的方差大于這5名女生成績的方差；③該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù).則以上說法一定正確的是______.三、解答題11．甲、乙兩人在相同條件下各射擊次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示：（1）請?zhí)顚懴卤恚ㄏ葘懗鲇?jì)算過程再填表）：平均數(shù)方差命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)甲乙（2）從下列三個(gè)不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看（分析誰的成績更穩(wěn)定）；②從平均數(shù)和命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）；③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看（分析誰更有潛力）.參考公式：.12．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（II）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．對于一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2,3，…，n)，如果將它們改變?yōu)閤i＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，則下列結(jié)論正確的是()A．平均數(shù)與方差均不變B．平均數(shù)變，方差保持不變C．平均數(shù)不變，方差變D．平均數(shù)與方差均發(fā)生變化【答案】B【解析】由平均數(shù)的定義，可知每個(gè)個(gè)體增加C，則平均數(shù)也增加C，方差不變．故選B.2．如圖：樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，他們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，，由圖可知A中數(shù)據(jù)波動程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，.故選B.3．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差【答案】A【解析】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．4．某位同學(xué)參加歌唱比賽，有8位評委．歌唱結(jié)束后，各評委打分的平均數(shù)為5，方差為3．又加入一個(gè)特邀嘉賓的打分為5，此時(shí)這9個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A．，B．，C．， D．，【答案】B【解析】某位同學(xué)參加歌唱比賽，有8位評委．歌唱結(jié)束后，各評委打分的平均數(shù)為5，方差為3．又加入一個(gè)特邀嘉賓的打分為5，此時(shí)這9個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為s2，則，．故選：B．5．（多選題）下面是甲、乙兩位同學(xué)高三上學(xué)期的5次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績，現(xiàn)只知其從第1次到第5次分?jǐn)?shù)所在區(qū)間段分布的條形圖（從左至右依次為第1至第5次），則從圖中可以讀出一定正確的信息是（）A．甲同學(xué)的成績的平均數(shù)大于乙同學(xué)的成績的平均數(shù)B．甲同學(xué)的成績的中位數(shù)在115到120之間C．甲同學(xué)的成績的極差小于乙同學(xué)的成績的極差D．甲同學(xué)的成績的中位數(shù)小于乙同學(xué)的成績的中位數(shù)【答案】BD【解析】對于A，甲同學(xué)的成績的平均數(shù)種，乙同學(xué)的成績的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；由題圖甲知，B正確；對于C，由題圖知，甲同學(xué)的成績的極差介于之間，乙同學(xué)的成績的極差介于之間，所以甲同學(xué)的成績的極差也可能大于乙同學(xué)的成績的極差，故C錯(cuò)誤；對于D，甲同學(xué)的成績的中位數(shù)在115~120之間，乙同學(xué)的成績的中位數(shù)在125~130之間，所以甲同學(xué)的成績的中位數(shù)小于乙同學(xué)的成績的中位數(shù)，故D正確.6．（多選題）4．王明同學(xué)隨機(jī)抽查某市10個(gè)小區(qū)所得到的綠化率情況如下表所示：小區(qū)綠化率（%）20253032小區(qū)個(gè)數(shù)2431則關(guān)于這10個(gè)小區(qū)綠化率情況，下列說法正確的是()A．方差是13% B．眾數(shù)是25% C．中位數(shù)是25% D．平均數(shù)是26.2%【答案】BCD【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，眾數(shù)為25%，選項(xiàng)正確；中位數(shù)為25%，選項(xiàng)正確；平均數(shù)為，選項(xiàng)正確；方差為；選項(xiàng)錯(cuò)誤.二、填空題7．國家禁毒辦于年月日至月日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動中答對的題數(shù)分別是、、、、，則這五位同學(xué)答對題數(shù)的方差是____.【答案】【解析】由這五位同學(xué)答對的題數(shù)分別是、、、、，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差.8．某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為_____．【答案】4【解析】由題意可得：，設(shè)，，則，解得，∴9．某校甲、乙兩個(gè)班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如表所示，若以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為，則______.學(xué)號1號2號3號4號5號甲班67787乙班67679【答案】【解析】由數(shù)據(jù)表可得出乙班的數(shù)據(jù)波動性較大，則其方差較大，甲班的數(shù)據(jù)波動性較小，其方差較小.則甲班的方差為所求方差，其平均值為7，方差.10．某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機(jī)詢問了該班5名男生和5名女生在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績，5名男生的成績分別為86，94，88，92，90，5名女生的成績分別為88，93，93，88，93.①這種抽樣方法是一種分層隨機(jī)抽樣；②這5名男生成績的方差大于這5名女生成績的方差；③該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù).則以上說法一定正確的是______.【答案】②.【解析】若抽樣方法是分層隨機(jī)抽樣，男生、女生分別抽取人、人，故①錯(cuò)誤；這名男生成績的平均數(shù)：這名女生成績的平均數(shù)：這名男生成績的方差：這名女生成績的方差：，故②正確；由題所給的條件只能得出這名男生成績的平均數(shù)小于這名女生成績的平均數(shù)，不能說明班級總體情況，故③錯(cuò)誤.故答案為：②三、解答題11．甲、乙兩人在相同條件下各射擊次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示：（1）請?zhí)顚懴卤恚ㄏ葘懗鲇?jì)算過程再填表）：平均數(shù)方差命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)甲乙（2）從下列三個(gè)不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看（分析誰的成績更穩(wěn)定）；②從平均數(shù)和命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）；③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看（分析誰更有潛力）.參考公式：.【答案】（1）詳見解析；（2）①甲成績比乙穩(wěn)定；②乙成績比甲好些；③乙更有潛力.【解析】（1）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算由題圖，知：甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為、、、、、、、、、.將它們由小到大排列為、、、、、、、、、.乙射擊次中靶環(huán)數(shù)分別為、、、、、、、、、.將它們由小到大排列為、、、、、、、、、；（1）（環(huán)），.填表如下：平均數(shù)方差命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)甲乙（2）①平均數(shù)相同，，甲成績比乙穩(wěn)定；②平均數(shù)相同，命中環(huán)及環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少，乙成績比甲好些；③甲成績在平均數(shù)上下波動；而乙處于上升勢頭，從第三次以后就沒有比甲少的情況發(fā)生，乙更有潛力.12．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（II）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？【答案】（1）見解析；（2）平均數(shù)100，方差為104；（3）不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.【解析】（1）直方圖如圖，（2）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為.（3）質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為，由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.《9.3統(tǒng)計(jì)案例公司員工的肥胖情況調(diào)查分析》同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固1．一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘以2，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，2．某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為3萬元，則9時(shí)至14時(shí)的銷售總額為A．10萬元 B．12萬元C．15萬元 D．30萬元3．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差4．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A． B． C． D．5．AQI是表示空氣質(zhì)量的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,當(dāng)AQI指數(shù)值不大于100時(shí)稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某地4月1日到12日AQI指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),圖中點(diǎn)A表示4月1日的AQI指數(shù)值為201,則下列敘述不正確的是()A．這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”B．這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日C．這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是90D．從4日到9日,空氣質(zhì)量越來越好6．甲?乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共48000件,采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn),則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件.7．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級，把每個(gè)班級參加該小組的認(rèn)為作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為.8．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)缦?；分別求這17名運(yùn)動員的成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位），并分析這些數(shù)據(jù)的含義.成績/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111能力提升9．某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽取60名學(xué)生的成績（均為整數(shù)），其成績的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計(jì)此次考試成績的中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．73.3，75，72 B．73.3，80，73C．70，70，76 D．70，75，7510．某市有15個(gè)旅游景點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算，黃金周期間各個(gè)景點(diǎn)的旅游人數(shù)平均為20萬，標(biāo)準(zhǔn)差為s，后來經(jīng)核實(shí)，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩處景點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的人數(shù)有誤，甲景點(diǎn)實(shí)際為20萬，被誤統(tǒng)計(jì)為15萬，乙景點(diǎn)實(shí)際為18萬，被誤統(tǒng)計(jì)成23萬；更正后重新計(jì)算，得到標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1的大小關(guān)系為_____________.11．甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示．(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和(1)中的計(jì)算結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià)．素養(yǎng)達(dá)成12．為提倡節(jié)能減排，同時(shí)減輕居民負(fù)擔(dān)，廣州市積極推進(jìn)“一戶一表”工程．非一戶一表用戶電費(fèi)采用“合表電價(jià)”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：0.65元/度．“一戶一表”用戶電費(fèi)采用階梯電價(jià)收取，其11月到次年4月起執(zhí)行非夏季標(biāo)準(zhǔn)如下：第一檔第二檔第三檔每戶每月用電量(單位：度)[0，200](200，400](400，＋∞)電價(jià)(單位：元/度)0.610.660.91例如：某用戶11月用電410度，采用合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)410×0.65＝266.5(元)，若采用階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．為調(diào)查階梯電價(jià)是否能取到“減輕居民負(fù)擔(dān)”的效果，隨機(jī)調(diào)查了該市100戶居民的11月用電量，工作人員已經(jīng)將90戶的月用電量填在下面的頻率分布表中，最后10戶的月用電量(單位：度)為88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率①[0，100]②(100，200]③(200，300]④(300，400]⑤(400，500]⑥(500，600]合計(jì)(1)完成頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；(2)根據(jù)已有信息，試估計(jì)全市住戶11月的平均用電量(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)設(shè)某用戶11月用電量為x度(x∈N)，按照合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交y1元，按照階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交y2元，請用x表示y1和y2，并求當(dāng)y2≤y1時(shí)，x的最大值，同時(shí)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)“階梯電價(jià)”能否給不低于75%的用戶帶來實(shí)惠？《9.3統(tǒng)計(jì)案例公司員工的肥胖情況調(diào)查分析》同步練習(xí)答案解析基礎(chǔ)鞏固1．一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘以2，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】設(shè)該組數(shù)據(jù)為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘以2，則有，平均數(shù)為.又，則新數(shù)據(jù)的方差為，故選：C.2．某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．