人教版高中數(shù)學必修二《第八章 立體幾何初步》單元教案

人教版高中數(shù)學必修二《第八章立體幾何初步》單元教案8.1基本幾何圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺【教材分析】立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小、位置關系的一門數(shù)學學科，而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實空間，學習立體幾何對我們更好地認識客觀世界，更好地生存與發(fā)展具有重要意義。在立體幾何初步部分,學生將先從對空間幾何體觀察入手、認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系。本節(jié)內(nèi)容既是義務教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究空間點、線、面位置關系的基礎，既鞏固了前面所學的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學習做了知識上和方法上的準備，在教材中起著承前啟后的作用?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．通過對實物模型的觀察，歸納認知簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來判斷、描述現(xiàn)實生活中的實物模型．3．與平面幾何體的有關概念、圖形和性質進行適當類比，初步學會用類比的思想分析問題和解決問題．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：多面體與旋轉體等概念的理解；2.邏輯推理：棱柱、棱錐、棱臺的結構特點；3.直觀想象：判斷空間幾何體；4.數(shù)學建模：通過平面展開圖將空間問題轉化為平面問題解決，體現(xiàn)了轉化的思想方法.【教學重點和難點】重點：掌握棱柱、棱錐、棱臺的結構特征；難點：棱柱、棱錐和棱臺的側面展開圖問題.【教學過程】一、情景導入在平面幾何中，我們認識了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圓，扇形等平面圖形.但我們知道在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果我們只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.那么對空間中各種各樣的幾何體，我們?nèi)绾握J識它們的結構特征？對空間中不同形狀、大小的幾何體我們?nèi)绾卫斫馑鼈兊穆?lián)系和區(qū)別？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本97-100頁，思考并完成以下問題1、什么是空間幾何體？什么是多面體與旋轉體？2、多面體包含哪些圖形？這些圖形是怎樣定義的？又有什么結構特點？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、空間幾何體定義：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么這些由物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。2、多面體與旋轉體多面體的定義：由若干平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體,圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．旋轉體的定義：由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體．3、、幾種基本空間幾何體的結構特征（1）棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行。棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……用各頂點字母表示棱柱，如棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。（2）棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形.底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又叫四面體。棱錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如棱錐S-ABCD。（3）棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面區(qū)截棱錐，底面于截面之間的部分叫做棱臺。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，棱臺也有側面、側棱、頂點。由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……用各頂點字母表示棱柱，如棱臺ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。四、典例分析、舉一反三題型一棱柱、棱錐、棱臺的結構特點例1(1)下列命題中正確的是________．(填序號)①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②棱柱的一對互相平行的平面均可看作底面；③三棱錐的任何一個面都可看作底面；④棱臺各側棱的延長線交于一點．(2)關于如圖所示幾何體的正確說法的序號為________．①這是一個六面體.②這是一個四棱臺.③這是一個四棱柱.④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到．⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．【答案】(1)③④(2)①③④⑤.【解析】(1)結合有關多面體的定義及性質判斷．對于①，還可能是棱臺；對于②，只要看一個正六棱柱模型即知是錯的；對于③，顯然是正確的；④顯然符合定義．故填③④.(2)①正確．因為有六個面，屬于六面體的范圍．②錯誤．因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確．③正確．如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱．④⑤都正確．如圖所示．解題技巧（判斷結構特點的注意事項）在解答關于空間幾何體概念的判斷題時，要注意緊扣定義判斷，這就要求熟悉各種空間幾何體的概念的內(nèi)涵和外延，切忌只憑圖形主觀臆斷．跟蹤訓練一1、棱臺不具備的特點是()A．兩底面相似B．側面都是梯形C．側棱都相等D．側棱延長后都交于一點2、給出下列幾個命題，其中錯誤的命題是()A．棱柱的側面都是平行四邊形B．棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個公共頂點C．多面體至少有四個面D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【答案】1、C.2、D.【解析】1.由棱臺的定義及特征知，A、B、D是棱臺的特點，故選C.2.根據(jù)各種幾何體的概念與結構特征判斷命題的真假．A、B均為真命題；對于C，一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個頂點，3個頂點只能構成平面圖形，當有4個頂點時，可圍成4個面，所以一個多面體至少應有4個面，而且這樣的面必是三角形，故C也是真命題；對于D，只有當截面與底面平行時才對．題型二簡單結合體的判斷例2如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？如果不是，說明理由．【答案】(1)該長方體是棱柱，并且是四棱柱，祥見解析．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面.【解析】(1)該長方體是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當然是平行四邊形，并且四條側棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面.解題技巧：(判斷幾何體的注意事項)解決簡單幾何體的判定問題，需要對簡單幾何體的有關結構特征熟練掌握，如側棱與底面的關系，底面、側面的形狀、截面形狀等，同時還要會計算棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)、棱數(shù)及面數(shù)．跟蹤訓練二1、如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體有幾個面、幾個頂點、幾條棱？【答案】這個幾何體有8個面；6個頂點；12條棱．【解析】這個幾何體有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱．題型三空間幾何體的側面展開圖例3如圖是三個幾何體的側面展開圖，請問各是什么幾何體？【答案】①為五棱柱；②為五棱錐；③為三棱臺．【解析】①為五棱柱；②為五棱錐；③為三棱臺．例4長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線．【答案】最短路線長為eq\r(74).【解析】沿長方體的一條棱剪開，使A和C1展在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若將AD剪開，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若將CC1剪開，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為eq\r(74).解題技巧（多面體展開圖的解題策略）(1)由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個平面展開圖．(2)求幾何體表面上兩點間的距離的方法：求從幾何體的表面上一點，沿幾何體表面運動到另一點，所走過的最短距離，常將幾何體沿某條棱剪開，使兩點展在一個平面上，轉化為求平面上兩點間的最短距離問題.跟蹤訓練三1．下列四個平面圖形中，每個小四邊形都是正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的是()2．水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A．1B．2C．快D．樂【答案】1、C.2、B.【解析】1、選C將四個選項中的平面圖形折疊，看哪一個可以圍成正方體．2、選B由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，1與樂相對，2與2相對，0與快相對，所以下面是2.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計8.8.1基本幾何圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺空間幾何體例1例2例3例4多面體與旋轉體多面體旋轉體3.常見多面體棱柱棱錐棱臺七、作業(yè)課本101頁練習，105頁習題8.1的1、2、6、7、8題.【教學反思】本節(jié)課作為立體幾何的第一節(jié)，概念比較多，理解起來需要一定的空間想象力，但有一小部分學生缺乏空間想象能力，所以上課的時候提前準備一些模型會更好，借助模型學生對棱柱、棱錐、棱臺結構特征的理解會更加透徹.8.1基本幾何圖形第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體【教材分析】立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小、位置關系的一門數(shù)學學科，而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實空間，學習立體幾何對我們更好地認識客觀世界，更好地生存與發(fā)展具有重要意義。在立體幾何初步部分,學生將先從對空間幾何體觀察入手、認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系。本節(jié)內(nèi)容既是義務教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究空間點、線、面位置關系的基礎，既鞏固了前面所學的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學習做了知識上和方法上的準備，在教材中起著承前啟后的作用?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．認識圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征．2．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：簡單組合體概念的理解；2.邏輯推理：圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特點；3.直觀想象：判斷空間幾何體；4.數(shù)學運算：球的相關計算、最短距離等；5.數(shù)學建模：通過平面展開圖將空間問題轉化為平面問題解決，體現(xiàn)了轉化的思想方法.【教學重點和難點】重點：掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征；難點：旋轉體的相關計算.【教學過程】一、情景導入上節(jié)課學了常見的多面體：棱柱、棱錐、棱臺，那么常見的旋轉體有哪些？又有什么結構特點？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本101-104頁，思考并完成以下問題1、旋轉體包含哪些圖形？2、圓柱、圓錐、圓臺、球是怎樣定義的？又有什么結構特點？3、什么是簡單組合體，特點是什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究一、常見的旋轉體1、圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體。旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。圓柱用表示它的軸的字母表示，如圓柱O’O。2、圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面圍成的旋轉體。圓錐也有軸、底面、側面和母線。圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圓錐SO。3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺。圓臺也有軸、底面、側面、母線。圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圓臺O’O。4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體。半圓的圓心叫做球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑，球常用球心字母O表示，如球O。小結：常見空間幾何體有棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球。其中棱柱、圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐、圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺、圓臺統(tǒng)稱為臺體，所以簡單空間幾何體概括分類為：柱體、錐體、臺體和球體。二、簡單組合體1．簡單組合體的定義由簡單幾何體組合而成的幾何體叫作簡單組合體．2．簡單組合體的兩種基本形式(1)由簡單幾何體拼接而成，如課本P103（1）（2）；(2)由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如課本P103（3）（4）。四、典例分析、舉一反三題型一旋轉體的結構特點例1給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體．其中說法正確的是________．【答案】（1）（2）.【解析】解析(1)正確，圓柱的底面是圓面．(2)正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)不正確，圓臺的母線延長相交于一點；(4)不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉體．解題技巧（判斷旋轉體結構特點的注意事項）1．判斷簡單旋轉體結構特征的方法(1)明確由哪個平面圖形旋轉而成．(2)明確旋轉軸是哪條直線．2．簡單旋轉體的軸截面及其應用(1)簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉體結構特征的關鍵量．(2)在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉化思想．跟蹤訓練一1、判斷下列各命題是否正確．(1)一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(2)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(3)到定點的距離等于定長的點的集合是球．【答案】(1)錯誤．(2)正確．(3)錯誤．【解析】(1)錯誤．直角梯形繞下底所在直線旋轉一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．(2)正確．(3)錯誤．應為球面．題型二簡單組合體例2觀察下列幾何體的結構特點，完成以下問題：(1)幾何體①是由哪些簡單幾何體構成的？試畫出幾何圖形，使得旋轉該圖形180°后得到幾何體①.(2)幾何體②的結構特點是什么？試畫出幾何圖形，使得旋轉該圖形360°得到幾何體②.(3)幾何體③是由哪些簡單幾何體構成的？并說明該幾何體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)．【答案】(1)幾何體①是由圓錐和圓臺組合而成的．圖見解析.(2)幾何體②是由一個圓臺，從上而下挖去一個圓錐而得到，且圓錐的頂點恰為圓臺底面圓的圓心．圖見解析.(3)幾何體③是由一個四棱錐與一個四棱柱組合而成，且四棱錐的底面與四棱柱底面相同．該幾何體共有9個面、9個頂點、16條棱.【解析】(1)幾何體①是由圓錐和圓臺組合而成的．可旋轉如下圖(a)180°得到幾何體①.(2)幾何體②是由一個圓臺，從上而下挖去一個圓錐而得到，且圓錐的頂點恰為圓臺底面圓的圓心．可旋轉如圖(b)360°得到幾何體②.(3)幾何體③是由一個四棱錐與一個四棱柱組合而成，且四棱錐的底面與四棱柱底面相同．該幾何體共有9個面、9個頂點、16條棱.解題技巧(解決組合體問題的注意事項)1．明確組合體的結構特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點數(shù)，如幾何體③所示的組合體有9個面、9個頂點、16條棱．2．會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，因此我們應注意觀察周圍的物體，然后將它們“拆分”成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力．跟蹤訓練二1、下列組合體是由哪些幾何體組成的？【答案】(1)由兩個幾何體組合而成，分別為球、圓柱．(2)由三個幾何體組合而成，分別為圓柱、圓臺、圓柱．(3)由三個幾何體組合而成，分別為圓錐、圓柱、圓臺．.【解析】(1)由兩個幾何體組合而成，分別為球、圓柱．(2)由三個幾何體組合而成，分別為圓柱、圓臺、圓柱．(3)由三個幾何體組合而成，分別為圓錐、圓柱、圓臺．題型三旋轉體的有關計算例3已知球的半徑為10cm，若它的一個截面圓的面積為36πcm2，則球心與截面圓圓心的距離是________cm.【答案】8.【解析】如圖，設截面圓的半徑為r，球心與截面圓圓心之間的距離為d，球半徑為R.由示意圖易構造出一個直角三角形，解該直角三角形即可．由已知，R＝10cm，由πr2＝36πcm2，得r＝6cm，所以d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(100－36)＝8(cm)．例4如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？【答案】2eq\r(1＋π2).【解析】把圓柱的側面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，∴螞蟻爬行的最短距離為2eq\r(1＋π2).解題技巧（解決側面展開圖相關問題的解題策略）解此類題的關鍵要清楚幾何體的側面展開圖是什么樣的平面圖形，并進行合理的空間想象，且記住以下常見幾何體的側面展開圖：跟蹤訓練三1、如圖,圓臺側面的母線AB的長為20cm,上、下底面的半徑分別為5cm,10cm,從母線AB的中點M處拉一條繩子繞圓臺側面轉到B點,求這條繩子長度的最小值.【答案】50cm.【解析】作出圓臺的側面展開圖,如圖所示,由Rt△OPA與Rt△OQB相似,得=,即=,解得OA=20,所以OB=40.設∠BOB′=α,由弧BB′的長與底面圓Q的周長相等，得2×10×π=π·OB·,解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50.即所求繩長的最小值為50cm.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計基本幾何圖形第基本幾何圖形第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體常見旋轉體例1例2例3例4圓柱圓錐圓臺球2.簡單組合體七、作業(yè)課本104頁練習，105頁習題8.1的剩余題.【教學反思】本節(jié)課作為立體幾何的第一節(jié)，概念比較多，理解起來需要一定的空間想象力，但有一小部分學生缺乏空間想象能力，所以上課的時候提前準備一些模型會更好，借助模型學生對棱柱、棱錐、棱臺結構特征的理解會更加透徹.8.2立體圖形的直觀圖【教材分析】畫出空間幾何體的直觀圖是學生學好立體幾何的必要條件.本節(jié)課主要介紹了最常用的、直觀性好的斜二測畫法.而水平放置的平面圖形的直觀圖畫法，是畫空間幾何體直觀圖的基礎.教學的重點是斜二測畫法.教材給出了正六邊形、長方體、圓柱直觀圖畫法.教學可以適當延伸，討論正三角形、六棱柱、組合體等的直觀圖畫法.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖．2．通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：斜二測畫法的理解；2.數(shù)學運算：與直觀圖還原的有關計算；3.數(shù)學建模：畫平面幾何和空間幾何體的直觀圖.【教學重點和難點】重點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖；難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖.【教學過程】一、情景導入前面已經(jīng)學習了常見地7種空間幾何體，那么如何畫出他們地直觀圖呢？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本107-111頁，思考并完成以下問題1．畫平面圖形的直觀圖的步驟是什么？2．畫簡單幾何體的直觀圖的步驟是什么？3．水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法有哪些規(guī)則？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的步驟(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼匾话?2．用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側棱即可)，連線成圖．(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示．四、典例分析、舉一反三題型一水平放置的平面圖形直觀圖的畫法例1用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.【答案】見解析.【解析】（1）如圖（1），在正六邊形中，取所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸，兩軸相交于點O.在圖（2）中，畫相應的軸與軸，兩軸相交于點，使.（2）在圖（2）中，以為中點，在x軸上取，在軸上取以點為中點，畫平行于軸，并且等于；再以為中點，畫平行于軸，并且等于.（3）連接，并擦去輔助線軸和軸，便獲得正六邊形水平放置的直觀圖圖（3）.解題技巧（畫水平放置的平面圖形的直觀圖的注意事項）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段．跟蹤訓練一1.畫邊長為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.【答案】見解析【解析】(1)如圖所示，以BC邊所在直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在直線為y軸，再畫對應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，連接A′B′、A′C′，則△A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖．(3)擦去坐標軸得直觀圖△A′B′C′.題型二幾何體的直觀圖畫法用斜二測畫法畫長、寬、高分別是3cm、2cm、1.5cm的長方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖．【解析】(1)畫軸．如圖①所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝3cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1cm.分別過點M和點N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側棱，過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取1.5cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改為虛線)，就得到長方體的直觀圖(如圖②)．例3已知圓柱底面半徑為1cm，側面母線長為3cm的圓柱的直觀圖.【答案】見解析【解析】(1)畫軸.如圖所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.(2)畫下底面.在x軸上取A,B兩點,使OA=OB=1cm.選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A,B兩點,使它為圓柱的下底面.(3)畫上底面.在Oz上截取點O′,使OO′=3cm,過O′作Ox的平行線O′x′,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.(4)成圖.連接AA′，BB′,整理得到圓柱的直觀圖.解題技巧：(畫空間幾何體的直觀圖的注意事項)(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz，并且把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直．(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長度不變．(3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長度畫成原來的一半．(4)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長度不變．跟蹤訓練二1．用斜二測畫法畫一個底面邊長為4cm，高為6cm的正六棱柱(底面為正六邊形，側面為矩形的棱柱)的直觀圖．【答案】見解析【解析】(1)畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，記坐標原點為O，如圖①所示．(2)畫底面：按x′軸、y′軸畫邊長為4cm的正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側棱：過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它們都等于6cm.(4)成圖：順次連接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉輔助線，并將被遮住的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖，如圖②所示．2.一個幾何體,它的下面是一個圓柱,上面是一個圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的直觀圖.【答案】見解析【解析】(1)畫軸.如圖1所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.(2)畫圓柱的兩底面.在x軸上取A,B兩點,使AB的長度等于3cm,且OA=OB.選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A,B兩點,使它為圓柱的下底面.在Oz上截取點O′,使OO′=4cm,過O′作Ox的平行線O′x′,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.(3)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使PO′等于圓錐的高3cm.(4)成圖.連接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此幾何體的直觀圖,如圖2所示.題型三與直觀圖還原有關的計算問題例4如圖所示，水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為1cm的正方形O′A′B′C′，則原圖形的周長是______cm.【答案】8．【解析】將直觀圖還原為原圖形，如圖所示，可知原圖形為平行四邊形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1cm，OB＝2O′B′＝2cm，所以AB＝＝3cm.故原圖形的周長為2×(1＋3)＝8(cm)．解題技巧（直觀圖還原注意事項）由于斜二測畫法中平行于x軸的線段的長度在直觀圖中長度不變，而平行于y軸的線段在直觀圖中長度要減半，同時要傾斜45°，因此平面多邊形的直觀圖中的計算需注意兩點．(1)直觀圖中任何一點距x′軸的距離都為原圖形中相應點距x軸距離的sin45°＝倍．(2)S直觀圖＝S原圖．由直觀圖計算原圖形中的量時，注意上述兩個結論的轉換．跟蹤訓練三1、已知△ABC是正三角形，且它的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為 ()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2【答案】D.【解析】選D由于S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，且eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(\r(2),4)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計8.8.2立體圖形的直觀圖用斜二測畫法畫平面圖形的步驟例1例2例3例4用斜二測畫法畫空間幾何體形的步驟七、作業(yè)課本109、111頁練習，111頁習題8.2.【教學反思】通過本節(jié)課感知，在引導學生進行技巧歸納時，教師不要著急告知學生.學生初始的回答可能不完善，甚至有錯誤的見解.教師應該對于正確的及時給與肯定和鼓勵.通過教師的鼓勵，能大幅度地調(diào)動其他學生的積極性.這樣其他學生就能自主地給與修正補充.整節(jié)課地效果事半功倍.8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積【教材分析】本節(jié)是在學生已從棱柱、棱錐、棱臺的結構特征和直觀圖兩個方面認識了多面體的基礎上，進一步從度量的角度認識棱柱、棱錐、棱臺，主要包括表面積和體積.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式．2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；2.數(shù)學運算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學建模：數(shù)形結合，運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題.【教學重點和難點】重點：掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式和應用；難點：棱臺的體積公式的理解.【教學過程】一、情景導入在過去的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本114-115頁，思考并完成以下問題1．怎么求柱體、錐體、棱臺的表面積？2．柱體、錐體、棱臺體的體積公式是什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究（一）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的多面體，因此它們的表面積等于各個面的面積之和，也就是展開圖的面積．（二）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.2．棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱臺：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.四、典例分析、舉一反三題型一棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1已知如圖，四面體的棱長均為，求它的表面積．【答案】【解析】因為四面體S－ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D，如圖所示．因為BC＝SB＝a，SD＝,所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×a2＝a2.解題技巧（求多面體表面積注意事項）1．多面體的表面積轉化為各面面積之和．2．解決有關棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關知識來解決．跟蹤訓練一1、如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個側面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，問：制造這個滾筒需要________m2鐵板(精確到0.1m2)．【答案】5.6【解析】因為此正六棱柱底面外接圓的半徑為0.46m，所以底面正六邊形的邊長是0.46m.所以S側＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S側＋S上底＋S下底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造這個滾筒約需要5.6m2鐵板．題型二棱柱、棱錐、棱臺的體積例2如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為________．【答案】eq\f(1,6).【解析】V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).例3如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到）？【答案】【解析】由題意知長方體的體積，棱錐的體積，所以這個漏斗的容積.解題技巧(求棱柱、棱錐、棱臺體積的注意事項)1．常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2．求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．跟蹤訓練二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點，若△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________；【答案】8eq\r(3).【解析】由題意，設AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，則BD＝C1D＝eq\r(a2＋\f(b2,4))，BC1＝eq\r(a2＋b2)，由△BC1D是面積為6的直角三角形，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).2、如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．【答案】見解析【解析】如圖，連接EB，EC.四棱錐E－ABCD的體積V四棱錐E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E－ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計8.8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積1、棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1例2例32、棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱棱錐棱臺七、作業(yè)課本116頁練習，119頁習題8.3的1、6題.【教學反思】本節(jié)課的重點是掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式和應用，通過本節(jié)課的例題及練習，學生基本掌握.而本節(jié)課的難點可以通過三組體積公式對比，尋找其聯(lián)系(棱臺上底面和下底面面積一樣時，圖形變成棱柱，對應的公式，經(jīng)推導也就變成棱柱的體積公式了;棱臺上底面無限縮小至點時，圖形變成棱錐，對應的公式，經(jīng)推導也就變成棱錐的體積公式了.)使學生對其更加理解.再有解決實際問題時可先抽象出幾何圖形，再利用相關公式解決.8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積【教材分析】本節(jié)是在學生已從圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征和直觀圖兩個方面認識了旋轉體的基礎上，進一步從度量的角度認識圓柱、圓錐、圓臺、球，主要包括表面積和體積.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式．2．能運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；2.數(shù)學運算：求旋轉體及組合體的表面積或體積；3.數(shù)學建模：數(shù)形結合，運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有關實際問題.【教學重點和難點】重點：掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式和應用；難點：圓臺的體積公式的理解.【教學過程】一、情景導入前面已經(jīng)學習了三種多面體的表面積與體積公式，那么如何求圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本116-119頁，思考并完成以下問題1．圓柱、圓錐、圓臺、的側面積、底面積、表面積公式各是什么？2．圓柱、圓錐、圓臺的體積公式各是什么？3．球的表面積與體積公式各式什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究（一）圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱(底面半徑為r，母線長為l)圓錐(底面半徑為r，母線長為l)圓臺(上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l)側面展開圖底面積S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)側面積S側＝2πrlS側＝πrlS側＝π(r′＋r)l表面積S表＝2πr(r+l)S表＝πr(r+l)S表＝π(r′2＋r2)+π(r′＋r)l（二）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.2．棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱臺：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.(三)球的體積公式與表面積公式1．球的體積公式V＝432．球的表面積公式S＝4πR四、典例分析、舉一反三題型一圓柱、圓錐、圓臺的表面積例1若一個圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，則這個圓錐的側面積為________cm2，表面積為________cm2.【答案】8π12π.【解析】如圖所示，∵軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圓錐的側面積S側＝π×2×4＝8π(cm2)，表面積S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．解題技巧（求旋轉體表面積注意事項）旋轉體中，求面積應注意側面展開圖，上下面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺通常還要還原為圓錐．跟蹤訓練一1．圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為()A．81π B．100πC．168π D．169π【答案】C【解析】選C先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.題型二圓柱、圓錐、圓臺的體積例2如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一個浮標的表面積是，所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料.解題技巧(求幾何體積的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可．(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等．(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．跟蹤訓練二1.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積．【答案】10π.【解析】用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥BC，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求旋轉體的表面積和體積．【答案】見解析【解析】由題意知以l為軸將梯形ABCD旋轉一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒置的且與圓柱等高的圓錐，如圖所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由上述計算知，圓柱的母線長為eq\r(3)a，底面半徑為2a；圓錐的母線長為2a，底面半徑為a.∴圓柱的側面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積，且V柱＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴旋轉體的體積V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.題型三球的表面積與體積例3如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.【答案】【解析】設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.球的體積，圓柱的體積，.例4平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【答案】B【解析】如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).即球的半徑為eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.解題技巧（與球有關問題的注意事項）1．正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為r1＝a22．球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2＝2a3．長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝a24．正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝eq\r(3)a.5．正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為：2R＝eq\f(\r(6),2)a.6、有關球的截面問題常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的有關問題解決.跟蹤訓練三1、將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)【答案】A.【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是V球＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).2．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2【答案】B.【解析】選B由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計8.3.2圓柱、圓錐、圓臺8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積1、圓柱、圓錐、圓臺表面積公式例1例22、圓柱、圓錐、圓臺體積公式例3例43、球的表面積與體積公式七、作業(yè)課本119頁練習，119頁習題8.3的剩余題.【教學反思】本節(jié)課的重點是掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式和應用，通過本節(jié)課的例題及練習，學生基本掌握.須注意的是:①求面積時看清求的是側面積，還是底面積，還是表面積；②對本節(jié)課的難點的理解類比棱臺與棱錐、棱錐的聯(lián)系；③解決實際問題時先抽象出幾何圖形，再利用相關公式解決.8.4.1平面【教材分析】平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準確地理解平面,教材重點介紹了平面的基本性質,即教科書中的三個基本事實,這也是本節(jié)的重點.另外,本節(jié)還應充分展現(xiàn)三種數(shù)學語言的轉換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉換.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1.正確理解平面的概念；2.能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系；3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實,理解三個基本事實和三個推論的地位與作用.數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：平面概念的理解；2.邏輯推理：點線共面、多點共線，多線共點問題；3.直觀想象：點、直線、平面之間的位置關系.【教學重點和難點】重點：1、平面的概念及表示；2、平面的三個基本事實和推論，注意他們的條件、結論、作用、圖形語言及符號語言.難點：平面的三個基本事實的掌握與運用.【教學過程】一、情景導入問題1：生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多例子嗎？問題2:平面的含義是什么呢？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本124-127頁，思考并完成以下問題1、平面的概念是什么？怎樣表示一個平面？2、點、直線、平面之間的位置關系及語言表達？3、平面有哪些基本事實？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、平面(1)平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.(2)平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成45°,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖(1).②如果一個平面被另一個平面遮擋住,為了增強它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖(2).(3)平面的表示平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等.2、點、直線、平面之間的位置關系及語言表達點A在直線l上，則A∈l，點A在直線l外，則A?l;點A在平面α內(nèi)，則A∈α，點A在平面α外，則A?α;直線l在平面α內(nèi)，則l?α，直線l在平面α外，則l?α;平面α與平面β相交直線l，則α∩β=l.3、平面的基本事實文字語言圖形語言符號語言基本事實1過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面A,B,C三點不共線?存在唯一的平面α,使A,B,C∈α基本事實2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l基本事實1的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.四、典例分析、舉一反三題型一文字語言、圖形語言、符號語言的轉換例1根據(jù)下列符號表示的語句,說明點、線、面之間的位置關系,并畫出相應圖形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α．【答案】見解析.【解析】(1)點A在平面α內(nèi),點B不在平面α內(nèi).(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點A,且點A不在直線l上.(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q.圖形分別如圖(1),(2),(3)所示.解題技巧（三種語言轉換的注意事項）(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.(2)符號語言的意義.如點與直線的位置關系只能用“∈”或“?”,直線與平面的位置關系只能用“?”或“?”.(3)由符號語言或文字語言畫相應的圖形時,要注意把被遮擋的部分畫成虛線.跟蹤訓練一1、A,B,C表示不同的點,n,l表示不同的直線,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正確的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直線AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線?α與β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l與n確定唯一平面2、如圖,用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.【解析】1.選D，D選項的表述有問題.2.在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.題型二點線共面例2如圖,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求證直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).【答案】見解析．【解析】因為l1∩l2=A,所以l1,l2確定一個平面α.因為l2∩l3=B,所以l2,l3確定一個平面β.因為A∈l2,l2?α,所以A∈α.因為A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個點A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).解題技巧(證明點線共面問題的常用方法)(1)納入法:先由部分直線確定一個平面,再證明其他直線在這個平面內(nèi).(2)重合法:先說明一些直線在一個平面內(nèi),另一些直線在另一個平面內(nèi),再證明兩個平面重合.跟蹤訓練二1、空間兩兩相交且共點的三條直線,可以確定的平面數(shù)是()(A)1(B)2 (C)3 (D)1或3【答案】D．【解析】兩兩相交且共點的三條直線若在一個平面內(nèi),可確定一個平面,若不在一平面內(nèi),每兩條直線可確定一個平面,共可確定3個平面,故選D．題型三多點共線、多線共點問題例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點,F為AA1的中點.求證:CE,D1F,DA三線交于一點.【答案】見解析．【解析】連接EF,D1C,A1B,因為E為AB的中點,F為AA1的中點,所以EFA1B.又因為A1BD1C,所以EFD1C,所以E,F,D1,C四點共面,可設D1F∩CE=P.又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,所以點P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點.又因為平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以據(jù)公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三線交于一點.解題技巧（證明多點共線、多線共點的常用方法）(1)證明三線共點常用的方法:先證明兩條直線相交于一點,然后證明這個點在兩個平面內(nèi),第三條線是這兩個平面的交線,于是該點在第三條直線上,從而得到三線共點.也可以先證明a,b相交于一點A,b與c相交于一點B,再證明A,B是同一點,從而得到a,b,c三線共點.(2)類比線共點的證明方法,可得到三點共線的證明方法:①首先找出兩個平面的交線,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點,根據(jù)公理3,可推知這些點都在交線上,即三點共線.②選擇其中兩點確定一條直線,然后證明第三個點也在這條直線上.跟蹤訓練三1．如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結論正確的是()(A)A,M,O三點共線(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面【答案】A.【解析】連接A1C1,AC,則A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四點共面.所以A1C?平面ACC1A1.因為M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點共線.故選A.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計平面1、平面平面1、平面例1例2例32、點、直線、平面的位置關系3.平面的三個基本事實基本事實1三個推論基本事實2基本事實3七、作業(yè)課本128頁練習，131頁習題8.5的1、5、6、7、8題.【教學反思】平面是一個不加定義的原始概念，其基本特征是無限延展性.而本節(jié)課對學生而言比較抽象，需要較強的空間想象力，主要抓住兩點：①三種數(shù)學語言的轉換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉換，這是后續(xù)學習的基礎；②利用三個基本事實解決點、線、面的問題，抓住基本事實1是確定一個平面的依據(jù)，基本事實2是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)，基本事實3是兩平面相交的依據(jù).8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系【教材分析】空間點、直線、平面之間的位置關系是立體幾何中最重要的位置關系，直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系是本節(jié)的重點和難點.這些位置關系是根據(jù)交點個數(shù)來定義的，本節(jié)重點是結合圖形判斷空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．了解直線與直線之間的三種位置關系，會用圖形語言和符號語言表示；2．了解直線與平面之間的三種位置關系，會用圖形語言和符號語言表示；3．了解平面與平面之間的兩種位置關系，會用符號語言和圖形語言表示．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：異面直線的理解；2.邏輯推理：判斷空間點、直線、平面之間的位置關系；3.直觀想象：空間圖形中點、直線、平面之間的位置關系.【教學重點和難點】重點：了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系；難點：會用圖形語言、符號語言表示直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系.【教學過程】一、情景導入我們知道，長方體有8個頂點，12條棱，6個面.12條棱對應12條棱所在的直線，6個面對應6個面所在的平面.觀察如圖所示的長方形，你能發(fā)現(xiàn)這些頂點、直線、平面之間的位置關系嗎？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本128-131頁，思考并完成以下問題1、什么是異面直線？2、空間兩條直線的位置關系？3、直線與平面的位置關系？4、平面與平面的位置關系？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.異面直線(1)定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.(2)畫法:位置關系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)有且只有一個公共點平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點2.空間兩條直線的位置關系3.直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)aa?α有無數(shù)個公共的直線a與平面α相交a∩α=Aa∩α=A有且只有一個公共的直線a與平面α平行aa∥α無公共點4.平面與平面的位置關系位置關系圖形表示α∥α∥β公共點兩平面平行α∩β=lα∩β=l無公共點兩平面相交有無數(shù)個公共點,這些點在一條直線上四、典例分析、舉一反三題型一直線與直線的位置關系例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AA1,AB的中點,試判斷下列各對線段所在直線的位置關系:(1)AB與CC1;(2)A1B1與DC;(3)A1C與D1B.【答案】見解析.【解析】(1)因為C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB與CC1異面.(2)因為A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因為A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,則A1,B,C,D1在同一平面內(nèi).所以A1C與D1B相交.解題技巧（判定兩直線異面的常用方法）(1)定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi);(2)排除法(反證法):排除兩直線共面(平行或相交)的情況.跟蹤訓練一1、正方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AB異面且垂直的棱有()(A)8條 (B)6條 (C)4條 (D)3條【答案】C【解析】如圖所示,一共有12條棱,其中有三條與AB平行,有四條與AB相交,還剩四條,這四條是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是與AB異面且垂直.故選C.題型二直線與平面的位置關系例2如圖所示,ABCD-A1B1C1D1為正方體,試判定BC1與六個面的位置關系.【答案】見解析．【解析】因為B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1?面BCC1B1.又因為BC1與面ADD1A1無公共點,所以BC1∥面ADD1A1.因為C1∈面CDD1C1,B?面CDD1C1,所以BC1與面CDD1C1相交,同理BC1與面ABB1A相交,BC1與面ABCD相交,BC1與面A1B1C1D1相交.解題技巧(直線與平面位置關系的解題思路)解決此類問題首先要搞清楚直線與平面各種位置關系的特征,利用其定義作出判斷,要有畫圖意識,并借助空間想象能力進行細致的分析.跟蹤訓練二下列說法中,正確的個數(shù)是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條也和這個平面相交②一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行③若直線a在平面α外,則a∥α.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由直線與平面的位置關系可知①正確;這條直線可能在經(jīng)過另一條直線的平面內(nèi),所以②不正確,對于③包括兩種情形,直線a∥α或直線a與α相交,故③不正確.故選B.題型三平面與平面的位置關系例3α,β是兩個不重合的平面,下面說法中,正確的是()(A)平面α內(nèi)有兩條直線a,b都與平面β平行,那么α∥β(B)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β,那么α∥β(C)若直線a與平面α和平面β都平行,那么α∥β(D)平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行,那么α∥β【答案】D【解析】對于A,α與β可能相交或平行,錯;對于Β,α與β可能相交或平行,錯;對于C,α與β可能相交或平行,錯;D符合面面平行的定義,正確.選D.解題技巧（平面與平面位置關系的解題思路）判斷線線、線面、面面的位置關系,要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識,結合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題,作出判斷.常借助長方體模型進行判斷.跟蹤訓練三1、平面α與平面β平行且a?α,下列四種說法中,①a與β內(nèi)的所有直線都平行;②a與β平行;③a與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行,其中正確的個數(shù)是()(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】因為α∥β,a?α,所以a與β無公共點,所以a∥β,故②正確,所以a與β內(nèi)的所有直線都沒有公共點,所以a與β內(nèi)的直線平行或異面,故①不正確,③正確.故選C.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系1、8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系1、異面直線例1例2例32、直線與直線的位置關系3、直線與平面的位置關系4、平面與平面的位置關系七、作業(yè)課本131頁練習，131頁習題8.5的剩余題.【教學反思】就本節(jié)課位置關系學生容易理解，但在做題時容易進入誤區(qū)，例：“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是相同的意義嗎?答案:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.所以要求學生做題時要將其所有情況考慮全面.8.5.1直線與直線平行【教材分析】直線與直線平行是所有平行關系的基礎，在初中已經(jīng)學過平行四邊形，中位線與底邊等平行關系，本節(jié)教材重點介紹了平面的基本事實4,等角定理，對平面中直線與直線的平行關系進一步深化.也為后續(xù)線面平行、面面平行打下基礎.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1.正確理解基本事實4和等角定理；2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.數(shù)學學科素養(yǎng)1.直觀想象：基本事實4及等角定理的理解；2.邏輯推理：基本事實4及等角定理的應用.【教學重點和難點】重點：能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.難點：能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.【教學過程】一、情景導入我們知道，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線，并且當兩條直線都與第三條直線平行時，這兩條直線互相平行.在空間中，是否也有類似的結論？舉例說明.要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本133-135頁，思考并完成以下問題1、平行于同一條直線的兩條直線有什么關系？2、空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角有什么關系？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.平行線的傳遞性基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示:a∥b,b∥c?a∥c.2.定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.四、典例分析、舉一反三題型一基本事實4的應用例1如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【答案】證明見解析.【解析】證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=12同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.解題技巧（證明兩直線平行的常用方法）(1)利用平面幾何的結論,如平行四邊形的對邊,三角形的中位線與底邊;(2)定義法:即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點;(3)利用基本事實4:找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.跟蹤訓練一1、如圖所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分別是A′D′,C′D′的中點,求證:四邊形ACNM是梯形.【答案】證明見解析.【解析】如圖所示,連接A′C′,因為M,N分別是A′D′,C′D′的中點,所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.由正方體的性質可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=AC,所以四邊形ACNM是梯形.題型二等角定理的應用例2如圖所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,已知E,E′分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中點,求證:∠BEC=∠B′E′C′.【答案】證明見解析．【解析】證明:如圖所示,連接EE′.因為E,E′分別是AD,A′D′的中點,所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.所以四邊形AEE′A′是平行四邊形.所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.又因為AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.所以四邊形BEE′B′是平行四邊形.所以BE∥B′E′.同理可證CE∥C′E′.又∠BEC與∠B′E′C′的兩邊方向相同,所以∠BEC=∠B′E′C′.解題技巧(應用等角定理的注意事項)空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.注意觀察兩角的方向是否相同，若相同，則兩角相等；若