《向量的向量積》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《6.2.4向量的數(shù)量積》教案第1課時(shí)向量的向量積【教材分析】本節(jié)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.本節(jié)課主要從平面向量夾角及模長兩方面繼續(xù)研究平面向量.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1、理解平面向量的數(shù)量積定義與向量的夾角的關(guān)系.2、掌握平面向量數(shù)量積性質(zhì)和運(yùn)算律及它的一些簡單應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用數(shù)量積定義得到夾角、模長公式；2.邏輯推理：由已知條件求夾角；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求模長,根據(jù)向量垂直求參數(shù)；4.數(shù)學(xué)建模：應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角及長度等幾何問題時(shí)，綜合考慮，層層分析.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律應(yīng)的應(yīng)用;難點(diǎn)：對(duì)向量數(shù)量積概念的應(yīng)用.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入上一節(jié)課主要就定義對(duì)數(shù)量積進(jìn)行的研討，本節(jié)課主要是對(duì)其性質(zhì)的應(yīng)用，那么有哪些應(yīng)用？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本17-21頁，思考并完成以下問題數(shù)量積運(yùn)算中常用到哪些公式？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．常用公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.四、典例分析、舉一反三題型一向量模的有關(guān)計(jì)算例1已知|a|＝3，|b|＝4，向量a與b的夾角θ為120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.【答案】(1)－6.(2)13.(3)eq\r(13).(4)eq\r(37).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝3×4×cos120°＝－6.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.(3)|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(13).(4)|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(9－2×（－6）＋16)＝eq\r(37).解題技巧（求向量模的常見方法和思路）(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．(3)一些常見的等式應(yīng)熟記，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．跟蹤訓(xùn)練一1、已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.2、已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.【答案】1、eq\f(2\r(3),3).2、3eq\r(2).．【解析】1、令e1與e2的夾角為θ，∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝eq\f(1,2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b與e1，e2的夾角均為30°，∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，從而|b|＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3).2、∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos45°＝eq\f(\r(2),2)|b|，|2a－b|2＝4－4×eq\f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3eq\r(2).題型二兩個(gè)向量的夾角和垂直例2(1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq\r(7)，則a，b的夾角為 ()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(2π,3)(2)已知a，b是非零向量，當(dāng)a＋tb(t∈R)的模取最小值時(shí)，求證：b⊥(a＋tb)．【答案】(1)A.(2)見解析.【解析】(1)設(shè)a與b的夾角為θ，由題意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)，即cosθ＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴a，b的夾角為eq\f(π,3).(2)證明∵|a＋tb|＝eq\r(a＋tb2)＝eq\r(a2＋t2b2＋2ta·b)＝eq\r(|b|2t2＋2a·bt＋|a|2)，∴當(dāng)t＝－eq\f(2a·b,2|b|2)＝－eq\f(a·b,|b|2)時(shí)，|a＋tb|有最小值．此時(shí)b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)))·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．解題技巧：(求向量夾角的思路)(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cosθ的值.跟蹤訓(xùn)練二1、已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________．2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夾角為60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直．【答案】1、eq\f(π,3).2、當(dāng)m＝eq\f(4,3)時(shí)，c與d垂直.【解析】1、設(shè)a與b的夾角為θ，依題意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝eq\f(1,2).因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,3).2、由已知得a·b＝2×1×cos60°＝1.若c⊥d，則c·d＝0.∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，∴m＝eq\f(4,3).故當(dāng)m＝eq\f(4,3)時(shí)，c與d垂直．題型三平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例3已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．【答案】見解析.【解析】由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0,（a－4b）·（7a－2b）＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0①,7a2－30a·b＋8b2＝0②))②－①得23b2－46a·b＝0，所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2).因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3)，即a與b的夾角為eq\f(π,3).解題技巧（平面向量解決問題歸納）應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角及長度等幾何問題．跟蹤訓(xùn)練三1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．【答案】3．【解析】因?yàn)閍2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，則a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3，即向量b的模為3.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.2.46.2.4向量的數(shù)量積第二課時(shí)向量的向量積1.常用公式例1例2例3七、作業(yè)課本22頁習(xí)題6.2剩余題.【教學(xué)反思】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)向量的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也已經(jīng)具備一定的自學(xué)能力，多數(shù)同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識(shí)等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強(qiáng).《6.2.4向量的數(shù)量積》導(dǎo)學(xué)案第2課時(shí)向量的向量積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1、理解平面向量的數(shù)量積定義與向量的夾角的關(guān)系.2、掌握平面向量數(shù)量積性質(zhì)和運(yùn)算律及它的一些簡單應(yīng)用.核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用數(shù)量積定義得到夾角、模長公式；2.邏輯推理：由已知條件求夾角；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求模長，根據(jù)向量垂直求參數(shù)；4.數(shù)學(xué)建模：應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角及長度等幾何問題時(shí)，綜合考慮，層層分析.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律應(yīng)的應(yīng)用;【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：對(duì)向量數(shù)量積概念的應(yīng)用.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本17-21頁，填寫。1．常用公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.小試牛刀1．設(shè)a，b，c為平面向量，有下面幾個(gè)命題：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b＝0，則a＝0，b＝0.其中正確的有__________個(gè)．2．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，則eq\o(BC,\s\up12(→))·eq\o(CA,\s\up12(→))＝________．3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)b))＝－36，則a與b的夾角為()A．60° B．120°C．135° D．1504．已知|a|＝3，|b|＝4，a與b不共線，則向量a+與a-垂直是，k＝________．【自主探究】題型一向量模的有關(guān)計(jì)算例1已知|a|＝3，|b|＝4，向量a與b的夾角θ為120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.跟蹤訓(xùn)練一1、已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.2、已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.題型二兩個(gè)向量的夾角和垂直例2(1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq\r(7)，則a，b的夾角為 ()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(2π,3)(2)已知a，b是非零向量，當(dāng)a＋(t∈R)的模取最小值時(shí)，求證：b⊥(a＋)．跟蹤訓(xùn)練二1、已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________．2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夾角為60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直．題型三平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例3已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．跟蹤訓(xùn)練三1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．【達(dá)標(biāo)檢測】1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，則向量a與b的夾角為()A．30° B．60°C．150° D．120°2．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()A．0 B．2eq\r(2)C．4 D．83．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1B．2C．3D．54．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝－4b，c與d垂直，則k的值為________.5．若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為________.6．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b與a＋b夾角的余弦值．答案小試牛刀1．1個(gè).2．-16.3．B.4．±自主探究例1【答案】(1)－6.(2)13.(3)eq\r(13).(4)eq\r(37).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝3×4×cos120°＝－6.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.(3)|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(13).(4)|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(9－2×（－6）＋16)＝eq\r(37).跟蹤訓(xùn)練一【答案】1、eq\f(2\r(3),3).2、3eq\r(2).【解析】1、令e1與e2的夾角為θ，∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝eq\f(1,2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b與e1，e2的夾角均為30°，∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，從而|b|＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3).2、∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos45°＝eq\f(\r(2),2)|b|，|2a－b|2＝4－4×eq\f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3eq\r(2).例2【答案】(1)A.(2)見解析.【解析】(1)設(shè)a與b的夾角為θ，由題意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)，即cosθ＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴a，b的夾角為eq\f(π,3).(2)證明∵|a＋tb|＝eq\r(a＋tb2)＝eq\r(a2＋t2b2＋2ta·b)＝eq\r(|b|2t2＋2a·bt＋|a|2)，∴當(dāng)t＝－eq\f(2a·b,2|b|2)＝－eq\f(a·b,|b|2)時(shí)，|a＋tb|有最小值．此時(shí)b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)))·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．跟蹤訓(xùn)練二【答案】1、eq\f(π,3).2、當(dāng)m＝eq\f(4,3)時(shí)，c與d垂直.【解析】1、設(shè)a與b的夾角為θ，依題意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝eq\f(1,2).因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,3).2、由已知得a·b＝2×1×cos60°＝1.若c⊥d，則c·d＝0.∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，∴m＝eq\f(4,3).故當(dāng)m＝eq\f(4,3)時(shí)，c與d垂直．例3【答案】見解析.【解析】由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0,（a－4b）·（7a－2b）＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0①,7a2－30a·b＋8b2＝0②))②－①得23b2－46a·b＝0，所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2).因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3)，即a與b的夾角為eq\f(π,3).跟蹤訓(xùn)練三1【答案】3．【解析】因?yàn)閍2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，則a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3，即向量b的模為3.當(dāng)堂檢測 1-3.DBA4.65.eq\f(π,4)6.【答案】(1)eq\f(\r(2),2).(2)向量a－b與a＋b夾角的余弦值是eq\f(\r(2),4).【解析】：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq\f(1,2).∵|a|＝1，∴1－|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，∴|a＋b|＝eq\r(2)，|a－b|＝1.令a＋b與a－b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b||a－b|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4)，即向量a－b與a＋b夾角的余弦值是eq\f(\r(2),4).《6.2.4向量的數(shù)量積》課后作業(yè)第2課時(shí)向量的向量積基礎(chǔ)鞏固1．若向量，滿足且，則（）A．4 B．3 C．2 D．02．已知，則a-bA．1 B． C．2 D．或23．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為

A． B． C． D．4．若向量滿足：則A．2 B． C．1 D．5．已知，如果，那么的值為（）A． B． C． D．6．已知，，則與的夾角為.7．在菱形中，，，則__________．8．已知，，且與互相垂直，求證．能力提升9．在中，已知向量與滿足且，則是()A．三邊均不相同的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形10．已知為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實(shí)數(shù)_______________.11．已知與是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則k為何值時(shí)，向量與的夾角為銳角？素養(yǎng)達(dá)成12．判斷題中為什么三角形(1)O為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),且滿足.(2)O為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),且滿足.《6.2.4向量的數(shù)量積》課后作業(yè)答案解析第2課時(shí)向量的向量