常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表

選修1-23.2.1~3.2.2常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表一、選擇題1．拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點(diǎn)(2,1)處的切線方程是()A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0[答案]A[解析]∵y′＝eq\f(1,2)x，y′|x＝2＝eq\f(1,2)×2＝1，∴拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點(diǎn)(2,1)處的切線斜率為1，方程為x－y－1＝0.2．若y＝lnx，則其圖象在x＝2處的切線斜率是()A．1B．0C．2D.eq\f(1,2)[答案]D[解析]∵y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝2＝eq\f(1,2)，故圖象在x＝2處的切線斜率為eq\f(1,2).3．若y＝sinx，則y′|x＝eq\f(π,3)＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)[答案]A[解析]y′＝cosx，y′|x＝eq\f(π,3)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).4.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2－1,Δx)表示()A．曲線y＝x2的斜率B．曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的斜率C．曲線y＝－x2的斜率D．曲線y＝－x2在(1，－1)處的斜率[答案]B[解析]由導(dǎo)數(shù)的意義可知，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2－1,Δx)表示曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的斜率．5．若y＝coseq\f(2π,3)，則y′＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．0D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.6．下列命題中正確的是()①若f′(x)＝cosx，則f(x)＝sinx②若f′(x)＝0，則f(x)＝1③若f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosxA．①B．②C．③D．①②③[答案]C[解析]當(dāng)f(x)＝sinx＋1時(shí)，f′(x)＝cosx，當(dāng)f(x)＝2時(shí)，f′(x)＝0.7．正弦函數(shù)y＝sinx上切線斜率等于eq\f(1,2)的點(diǎn)為()A．(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))C．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))(k∈Z)D．(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))(k∈Z)[答案]D[解析]由(sinx)′＝cosx＝eq\f(1,2)得x＝2kπ－eq\f(π,3)或x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))(k∈Z)．8．給出下列函數(shù)(1)y＝(sinx)′＋(cosx)′(2)y＝(sinx)′＋cosx(3)y＝sinx＋(cosx)′(4)y＝(sinx)′·(cosx)′其中值域不是[－eq\r(2)，eq\r(2)]的函數(shù)有多少個(gè)()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析](1)y＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．(2)y＝(sinx)′＋cosx＝2cosx∈[－2,2]．(3)y＝sinx＋(cosx)′＝sinx－sinx＝0.(4)y＝(sinx)′·(cosx)′＝cosx·(－sinx)＝－eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).9．下列結(jié)論正確的是()A．若y＝cosx，則y′＝sinxB．若y＝sinx，則y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r(x),2)[答案]C[解析]∵(cosx)′＝－sinx，(sinx)′＝cosx，(eq\r(x))′＝(xeq\f(1,2))′＝eq\f(1,2)·xeq\f(1,2)－1＝eq\f(1,2\r(x))，∴A、B、D均不正確．而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－1×x－1－1＝－eq\f(1,x2)，故C正確．10．已知f(x)＝x3，則f(x)的斜率為1的切線有()A．1條B．2條C．3條D．不能確定[答案]B[解析]設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(3,0))，由(x3)′＝3x2得在(x0，xeq\o\al(3,0))處的切線斜率為3xeq\o\al(2,0)，由3xeq\o\al(2,0)＝1得x0＝±eq\f(\r(3),3)，故切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))，所以有2條．二、填空題11．若函數(shù)y＝cost，則y′|t＝6π＝____________.[答案]0[解析]y′＝(cost)′＝－sint，y′|t＝6π＝－sin6π＝0.12．曲線y＝lnx與x軸交點(diǎn)處的切線方程是____________________________．[答案]y＝x－1[解析]∵曲線y＝lnx與x軸的交點(diǎn)為(1,0)∴y′|x＝1＝1，切線的斜率為1，所求切線方程為：y＝x－1.13．函數(shù)f(x)＝eq\r(5,x3)，則f′(x)＝________.[答案]eq\f(3,5)x－eq\f(2,5)[解析]∵f(x)＝eq\r(5,x3)＝xeq\f(3,5)，∴f′(x)＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5).14．曲線y＝2x4＋3x的斜率等于－5的切線的方程為____________．[答案]5x＋y＋6＝0[解析]y′＝8x3＋3，令8x3＋3＝－5，∴x＝－1，y＝－1，∴切點(diǎn)為(－1，－1)，切線方程為5x＋y＋6＝0.三、解答題15．求曲線y＝sinx在點(diǎn)A(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))的切線方程．[解析]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，∴y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，∴k＝eq\f(\r(3),2).∴切線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)(x－eq\f(π,6))，化簡(jiǎn)得6eq\r(3)x－12y＋6－eq\r(3)π＝0.16．求拋物線y＝eq\f(1,4)x2過點(diǎn)(4，eq\f(7,4))的切線方程．[解析]∵點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))不在拋物線y＝eq\f(1,4)x2上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由題意，得切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0，切線方程為y－eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)x0(x－4)，又點(diǎn)(x0，y0)在切線上，∴y0－eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)x0(x0－4)，又點(diǎn)(x0，y0)又在拋物線y＝eq\f(1,4)x2上，∴y0＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)，∴eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)－2x0，解得x0＝1或7，∴切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(49,4)))，所求的切線方程為：2x－4y－1＝0或14x－4y－49＝0.17．設(shè)點(diǎn)P是y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最短距離．[解析]根據(jù)題意得，平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切的切點(diǎn)為P，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖，即求在曲線y＝ex上斜率為1的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，∴由題意得ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用點(diǎn)到直線的距離公式得最短距離為eq\f(\r(2),2).18．(2010·陜西文，21(1))已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝alnx，a∈R.若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值和該切線方程．[解析]本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和分析問題及解決問題的能力．f′(x)＝