湖北省恩施市清江外國語學校高三上學期數學周考試卷（10月21日）

清江外國語學校高三年級2018級高三數學周考試卷（10月21日）1．本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．3．考試結束后，考生上交答題卡．一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．復數的共軛復數是A． B． C． D．2．已知集合，，則A． B． C． D．3．已知拋物線的準線為，圓與相切．則A． B． C． D．4．某學校組織學生參加數學測試，某班成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為，，，．若不低于分的人數是人，則該班的學生人數是A． B． C． D．5．中國古代數學名著《周髀算經》記載的“日月歷法”曰：“陰陽之數，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，…．生數皆終，萬物復蘇，天以更元作紀歷”．某老年公寓住有位老人，他們的年齡（都為正整數）之和恰好為一遂，其中最年長者的年齡在之間，其余人的年齡依次相差一歲，則最年長者的年齡為A． B． C． D．6．已知，，則A． B． C． D．7．已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上．若，，，，則球的表面積為A． B． C． D．8．對于定義在上的函數，且為偶函數．當時，，設，，，則，，的大小關系為A． B．C． D．二、選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．設，，為正實數，且，則A． B．C． D．10．將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，則a可以取的值為A. B. C. D.11．對，，若函數同時滿足：（1）當時，有；（2）當時，有，則稱為函數．下列是函數的有A． B．C． D．12．在長方體中，，是平面內不同的兩點，，是平面內不同的兩點，且，，，，，分別是線段，的中點，則下列結論正確的是A．若，則B．若，重合，則C．若與相交，且，則可以與相交D．若與是異面直線，則不可能與平行三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．函數的圖象在點處的切線方程為________．14．已知，且，則________．15．已知向量，（，），若，則的最小值為________．16．已知，是雙曲線的左，右焦點，以為直徑的圓與的左支交于點，與的右支交于點，，則的離心率為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角，，的對邊分別為，，，且，，________？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．（12分）設是公比大于的等比數列，，且是，的等差中項．（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和．19．（12分）如圖，在圓柱中，為圓的直徑，，是弧上的兩個三等分點，是圓柱的母線．（1）求證：平面；（2）設，，求二面角的余弦值．20．（12分）習近平總書記一直十分重視生態(tài)環(huán)境保護，十八大以來多次對生態(tài)文明建設作出重要指示，在不同場合反復強調，“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經濟的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經成為一個不容忽視的問題，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題．某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進新設備，污水處理能力大大提高．已知該廠每月的污水處理量最少為150萬噸，最多為300萬噸，月處理成本萬元與月處理量萬噸之間的函數關系可近似地表示為，且每處理一萬噸污水產生的收益價值為萬元．

該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低；

該廠每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤．21．（12分）已知橢圓的兩個焦點分別是，，并且經過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點，若上總存在兩個點、關于直線對稱，且，求實數的取值范圍．22．（12分）已知函數，．（1）討論的單調性；（2）設，若函數有兩個不同的零點，，求的取值范圍．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1～8小題為單項選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；9～12小題為多項選擇題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．題號123456789101112答案ACBBBDCCADBDBCBD8．解，因為函數為偶函數，所以，即函數的圖象關于直線對稱，即．又因為當時，，所以函數在上單調遞減，因而在上單調遞增，因為，所以，即，即．故選C．12．解：若，則、、、四點共面，當時，平面、、兩兩相交有三條交線，分別為、、，則三條交線交于一點，則與平面交于點，則與不平行．故A錯誤：若，兩點重合，則，、、﹑四點共面，平面、、兩兩相交有三條交線，分別為、、，由，得，故B正確；若與相交，確定平面，平面、、兩兩相交有三條交線，分別為、、，因為，所以，所以與不可能相交．故C錯誤；當與是異面直線時，如圖，連接，取中點，連接，．則，因為平面，平面，則平面．假設，因為平面，平面，所以平面．又，∴平面平面，同理可得，平面平面，則平面平面，與平面平面矛盾．所以假設錯誤，不可能與平行，故D正確，故選BD．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．15． 16．16．解：由題意知，，所以，即，易得．設，，．由雙曲線的定義得：，解得：，所以，因為，所以離心率．三、解答題；本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）解：已知，由正弦定理，得， 2分因為為三角形內角，， 3分所以，即 4分所以， 5分因為，所以 6分選擇條件①的解析：解法一：由及正弦定理，可得， 7分由余弦定理，則， 9分解得． 10分解法二：由，又因為，所以， 7分則，展開得，， 8分所以，所以， 9分所以． 10分選擇條件②的解析：解法一：由，可得， 7分由余弦定理得， 8分， 9分解得． 0分解法二：由得． 7分因為，所以，是以為頂角的等邊三角形．所以，所以． 8分由正弦定理得，， 9分解得． 10分選擇條件③的解析：解法一：由，又因為，則， 8分與矛盾，則問題中的三角形不存在． 10分解法二：由，則，則， 8分與三角形內角和等于矛盾，因而三角形不存在． 10分18．（12分）解：（1）設等比數列的公比為．依題意，有 1分將代入得，得． 2分聯(lián)立得兩式兩邊相除消去得，解得或（舍去）， 3分所以． 4分所以． 5分（2）解法一：因為 6分所以，……① 7分……② 8分①②，得 9分． 11分所以，數列的前項和． 12分解法二：因為所以 8分進而得 11分所以數列的前項和為 12分19．（12分）解：（1）連接，， 1分因為，是半圓上的兩個三等分點，所以，又，所以，，均為等邊三角形．所以， 2分所以四邊形是平行四邊形． 3分所以， 4分因為平面，平面，所以平面． 5分（2）因為是圓柱的母線，所以平面，平面，所以 6分因為為圓的直徑，所以，在中，，，所以，所以在中， 7分（方法一）因為，，，所以平面，又平面，所以．在內，作于點，連接．因為，，平面，所以平面， 8分又平面，所以，所以就是二面角的平面角． 9分在中，，． 10分在中，，所以， 11分所以．所以，二面角的余弦值為． 12分（方法二）以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以， 8分設平面的法向量為，則即令，則,所以平面的一個法向量為． 9分因為平面的一個法向量， 10分所以． 11分所以結合圖形得，二面角的余弦值為． 12分【答案】解：由題意可知，每萬噸污水的處理成本為：

，

當且僅當時等號成立；

所以該廠每月污水處理量為200萬噸時，

才能使每萬噸的處理成本最低，最低成本為萬元．

設該廠每月獲利為Z萬元，則

，

因為，所以，

當時，Z有最大值，

所以該污水處理廠每月能獲利；

且當月處理量為250萬噸時，利潤最大，為萬元．【解析】由題意知每萬噸污水的處理成本為，用基本不等式求出它的最小值以及對應的x值；

設該廠每月獲利為Z萬元，列出函數解析式，利用函數關系求出的取值范圍和最大值即可．

本題考查了二次函數模型的實際應用問題，也考查了利用基本不等式求最值問題，是中檔題．

21．（12分）解：（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為． 1分由橢圓的定義得，所以． 2分因為，所以． 3分因此，橢圓的標準方程為． 4分（2）根據題意可設直線的方程為，聯(lián)立，整理得， 5分由，得． 6分設，，則，． 7分又設的點為，則，．由于點在直線上，所以，得， 8分代入，得，所以……①． 9分因為，，所以． 10分由，得，得，得，所以……② 11分由①②得，故實數的取值范圍為． 12分22．（12分）解：（1）函數的定義域為． 1分則． 2分（i）當，即時，令得，，得，又因為，所以，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減． 3分（ⅱ）當，即時，，又由得對任意的恒成立．所以函數在上單調遞增． 4分綜上，當時，函數在單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增． 5分（2）解法一：，函數的定義域為，．（i）當時，，函數在上是增函數，不可能有兩個零點； 6分（ii）當時，在上，．在上，． 7分所以函數在單調速增，在上單調遞減．此時為函數的最大值． 8分若，則最多有一個零點，不合題意．所以，解得． 9分此時，且， 10分令，則所以在上單調