高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練第13章推理與證明算法復(fù)數(shù)66

【課時(shí)訓(xùn)練】第66節(jié)數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1．(2018德州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23【答案】D【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋23.2．(2018常德一模)數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－3【答案】B【解析】計(jì)算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.3．(2018沈陽調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)，只需展開()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假設(shè)n＝k時(shí)，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只須將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可．4．(2018太原質(zhì)檢)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()A．n＋1 B．2nC.eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【答案】C【解析】1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；…；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個(gè)區(qū)域．5．(2018山東菏澤模擬)對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，不等式成立．即eq\r(k2＋k)＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A．過程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【答案】D【解析】在n＝k＋1時(shí)，沒用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法．∴從n＝k到n＝k＋1的推理不正確．二、填空題6．(2018合肥檢測(cè))已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n＝________時(shí)等式成立．【答案】k＋2【解析】n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))的下一個(gè)偶數(shù)為k＋2，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，應(yīng)填k＋2.7．(2018淮北三校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－1))2＝anSn，通過計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.【答案】eq\f(n,n＋1)【解析】由(S1－1)2＝Seq\o\al(2,1)得：S1＝eq\f(1,2)；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝eq\f(2,3)；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝eq\f(3,4).猜想Sn＝eq\f(n,n＋1).8．(2018三亞模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為________．【答案】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】當(dāng)n＝k時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答題9．(2018秦皇島模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)．(1)求a1，a2的值；(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出證明．(1)【解】當(dāng)n＝1時(shí)，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝eq\f(1,2).當(dāng)n＝2時(shí)，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a2－eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)))2－a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)))－a2＝0，解得a2＝eq\f(1,6).(2)【證明】由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝eq\f(1,2－Sn－1).由(1)得S1＝a1＝eq\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).猜想Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝eq\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝eq\f(1,2－Sk)＝eq\f(1,2－\f(k,k＋1))＝eq\f(k＋1,k＋2).即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．由①②知Sn＝eq\f(n,n＋1)對(duì)任意的正整數(shù)n都成立．10．(2018長(zhǎng)春三校聯(lián)考)已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N*.(1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．(1)【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(9,8)，g(2)＝eq\f(11,8)，所以f(2)＜g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝eq\f(251,216)，g(3)＝eq\f(312,216)，所以f(3)＜g(3)．(2)【證明】由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)不等式成立．即1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,k3)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,k＋13)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)＋eq\f(1,k＋13)，因?yàn)閑q\f(1,2k＋12)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2k2)－\f(1,k＋13)))＝eq\f(k＋3,2k＋13)－eq\f(1,2k2)＝eq\f(－3k－1,2k＋13k2)＜0，所以f(k＋1)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k＋12)＝g(k＋1)．由①②可知，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．11．(2018江蘇南通模擬)數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c(n∈N*)．(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；(2)若0＜c≤eq\f(1,4)，證明數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列．【證明】(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c≤xn＋c＜xn，∴數(shù)列{xn}是遞減數(shù)列．必要性：若{xn}是遞減數(shù)列，則x2＜x1，且x1＝0.又x2＝－xeq\o\al(2,1)＋x1＋c＝c，∴c＜0.故{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0.(2)若0＜c≤eq\f(1,4)，要證{xn}是遞增數(shù)列．即xn＋1－xn＝－xeq\o\al(2,n)＋c＞0，即證xn＜eq\r(c)對(duì)任意n≥1成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)0＜c≤eq\f(1,4)時(shí)，xn＜eq\r(c)對(duì)任意n≥1成立．①當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝0＜eq\r(c)≤eq\f(1,2)，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即xk＜eq\r(c).因?yàn)楹瘮?shù)