第12講 正態(tài)分布（四大題型）（解析版）

第12講正態(tài)分布【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱軸的位置，曲線的形狀沒(méi)有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對(duì)于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2、由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)（1）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（2）曲線在處達(dá)到峰值；（3）當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近軸．3、正態(tài)分布的期望與方差若，則，．4、正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率（1）；（2）；（3）．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則．5、當(dāng)或時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即．【典型例題】題型一：正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用【例1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)(其中)的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)椋耘懦鼴，D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.故選：A.【變式1-1】（2024·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)的意義，結(jié)合圖象可知，對(duì)稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側(cè)，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B【變式1-2】（2024·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量，則X的密度函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，即，所以X的密度函數(shù)為A.故選：A【變式1-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)，可得.故選：C.題型二：利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率【例2】（2024·上?！じ叨？计谀┤綦S機(jī)變量，，則.【答案】0.77/【解析】由題意知隨機(jī)變量，，故，所以，故答案為：0.77【變式2-1】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.【答案】60【解析】由題意隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，解得，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：60.【變式2-2】（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，則，解得.故答案為：.【變式2-3】（2024·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）若，且，則.【答案】/【解析】由題意可知，正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得.故答案為：題型三：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）某旅游城市推出“一票通”景區(qū)旅游年卡，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市所有簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費(fèi)支出情況（單位：百元），相關(guān)部門對(duì)已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表：旅游消費(fèi)支出頻數(shù)1238845213810(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為市民的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該市總?cè)丝跒?00萬(wàn)人，試估計(jì)有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在7000元以上；(2)若年旅游消費(fèi)支出在40（百元）以上的游客一年內(nèi)會(huì)繼續(xù)來(lái)該簽約景區(qū)游玩.現(xiàn)從游客中隨機(jī)抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來(lái)該簽約景區(qū)游玩記2分，不來(lái)該景點(diǎn)游玩記1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨(dú)立，求3人總得分為4分的概率.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1），所以旅游費(fèi)用支出在7000元以上的概率為，，估計(jì)有15.925萬(wàn)市民旅游費(fèi)用支出在7000元以上（2）由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來(lái)該景點(diǎn)游玩的概率為，設(shè)3人總得分為4分為事件，則即3人總得分為4分的概率.【變式3-1】（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）某公司為了解市場(chǎng)對(duì)其開(kāi)發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若，則，）【解析】（1）因?yàn)閷?duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，其中，設(shè)對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分為，所以，所以本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的顧客約有（人）.根據(jù)頻率分布直方圖得，對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的頻率為，則本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的顧客約有（人）.（2）根據(jù)題意，這人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有人，則只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有人，的可能取值為，，，則的分布列為數(shù)學(xué)期望.【變式3-2】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）2023年中秋國(guó)慶雙節(jié)期間，我國(guó)繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費(fèi)政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了10月1日上午這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有1000輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，為方便統(tǒng)計(jì)，時(shí)間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對(duì)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的車輛數(shù)進(jìn)行初步處理，已知，時(shí)間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時(shí)間段頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過(guò)的車輛數(shù)為，求的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知某天共有800輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以?由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過(guò)的車輛數(shù)位于時(shí)間段，這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為，車輛數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為所以.（2）這1000輛車在時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值，即9：04，，所以.估計(jì)在這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，也就是通過(guò)的車輛數(shù)，工作日期間車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻，，所以估計(jì)在這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)為.題型四：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化【例4】（2024·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.【解析】（1），又，所以.因?yàn)?，根?jù)正態(tài)曲線對(duì)稱性，，又因?yàn)?，所?（2），.令，得.當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).所以的最大值點(diǎn)，從而.（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.，，，，所以的分布列為3210（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過(guò)后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.【變式4-1】（2024·河南開(kāi)封·河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：年高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績(jī)，．(1)若規(guī)定等級(jí)、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時(shí)，，．【解析】（1）由題意可知，學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目合格的比例為，由且，可得，由，可得，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.（2）若，則，，由題意可知，，.【變式4-2】（2024·全國(guó)·高二課堂例題）某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布，求：（參考數(shù)據(jù)：，）(1)隨機(jī)抽取1罐，其凈重超過(guò)的概率；(2)隨機(jī)抽取1罐，其凈重在與之間的概率.【解析】（1）.故隨機(jī)抽取1罐，其凈重超過(guò)的概率是0.4207，（2）.故隨機(jī)抽取1罐，其凈重在與之間的概率為0.9544.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）己知隨機(jī)變量，則（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【解析】由，，則，故.故選：C.2．（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）某地區(qū)有10000名考生參加了高三模擬調(diào)研考試.經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于的人數(shù)約為（

）參考數(shù)據(jù)：，A．455 B．1359 C．3346 D．1045【答案】B【解析】，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于的人數(shù)約為.故選：B.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某快遞公司的200名快遞員每人每月派送的快遞件數(shù)X服從正態(tài)分布，且，若每月派送的快遞件數(shù)不低于4000的快遞員有60人，則每月派送的快遞件數(shù)在(2000，3000)的快遞員人數(shù)為（

）A．40 B．60 C．70 D．80【答案】A【解析】由題意知，每月派送的快遞件數(shù)不低于4000的快遞員所占比例為，故每月派送的快遞件數(shù)在的快遞員所占比例為，故每月派送的快遞件數(shù)在的快遞員人數(shù)為人．故選：A.4．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某校高三年級(jí)有500人，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布．估計(jì)該校高三年級(jí)本次考試學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，．A．75人 B．77人 C．79人 D．81人【答案】C【解析】，，，因?yàn)椋?，所以?shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠陨系娜藬?shù)約為人.故選：C．5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則的值約為（

）A．0.0214 B．0.1358 C．0.8185 D．0.9759【答案】A【解析】由題意，知，，所以該正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱．所以，，所以，故選：A．6．（2024·吉林白城·高三?？计谀┠硨W(xué)校共人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若，則估計(jì)成績(jī)不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】C【解析】由已知可得，，所以．又，則，估計(jì)成績(jī)不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（人）．故選：C．7．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某市高三聯(lián)考后，統(tǒng)一調(diào)查研究本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，得出全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）近似服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．本次聯(lián)考的數(shù)學(xué)平均分近似為90分B．本次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的方差近似為50C．隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績(jī)，D．隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績(jī)，【答案】D【解析】對(duì)于AB，因?yàn)槿w考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）近似服從正態(tài)分布，所以，所以AB正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以D錯(cuò)，故選：D.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若，記，，，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某零件的尺寸大小（單位：dm）從正態(tài)分布，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，則，，，.結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得.故選：C.二、多選題9．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是4B．若數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，數(shù)據(jù)從小到大排列為，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為2，所以A不正確；對(duì)于B中，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以B正確；對(duì)于C中，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以C正確；對(duì)于D中，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，綜上可得，，所以D正確.故選：BCD.10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性【答案】AC【解析】X，Y均服從正態(tài)分布，，結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，可得，，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯(cuò)誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC11．（2024·云南昭通·高三?？茧A段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是（

）A．一組數(shù)據(jù)：2，1，4，3，5，3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同B．有A，B，C三種個(gè)體按的比例做分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30C．若隨機(jī)變量，則其數(shù)學(xué)期望D．若隨機(jī)變量，，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：平均數(shù)為：，3出現(xiàn)了兩次，出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為3，將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，3，3，4，5.所以中位數(shù)為，故A正確；B選項(xiàng)：樣本的容量為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，故C正確；D選項(xiàng)：，故D正確.故選：ACD.12．（2024·福建廈門·高三廈門一中?？计谀┮阎瑒t下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，則，，，，ACD對(duì)，B錯(cuò).故選：ACD.三、填空題13．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習(xí)）某中學(xué)開(kāi)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)活動(dòng)，高一年級(jí)測(cè)評(píng)分值近似服從正態(tài)分布.為了調(diào)查參加測(cè)評(píng)的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取學(xué)生，且.在某班用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.則該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人（附：，，）【答案】11【解析】因?yàn)?，，，，即，由已知，該班在?nèi)抽取了11人，他們的分?jǐn)?shù)為68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案為：11.14．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為.參考數(shù)據(jù)：若，則.【答案】0.84/【解析】由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84，故答案為：0.8415．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，若，則．【答案】1【解析】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，又由，所以．故答案為：.16．（2024·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：），其尺寸服從正態(tài)分布，且，，則．【答案】【解析】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，，則，所以，.故答案為：.四、解答題17．（2024·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個(gè)數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.(1)分別求，的值；(2)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的個(gè)數(shù).【解析】（1）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得：故，.（2）設(shè)表示零件直徑，則，即.，由對(duì)稱性得，，即.同理，，，即..故這批零件直徑在的概率為0.8186.（3）由（2）知，，所以在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的有個(gè).18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達(dá)到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對(duì)人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護(hù)社團(tuán)組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對(duì)參會(huì)人員就講座內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績(jī)（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績(jī)的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為此次測(cè)試的成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，約為6.75．用樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的參會(huì)人員的測(cè)試成績(jī)不低于測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)，求測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為多少分（精確到0.1）?參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得：，解得，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，由，則這100份樣本試卷成績(jī)的75%分位數(shù)是.（2）由，所以，因?yàn)?，所以，所以測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為分．19．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）目前,教師職業(yè)越來(lái)越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前,中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市年共有名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試,筆試成績(jī),只有筆試成績(jī)高于分的學(xué)生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).(1)從報(bào)考中小學(xué)教師資格考試的考生中隨機(jī)抽取人,求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率;(2)現(xiàn)有甲、乙、丙名學(xué)生進(jìn)入了面試,且他們通過(guò)面試的概率分別為,設(shè)這名學(xué)生中通過(guò)面試的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若,則,,,,.【解析】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”為事件,由已知得:,所以,則,即這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為.（2）的可能取值為,,,,,則隨機(jī)變量的分布列為：,.20．（2024·全國(guó)·高二課堂例題）已知，利用下述表格求以下概率值：01234567890.0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.53590.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.57530.2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.61410.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.65170.4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.68790.5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224(1)；(2)；(3).【解析】（1）（2）因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，且由上表可知，所以?）由概率的加法公式以及上表可知.21．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校考階段練習(xí)）紅松樹(shù)分布在我國(guó)東北的小興安嶺到長(zhǎng)白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹(shù)，為了研究生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的生長(zhǎng)狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，并測(cè)量了它們的樹(shù)干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計(jì)算得：.(1)求這12棵紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑的樣本均值與樣本方差.(2)假設(shè)生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布.記事件：在森林公園內(nèi)再?gòu)闹须S機(jī)選取12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，其樹(shù)干直徑都位于區(qū)間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個(gè)條件下，求，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說(shuō)明理由.參考公式：若，則.參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）樣