天津市河北區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北區(qū)2022-2023學(xué)年度高三年級(jí)總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)(二)

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第∏卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.

第I卷(選擇題共45分)

注意事項(xiàng)：

L答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼

考試用條形碼.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上的無(wú)效.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

如果事件A,5互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)

如果事件45相互獨(dú)立，那么P(λβ)=P(A)P(B)

球的表面積公式S=4m內(nèi)

V^-πR3

球的體積公式3,其中R表示球的半徑

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

］設(shè)全集U={°,123,4,5},集合A={XGN∣X<3},B={0,3,4,5},則G()

A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,3,4,5}

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合間的基本運(yùn)算，即可得到答案；

【詳解】因?yàn)锳="∈N∣x<3}={0,l,2},所以6A={3,4,5},

所以(dA)B={0,3,4,5}.

故選：D.

2.若α,"c∈R,則"αc=bc"是''α=∕√'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】若C=0，令a=2,b=l,滿(mǎn)足OC=be,但α,b；

若a=b,則αc=力e`一定成立，

所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分條件.

故選：B

3.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周均在球。的球面上.若該圓錐的底面半徑為26，高為6,則球。的表面積

為()

A.32萬(wàn)B.484C.MπD.8()4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)球心到圓錐底面的距離為d,由題設(shè)可得關(guān)于d的方程，求出其解后可得球的半徑，從而可求

其表面積.

【詳解】因?yàn)?〉2石，故球心在圓錐的內(nèi)部且在高上，

設(shè)球心到圓錐底面的距離為d,

則有(6-4)2-1=(26)2,解得d=2,則圓半徑R=6-d=4,

表面積S=4萬(wàn)R2=64萬(wàn).

故選：C

4.函數(shù)/(x)=^+lnW的圖象大致為()

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)/(x)='+ln(-力，由函數(shù)的單調(diào)性，排除C,。；當(dāng)x>O時(shí)，函數(shù)

X

/(x)=^+lnx,此時(shí)，代入特殊值驗(yàn)證，排除A，只有B正確.

【詳解】當(dāng)x<O時(shí)，函數(shù)/(x)=J+ln(-x),

由函數(shù)y=Ly=ln(-X)在(。,+⑹上遞減，

可得/(x)='+ln(-x)在(0,+e)上遞減，排除C,。；

X

當(dāng)x>O時(shí)，函數(shù)/(x)=，+InX,此時(shí)/(l)=l+lnl=l,

X1

而選項(xiàng)A的最小值為2,故可排除A，只有B正確，故選B.

【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命

題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面

入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→(Γ,x→(Γ,x→+8,x→-8時(shí)函

數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.

5.某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的IOOO名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法不IP

砸的是()

A.圖中的X值為0.020B.得分在[80/(X)]的人數(shù)為400

C.這組數(shù)據(jù)的極差為50D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有長(zhǎng)方形的面積和為1,以及極值、頻數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，對(duì)每個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)于A,由(0.005+x+0.035+0.030+0.010)xlθ=l,可解得X=O.020,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為（0?030+0.010）xl0=0?4,

故人數(shù)為IoOoXO.4=400,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,頻率分布直方圖無(wú)法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于D,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77,故選

項(xiàng)D正確.

故選：C.

22

6.已知雙曲線C:=-馬=l（α>0力>0）的右焦點(diǎn)為尸，以尸為圓心，以。為半徑的圓與雙曲線C的一條

a-b-

漸近線交于A,8兩點(diǎn)，若。4=203（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為（）.

?√∏r√15r√iTDa

3333

【答案】A

【解析】

b___.

【分析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=-x,〃為AB的中點(diǎn)，可得FHLAB，由OA=203,可

a

知〃為。4的三等分點(diǎn)，用兩種方式表示O",可得關(guān)于。力,C的方程組，結(jié)合。2=。2—〃即可得到雙曲

線。的離心率.

b

【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=—X,”為AB的中點(diǎn)，可得FHj.AB，

a

be

由F（c,0）到漸近線加一αy=0的距離為FH=d=

Ja2+/

所以BH=Ja2—廿，又OA=2QB，所以O(shè)H=3BH=3日-b?，

因?yàn)镺H=√O(píng)F2-HF2=JC2_/,

222

所以3&2_》2=42_萬(wàn),整理可得：9a-C=Sb,

即9/一C2=8C'2-8/,所以17/=9/,可得e2=q=lZ,所以《=姮,

CT93

所以雙曲線C離心率為姮，

故選：A.

7.設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在[0,+a)上單調(diào)遞增，若α=∕[logo

(4λ

^z(lθg^?)，c=f-33,則叫b，C的大小關(guān)系為(

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)/(X)的奇偶性化簡(jiǎn)4,仇C,結(jié)合/(X)的單調(diào)性確定"C的大小關(guān)系.

【詳解】依題意/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

(1λ(-IA、/

a=/log√ιF=于logI32=/(-Iog23)=/(Iog23),

V√3√<22；

22

b=∕[°gQ鬢)=/lθg?i=/(-Iog32)=/(Iog32),

(,4A

C=f-33

Iog23>Iog22=1,

/LYIY

8,353,23>3?,2>33,

0<33W=

由于/(X)在[(),+。)上單調(diào)遞增，所以α>b>c.

故選：D

8.將函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移*個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=∕(x)的圖像，則下列說(shuō)法正確的是

()

A.若9=：，則/(X)是奇函數(shù)B.若3=：，則/(X)在區(qū)間OB上單調(diào)遞減

C.若O=',則/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(}θ)對(duì)稱(chēng)D.若夕=',則“X)在區(qū)間θ,?上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】

JTTT

【分析】由函數(shù)平移得/(x)=sin(2x-2。)，討論夕=巴、°=一，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷奇偶、對(duì)

42

稱(chēng)性以及0,1上的單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】將函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函/(x)=sin(2x-2。)，

當(dāng)S=:時(shí)，/(x)=Sin(2x-])=-CoS2x為偶函數(shù)，

TT

在0,-上有2x∈[0,兀1，F(xiàn)(X)遞增，故A,B錯(cuò)誤；

Tl

當(dāng)φ=3時(shí),/(x)=sin(2x-π)=-sin2x,

此時(shí),/(I)=-Sin兀=0,即/O)關(guān)于點(diǎn)(5,0)對(duì)稱(chēng)，

JT

在0,-上有2xe[0,兀1，/(X)不單調(diào)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

9.在UWC中，角氏。的邊長(zhǎng)分別為Ac,點(diǎn)。為一√WC的外心，若〃+02=28，則8C?4O的取值

范圍是()

a?一；，°]B.(0,2)C.一；，+°°[d-V?)

【答案】D

【解析】

UunUUΠ(1、2

【分析】作出輔助線，對(duì)數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到8C?AO=8-L求出力的取值范圍，進(jìn)而求出答

I2j4

案.

【詳解】取BC的中點(diǎn)。，則OD±BC,所以

BCAO=BC-(AD+Do)=BCAD+BCDO=BCAD

=(AC-AB)?∣(AC+AB)=KAC2-AB2)=∣(?2-C

=g[∕j2—僅/?—/)]=Zx2—/?=(/?—T—?.

因?yàn)椤?=%—〃>(),則Wb—2)<0,BP0<?<2.

所以一,w8C?AO<2,

故選：D.

第∏卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.

2.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上.

3.本卷共U小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上.

3+4i

10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)上上=.

1+i

71

【答案】一+—i

22

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；

3+4i(3+4i)(l-i)3-3i+4i-4i271.

【詳解】-------=--------=-1-1

1+i(l+i)(l-i)222

【解析】

【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令X的幕指數(shù)等于5,求出廠的值，即可求得展開(kāi)式中含爐項(xiàng)的系

數(shù).

rL1Y7L?7-"1Y<1Yz±r

【詳解】??—上X的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為4+∣=C；(《)--X=C；--??χ2,

令W=5,求得r=3,可得展開(kāi)式中含V項(xiàng)的系數(shù).

27I2；8

35

故答案為：--—.

8

12.拋物線V=2px(p>0)的準(zhǔn)線截圓九2+y2—2y_8=0所得弦長(zhǎng)為4,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】(√5,θ)

【解析】

【分析】先寫(xiě)出準(zhǔn)線方程，整理圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心和半徑，再利用弦長(zhǎng)得到關(guān)于P的關(guān)系式，求出

即得焦點(diǎn)坐標(biāo).

2

【詳解】拋物線y2=2pχ(p>o)的準(zhǔn)線為：x=_g

圓f+y2-2y-8=0,即d+(y—1)2=9,圓心是(0,1),半徑是r=3,

/\2

故圓心到準(zhǔn)線的距離為d=已，而弦長(zhǎng)為4,故d=2+22=/=9,

2⑴

解得與=布,故拋物線的焦點(diǎn)EP(√5,O).

2?/

故答案為：?θ)?

13.在5道題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，不放回地依次抽取2道題，則第1次和第2次都抽到代數(shù)題

的概率為：在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.

【答案】①.2##0.3②.7##0.5

102

【解析】

【分析】用4(i=l,2)表示第i次抽到代數(shù)題，用8表示第2次抽到幾何題，利用排列數(shù)和古典概型概率

公式即可求解第1次和第2次都抽到代數(shù)題的概率；先計(jì)算P(A),P(AB),結(jié)合條件概率的計(jì)算公

式，即可求解在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

詳解】用A(i=l,2)表示第i次抽到代數(shù)題，用8表示第2次抽到幾何題，

2

A3x23

所以第1次和第2次都抽到代數(shù)題的概率P(A1A2)=V=^-,

∕?s?^IU

因?yàn)镻(A)=|，P(AB)=竽=言4,

?????^?IU

所以在第1次抽到幾何題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率為：

3

W-1

-=-

P網(wǎng)A)=32

P(A)

5-

故答案為：—；

102

L11

14.設(shè)X,y∈R,a>l,b>L若a*=t∕=3,a+b=2g?則一+一的最大值為_(kāi)_______

Xy

【答案】1

【解析】

?1111

【分析】根據(jù)指對(duì)互化公式得到X=IOga3,y=logb3..—+—≈^—r+^;—f=?og?a+?og?b=log?ab,結(jié)合

Xylog"Iogft

均值不等式可得到最值.

xy

【詳解】因?yàn)閍>l,b>l,a=b=3,a+b=2j^,所以X=IOg“3,y=logb3.—+—=--f+^~~-=log3a

Xyiog“l(fā)og、

a+b2√3

+1og?b=1og?ab≤1Og=log?=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

32?

故答案為L(zhǎng)

【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊''等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”（即條

件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則

會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

∣log3x∣,0<%<3

15.已知函數(shù)/（X）={.?若存在實(shí)數(shù)%,工2，與，γ4?滿(mǎn)足玉<%，<總<*4，且

sin-X∣,3≤x≤15

/(%l)=∕(%2)=/(&)=/(X4)，則XIX2=，(尤3-3)(七一3)的取值范圍是.

【答案】①?1②.（0,27）

【解析】

【分析】作出函數(shù)/（幻的圖象，結(jié)合圖象可知玉,々，工3，*4之間的關(guān)系，利用此關(guān)系直接求出XlX2，再將

-3）（七-3）轉(zhuǎn)化為關(guān)于七的二次函數(shù)求范圍即可.

∣log3Λ∣,0<x<3

【詳解】作出函數(shù)/（X）=〈.（乃）Cy的圖象,如圖,

sin—X,3<x<15

因?yàn)?α)=/(w)=/α)=/(毛)，??<?<?<?

A

所以由圖可知，TOg3玉=lθg3/，即XlX2=1，3I"=9,且3<毛<9，

_3)(x4_3)—WX4—3(??+X4)+9=W(18_毛)_45——+18毛—45,

2

?.?j=-X3+18元3-45在(3,9)上單調(diào)遞增,

/.0<y<27,

即(七一3)(七一3)的取值范圍是(0,27).

故答案為：1；(0,27)

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

3+C

16.在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知CSin-------=αsinC.

2

(1)求角A的大??；

(2)若h=2,SinB=亨，求邊C及sin(2B+A)的值.

TT

【答案】(1)-；

3

(2)池.

14

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)為SinCSin史W=SinASinC,從而可得

2

ΔΔΔΛ1

sinCcos-=2sin-cos-sinC,結(jié)合角的范圍可得Sin及=上，從而可求得4=π工；

222223

(2)由正弦定理求得α=J7,再根據(jù)余弦定理可求得c=3,由SinB=Y史求得CoSB,進(jìn)而求得

7

sin2B,cos2B,再結(jié)合和角正弦公式可得sin(28+A).

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)正弦定理，

由csinɑ="sinC可得sinCsinɑ=sinAsinC.

22

即sinCsin------=sinAsinC,即sinCcos—=2sin-cos—sinC,

2222

ΔιjrΛ

因?yàn)镺<C<τι,O<A<兀，所以SinC〉0,0<—<一,cos—〉0.

222

-.U.A1.Aππ

所FC以sm_=一，即πι一=一,A=-.

22263

【小問(wèn)2詳解】

a_2

b

由正弦定理,可得比一亙，解得o=",

sinAsinB

?-7-

222

根據(jù)余弦定理可得a=b+c-IbccQSA，

即7=4+∕-2C,C2-2C-3=0)解得c=3或C=—1(舍去)

故c=3.

因b<a,所以3<A=m,所以CosB=Jl-SiNB=2,

37

.?,?.-而2√7_4>^

/7T以sin28=2sinBocosB—2×-----X-------=------，

777

CoS26=l-2si∏28=l-2x[^^)=；,

所以sin(28+A)=sin2BcosA+cos2BsinA=X+Lx—=.

v,727214

17.如圖，在直三棱柱ABC-A用G中，.ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，AAi=AB=3,D,

(1)若t=g,求證：AD〃平面4BE；

(2)若f=g，求直線AC與平面AQE所成角的正弦值；

(3)若平面AC∣O與平面AC。的夾角為：TT，求實(shí)數(shù)/的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵國(guó);

3

⑶2-y∕2

【解析】

【分析】(I)由，=］，得到點(diǎn)，E分別為8C,gG的中點(diǎn)，易得四邊形GC為平行四邊形，四邊

形?！?4是平行四邊形，進(jìn)而得到AO44∣E,再利用線面平行的判定定理證明；

(2)以∣AB,AC,A4,｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-肛z,求得直線的方向向量和平面

的法向量，根據(jù)線面角的空間向量的求法即可求解；

(3)設(shè)平面AG。的一個(gè)法向量為4=(x,y,z),再由平面AOC的一個(gè)法向量為％=(0,0,1),根據(jù)二面角

TTπ

G^^AO-C的大小為由=COSl求解.

【小問(wèn)1詳解】

1BDCtE1

當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)。，E分別為Be,AG的中點(diǎn),

2￡>CClg2

在直三棱柱ABC-A4G中，MHBB?,AA1=BBt,

所以四邊形BgAA為平行四邊形，

連接DE'，則DElIBB、,DE=BBl,

所以DEHAAx,DE=AAi,

所以四邊形?！?A是平行四邊形，

所以AO441E.

又因?yàn)锳oZ平面AE8,AEu平面4EB,

所以Ao〃平面AE8.

【小問(wèn)2詳解】

C1

A41，平面ABC,又NE4C=90°,

以｛AB,AC,A4l)為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則點(diǎn)A(0,0,3),3(3,0,O),C(0,3,0),

1BDC.E1/33-

當(dāng)，=7；時(shí)，EK=K==彳，即點(diǎn)。，E分別為8C,8∣C］的中點(diǎn)，則E不；,3

2七CC∣∏∣2122

所以AC=(0,3,-3)，AB=(3,0,-3)，AE=C，|，°)，

設(shè)平面AlBE的一個(gè)法向量力2=(〃,0,C),

(An八f3o-3c=0

m-AB=O

則〈,即〈33,令Q=1,則Z?=-l,c=l,

m?A.E=0-a+-b=O

I=122

所以平面AIBE的一個(gè)法向量m=(l,T,l),

IAC?AiC?m0-3-3#

則c°s(AC⑺=阿不爾r-三

令直線AC與平面ABE所成角為e,則sinθ=∣COS(ΛI(xiàn)C,〃。卜孚，

所以直線A∣C與平面ABE所成角的正弦值為逅.

3

【小問(wèn)3詳解】

由⑵可得A(0,0,0),G(0,3,3),

所以AC=(0,3,3),AB=(3,0,0),BC=(-3,3,0),BD=tBC=(-3z,3t,0),

所以AO=A8+6。=(3—3t,3r,0).

設(shè)平面Aa。的一個(gè)法向量為勺=(χ,y,Z),

nλ?AC1=O[3y+3z=O

則4即4/`，

〃「AO=0[3。T)X+3∕y=0

取Hj=Q,t—1,1-t)，

又平面A。C的一個(gè)法向量為%=(0,0,1)，

π

因?yàn)槠矫鍭G。與平面ACD的夾角為彳，

~,幾?小兀11一’1,C

所以昌力即r得產(chǎn)―

=COS7=:;,7^2----------=τ,4,+2=°,

∣∕z1∣∣π2∣32√3r-4r+22

又因?yàn)?<∕<l,所以f=2—依.

2c

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿(mǎn)足：」，=a“+i(〃eN*)

(1)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

(2)若的=5,令4=一,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為Z,,若不等式45(Q+∣-()≤W-5m對(duì)任意

an

"∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)m∈(-∞,-2]U[7,+∞).

【解析】

【分析】(1)利用4,5,關(guān)系可得(〃-2)4=(〃-1)/_「1,即有(〃-1)%+∣=W“-1,將兩式相減并整

理有an+l+an,l=2all,即可證結(jié)論.

(2)由(1)結(jié)論及題設(shè)可得勿=」一，令%=*2一7；、CN=?！?3一(出，應(yīng)用作差法比較它們的

4n-3

大小，即可確定｛豈詞-？；｝的單調(diào)性并求其最大值，結(jié)合恒成立求〃?的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由題設(shè)，由=〃(丁),則s,τ=S-lχjτ+Ds≥2),

所以4=S-“T(Ixy+D=叫一5；)%+1,整理得

(?-2)απ=(π-l)αn,1-l,JjiiJ(n-l)αn+1=nan-1,

所以(〃-I)α,,+∣_(〃_2)αn=nan-1—(π-l)azl-1+1,即(〃一l)(α,,+∣+πn,l)=2(〃-l)”,,,∏-1≠O.

aa

所以n+?+n-?=2??，故數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，得證?

【小問(wèn)2詳解】

由2,=α∣+1,可得a1=1,又2=5,結(jié)合(1)結(jié)論知：公差d=4一4=4,

j1111

所以4=4〃—3，故d=丁=不5,則&=&+「(=------------1--------------1-…H-----------

4n+l4〃+58n÷l

所以J+ι=7λ+3-(+ι=—++.：+—++且"∈N*，

n+'2n+3π+'4n+54n+98n+l8n+58〃+9

〃

1-----1----1------1--------------40+31C

所以C,m一S-----------------------------<0,即G+1<CK，

Sn+58/1+94〃+1(4〃+1)(8〃+5)(8〃+9)

1114

所以，在〃∈[L+∞)且〃∈N"上*川一(遞減，則(心用一方)3=4—I=、+%=/,

?943

要使45仁+T)≤病-5m對(duì)任意〃∈N*恒成立，即m2-5m-14=(∕n-7)(m+2)≥0,

所以，〃∈(-∞,-2]u[7,-H?).

19.設(shè)橢圓C,=1(a>Z?>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,上頂點(diǎn)為。，點(diǎn)P是橢圓C上異

于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，已知橢圓的離心率e=立，短軸長(zhǎng)為2.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線AQ與直線BP交于點(diǎn)M,直線。P與X軸交于點(diǎn)M求證：直線MN恒過(guò)某定點(diǎn)，并求出該

定點(diǎn).

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為(2,1)

【解析】

【分析】(1)利用橢圓的離心率及其短軸長(zhǎng)聯(lián)立方程組即可求解；

(2)設(shè)直線JBP和直線OP方程，并求出直線A。的方程，再求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，及其直線MN的

方程，即可求出直線MN恒過(guò)某定點(diǎn).

【小問(wèn)1詳解】

'Ib=I,

_____?a=2

由己知可得√7≡?r6,解得/一

e------------=—D-L

Ia2

丫2

故橢圓C的方程為二+y2=i;

4

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線BP的方程為y=4（χ-2）（占≠O且K≠±；）,

直線OP的方程為y=%χ+l（%2*0且七?！溃唬?，

（1）

則直線OP與X軸的交點(diǎn)為N,0,

?k2J

I，4左+24左）

直線AD的方程為y=7X+1，則直線BP與直線AO的交點(diǎn)為M—l-,-j-

2I2匕-12仁一1J

將y=?2x+l代入方程?+丁=1,得（4代+1）/+8^*=0,

則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為XP=4,吁1,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為Np=',/W+I=D：'

4^2+14左;+14k;+1

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線3P的方程y=匕S-2）,

整理得（1+26）（1-2&）=-2勺（1+2七）:

1+2k,≠0,.*.2k[+4k?k,—2k、—1,

由M,N點(diǎn)坐標(biāo)可得直線MN的方程為:

_4k