寧夏回族自治區(qū)六盤山高級中學2024年高考沖刺模擬數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

寧夏回族自治區(qū)六盤山高級中學2024年高考沖刺模擬數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標原點,拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.3.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.04.在中,為中點,且,若,則()A. B. C. D.5.設不等式組,表示的平面區(qū)域為,在區(qū)域內任取一點,則點的坐標滿足不等式的概率為A. B.C. D.6.已知,,,則a,b,c的大小關系為()A. B. C. D.7.中,點在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.8.設曲線在點處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.49.已知正項等比數(shù)列中,存在兩項,使得,,則的最小值是()A. B. C. D.10.函數(shù)的一個零點在區(qū)間內,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.11.若復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側面積為___________.14.已知向量,,,則_________.15.在平面直角坐標系中,已知圓,圓.直線與圓相切,且與圓相交于,兩點,則弦的長為_________16.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.18.(12分)在直角坐標系中,已知直線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線和直線的極坐標方程;(2)已知直線與曲線、相交于異于極點的點,若的極徑分別為,求的值.19.(12分)已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列,,,且,,依次成等比數(shù)列,.(1)求數(shù)列的前n項和;(2)若,求數(shù)列的前n項和為.20.(12分)在某外國語學校舉行的(高中生數(shù)學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分數(shù)在以上(含)的同學獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關”.女生男生總計獲獎不獲獎總計附表及公式:其中,.21.(12分)已知都是各項不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對任意的恒成立.22.(10分)在平面直角坐標系中,已知拋物線的焦點為,準線為,是拋物線上上一點,且點的橫坐標為,.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線與拋物線交于、兩點,過點且與直線垂直的直線與準線交于點,設的中點為,若、、四點共圓,求直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標;②:做關于準線的對稱點為,通過分析可知當三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結合韋達定理,可知焦點坐標的關系,進而可求,從而可判斷出的關系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設,由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設,則關于準線的對稱點為,故,當且僅當三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設方程為:,設與拋物線的交點坐標為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關系,考查了拋物線的性質,考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.2、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結合和的離心率之積為,即可得的關系,進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎題.3、B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應用,是基礎題.4、B【解析】

選取向量,為基底,由向量線性運算,求出,即可求得結果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,平面向量基本定理,屬于基礎題.5、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點,在區(qū)域內是一個以原點為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡單題.6、D【解析】

與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù),再比較大?。驹斀狻?,,又,∴,即,∴.故選:D.【點睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較,解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.7、B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算,屬于基礎題.8、D【解析】

利用導數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因為,且在點處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力,是基礎題9、C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比,進而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號,所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當,時;當,時;當,時,,所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值,屬于基礎題.10、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內,則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內,所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應用,屬于基礎題.11、B【解析】

復數(shù),在復平面內對應的點在第二象限,可得關于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復平面對應的點在第二象限,得,則.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.12、A【解析】

利用數(shù)列的遞推關系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可,在中,利用即可得到關于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側面積為.故答案為:.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題,考查學生的空間想象能力,是一道中檔題.14、2【解析】

由得,算出,再代入算出即可.【詳解】,,,,解得:,,則.故答案為:2【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算,向量垂直的性質,向量的模的計算.15、【解析】

利用直線與圓相切求出斜率,得到直線的方程,幾何法求出【詳解】解:直線與圓相切,圓心為由,得或,當時,到直線的距離,不成立,當時,與圓相交于,兩點,到直線的距離,故答案為.【點睛】考查直線與圓的位置關系,相切和相交問題,屬于中檔題.16、.【解析】分析:由題意結合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的中等馬,結合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點睛:有關古典概型的概率問題,關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時,用列舉法把所有基本事件一一列出時,要做到不重復、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計數(shù)原理的正確使用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關于的一元二次方程,結合根與系數(shù)關系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知點,,由題意可設直線的斜率為,則,所以直線的方程為,則點的坐標為,聯(lián)立方程,消去得:.設,則,所以,所以,所以.設點的坐標為,因為點三點共線,所以,即,所以,所以.因為,所以,即,所以,解得,又,所以符合題意,計算可得,,故點的坐標為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關系的應用,考查平行線的性質,考查學生的計算求解能力,屬于難題.18、(1),.(2)【解析】

(1)先將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,即可代入公式化為極坐標;根據(jù)直線的直角坐標方程,求得傾斜角,即可得極坐標方程.(2)將直線的極坐標方程代入曲線、可得,進而代入可得的值.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去得,把,代入得,從而得的極坐標方程為,∵直線的直角坐標方程為,其傾斜角為,∴直線的極坐標方程為.(2)將代入曲線的極坐標方程分別得到,則.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法,直角坐標方程化為極坐標方程的方法,極坐標的幾何意義,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項求出公差,從而求出,再利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂項求和法即可求解.【詳解】(1),且,,依次成等比數(shù)列,,即:,,,,,;(2),.【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前項和公式、裂項求和法,需熟記公式,屬于基礎題.20、(Ⅰ),;(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)概率的性質知所有矩形的面積之和等于列式可解得;(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎的人數(shù)為,不獲獎的人數(shù)為,從而可得列聯(lián)表,再計算出,與臨界值比較可得.【詳解】解:(Ⅰ),.(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎的人數(shù)為,不獲獎的人數(shù)為,列聯(lián)表如下:女生男生總計獲獎不獲獎總計因為,所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能認為“獲獎與女生,男生有關.”【點睛】本題主要考查獨立性檢驗,以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問題,熟記獨立性檢驗的思想,以及平均數(shù)的計算方法即可,屬于??碱}型.21、(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關系求解即可.(2)取,并結合通項與前項和的關系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3

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