人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題17.24 勾股定理解決含30度和45度的直角三角形（鞏固篇）（專項練習(xí)）

專題17.24勾股定理解決含30度和45度的直角三角形（鞏固篇）（專項練習(xí)）;學(xué)生熟悉掌握含30度和45度的直角三角形三邊之比求邊和角，給我們解題帶來很多方便，本專題匯集了部分30度和45度的三角形的題型，供師生選擇使用。一、單選題1．如圖，在直角三角形中，，，，則（）A．6 B． C．4 D．2．如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A、B、C、D四點都在小方格的格點上，則（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，，是中線，且，則的面積為（）A．30 B．48 C．24 D．184．如圖，在四邊形ABCD中，，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點．若點P到AC的距離為，則點P的位置有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處5．如圖，，，在射線上取一點，設(shè)，若對于的一個數(shù)值，只能作出唯一一個，下列選項不符合題意的是（

）A． B． C． D．6．如圖，中，，是的平分線，E是上一點，連接．若，，則的長是（

）A． B．4 C． D．27．如圖，，點在內(nèi)部，且，若、分別為邊、上的動點，則周長的最小值為（

）A．4 B． C． D．88．如圖，在中，平分，交于點D，于點E，若則的長為（

）A． B． C． D．69．如圖，中，，，是邊靠近點的三等分點，，則長為（

）A．2 B． C． D．10．如圖，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則ABC的面積是（

）A． B．1+ C．2 D．2+二、填空題11．在中，，，．則的長為_______．12．如圖，中，，，平分交于點D，，則的面積為_____．13．如圖，中，，，于，，則____．14．已知在中，，，，，則BC的長等于________．15．如圖，在中，平分交于點D，于點E，若，，則的長為_____．16．如圖，在中，，，，在中，，，連接，則__________，__________．17．如圖，在中，，，點是邊上的一個動點，連接，以為邊作，使，為的中點，連接，則線段的最小值為______．18．如圖，紙片中，，，，，點D在邊BC上，以AD為折痕折疊得到，與邊BC交于點E，若為直角三角形，則BD的長是______．19．在中，，則此三角形的面積是________．20．如圖，長方形中，，，，點M是射線BD上一點（不與點B，D重合），連接AM，過點M作交直線BC于點N，若是等腰三角形，則______．三、解答題21．定義：如果一個三角形存在兩個內(nèi)角與滿足，那么稱這個三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．如圖，已知為“準(zhǔn)互余三角形”，并且．(1)若，求的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若，求的長．22．如圖，在中，，，將一塊足夠大的直角三角尺（，）按如圖放置，頂點P在線段上滑動（不與點A，B重合），三角尺的直角邊PE始終經(jīng)過點C，斜邊交于點D．(1)當(dāng)時，判斷的形狀，并說明理由；(2)當(dāng)是等腰三角形時，求出所有滿足要求的的長；(3)記點C關(guān)于的對稱點為，當(dāng)時，的長是___________．23．如圖，在中，，，，三角尺中角的頂點D在邊上，兩邊分別與的邊，相交于點E，F(xiàn)，且始終與垂直．(1)是____三角形．（填特殊三角形的名稱）(2)在平移三角尺的過程中，的值是否變化？如果不變，求出的值；如果變化，請說明理由．(3)當(dāng)平移三角尺使時，求的長．24．如圖，，，點P為中點，平分．(1)求證：平分；(2)若，，則______．25．如圖1，直角三角形和直角三角形的直角頂點重合，點在斜邊上，，，連接AE．(1)求證：．(2)若，求的長．(3)如圖2，點也在邊上，且在點A，D之間，若，求證：．26．如圖1，中，，于點，于點，，與交于點，連接．(1)求證：．(2)若，求的長．(3)如圖2，將沿折疊得到，問與有何位置關(guān)系？請說明理由．參考答案1．A【分析】先利用30度角所對的直角邊等于斜邊一半，得到，再利用勾股定理即可得到的長．解：，，，，在中，，故選：A．【點撥】本題考查了30度角所對的直角邊等于斜邊一半，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．2．B【分析】找出點關(guān)于的對稱點，連接、，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)網(wǎng)格的特點，結(jié)合勾股定理，得出，，再根據(jù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而即可得出的度數(shù)．解：如圖，找出點關(guān)于的對稱點，連接、，∵點關(guān)于的對稱點，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故選：B【點撥】本題考查了軸對稱、網(wǎng)格的特點、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，得出是解本題的關(guān)鍵．3．C【分析】延長到，使，連接，利用得出與全等，得到，利用勾股定理的逆定理得到為直角三角形，的面積等于的面積，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)果．解：延長到，使，連接，如圖所示：為的中點，，在與中，，，，，．又，，，，，則；故選：C．【點撥】本題考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．4．C【分析】根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可以求得AC、AD、BC和AB的長，然后即可得到點D到AC的距離和點B到AC的距離，從而可以得到滿足條件的點P有幾處，本題得以解決．解：解：過點B作于點F，過點D作于點E，∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，∴AC=4，，∴在Rt△ADC中，斜邊AC上的高，∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，∴，，∴AB=BC=，∴在Rt△ABC中，斜邊AC上的高，∵，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點，點P到AC的距離為，∴點P的位置在點D處，或者邊BC上或者邊AB上，即滿足條件的點P有3處．故選：C．【點撥】本題主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是求出滿足條件的點P所在的位置．5．A【分析】由題意可知，當(dāng)或時，能作出唯一一個，分這兩種情況求解即可．解：由題意可知，當(dāng)或時，能作出唯一一個，當(dāng)時，∵，，∴，即此時，當(dāng)時，∵，，∴，即時能作出唯一三角形，綜上所述：當(dāng)或時能作出唯一一個故選：A【點撥】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及等腰直角三角形的知識，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】根據(jù)三線合一可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)可得，則,即為等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求解即可．解：AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，，，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，．故選A．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識點，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】作關(guān)于對稱點，作關(guān)于對稱點，連接交于，交于，根據(jù)對稱性可知，，，從而的周長，根據(jù)兩點之間線段最短，得到周長的最小值為，在中，根據(jù)勾股定理求，從而確定答案．解：作關(guān)于對稱點，作關(guān)于對稱點，連接交于，交于，如圖所示：根據(jù)對稱性可知，，，的周長，根據(jù)兩點之間線段最短，周長的最小值為，在中，，，根據(jù)勾股定理得，故選：B．【點撥】本題考查動點最值問題，涉及軸對稱-最短周長問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求線段長，熟練掌握利用對稱性解決最短周長問題是解決問題的關(guān)鍵．8．B【分析】過點D作DH⊥AC于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DH，進(jìn)一步可知△DHC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可得CD的長，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD的長，即可求出BC的長．解：過點D作DH⊥AC于點H，如圖所示：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DH=DE，∵DE=2，∴DH=2，∵∠DHC=90°，∠C=45°，∴∠HDC=45°，∴∠C=∠HDC，∴HC=DH=2，根據(jù)勾股定理，得CD=，∵∠B=30°，∠BED=90°，∴BD=2DE=4，∴BC=4+，故選：B．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】作交AD于點E，求出，再求出，利用勾股定理求解即可．解：作交AD于點E，∵，∴，∴E是AD中點，∵，，∴，∵是邊靠近點的三等分點，E是AD中點，∴，∴．故選：C【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明D，E是三等分點，求出，．10．D【分析】如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計算AE和BC的長，根據(jù)三角形的面積公式可解答．解：如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴∴△ABC的面積．故選：D．【點撥】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．【分析】過點C作于D，先判斷，然后根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求．解：如圖，過點C作于D．∵，，∴，∴，在中，，，∴，∵，，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．12．【分析】過點D作于點H，根據(jù)角平分線的定義和性質(zhì)求得，，再由直角三角形中所對的邊等于斜邊的一半以及勾股定理求得，，，最后求得的面積．解：如圖，過點D作于點H，，，，平分，，，，，，．故答案為：．【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，還考查了角平分線的定義和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的性質(zhì)定理并能靈活運用．13．【分析】過點作，由等腰三角形三線合一可得，然后根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理求解即可；解：如圖，過點作，∵，∴，；∴在中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，即：，解得：，∴，在中，，設(shè)，，由勾股定理得：，即：，解得：，故答案為：．【點撥】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、含角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識點；熟練運用角所對的直角邊等于斜邊的一半轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．14．6【分析】過A作交于E，根據(jù)，得到，由可得，再根據(jù)勾股定理求出，即可得到，即可得到答案．解：過A作交于E，∵，，∴，∵，，∴，在中，，∵，，∴，∴，∵，，∴，故答案為6，．【點撥】本題考查等腰三角形性質(zhì)，含角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出．15．【分析】由角平分線的性質(zhì)，得出，再計算的長，進(jìn)而求出的長即可．解：作，交的延長線與點F，∵平分交于點D，在中，在中，設(shè)，則，∴或（舍去），，．故答案為：．【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．16．

##60度

##【分析】作于E，于F，通過證明得到，則平分，所以，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算的度數(shù)；根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)求出，然后在等腰直角中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，進(jìn)而可得的長．解：如圖，作于E，于F，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∵在等腰直角中，，∴，∴，∵在中，，∴，即，∴，∴，故答案為：，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理，三角形內(nèi)角和定理以及勾股定理等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．2【分析】取中點，連接，，由“”可證≌，可得，則當(dāng)時，有最小值，利用含度角的直角三角形可求解．解：如圖，取中點，連接，，，點是中點，點是中點，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，當(dāng)時，有最小值，，，，∴，線段的最小值為．故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．18．或【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，然后由翻折的性質(zhì)可知：，然后分和兩種情況畫出圖形求解即可．解：∵紙片中，，，∴，∵以為折痕，折疊得到，∴，，．當(dāng)時，如圖1所示，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時，如圖2所示，C與點E重合，∵，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點撥】本題考查了翻折的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)、以及等腰三角形的判定，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．19．或【分析】過點A作于點D，分在的內(nèi)部和外部兩種情況計算即可．解：如圖，點A作于點D，當(dāng)在的內(nèi)部時，∵，∴，，∴，∴；當(dāng)在的外部時，∵，∴，，∴，∴；故答案為：或．【點撥】本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分類思想，熟練掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．【分析】連接，先確定是等腰三角形，只存在一種情況，再證明，得，再證明是等邊三角形，求出，得，然后由勾股定理求解即可．解：連接AN，∵四邊形ABCD是長方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是等腰三角形，∴只存在一種情況，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，且，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題重點考查了長方形的四個角都是直角、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．(1) (2)【分析】（1）分為，為，為，求解．（2）過點A作垂足分別是D，A，交于點E，利用勾股定理，三角形外角性質(zhì)計算即可．解：（1）當(dāng)為時，則，故不成立；當(dāng)為時，∵，∴，故不成立；當(dāng)為，∵，∴，∴，故不成立；故，解得，∴．（2）過點A作垂足分別是D，A，交于點E，∵，，∴，，，∴，，，∵，∴，，∴．【點撥】本題考查了新定義問題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(1)等腰三角形，見分析 (2)或2 (3)【分析】（1）為等腰三角形，理由為：由，得到一對內(nèi)錯角相等，，根據(jù)等邊對等角得出，推出，即可得證；（2）過點C作于點H，點P在滑動時，的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當(dāng)；；，分別求解即可；（3）過點C作于點H，證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論．解：（1）解：結(jié)論：是直角三角形，理由：當(dāng)時，，又∵，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）如圖，過點C作于點H，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)．則，①當(dāng)時，是等腰三角形，∴，∴，此時，∴，②當(dāng)時，是等腰三角形，∴，即，∴，此時，∴；③當(dāng)時，是等腰三角形，∴，∴，即，∴，此時點P與點B重合（不符合題意）．綜合所述，的值為或2；（3）解：如圖，過點C作于點H，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點撥】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．(1)等邊 (2)不變，2 (3)【分析】（1）根據(jù)互余關(guān)系，求出，即可得到是等邊三角形．（2）根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半，求出，進(jìn)而求出，利用等邊三角形三邊相等，得到，再利用即可得解；（3）設(shè)，利用所對的直角邊是斜邊的一半，分別表示出，利用，進(jìn)行計算即可得解．解：（1）是等邊三角形，證明如下：∵∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形；故答案為：等邊（2）解：∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴；∴，即的值不變，的值為2；（3）解：∵，，∴，設(shè)，∵，∴，∴；∵，∴，∴，解得：，∴．【點撥】本題考查含角的直角三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識．熟練掌握所對的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．24．(1)見分析 (2)6【分析】（1）過點P作于E，由角平分線性質(zhì)易得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)勾股定理可得，可得，再由平分及平行線的性質(zhì)，可得，，，據(jù)此即可解答．解：（1）證明：過點P作于E，，，，即，平分，，，，∵點P是的中點，，，又，，平分；（2）解：，，，，∵點P是的中點，，平分，，，由（1）知平分，，在中，，故答案為：6．【點撥】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，