第二章流體靜力學(xué)

第一節(jié)平衡流體上的作用力第二節(jié)流體平衡的微分方程第三節(jié)重力作用下的流體平衡第四節(jié)流體壓強的量測1第五節(jié)平衡流體對壁面的作用力第六節(jié)液體的相對平衡第二章流體靜力學(xué)重、難點1.靜壓強及其靜壓強的特性。2.靜力學(xué)基本方程式的理解和應(yīng)用；等壓面。3.靜止流體對固體壁面的作用力：平面和曲面。4.液體的相對平衡及應(yīng)用平衡有兩種：

一種是流體相對于地球無相對運動，即流體的絕對平衡；

一種是流體對某物體（或參考坐標系）無相對運動，亦稱流體的相對平衡。

流體靜力學(xué)——研究平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其在工

程中應(yīng)用的科學(xué)。平衡流體的特性——由于平衡流體相互間沒有相對運動，流體粘性在平衡狀態(tài)下無法顯示，故平衡流體內(nèi)部不存在內(nèi)摩擦力或切應(yīng)力。流體靜力學(xué)中的一切原理不僅適用于理想流體也適用于實際流體。第一節(jié)作用在流體上的力質(zhì)量力：與流體質(zhì)點的質(zhì)量大小成正比且集中作用在流體質(zhì)點質(zhì)量中心上的力。

fx、fy、fz----單位質(zhì)量力在x、y、z三個方向上的分量。①單位質(zhì)量力f——單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力

2、根據(jù)作用方式的不同，可將力分為質(zhì)量力和表面力。則單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力

1、按物理性質(zhì)的不同分類：重力、摩擦力、慣性力、彈性力、表面張力等。一、分類最常見的質(zhì)量力有：重力、慣性力（直線慣性力I＝ma，離心慣性力R＝mωr2）單位：[m/s2]f數(shù)值等于流體加速度設(shè)質(zhì)量為m流體受總質(zhì)量力為

問題1：比較重力場（質(zhì)量力只有重力）中，水和水銀所受的單位質(zhì)量力f水和f水銀的大?。緼.f水<f水銀；

C.f水=f水銀；

B.f水>f水銀；

D.不確定

問題2：試問自由落體和加速度a向x方向運動狀態(tài)下的液體所受的單位質(zhì)量力大?。╢X

fY

fZ）分別為多少？

答案：自由落體：fx

=fy

=fz

=0；加速運動：fx

=–a，fy=0，fz

=–g

僅有重力作用的靜止流體的單位質(zhì)量力為在各坐標軸上的分力是多少？（坐標軸z與鉛垂方向一致，并豎直向上）。fx=fy=0，fz=-g·fxfyfz問題3壓應(yīng)力（壓強）

切應(yīng)力（內(nèi)摩擦力）或壓力：垂直于作用面。切力：平行于作用面。(即沿表面的切向摩擦力）2、應(yīng)力：單位面積上的表面力，單位：表面力按作用方向可分為：

表面力：（SurfaceForce）作用在流體表面上，與作用面的表面面積大小成正比。思考：平衡流體所受表面力情況？n

A

P

T

答案：只有壓力

靜止流體中任一點靜壓強的二個特性：流體靜壓強特性說明：靜止流體中不同點的壓強一般是不等的。特性一：流體靜壓強的作用方向沿作用面的內(nèi)法線方向dAdPdAdP反證法特性二：

平衡流體中任意點的靜壓強的大小由該點的坐標位置決定，而與作用面的方位無關(guān)。即在平衡流體內(nèi)部任意點上各方向的流體靜壓強大小相等。

證明：取一微元四面體OABC，則：x方向受力分析:xzpy表面力：質(zhì)量力：n為斜面ABC的法線方向當四面體無限地趨于O點時，則dx0，所以有：類似地有：作用于靜止流體同一點壓強大小各向相等，與作用面的方位無關(guān)。FypxpzABCOpn由∑X=0特性二：得出結(jié)論點的壓強與點作用面的方位無關(guān)，由該點的坐標位置決定。點的壓強與點作用面的方位無關(guān)，由該點的坐標位置決定。M（1）運動狀態(tài)下的實際流體產(chǎn)生壓應(yīng)力，即注意：（2）運動流體是理想流體時，不會產(chǎn)生切應(yīng)力

泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)展開Fp-pxdx2Mdxpxp+2A'DB'ABD'CC'yoxz設(shè)微元六面體的中心壓強為P(x,y,z)第二節(jié)歐拉平衡微分方程

一、歐拉平衡微分方程——流體平衡微分方程x向受力：平衡微分方程的推導(dǎo)取研究對象受力分析表面力質(zhì)量力：

Fx=0，則：整理得：M2M1流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）：物理意義：處于平衡狀態(tài)的流體，壓強沿軸向的變化率（）等于該軸向單位體積流體所受質(zhì)量力在相應(yīng)坐標方向的分量（

fx,

fy,

fz

）。

適用條件:平衡流體,無需考慮是否可壓縮和是否有粘性寫成矢量式

靜止流體中壓強的空間變化與單位質(zhì)量力之間的關(guān)系二、流體平衡微分方程的綜合式（1）式各項依次乘以dx,dy,dz后相加得：（1）∵p=p(x,y,z)即壓強是坐標的連續(xù)函數(shù)∴壓強全微分----流體平衡微分方程的綜合式流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）或歐拉平衡微分方程的全微分表達式或壓強微分公式W

稱為質(zhì)量力的勢函數(shù)，f稱為有勢質(zhì)量力。如重力、慣性力。三、質(zhì)量力的勢函數(shù)及有勢質(zhì)量力不可壓縮流體：ρ＝const上式左邊是壓強p的全微分，從數(shù)學(xué)角度分析，方程式的右邊也應(yīng)該是某一坐標函數(shù)W(W＝W（x,y,z）)的全微分。流體平衡微分方程的綜合式顯然，如果單位質(zhì)量力與某一坐標函數(shù)W(x,y,z)有如果下關(guān)系：（1）【例】試求重力場中平衡流體的質(zhì)量力勢函數(shù)。

xmgyzz0【解】該流體的單位質(zhì)量分力為

fx＝0，fy＝0，fz＝－g

積分得

W＝gz+C

設(shè)基準面z＝0處，W＝0（稱為零勢面），得

W＝gz

物理意義：單位質(zhì)量（m＝1）流體在基準面以上高度為z時所具有的位置勢能。

四、等壓面及特性

等壓面（EquipressureSurface）：是指流體中壓強相等（p=C）的各點所組成的面。證明：等壓面重要性質(zhì)：平衡流體等壓面上任一點的質(zhì)量力恒正交于經(jīng)過該點的等壓面。得證。等壓面微分方程而根據(jù)等壓面這一性質(zhì)，可由質(zhì)量力的方向來確定等壓面的形狀。等壓面（總結(jié)）

平衡流體中壓強相等的點所組成的面（平面或曲面）稱為等壓面。

等壓面性質(zhì)：

1.等壓面即是等勢面：w＝C

；2.等壓面與質(zhì)量力矢量垂直；3.兩種不相混的平衡液體的分界面必然是等壓面。（如處于平衡狀態(tài)下的油水分界面、氣水分界面等都是等壓面。）即證明：兩種不相混合的平衡液體的交界面是等壓面。aafAB兩種平衡液體的交界面證明：假定密閉容器與地球有相對運動，兩種不相混合的液體在容器中處于平衡狀態(tài)。如果a-a不是等壓面，則A、B

兩點的壓強差從兩種平衡液體中分別寫為所以交界面a-a必須是等壓面、等勢面。如果容器對地球無相對運動，則重力場中兩液體的交界面不但是等壓面而且是水平面。平衡微分方程等壓面微分方程OzyABCDExFGHK微元六面體兩邊分別乘以dx、dy、dz后相加等壓面即為等勢面質(zhì)量力⊥等壓面復(fù)習(xí)根據(jù)等壓面這一性質(zhì)，可由質(zhì)量力的方向來確定等壓面的形狀第三節(jié)流體靜壓強的分布規(guī)律

一、重力作用下靜壓強的分布規(guī)律Hhz1.水靜力學(xué)的基本方程z00p0A代入流體平衡微分方程的綜合式：重力作用下靜止流體質(zhì)量力：在自由液面上有：水靜力學(xué)基本方程：或（均質(zhì)流體）

流體靜壓強分布

靜止流體中，任一點的壓強值與其所處的淹深h成線性函數(shù)關(guān)系。自由表面下淹深h相等的各點壓強均相等。(例A—A)

氣體壓強的計算

由于氣體的密度很小，在高差不很大時氣柱產(chǎn)生的壓強很小，可以忽略，則p＝p0（即氣體壓強處處相等）。水靜力學(xué)基本方程：1

hp02

hAA流體內(nèi)任二點壓強的關(guān)系已知某點的壓強和兩點間的深度差，即可求另外一點的壓強值。

帕斯卡定律

平衡流體中，自由表面處壓強p0的任何變化都會等值地傳遞到液體中的任意一點上。

水靜力學(xué)基本方程：1

hp02

hAA帕斯卡原理的重要應(yīng)用：放大作用力水壓機、油壓機、液壓千斤頂、液壓制動閘2重力作用下靜水壓強的分布規(guī)律∴靜水力學(xué)基本方程又可寫為：=對靜止容器內(nèi)的液體中的1、2兩點有——不可壓縮流體的靜力學(xué)基本方程2p0100∵2.靜力學(xué)基本方程的物理意義

能量意義單位重量流體位置勢能，簡稱位能z

---壓強勢能，簡稱壓能

---總勢能---流體靜力學(xué)基本方程的能量意義：在重力作用下,同一平衡流體中各點的單位重量流體所具有的總勢能（包括位能和壓能）處處相等，即勢能守恒。

幾何意義z

---

------流體距基準面的位置高度，稱為位置水頭

流體在壓強p作用下沿測壓管上升的高度，稱為壓強水頭

測壓管水頭線（靜壓水頭或靜力水頭、）流體靜力學(xué)基本方程的幾何意義是：在重力作用下同一平衡流體中各點的測壓管水頭為一常數(shù),即：測壓管水頭處處相等。OO

測壓管水頭的含義在內(nèi)有液體的容器壁選定測點，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。測壓管內(nèi)的靜止液面上p=0，其液面高程即為測點處的，所以叫測壓管水頭?！獪y靜壓只須一根測壓管敞口容器和封口容器接上測壓管后的情況如圖測壓管水頭處處相等水平面是等壓面的條件：

連通容器連通容器連通器被隔斷同種質(zhì)量力只有重力均質(zhì)連續(xù)連通靜止流體2、，在均質(zhì)、連通靜止液體中測壓管水頭處處相等1、，即壓強沿深度按線性分布；選擇：圖示中，

1g

2g，下述兩個靜力學(xué)方程哪個正確？

總結(jié)——重力作用下靜水壓強分布規(guī)律的不同表述：

g

2g3、單位重流體的總勢能處處相等；4、測壓管水頭的連線就是水面線（水平線）；5、等壓面是一水平面。表示，處于真空狀態(tài)。例1試標出圖示（a）盛液容器內(nèi)A、B、C三點的位置水頭，測壓管高度和測壓管水頭。以圖示0–0為基準面。解：A點的測壓管高度為2m，位置水頭為3m，測壓管水頭為5m，如圖（b）所示。（a）因為，所以,以A點的測壓管水頭為依據(jù)，可以確定B點的位置水頭為2m和測壓管高度3m。

對于C點：（b）測壓管水頭：位置水頭：測壓管高度：問題1：僅在重力作用下,靜止液體中任意一點對同一基準面的單位重流體的總勢能為_______？隨深度增加而增加；

常數(shù)；

隨深度增加而減少；不確定。

問題2：問圖示中A、B、C、D點的測壓管高度和測壓管水頭，D點閘門關(guān)閉，以D點所在的水平面為基準面。測壓管高度測壓管水頭A0m6mB2m6mC3m6mD6m6m

b.

相對壓強：以當?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強值

d.真空：是指絕對壓強小于一個大氣壓的受壓狀態(tài)。真空高度

a.絕對壓強以絕對真空狀態(tài)的壓強為零點計量的壓強：用p表示，p

0

。真空值pv二、壓強的表示方法及單位1、壓強的表示方法注意：計算時無特殊說明時均采用相對壓強計算。00絕對壓強基準0'0'相對壓強基準p1pgPp2p2pa12pv=pa–pc.表壓強（或計示壓強)比當?shù)卮髿鈮焊叩膲簭娪胮g表示，pg=p–pa壓強分布圖papa+ρghpapa+ρghpa+ρgh1papa+ρg(h1+h2)pa+ρgh1papa+ρg2R1、應(yīng)力單位2、液柱高單位。

常用單位有米水柱、毫米汞柱

不同液柱高度的換算關(guān)系由

求得3、大氣壓單位。

靜壓強的計量單位1標準大氣壓1個工程大氣壓（at）=1kgf/cm2

=9.8×104Pa平衡微分方程重力場不可壓縮流體能量守恒定律在流體靜力學(xué)中的具體體現(xiàn)靜壓強基本公式等壓面微分方程式OzyABCDExFGHK微元六面體兩邊分別乘以dx、dy、dz后相加流體靜壓強的測量儀表主要有三種：（1）金屬式：原理是使待測壓強與金屬彈性元件的變形成比例。特點安裝方便、易讀數(shù)、量程較大，但精度不高，工程當中常用。靜壓強的測量三、靜壓強的計算與測量（2）電測式：原理是將彈性元件的機械變形轉(zhuǎn)化成電阻、電容、電感等電量。特點：便于遠距離及動態(tài)測量。1、測壓管由一根細直的玻璃管直接連在需要測量的設(shè)備上。為避免毛細管作用的影響，測壓管的直徑一般

水水空氣（3）液柱式：特點是精度高、但量程小，一般用于低壓實驗場所。

常見的液柱式儀表有：測壓管、U型測壓計、差壓計微壓計等。

U形測壓管

注意：目前的實驗室常以某些密度較大的油來代替測壓管中的水銀，積極推行國家提倡的無汞實驗室。

h2h112Aρρph2h112Aρ

U形差壓計

對(a)圖：對(b)圖：ABρAρBρphAhB12hp（b）HABh'hρ空氣（a）HABh'hρ空氣（a）

復(fù)式壓力計（多管測壓計）

若球形容器內(nèi)是氣體，U形管上端也充以氣體，則

若容器中所裝為液體，U形管上端也充滿同種液體，則

當所測壓強（或壓差）較大時（一般大于3個工程大氣壓），可采用這種多管測壓計。h1h2h3Aρρρh1h2h3Apρρ斜管式微壓計是由一根傾角可調(diào)的玻璃管plpa3.斜管式微壓計傾斜角度越小，l比h放大的倍數(shù)就越大，測量的精度就越高。測量較小壓強或壓強差的儀器叫微壓計。重力場中流體的平衡解圖中1-1,2-2和3-3均為等壓面,根據(jù)流體靜壓強計算公式,可以逐個寫出每一點的靜壓強,分別為將上式逐個代入下一個式子整理后得A,B兩點的壓強差例1如圖示已知h1=600mm

求AB兩點的壓強差

相對平衡——指各流體質(zhì)點之間及流體與器皿之間無相對運動的相對靜止或相對平衡狀態(tài)。因為質(zhì)點間無相對運動，所以流體內(nèi)部或流體與邊壁之間都不存在切應(yīng)力。

相對平衡流體中，質(zhì)量力除重力外，還受到慣性力的作用。第四節(jié)相對平衡流體靜壓強分布液體的相對平衡一、等加速水平直線運動容器中液體的相對平衡靜壓強的分布規(guī)律

代入壓強微分公式得坐標原點選在液面不變化的o點，z軸垂直向上，x軸沿罐車的運動方向不定積分得

當?shù)渺o壓強不僅與垂直坐標有關(guān)系，同時還和水平坐標有關(guān)系時——等加速水平直線運動容器中靜壓強的分布規(guī)律等壓面方程

積分得

平面和x軸的夾角為

∴等壓面為一簇傾斜平面自由液面

上式可寫為

代入

得※形式上和絕對平衡的流體靜壓強的分布規(guī)律完全相同，但實質(zhì)上兩者是有區(qū)別的。在絕對平衡狀態(tài)下，淹深僅僅和垂直坐標有關(guān)，而上述的相對平衡狀態(tài)下，淹深不僅和垂直坐標有關(guān)，還和水平坐標有關(guān)。已知__自由液面方程等壓面傾斜角__β(Z0自由液面上的點當其橫坐標為x時對應(yīng)的縱坐標)B(x,z0)xA(x,z)β練習(xí)

如圖示，灑水車等加速度a=0.98m/s2向前平駛，

求：1、若B點在運動前位于水面下深h=1.0m，距z軸xB=–1.5m，

求灑水車加速運動后該點的靜水壓強。

2、水車內(nèi)自由表面與水平面間的夾角

；解：取原液面中點為坐標原點質(zhì)量力為fx=–a；

fy=0

；fz=–g

dp=

（–adx

–gdz）積分得：p=–

（ax+gz）+C在自由液面上，有：x=z=0；

p=p0

得：C=p0

=0代入上式得：代入式得：

xazh

xBOpa自由液面方程：–adx

–gdz=0（∵液面上p=p0=0）

ax+gz=0Ｂ點的壓強為：即：B二、沿斜面勻直線加速運動液體的相對平衡

dp＝

（fxdx

＋fydy

＋

fzdz）單位質(zhì)量力：fx＝－acos

fy＝0

fz＝－（g＋asin

）積分得

p=–

[acos

x+（g+asin

)z]＋C液面上x=z=0,p=p0

得C=p0

——相對平衡容器內(nèi)任一點壓強分布的一般表達式等壓面方程

:自由液面方程:M點壓強：結(jié)論：在相對平衡的液體中，各點的壓強隨水深的變化呈線性關(guān)系。將運動坐標系取在容器上，原點在自由液面中心∴p=–

[acos

x+（g+asin

)z]+P0等壓面傾斜角:=P0+ρ(g+asin

)h推導(dǎo)壓強與淹深關(guān)系：解由上式可解出兩支管液面差的高度當汽車在水平路面上作等加速直線運動時,U形管兩支管的液面在同一斜面上,設(shè)該斜面和水平方向的夾角為

,由題意知單位質(zhì)量力：fx＝－afy＝0

fz＝－g代入等壓面方程fxdx

＋fydy

＋

fzdz＝0有－adx－gdz＝0α三.旋轉(zhuǎn)液體的相對平衡在原點（x=0，y=0，z=0）：則壓強分布規(guī)律gAxy一般表達式OxrAxxxxxyyxωZp0α等壓面方程

自由表面方程：說明：在相對平衡的旋轉(zhuǎn)液體中，各點的壓強隨水深的變化仍是線性關(guān)系。等壓面簇是一簇具有相同中心軸的旋轉(zhuǎn)拋物面推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)部任一點液體壓強與該點淹深關(guān)系：xyrAzOxxyyOp0gA代入式＝0得B邊界條件：由r=0,Z=0得C1=0——等壓面簇方程

——自由表面方程特例一容器盛滿液體，頂蓋中心開口的旋轉(zhuǎn)容器（離心式鑄造機）計算流體作用在頂蓋上的靜壓力流體受慣性力的作用向外甩,由于頂蓋的限制,自由液面雖然不能形成拋物面,當壓強分布仍為前述吻合頂蓋中心處◆等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡解：旋轉(zhuǎn)容器壓強分布規(guī)律的一般表達式故C=0則流體作用在頂蓋上的靜壓力為如只討論頂蓋處相對壓強，則頂蓋處:Z=0——相對平衡容器內(nèi)任一點壓強分布特例二容器盛滿液體，頂蓋邊緣接觸大氣的旋轉(zhuǎn)容器（離心式水泵、離心式風(fēng)機），計算流體作用在頂蓋上的靜壓力時得液體借助慣性有向外甩的趨勢，但中心處隨即產(chǎn)生真空,在開口處的大氣壓和真空形成的壓強差的作用下,限制了液體從開口處甩出來,液面不能形成拋物面等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡則流體作用在頂蓋上的靜壓力為如只討論頂蓋處相對壓強頂蓋處Z=0解:旋轉(zhuǎn)容器壓強分布規(guī)律的一般表達式（P≤0真空狀態(tài)）思考：離心式水泵在啟動前要向渦殼注水的原因？解等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡時,流體靜壓強的通用公式為將頂蓋上的邊界條件時

代入上式,可求得積分常數(shù)

代入通用公式得——頂蓋上的靜水壓強分布規(guī)律作用在頂蓋上的靜水總壓力為由解取z軸鉛直向上，xoy水平面，坐標原點選在測壓管的自由液面上，由于頂蓋上和液面上均有大氣壓的作用，所以壓強以計示壓強表示較為簡單，由前述的等角速旋轉(zhuǎn)容器中流體靜壓強的分布公式知，頂蓋上液體壓強的分布規(guī)律為在頂蓋的下表面上有z=-h，其壓強分布規(guī)律為將上式在頂蓋上積分，就可以求出液體對頂蓋的作用力，進而求出螺栓組1受到的拉力螺栓組2的拉力為

不一定，因為相對平衡的流體存在慣性力，質(zhì)量力只有重力作用下平衡流體的等壓面是水平面。相對平衡的流體的等壓面是否為水平面？為什么？什么條件下的等壓面是水平面？思考：zO流體作用在固體壁面上的總壓力，是由該壁面所接觸的流體靜壓強所引起的，應(yīng)用流體靜壓強計算公式可以計算出作用在固體壁面上的總壓力；在設(shè)計水箱、擋水閘門、油罐、水池等設(shè)備時，會遇到靜止流體對固體壁面作用的總壓力計算問題；完整的總壓力求解包括其大小、方向、作用點。第五節(jié)靜止流體作用在固體壁面上的總壓力xy0xy0xy0xy0BApaα一、分析靜止液體作用在任意形狀平面上的總壓力在靜止液體中，有一和液面呈夾角α的任意形狀的平面由流體靜壓強的特性知,各點的靜壓強均垂直于平面,構(gòu)成了一個平行力系,因此,液體作用在平面上的總壓力就是這一個平行力系的合力總壓力的方向_____垂直指向受壓平面。

z軸和平面垂直一）總壓力的大小2、整個平面上的總壓力的大小

（平面面積對x軸的面積矩又稱靜矩）

※平面所受液體總壓力大小等于受壓平面形心處的壓強pC

乘上受壓面面積A

故1、計算微元面積上的總壓力大小

xy0xy0xy0xy0dFhdAyChCyCBApaαhC___為任意形狀平面形心C處的淹沒深度。

___任意形狀平面所受液體總壓力的大小的計算式思考：擋水面積為A的平面閘門，一側(cè)擋水，若繞通過其形心C的水平軸任轉(zhuǎn)a

角，其靜水總壓力的大小、方向是否變化？為什么？

答案：大小不變；方向變，但始終與閘門垂直。

一、分析靜止液體作用在任意形狀平面上的總壓力表明：yD＞yC，即壓力中心D點總是低于形心C點。

FDyDdFhdAy合力矩定理：合力對任一軸的力矩等于各分力對同一軸的力矩和。

二）總壓力(合力）作用點總壓力的作用點D（總壓力的作用線和平面的交點稱壓力中心，簡稱壓心）平面面積對x軸的慣性矩

——由平行移軸定理：

Ix＝ICx+yC2A

____壓力中心y坐標的計算式工程實際中的平面往往是對稱圖形,一般不必計算壓力中心的x坐標x'

首先確定淹沒在流體中物體的形心位置以及慣性矩，然后由解析法計算公式平面上的靜水總壓力的計算總結(jié)：確定總壓力的大小及方向。h靜力奇象

只要平面的面積和形心處的淹深相同，則平板所受到的靜水壓力也相同。思考1：

1、相同；2、不相同

思考2：h如圖所示，浸沒在水中的三種面積相同但形狀不同的平面物體。問：1.哪個受到的靜水總壓力最大？

2.壓心的水深位置是否相同？例1：已知矩形平面h=1m，H=3m，b=5m，求F的大小及作用點。解：Hh30°FPC(H-h)解對于閘門左側(cè)根據(jù)公式靜止液體作用在固體壁面上的總壓力靜止液體作用在固體壁面上的總壓力同理對于閘門的右側(cè)可得兩側(cè)壓力的合力為顯然合力作用點x坐標為

合力F的方向向右,設(shè)合力F的作用點距左邊液面的距離為yD,根據(jù)合力矩定理,對o點取距,則有例3如圖所示，左邊為水箱，其上壓力表的讀數(shù)為-0.147×105Pa，右邊為油箱，油的(ρg

)′=7350N/m3，用寬為1.2m的閘門隔開，閘門在A點鉸接。為使閘門AB處于平衡，必須在B點施加多大的水平力F'。解:確定液體作用在閘門上的力的大小和作用點位置。BAF1水油F'F2oo5.5m2.2mh1.8m壓力表空氣F1=(ρg)'hc1

A=7350×0.9×1.8×1.2=14288N（方向向左）

現(xiàn)液面上空氣是負壓，換算成相對壓力為零相當于水箱液面下降h(圖示虛線面）?！郌2=ρg

hc2

A

=9800×（2.2+0.9）×1.8×1.2=65621N（方向向右）空氣對右側(cè)油箱對左側(cè)水箱F2作用點距o軸的距離為或距A軸為

3.2-2.2=1m圖b為閘門AB的受力圖，將所有力對A軸取矩，則-14288×1.2-

1.8

×F'+65621

×1=0F'=26931N（方向向右）BAF'1.2m1.8m1m即-F1×1.2-

F'×1.8

+F2

×1=0

代入數(shù)值得AF1水油F'F2oo5.5m2.2m1.5m1.8m壓力表空氣空氣F1F2B例4一直徑d=2000mm的涵洞，其圓形閘門AB在頂部A處鉸接，如圖。若門

重為3000N，試求：（1）作用于閘門上的靜水總壓力F；（2）F的作用

點；（3）阻止閘門開啟的水平力F'。解（1）圓形閘門受壓面形心到水面的距離為h0=1.5+1.0=2.5m；閘門的直徑D(D=2/sin45°=2.83m）；

作用于圓形閘門上的總壓力為：

P=ρghcA=98002.56.28=153860N

（2）圓形閘門中心至ox軸的距離為1.5md45°BFoxACGCPyPyc鉸點涵洞F'閘門面積為：故總壓力作用點與閘門中心矩離為0.14m處。（3）作用于閘門的所有外力對鉸點A之力矩總和必為0，即得阻止閘門的開啟力圓形閘門面積A對經(jīng)閘門中心且平行于ox軸之慣性矩Ixc為：1.5md45°BFoxACGCPyPyc鉸點涵洞F'補充題：有一容器上部盛油h1=1m，ρ1=800kg/m3，下部盛水h2=2m，側(cè)壁傾角θ=60o。求容器壁上單寬靜水壓力及作用位置。解：θ油h1水h2由合力矩定律θ油h1水h2F2F1yD2yD1FyDhH第五節(jié)作用在曲面上的流體靜總壓力一、壓力現(xiàn)象

一些弧形閘門、水管壁面、球形容器及拱壩壩面等也會遇到靜止流體對固體壁面作用的總壓力計算問題；由于曲面上各點的法向不同，對曲面求解總壓力時，必須先分解成各分量計算，然后再合成微元總壓力

（1）水平分力

----曲面A在垂直于x軸的坐標平面內(nèi)的投影面積對x的面積矩

--為投影平面的形心點的淹深

◆二、液體作用在曲面上的總壓力的計算分解成

__曲面所受液體總壓力在水平方向分力的計算式即：靜止液體作用在曲面上的總壓力在水平方向分量的大小等于曲面在與

x

軸相垂直方向的投影平面上所受的總壓力。二維曲面靜止液體作用在固體壁面上的總壓力（2）垂直分力Vp——曲面a-b和自由液面或者其延長面所包容的體積，稱壓力體◆液體作用在曲面上的總壓力__曲面所受液體總壓力在垂直方向上的分力的計算式注意：

壓力體是一個純數(shù)學(xué)的概念，是一個由積分式所確定的純幾何體，與這個體積內(nèi)是否充滿液體無關(guān)。若充滿流體，則稱為“實壓力體”，若不為流體充滿，則稱為“虛壓力體”。

即靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小數(shù)值上等于壓力體中裝滿此種液體的重量。（3）總壓力的大小和作用點將上述總壓力的兩個分力合成，即得到液體作用在曲面上的總壓力BOAFPxFPFPZ

作用點：作用在合力的作用線與曲面的交點。作用線：必通過FPx

，F(xiàn)Pz的交點，但這個交點不一定位于曲面上。對于圓弧面，F(xiàn)作用線必通過圓心?？倝毫Υ笮】倝毫Ψ较駻ABBp0>pap0<pa注意：若液面上相對壓強不為零（即不是自由表面），則壓力體不能以液面為頂，因為壓力體積的表達式中ρgh

是指作用在dAz面上的壓強（包括液面上高于或低于外界大氣壓強的壓強差值）。（a）液面上壓強

p0＞p