（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第19課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第19課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(選修2-2P31例2改編)函數(shù)f(x)=x3-4x+的極大值是，極小值是.【答案】-5【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f'(x)的變化情況如下表：x(-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值f(-2)↘極小值f(2)↗因此，當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)有極大值f(-2)=；當(dāng)x=2時(shí)，f(x)有極小值f(2)=-5.2.(選修1-1P76練習(xí)2改編)已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的極小值為1，則f(x)的極大值為.【答案】【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，則x=-或x=1.當(dāng)x<-或x>1時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)-<x<1時(shí)，f'(x)<0，所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極小值，當(dāng)x=-時(shí)，f(x)取得極大值.因?yàn)闃O小值是f(1)=a-1=1，所以a=2，所以f(x)的極大值為f=+a=.3.(選修2-2P33例2改編)函數(shù)f(x)=x+sinx在區(qū)間[0，2π]上的最大值為.【答案】π【解析】f'(x)=+cosx，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x1=，x2=.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f'(x)的變化情況如下表：x02πf'(x)+0-0+f(x)0↗極大值↘極小值↗π由上表可知，函數(shù)f(x)=x+sinx在區(qū)間[0，2π]上的最大值為π.4.(選修2-2P34習(xí)題8改編)函數(shù)y=x+sinx，x∈[0，2π]的值域?yàn)?【答案】[0，2π]【解析】因?yàn)閥'=1+cosx≥0，所以函數(shù)y=x+sinx在[0，2π]上是單調(diào)增函數(shù)，所以值域?yàn)閇0，2π].5.(選修2-2P34習(xí)題7改編)若函數(shù)y=3x3-9x+a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=.【答案】±6【解析】由y'=9x2-9>0，得x>1或x<-1，所以當(dāng)x=1時(shí)，y極小值=a-6；當(dāng)x=-1時(shí)，y極大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6.1.函數(shù)的極值若在函數(shù)y=f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得在x0附近的所有點(diǎn)x，都有f(x)<f(x0)，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處取得極大值，記作y極大值=f(x0)；若在x0附近的所有點(diǎn)x，都有f(x)>f(x0)，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處取得極小值，記作y極小值=f(x0).2.求函數(shù)極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的所有實(shí)數(shù)根；(3)觀察在每個(gè)根xn附近，從左到右，導(dǎo)函數(shù)f'(x)的符號(hào)如何變化，若f'(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(xn)是極大值；若由負(fù)變正，則f(xn)是極小值；若f'(x)的符號(hào)在xn的兩側(cè)附近相同，則xn不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).3.函數(shù)的最值若在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的最大值，記作ymax=f(x0)；若在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的最小值，記作ymin=f(x0).4.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間[a，b]上的極值；(2)將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值例1判斷下列函數(shù)是否有極值，如果有極值，請(qǐng)求出其極值；如果沒(méi)有極值，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-2.【思維引導(dǎo)】本題主要應(yīng)用函數(shù)極值的概念和求函數(shù)極值的方法求極值.解決本題的關(guān)鍵是先求出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，再判斷函數(shù)在該點(diǎn)的左右鄰域的單調(diào)性是否相反.【解答】(1)因?yàn)閥'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=，當(dāng)x>時(shí)，y'>0；當(dāng)x<時(shí)，y'>0，所以此函數(shù)無(wú)極值.(2)當(dāng)x≠2時(shí)，有y'=-(x-2.當(dāng)x=2時(shí)，y'不存在，因此y'在x=2處不可導(dǎo).但在x=2處的左右鄰域y'均存在，且函數(shù)y=f(x)在x=2處連續(xù)，故可依據(jù)y'在x=2的左右鄰域的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)在x=2處是否有極值.當(dāng)x<2時(shí)，y'>0；當(dāng)x>2時(shí)，y'<0.故y=f(x)在點(diǎn)x=2處取極大值，且極大值為f(2)=1.無(wú)極小值.【精要點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)函數(shù)是否有極值，不能只求解y'=0，根據(jù)函數(shù)極值的定義，函數(shù)在某點(diǎn)處存在極值，則在該點(diǎn)的左右鄰域應(yīng)是單調(diào)的，并且單調(diào)性應(yīng)相反.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)檢查f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.變式已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；(2)當(dāng)a≠時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【思維引導(dǎo)】(1)求出x=1的導(dǎo)數(shù)值即可；(2)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，同時(shí)考慮極值點(diǎn).【解答】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2ex，f'(x)=(x2+2x)ex，故f'(1)=3e，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為3e.(2)f'(x)=[x2+(2+a)x-2a2+4a]ex，令f'(x)=0，解得x=-2a或x=a-2.由a≠知-2a≠a-2.以下分兩種情況討論.①若a>時(shí)，則-2a<a-2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f'(x)的變化情況如下表：x(-∞，-2a)-2a(-2a，a-2)a-2(a-2，+∞)f'(x)+0—0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞，-2a)和(a-2，+∞)上為增函數(shù)，在(-2a，a-2)上為減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a；函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.②若a<時(shí)，則-2a>a-2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f'(x)的變化情況如下表：x(-∞，a-2)a-2(a-2，-2a)-2a(-2a，+∞)f'(x)+0—0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上為增函數(shù)，在(a-2，-2a)上為減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a；函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.【精要點(diǎn)評(píng)】第(2)問(wèn)中導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷，關(guān)鍵是看前面二次函數(shù)的符號(hào)，通過(guò)討論兩根大小后，列表判斷f'(x)符號(hào)及f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出極值點(diǎn)，求極值.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值微課4●問(wèn)題提出導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和最值方面的應(yīng)用問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，它涉及內(nèi)容廣泛，可以多角度、多層次地考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題中求最值的問(wèn)題比較多，這與函數(shù)的極值聯(lián)系緊密.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值，其解題流程是怎樣的呢?●典型示例例2已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x=3是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值.【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】(1)由題意知f'(x)=3x2-2ax-3，令f'(x)≥0(x≥2)，得a≤.記t(x)=，當(dāng)x≥2時(shí)，t(x)是增函數(shù)，所以t(x)min=×=，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)由題意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4，所以f(x)=x3-4x2-3x，f'(x)=3x2-8x-3.令f'(x)=0，得x1=-(舍去)，x2=3.當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在(1，3]上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(3，4)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上為增函數(shù).所以當(dāng)x=3時(shí)，f(x)有極小值.于是，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f(x)min=f(3)=-18，而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f'(x)≥0，其逆命題不成立，因?yàn)閒'(x)≥0包括f'(x)>0與f'(x)=0，當(dāng)f'(x)>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，當(dāng)f'(x)=0時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)；同理，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f'(x)≤0，其逆命題也不成立.(2)使f'(x)=0的離散的點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性.●總結(jié)歸納求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：①求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；②將第一步中所求的極值與f(a)，f(b)比較，得到函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.●題組強(qiáng)化1.(2015·江蘇模擬)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值是.【答案】2【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2(舍去).當(dāng)-1<x<0時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得的極大值即為最大值，所以f(x)的最大值為2.2.已知a≤+lnx對(duì)任意的x∈恒成立，那么實(shí)數(shù)a的最大值為.【答案】0【解析】設(shè)f(x)=+lnx，則f'(x)=+=.當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，2]時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(1，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1)=0，所以a≤0，即a的最大值為0.3.(2014·南通期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，則當(dāng)a>0時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值為.【答案】-1【解析】設(shè)直線y=x+b與曲線y=alnx相切于點(diǎn)(x0，x0+b)，所以y'==1，x0=a，a+b=alna，b=alna-a.令函數(shù)g(a)=alna-a(a>0)，當(dāng)g'(a)=lna+1-1=lna=0時(shí)，a=1，當(dāng)0<a<1時(shí)，g'(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g'(a)>0，所以函數(shù)g(a)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，g(a)的最小值為g(1)=-1，所以b的最小值為-1.4.(2015·廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax2-blnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為y=1.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值.(2)問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)的最小值為0?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】(1)因?yàn)閒(x)=ax2-blnx，其定義域?yàn)?0，+∞)，所以f'(x)=2ax-.依題意可得解得a=1，b=2.(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2lnx，x∈(0，1]，所以g'(x)=m-=.①當(dāng)m≤0時(shí)，g'(x)<0，則g(x)在(0，1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min=g(1)=0.②當(dāng)0<m≤2時(shí)，g'(x)=≤0，則g(x)在(0，1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min=g(1)=0.③當(dāng)m>2時(shí)，則x∈時(shí)，g'(x)<0；x∈時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時(shí)，g(x)取最小值為g.因?yàn)間<g(1)=0，所以g(x)min≠0.綜上所述，存在m滿足題意，其取值范圍為(-∞，2].最(極)值的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2，g(x)=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x>0.(1)若a=2，求曲線y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程.(2)是否存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思維引導(dǎo)】(1)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即可；(2)移項(xiàng)后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，只要最大值小于等于0即可.【解答】(1)由題意可知，當(dāng)a=2時(shí)，g(x)=4x2-lnx+2，則g'(x)=8x-，曲線y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線的斜率k=g'(1)=7，又g(1)=6，所以曲線y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線的方程為y-6=7(x-1)，即y=7x-1.(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=ax+lnx-a2x2(x>0)，假設(shè)存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立，即當(dāng)x>0時(shí)，h(x)的最大值小于等于零.h'(x)=a+-2a2x=(x>0)，令h'(x)=0，可得x1=-，x2=(舍去)，當(dāng)0<x<-時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>-時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)在x=-處有極大值，也是最大值.所以h(x)max=h≤0，解得a≤-.所以存在負(fù)數(shù)a滿足題意，它的取值范圍為.【精要點(diǎn)評(píng)】含參不等式恒成立問(wèn)題常用分離參數(shù)法和函數(shù)法來(lái)處理，此題分離參數(shù)比較困難，所以利用函數(shù)的方法處理.利用函數(shù)處理時(shí)有時(shí)可以用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決，如二次函數(shù)等.變式已知函數(shù)y=f(x)=xlnx.(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=e處的切線方程；(2)設(shè)實(shí)數(shù)a>0，求函數(shù)F(x)=在區(qū)間[a，2a]上的最大值；(3)求證：對(duì)一切x∈(0，+∞)，都有l(wèi)nx>-成立.【思維引導(dǎo)】(1)求出切點(diǎn)及切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即可；(2)先判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間[a，2a]，討論求解；(3)兩邊乘以x后，左側(cè)構(gòu)造成f(x)形式，只要證明左側(cè)的最小值大于右側(cè)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)解決兩側(cè)的相關(guān)最值.【解答】(1)由題意知f(x)定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=lnx+1，因?yàn)閒(e)=e，又因?yàn)閗=f'(e)=2，所以函數(shù)y=f(x)在x=e處的切線方程為y=2(x-e)+e，即y=2x-e.(2)F'(x)=(lnx+1)，令F'(x)=0，得x=，當(dāng)x∈時(shí)，F(xiàn)'(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，F(xiàn)'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，故F(x)在[a，2a]上的最大值為F(x)max=max{F(a)，F(xiàn)(2a)}.因?yàn)镕(a)-F(2a)=lna-2ln2a=ln，所以當(dāng)0<a≤時(shí)，F(xiàn)(a)-F(2a)≥0，F(xiàn)(x)max=F(a)=lna；當(dāng)a>時(shí)，F(xiàn)(a)-F(2a)<0，F(xiàn)(x)max=F(2a)=2ln2a.(3)問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx>-(x∈(0，+∞))，由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0，+∞))的最小值為-，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得.設(shè)m(x)=-(x∈(0，+∞))，則m'(x)=，易得m(x)max=m(1)=-，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到.所以f(x)>m(x)，從而對(duì)一切x∈(0，+∞)，都有l(wèi)nx>-成立.【精要點(diǎn)評(píng)】對(duì)第(2)問(wèn)，因?yàn)楹瘮?shù)不是二次函數(shù)，在x=的兩側(cè)不對(duì)稱(chēng)，所以如果討論區(qū)間的位置則比較復(fù)雜；對(duì)第(3)問(wèn)構(gòu)造f(x)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，如果直接移項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)來(lái)證明，則相對(duì)比較復(fù)雜.1.(2015·哈爾濱三中)已知x=2是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)f(x)的極大值為.【答案】18【解析】因?yàn)閤=2是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點(diǎn)，即x=2是f'(x)=3x2-3a=0的根，代入x=2，得a=4，所以函數(shù)解析式為f(x)=x3-12x+2，則3x2-12=0，即x=±2，故函數(shù)在(-2，2)上是減函數(shù)，在(-∞，-2)，(2，+∞)上是增函數(shù)，由此可知當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值f(-2)=18.2.(2014·常州模擬)若函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a=.【答案】3【解析】f'(x)==，由題意得f'(1)=0，即=0，解得a=3.3.(2015·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)g(x)=ex(2x-1)，y=ax-a，由題知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)在直線y=ax-a的下方.因?yàn)間'(x)=ex(2x+1)，所以當(dāng)x<-時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>-時(shí)，g'(x)>0，所以當(dāng)x=-時(shí)，g(x)min=-2.(第3題)如圖，當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=-1，當(dāng)x=1時(shí)，g(1)=e>0，直線y=ax-a恒過(guò)點(diǎn)(1，0)且斜率為a，故-a>g(0)=-1，且g(-1)=-3e-1≥-a-a，解得≤a<1.4.(2014·陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+，m∈R.(1)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)=f'(x)-的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解答】(1)當(dāng)m=e時(shí)，f(x)=lnx+，f'(x)=.x∈(0，+∞).當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(e，+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=e時(shí)，f(x)取得極小值f(e)=2.(2)g(x)=f'(x)-=--(x>0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x>0).設(shè)φ(x)=-x3+x(x≥0)，則φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ'(x)>0，φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，φ'(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以x=1是φ(x)唯一的極大值點(diǎn)，因此x=1也是φ(x)的最大值點(diǎn).所以φ(x)的最大值為φ(1)=.又φ(0)=0，結(jié)合y=φ(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知：(第4題)①當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=或m≤0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).5.(2016·蘇北四市期中)已知函數(shù)f(x)=cosx+ax2-1，a∈R.(1)求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)當(dāng)a=1，求函數(shù)f(x)在[-π，π]上的最大值和最小值.【解答】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(-x)=cos(-x)+a(-x)2-1=cosx+ax2-1=f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=cosx+x2-1，則f'(x)=-sinx+2x，令g(x)=f'(x)=-sinx+2x，則g'(x)=-cosx+2>0，所以f'(x)是增函數(shù).又f'(0)=0，所以f'(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函數(shù).又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故函數(shù)f(x)在[-π，π]上的最大值為π2-2，最小值為0.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第37~38頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第19課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值一、填空題1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10，那么=.2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9，且f(x)在x=-3處取得極值，那么實(shí)數(shù)a=.3.(2015·陜西卷)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為.4.若函數(shù)f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0，2)內(nèi)的極大值為最大值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.5.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+3ax+1在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.6.已知函數(shù)f(x)=x3+a2x2+ax+b，且當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f(x)的極值為-，那么f(2)=.7.(2015·中華中學(xué))函數(shù)y=+(x∈(0，π))的最小值為.8.(2014·廈門(mén)模擬)已知函數(shù)f(x)=，g(x)=，對(duì)任意的x1，x2∈(0，+∞)，不等式≤恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是.二、解答題9.已知f(x)=alnx++x+1，其中a∈R，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.10.(2015·如東中學(xué))設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在上存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，若f(x)在[1，4]上的最小值為-，求f(x)在該區(qū)間上的最大值.11.(2014·北京卷)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在區(qū)間[-2，1]上的最大值；(2)若過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+x，g(x)=x3-2x+m.(1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程；(2)若f(x)≥g(x)對(duì)任意的x∈[-4，4]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第19課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值1.-【解析】因?yàn)閒'(x)=3x2+2ax+b，由題意知即解得或經(jīng)檢驗(yàn)，只有滿足題意，故=-.2.5【解析】f'(x)=3x2+2ax+3，當(dāng)x=-3時(shí)，f'(x)=0，所以a=5.3.y=-【解析】f'(x)=(1+x)ex，令f'(x)=0，得x=-1，此時(shí)f(-1)=-，所以函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為y=-.4.(0，3)【解析】f'(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m).令f'(x)=0，得x=0或x=.因?yàn)閤∈(0，2)，所以0<<2，所以0<m<3.5.(-∞，0)∪(9，+∞)【解析】因?yàn)閒'(x)=3x2-2ax+3a，所以Δ=4a2-36a>0，即a<0或a>9.6.【解析】f'(x)=x2+2a2x+a，由題意得即解得或經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，f(x)在x=-1處沒(méi)有極值，舍去，故f(x)=x3+x2-x-1，所以f(2)=.7.【解析】令sin2x=t，由x∈(0，π)知t∈(0，1]，則函數(shù)y=+=-，y'=-+=，當(dāng)0<t<時(shí)，y'<0；當(dāng)<t≤1時(shí)，y'>0.故當(dāng)t=時(shí)，ymin=.8.[1，+∞)【解析】因?yàn)閗為正數(shù)，所以對(duì)任意的x1，x2∈(0，+∞)，不等式≤恒成立≤.令g'(x)=0，即=0，得x=1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，g'(x)<0，所以==.同理，令f'(x)=0，即=0，得x=，當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)>0，所以==，所以≤，又k>0，所以k≥1.9.(1)f'(x)=-+.由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線的斜率為0，即f'(1)=0，從而a-+=0，解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx++x+1(x>0)，f'(x)=--+==.令f'(x)=0，解得x=1.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.故f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3.10.(1)因?yàn)閒(x)=-x3+x2+2ax，所以f'(x)=-x2+x