（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 算法、統(tǒng)計與概率 第67課 古典概型 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第67課古典概型(本課時對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修3P97習(xí)題1改編)將一枚硬幣向上拋擲10次，其中恰有5次正面向上是事件.(填“必然”、“隨機(jī)”或“不可能”)【答案】隨機(jī)2.(必修3P103練習(xí)6改編)某人有甲、乙兩只密碼箱，現(xiàn)存放兩份不同的文件，則此人使用同一密碼箱存放這兩份文件的概率是.【答案】【解析】總的基本事件有甲甲，甲乙，乙甲，乙乙，共4個，其中“同一密碼箱存放這兩份文件”的事件有甲甲，乙乙，共2個，所以所求概率為=.3.(必修3P104習(xí)題4改編)箱中有號碼分別為1，2，3，4，5的五張卡片，從中一次隨機(jī)抽取兩張，則兩張?zhí)柎a之和為3的倍數(shù)的概率是.【答案】【解析】從五張卡片中一次隨機(jī)抽取兩張有10種取法：1，2；1，3；1，4；1，5；2，3；2，4；2，5；3，4；3，5；4，5.其中號碼之和為3的倍數(shù)的取法有4種，分別是1，2；1，5；2，4；4，5.所以所求概率為=.4.(必修3P104習(xí)題4改編)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則log2xy=1的概率為.【答案】【解析】總的基本事件個數(shù)為36，由log2xy=1得y=2x，滿足條件的點數(shù)對為(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3個，故所求概率為=.5.(必修3P104習(xí)題6改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各參加其中一個小組，且他們參加各個興趣小組是等可能的，則甲、乙兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為.【答案】【解析】利用樹狀圖可知基本事件總數(shù)為9，其中甲、乙兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的有3種，故所求的概率為=.1.隨機(jī)事件及其概率(1)在一定的條件下必然要發(fā)生的事件，叫作必然事件.(2)在一定的條件下不可能發(fā)生的事件，叫作不可能事件.(3)在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作隨機(jī)事件.(4)在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫作事件A的概率，記作P(A).(5)隨機(jī)事件的概率P(A)的取值范圍是[0，1].2.古典概型①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.我們把具有以上兩個特點的概率模型稱為古典概型.如果一次試驗中的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能的基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個事件A包含了其中的m個等可能的基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=.【要點導(dǎo)學(xué)】要點導(dǎo)學(xué)各個擊破隨機(jī)事件的概念例1下列事件是隨機(jī)事件的是.(填序號)①在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到8℃時會沸騰；②汽車排放尾氣，一定污染環(huán)境；③把9寫成兩個數(shù)的和，其中有一個數(shù)小于3；④任取一個正方體的三個頂點，這三個頂點不共面.【思維引導(dǎo)】根據(jù)必然事件，不可能事件和隨機(jī)事件的含義作出判斷.【答案】3【解析】由必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件的含義判斷選項①④是不可能事件，②是必然事件，③是隨機(jī)事件，故選③.【精要點評】在一定的條件下必然要發(fā)生的事件，叫作必然事件，不可能發(fā)生的事件，叫作不可能事件，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作隨機(jī)事件.變式給出下列事件：①在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，把水加熱到100℃會沸騰；②導(dǎo)體通電，發(fā)熱；③同性電荷，互相吸引；④實心鐵塊丟入水中，鐵塊浮起；⑤買一張福利彩票，中獎；⑥擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上.上述事件中是確定性事件的是，是隨機(jī)事件的是.(填序號)【答案】①②③④⑤⑥【解析】根據(jù)物理知識可知①②是必然事件，③④是不可能事件，故①②③④為確定性事件；買一張彩票可能中獎也可能不中獎，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣可能正面朝上也可能反面朝上，故⑤⑥是不確定性事件，是隨機(jī)事件.基本事件及事件構(gòu)成例2做拋擲兩枚骰子的試驗，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第二枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，寫出：(1)試驗的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”；(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”；(4)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于10”.【思維引導(dǎo)】計算古典概型所含基本事件總數(shù)的方法：(1)樹狀圖；(2)列表法；(3)利用坐標(biāo)系中的點來表示基本事件.【解答】(1)這個試驗的基本事件為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(2)“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含以下10個基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(3)“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下6個基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).(4)“出現(xiàn)點數(shù)之和大于10”包含以下3個基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).【精要點評】在列舉基本事件空間時，可以利用畫樹狀圖等方法，以防遺漏，列舉時要按一定順序列舉.變式將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲三次，觀察向上一面的正反.(1)試用列舉法寫出該試驗所包含的基本事件；(2)事件A：“恰有兩次正面向上”包含幾個基本事件；(3)事件B：“三次都正面向上”包含幾個基本事件.【解答】(1)試驗的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8種等可能結(jié)果.(2)事件A包含的基本事件有三個：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)事件B包含的基本事件只有一個：(正，正，正).古典概型的概率問題例3袋中有大小相同的5個白球、3個黑球和3個紅球，每個球只有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球.(1)有多少種不同的摸法?如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型?(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件?以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型?【思維引導(dǎo)】根據(jù)古典概型的概念做出判斷，判斷一個概率模型是否為古典概型的依據(jù)是古典概型的“有限性”和“等可能性”.【解答】(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法.又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型.(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以每次每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個，故每次摸到白球的可能性為，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.【精要點評】古典概型需滿足兩個條件：①對于每次隨機(jī)試驗來說，只可能出現(xiàn)有限個不同的試驗結(jié)果；②對于所有不同的試驗結(jié)果而言，它們出現(xiàn)的可能性是相等的.例4某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：m)及體重指標(biāo)(單位：kg/m2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身高低于1.80m的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78m以下的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70m以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9)中的概率.【思維引導(dǎo)】計算基本事件總數(shù)或計算某一事件包含的基本事件數(shù)時，可以用列舉的方法，列舉時要不重不漏.【解答】(1)從身高低于1.80m的4名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個.設(shè)“選到的2人身高都在1.78m以下”為事件M，其包括的基本事件有3個，故P(M)==.(2)從小組5名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個.設(shè)“選到的2人的身高都在1.70m以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9)中”為事件N，則事件N包括的基本事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個，故P(N)=.【精要點評】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇.變式一個均勻的正四面體面上分別涂有1，2，3，4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c.(1)記z=(b-3)2+(c-3)2，求z=4的概率；(2)若方程x2-bx-c=0至少有一根a∈{1，2，3，4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率.【解答】(1)基本事件(b，c)共有16個，當(dāng)z=4時，(b，c)的取值為(1，3)或(3，1)，共2種，所以P(z=4)=.(2)若方程有一根x=1，則1-b-c=0，即b+c=1，所以不成立；若方程有一根x=2，則4-2b-c=0，即2b+c=4，所以(b，c)的取值為(1，2)；若方程有一根x=3，則9-3b-c=0，即3b+c=9，所以(b，c)的取值為(2，3)；若方程有一根x=4，則16-4b-c=0，即4b+c=16，所以(b，c)的取值為(3，4).綜上，(b，c)的所有可能取值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，所以方程為“漂亮方程”的概率P=.1.(2015·常州期末)現(xiàn)有5道試題，其中甲類試題2道，乙類試題3道，現(xiàn)從中隨機(jī)取2道試題，則至少有1道試題是乙類試題的概率為.【答案】【解析】從5道試題中任選2道有10種選法，2道都是甲類題有1種選法，根據(jù)對立事件的概率知所求概率P=1-=.2.(2016·蘇北四市期中)拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的正四面體，記底面上的數(shù)字分別為x，y，則為整數(shù)的概率是.【答案】【解析】所有可能的基本事件為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16種，其中滿足條件的有(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(2，2)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，共8種，故所求概率為.3.(2014·淮安、宿遷摸底)將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種六個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為m，n，則點P(m，n)落在區(qū)域|x-2|+|y-2|≤2內(nèi)的概率是.【答案】【解析】由題意可知基本事件總數(shù)n=36.當(dāng)m=1時，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個；當(dāng)m=2時，1≤n≤4，故符合條件的基本事件有4個；當(dāng)m=3時，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個；當(dāng)m=4時，n=2，故符合條件的基本事件有1個.共11個，故所求概率為.4.(2014·無錫期末)甲、乙兩人玩數(shù)學(xué)游戲，先由甲心中任想一個數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a，b∈{3，4，5，6}，若|a-b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為.【答案】【解析】甲、乙兩人猜想的數(shù)字記為(a，b)，共有16個不同的結(jié)果，分別為(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中滿足|a-b|≤1的結(jié)果共有10個，分別是(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，故甲、乙兩人“心有靈犀”的概率為=.5.(2014·蘇中三市、宿遷一調(diào))某學(xué)校有8個社團(tuán)，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個社團(tuán)，且他倆參加各個社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個社團(tuán)的概率為.【答案】【解析】兩人各參加社團(tuán)的各種情況有8×8=64種，參加同一組的情況有8種，則兩人參加同一個社團(tuán)的概率是=.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第133~134頁.【檢測與評估】第67課古典概型一、填空題1.(2014·南京學(xué)情調(diào)研)口袋中有形狀和大小完全相同的四個球，球的編號分別為1，2，3，4，若從袋中隨機(jī)抽取兩個球，則取出的兩個球的編號之和大于5的概率為.2.(2015·泰州期末)袋子里有兩個不同的紅球和兩個不同的白球，從中任取兩個球，則這兩個球顏色相同的概率為.3.(2014·泰州期末)將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)相同的概率是.4.(2015·蘇州期末)設(shè)x∈{-1，1}，y∈{-2，0，2}，則以(x，y)為坐標(biāo)的點落在不等式x+2y≥1所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率為.5.在三張獎券中有一、二等獎各一張，另一張無獎，甲、乙兩人各抽取一張(不放回)，則兩人都中獎的概率為.6.(2014·南京、鹽城二模)盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片，從盒中隨機(jī)抽取一張記下號碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至少有一個為偶數(shù)的概率為.7.(2014·蘇錫常鎮(zhèn)連徐一調(diào))從甲、乙、丙、丁四個人中隨機(jī)選取兩人，則甲、乙兩人中有且只有一人被選中的概率為.8.(2014·安徽六校聯(lián)考改編)連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a=(m，n)與向量b=(1，0)的夾角記為α，則α∈的概率為.二、解答題9.現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.(1)求所取的2道題都是甲類題的概率；(2)求所取的2道題不是同一類題的概率.10.如圖所示的莖葉圖記錄了甲組3名同學(xué)寒假期間去圖書館A學(xué)習(xí)的次數(shù)和乙組4名同學(xué)寒假期間去圖書館B學(xué)習(xí)的次數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以x表示.(1)如果x=7，求乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果x=9，從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的同學(xué)中選2名同學(xué)，求選出的2名同學(xué)恰好分別在兩個圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)之和大于20的概率.11.一個袋中有4個大小、形狀完全相同的小球，其中紅球1個、白球2個、黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機(jī)取1個小球.(1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率；(2)若取1個紅球記2分，取1個白球記1分，取1個黑球記0分，求連續(xù)取兩次的分?jǐn)?shù)之和為2的概率.【檢測與評估答案】第67課古典概型1.【解析】用(x，y)表示抽取出編號為x，y的兩球，則全部的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6個，其中“取出的兩個球的編號之和大于5”所包含的基本事件為(2，4)，(3，4)，共2個，故所求事件的概率P==.2.【解析】兩個不同的紅球分別記為a，b，兩個不同的白球分別記為c，d，則任取兩個球有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6種不同取法，其中兩個球顏色相同的有ab，cd，共2種，所以兩個球顏色相同的概率為.3.【解析】一枚骰子先后拋擲兩次，向上的點數(shù)有36種情況，點數(shù)相同的有6種情況，所以所求概率為.4.【解析】(x，y)的所有可能取法有(-1，-2)，(-1，0)，(-1，2)，(1，-2)，(1，0)，(1，2)，共6種，其中坐標(biāo)的點落在不等式x+2y≥1所表示的平面區(qū)域內(nèi)的有(-1，2)，(1，0)，(1，2)，共3種，所以所求概率P=.5.【解析】甲、乙兩人從三張獎券中各取一張，基本事件共有6個，符合條件的有甲獲一等獎、乙獲二等獎和甲獲二等獎、乙獲一等獎共2種，故其概率為=.6.【解析】由于抽取一張記下號碼后放回，故基本事件的個數(shù)n=9，抽取的兩個號碼都為奇數(shù)的情況有4種，所以至少有一個為偶數(shù)的情況有5種，即所求概率為.7.【解析】從四人中隨機(jī)選取兩人有6種情況：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，其中甲、乙只有一人被選中的情況有4種：(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，所以所求概率為=.8.【解析】cosα=，因為α∈，所以<<1，所以n<m.又滿足n<m的骰子的點數(shù)有(2，1)，(3，1)，(3，2)，…，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共15個，故所求概率P==.9.(1)將4道甲類題依次編號為1，2，3，4；2道乙類題依次編號為5，6.任取2道題，基本事件為{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6個，所以P(A)==.(2)基本事件同(1).用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{