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第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算目錄TOC\o"1-1"\h\u第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 1題型一:重點(diǎn)考查平均變化率 1題型二:重點(diǎn)考查瞬時(shí)變化率 2題型三:重點(diǎn)考查利用定義法求某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù) 4題型四:重點(diǎn)考查求在型切線 6題型五:重點(diǎn)考查過型切線 7題型六:重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 11題型七:重點(diǎn)考查求某點(diǎn)處到處值 14題型一:重點(diǎn)考查平均變化率典型例題例題1.(2023上·高二課前預(yù)習(xí))若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3,則m等于.【答案】2【詳解】由題意得,所以,或(舍去).故答案為:2例題2.(2023上·江蘇·高二專題練習(xí))已知某物體運(yùn)動的位移s是時(shí)間t的函數(shù),且.(1)求這個(gè)物體t從3秒到3.1秒的平均速度;(2)求這個(gè)物體t從3秒到3.01秒的平均速度.【答案】(1)30.5(m/s)(2)30.05(m/s)【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,∵,∴.(2)當(dāng)時(shí),,∵,∴.精練核心考點(diǎn)1.(2023上·江蘇·高二專題練習(xí))在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度(單位:)與起跳后的時(shí)間(單位:)之間的函數(shù)關(guān)系式為.(1)求運(yùn)動員在第一個(gè)內(nèi)的平均速度;(2)求運(yùn)動員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.【答案】(1)(2)【詳解】(1)運(yùn)動員在第一個(gè)內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率,即,故運(yùn)動員在第一個(gè)內(nèi)的平均速度為.(2)運(yùn)動員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率,即,故運(yùn)動員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為.題型二:重點(diǎn)考查瞬時(shí)變化率典型例題例題1.(2023上·全國·高二期末)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率,則()A. B.1 C.2 D.【答案】B【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于,由,得,所以,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率,所以,解得.故選:B例題2.(2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí))一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位移方程為,當(dāng)時(shí),該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),.故選:C.例題3.(2023下·高二課時(shí)練習(xí))如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A開始運(yùn)動,時(shí)間t的位移(單位:m)函數(shù)為,求當(dāng)s時(shí)的瞬時(shí)速度.【答案】.【詳解】因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在s到s的位移改變量,所以該時(shí)間段內(nèi)的平均速度,所以質(zhì)點(diǎn)在s時(shí)的瞬時(shí)速度為.精練核心考點(diǎn)1.(2023上·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí))節(jié)日里,人們常用放氣球的形式慶祝,已知?dú)馇虻捏w積(單位:與半徑(單位:)的關(guān)系為,則時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】由,求導(dǎo)得,所以時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為.故選:B.2.(2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí))一質(zhì)點(diǎn)做垂直向上運(yùn)動,該質(zhì)點(diǎn)上升高度(單位:)與運(yùn)動時(shí)間(單位:)的關(guān)系式為,當(dāng)時(shí),該質(zhì)點(diǎn)上升高度的瞬時(shí)變化率為.【答案】【詳解】由,求導(dǎo)得,因此,所以當(dāng)時(shí),該質(zhì)點(diǎn)上升高度的瞬時(shí)變化率為.故答案為:3.(2023上·上?!じ呷?计谥校┪矬w位移s和時(shí)間t滿足函數(shù)關(guān)系,則當(dāng)時(shí),物體的瞬時(shí)速度為.【答案】80【詳解】因?yàn)?所以該物體時(shí),物體的瞬時(shí)速度為.故答案為:80題型三:重點(diǎn)考查利用定義法求某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)典型例題例題1.(2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)??计谥校┤艉瘮?shù)在處可導(dǎo),則等于(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】函數(shù)在處可導(dǎo),.故選:C.例題2.(2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為,則(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),故A項(xiàng)正確.故選:A.例題3.(2023上·全國·高二期末)已知函數(shù)在處可導(dǎo),且則=.【答案】【詳解】根據(jù)題意,,變形可得,又由函數(shù)在處可導(dǎo),則.故答案為:.精練核心考點(diǎn)1.(2023下·高二課時(shí)練習(xí))如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1,那么=(
)A. B.1 C.2 D.【答案】A【詳解】因?yàn)?,所以,所?故選:A.2.(2020下·遼寧大連·高二大連八中??茧A段練習(xí))已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】由函數(shù),則,所以,解得.故選:B.3.(2023上·陜西咸陽·高三??茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2,則.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2,即,所以.故答案為:.題型四:重點(diǎn)考查求在型切線典型例題例題1.(2023·青?!ばB?lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,則(
)A. B.1 C. D.2【答案】A【詳解】因?yàn)椋?,又因?yàn)榍芯€與垂直,所以,所以,故選:A.例題2.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【詳解】由題設(shè),當(dāng)時(shí),,故時(shí),,所以,而,故切線方程為,即.故答案為:例題3.(2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;【答案】(1)【詳解】(1)因?yàn)?,所?因?yàn)椋运笄芯€方程為,即.精練核心考點(diǎn)1.(2022上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程【答案】(1).【詳解】(1),,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.2.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的圖像在點(diǎn)處的切線方程;【答案】(1)【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,,,所以,所以切線方程為,即.3.(2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;【答案】(1)【詳解】(1),,即切點(diǎn)坐標(biāo)為,又,切線斜率,則切線方程為,即:;題型五:重點(diǎn)考查過型切線典型例題例題1.(多選)(2023下·湖南·高二期中)過點(diǎn)作曲線的切線,則切線方程可能是(
)A.B.C.D.【答案】AB【詳解】∵.設(shè)曲線的切點(diǎn)為,則,.∴切線方程為.又切線經(jīng)過點(diǎn),則,解得或,∴切點(diǎn)為時(shí),切線方程為;切點(diǎn)為時(shí),切線方程為.故選:AB.例題2.(2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)??计谀┮阎€,(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【答案】(1)(2)或【詳解】(1)解:由函數(shù),可得,可得,即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.(2)解:因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)為,所以,所以切線方程為,又因?yàn)樵谥本€上,所以,即,解得或.當(dāng)切點(diǎn)為時(shí),切線方程為;當(dāng)切點(diǎn)為時(shí),切線的斜率為,此時(shí)切線方程為,綜上所述,過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為:或.例題3.(2022上·山西忻州·高一??计谀┮阎€,求(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)曲線過點(diǎn)的切線方程;(3)曲線平行于直線的切線方程.【答案】(1)(2)或(3)或【詳解】(1)由得,則,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為:,即.(2)因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上,所以可設(shè)切點(diǎn)為,則,則切線方程為,因?yàn)榍芯€過,代入切向方程得:化簡得,則或所以曲線過點(diǎn)的切線方程為:或.(3)直線的斜率為,設(shè)切點(diǎn)為,則由(2)知切線方程為,則由切線與直線平行得,即或,所以切線方程為或,即或精練核心考點(diǎn)1.(2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測)過點(diǎn)作曲線的切線,請寫出切線的方程.【答案】或【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,而,所以切線的斜率,故切線方程為,因?yàn)榍芯€過點(diǎn),,化簡可得或,則切點(diǎn)為或,則代入得切線方程為:或,故答案為:或.2.(2023上·江蘇·高二專題練習(xí))已知函數(shù),點(diǎn)在曲線上.(1)求函數(shù)的解析式;(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(3)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)(2)(3)或【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以(2)由(1)可知:,則點(diǎn)處的切線的斜率為,所以切線方程為:,即;(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,切線的斜率為,所以切線方程為:,將點(diǎn)代入切線方程得:,則,解得或,所以切線方程為:或.3.(2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)??计谥校┮阎€.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)(2)和【詳解】(1)由題意得,則在點(diǎn)處的切線的斜率,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.(2)設(shè)曲線與過點(diǎn)的切線相切于點(diǎn),設(shè)切線的斜率為,則由點(diǎn)斜式得直線方程為,又因?yàn)榍悬c(diǎn)為,則,解得或,則曲線過點(diǎn)處的切線方程為和.題型六:重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算典型例題例題1.(2023上·高二課前預(yù)習(xí))下列運(yùn)算正確的是()A. B.C. D.【答案】D【詳解】對于A,因?yàn)?,所以A錯(cuò)誤;對于B,因?yàn)椋訠錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)?,所以C錯(cuò)誤;對于D,因?yàn)椋訢正確.故選:D.例題2.(多選)(2023上·江蘇徐州·高二??茧A段練習(xí))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(
)A. B.C. D.【答案】CD【詳解】對于A,,故A不正確;對于B,,故B不正確;對于C,,故C正確;對于D,故D正確.故選:CD例題3.(2023上·高二課前預(yù)習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3);(4);(5);(6)【答案】(1)(2).(3).(4)(5).(6)【詳解】(1)(2)(3)(4),(5)(6)精練核心考點(diǎn)1.(多選)(2024上·寧夏銀川·高二??计谀┫铝杏嘘P(guān)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是(
)A. B.C. D.【答案】AC【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?,故A正確;對于選項(xiàng)B,因?yàn)?,故B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,因?yàn)?,故C正確;對于選項(xiàng)D,因?yàn)?,故D錯(cuò)誤.故選:AC2.(2023上·高二課前預(yù)習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)(3)(4)(5);(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【詳解】(1).(2).(3)因?yàn)?,所?(4).(5).(6)因?yàn)椋?3.(2023上·高二課前預(yù)習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1);(2);(3);(4).【答案】(1)(2).(3)(4)【詳解】(1).(2).(3)因?yàn)?,所?(4)因?yàn)?,所?題型七:重點(diǎn)考查求某點(diǎn)處到處值典型例題例題1.(2023上·湖北·高二期末)已知函數(shù),則在處的導(dǎo)數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】由已知可得,所以,所以故選:A.例題2.(2023下·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù),則f(e)=(
)A. B.C. D.【答案】D【詳解】函數(shù),則,解得,所以,所以,所以,解得,所以,所以.故選:D.例題3.(多選)(2023下·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末)若函數(shù)
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