第02講：一元二次函數(shù)、方程和不等式 原卷版

第02講：一元二次函數(shù)、方程和不等式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用 考點(diǎn)二：基本不等式求積的最大值考點(diǎn)三：基本不等式求和的最小值 考點(diǎn)四：二次或者二次商式的最值問題考點(diǎn)五：基本不等式“1”的妙用 考點(diǎn)六：條件等式求最值考點(diǎn)七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題 考點(diǎn)八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法考點(diǎn)九：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍 考點(diǎn)十：一元二次不等式在實(shí)數(shù)上恒成立問題考點(diǎn)十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題 考點(diǎn)十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問題考點(diǎn)十三：一元二次不等式恒成立和分類討論綜合問題【知識梳理】知識點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知識點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點(diǎn)三．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1.基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．知識點(diǎn)四：．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.知識點(diǎn)五：．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)知識點(diǎn)六一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)知識點(diǎn)七二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【題型歸納】題型一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用1．（2024上·上海楊浦·高一校考期末）設(shè)，則下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全國·高一期末）已知，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則3．（2023上·浙江杭州·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則題型二：基本不等式求積的最大值4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎瑸檎龑?shí)數(shù)，，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023上·西藏林芝·高一?？计谥校┫铝忻}中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對任意，均成立.6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：基本不等式求和的最小值7．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．若，則的最小值為2 B．若，則的最小值為2C．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為2 D．若，則的最小值為48．（2024上·湖北孝感·高一?？计谀┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，的最小值是2C．當(dāng)時，的最小值是5D．設(shè)，，且，則的最小值是9．（2023上·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎?，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．題型四：二次或者二次商式的最值問題10．（2021下·江西吉安·高一永豐縣永豐中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)（）的最小值為（

）A． B． C． D．11．（2022上·遼寧大連·高一育明高中校考期末）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．（2022上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．題型五：基本不等式“1”的妙用13．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則的最小值為.14．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值是.15．（2023上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.題型六：條件等式求最值16．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．17．（2023上·黑龍江·高一校聯(lián)考期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．418．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題19．（2023上·安徽六安·高一?？计谥校M足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2023上·四川內(nèi)江·高一威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┤魞蓚€正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或21．（2023上·河南信陽·高一信陽高中?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式對于一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（

）A．； B．； C．； D．．題型八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法22．（2023上·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．23．（2023上·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知不等式的解集為且，則不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或24．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式.題型九：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍25．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2023上·云南曲靖·高一?？计谥校┮阎辉尾坏仁降慕饧癁?，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．427．（2023上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十：一元二次不等式在實(shí)數(shù)上恒成立問題28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．29．（2023上·遼寧鞍山·高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．30．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁椋也坏仁綄τ谌我獾暮愠闪?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或題型十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題31．（2023上·全國·高一期末）已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．32．（2023上·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．33．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ邢蛎髦袑W(xué)?？计谀┤魧θ我獾?，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問題34．（2023上·福建·高一福建省羅源第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若至少存在一個，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．35．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．36．（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．題型十三：一元二次不等式恒成立和分類討論綜合問題37．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)，，求a的取值范圍；(2)若，，，求a的取值范圍.38．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若對一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，若對任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.39．（2023上·河北石家莊·高一校考期中）設(shè)．(1)若不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【強(qiáng)化精練】一、單選題40．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件41．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┫铝忻}為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則42．（2024上·河南·高一南陽中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“不等式對任意的恒成立”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，則的解集是（

）A． B． C． D．44．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，則的（

）A．最小值為1 B．最大值為1 C．最小值為 D．最大值為45．（2023上·浙江·高一臺州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．46．（2024上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知.且，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②的最小值為；③的最小值為；④的最小值為.A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④二、多選題47．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀τ趯?shí)數(shù)，，，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，48．（2023上·廣東深圳·高一校考期中）下列說法正確的是（

）A．命題“，都有”的否定是“，使得”B．當(dāng)時，的最小值為C．若不等式的解集為，則D．“”是“”的充分不必要條件49．（2023上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．若方程沒有根，則不等式的解集為B．若不等式的解集是，則C．若關(guān)于的不等式的解集為，則D．不等式的解集為50．（2023上·安徽安慶·高一安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則下列正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．最大值為8 D．的最大值為6三、填空題51．（2023上·全國·高一期末）已知，，則的取值范圍是.52．（2024上·上海·高一上海市向明中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是53．（2023上·上海奉賢·高一統(tǒng)考期末）已知，.方程的解集為，其中，則不等式的解集為.54．（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.55．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學(xué)校?？计谀┮阎?，則的最