馬鞍山市2023-2024學(xué)年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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馬鞍山市2023-2024學(xué)年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.2.已知雙曲線(xiàn)(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.3.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.4.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.5.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.7.已知集合,則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.8.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對(duì)任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.9.定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”,對(duì)任意,滿(mǎn)足下列運(yùn)算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.10.幻方最早起源于我國(guó),由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對(duì)角線(xiàn)上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.505011.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫(xiě)()A. B. C. D.12.由曲線(xiàn)y=x2與曲線(xiàn)y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為正實(shí)數(shù),若則的取值范圍是__________.14.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機(jī)摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金.若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.15.已知為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為_(kāi)___________.16.若正實(shí)數(shù)x,y,滿(mǎn)足x+2y=5,則x2三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),若,求直線(xiàn)l的斜率k.19.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.21.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)在世界讀書(shū)日期間,某地區(qū)調(diào)查組對(duì)居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查,獲得了一個(gè)容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人,參加一次閱讀交流活動(dòng),若活動(dòng)主辦方從這7位居民中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、A【解析】

若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線(xiàn)的斜率.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線(xiàn)的斜率,,離心率,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時(shí)要注意挖掘隱含條件.3、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當(dāng)時(shí),,無(wú)意義,故排除A;又,則,故排除D;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類(lèi)問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.6、D【解析】

根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

先求出集合,化簡(jiǎn)=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題8、C【解析】

化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故③正確;若對(duì)任意,都有成立,則為最小值點(diǎn),為最大值點(diǎn),則的最小值為,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問(wèn)題.9、B【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項(xiàng).【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類(lèi)推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類(lèi)推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算,關(guān)鍵在于理解,運(yùn)用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.10、C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等,所以階幻方對(duì)角線(xiàn)上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫(xiě)“”故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12、B【解析】

首先求得兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo),據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線(xiàn)y=x2與曲線(xiàn)y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù),可得,進(jìn)而,有,而,令,得到,再用導(dǎo)數(shù)法求解,【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,令,,所以,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題,14、20.2【解析】

分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列,根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.15、【解析】

,所以有,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問(wèn)題,采用的是“1”的替換,也可以消元等,是一道中檔題.16、8【解析】

分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個(gè)整體,之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點(diǎn)睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類(lèi)問(wèn)題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】

(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)椋援?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)解;當(dāng)時(shí),;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問(wèn)題,屬于中檔題.18、(1)(2)直線(xiàn)l的斜率為或【解析】

(1)根據(jù)已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設(shè)直線(xiàn)方程,與橢圓方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為,借助向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,及韋達(dá)定理即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意得解得故橢圓C的方程為.(2)直線(xiàn)l的方程為,設(shè),,則由方程組消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直線(xiàn)l的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,難度一般.19、(1);(2)4【解析】

(1),利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可;(2)設(shè),在中,用正弦定理將用x表示,在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴設(shè),,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.20、(1)的極小值為,無(wú)極大值.(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)對(duì)求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到函數(shù)極值.(2)構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極小值為,無(wú)極大值.(2)當(dāng)時(shí),要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,所以,即.因?yàn)闀r(shí),,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值,不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.21、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可.(II)分切線(xiàn)斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線(xiàn)方程,結(jié)合圓心到切線(xiàn)距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線(xiàn)方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線(xiàn)斜率不存在時(shí),不妨設(shè)

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