第36屆全國(guó)中學(xué)生（高中）物理競(jìng)賽復(fù)賽模擬題（第3套）

全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽模擬試題第三套

-二段跳（20分）

許多游戲中都有“二段跳”的機(jī)制，這一機(jī)制當(dāng)然違背了牛頓力學(xué)。以下討論中姑且認(rèn)為

除二段跳瞬間，其他時(shí)刻物體都遵守牛頓力學(xué)。

超級(jí)雷里奧掌握了二段跳技能。假定起跳后瞬間，雷里奧的初速率為”0，速度方向可任意

選擇；在空中時(shí)，雷里奧可選擇在任一時(shí)刻發(fā)動(dòng)“二段跳”（只能發(fā)動(dòng)一次），發(fā)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)忽略不

計(jì)，發(fā)動(dòng)后瞬間，雷里奧的速度發(fā)生突變，其速率重置為。0,速度方向則可任意選擇。雷里奧

在空中時(shí)，除發(fā)動(dòng)二段跳瞬間外，其他時(shí)刻雷里奧均遵守重力場(chǎng)中的斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

如圖所示，雷里奧（視為質(zhì)點(diǎn)）欲從下臺(tái)跳上高臺(tái)（忽略高臺(tái)豎直方向的厚度），高臺(tái)比雷

里奧起跳點(diǎn)高臺(tái)子比起跳點(diǎn)向左伸出得更多，起跳點(diǎn)位于高臺(tái)邊緣正下方右側(cè)工處。由于

雷里奧不可能穿墻而過(guò)（會(huì)被擋?。?，因此正常來(lái)說(shuō)無(wú)論雷里奧的初速度多大，他都不可能跳上

高臺(tái)。但如果使用二段跳，則有可能按圖示軌跡跳上去。

若要使雷里奧能通過(guò)二段跳跳上此高臺(tái)，求Z須滿(mǎn)足的條件。重力加速度g已知。

（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定晅即雷里奧第一次跳躍時(shí)不可能撞上“天花板”）

二宇宙的未來(lái)（20分）

宇宙未來(lái)的命運(yùn)，取決于宇宙的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程，這一過(guò)程必須在廣義相對(duì)論框架下進(jìn)行,

但我們?cè)诮?jīng)典牛頓力學(xué)框架下也可以做一個(gè)不嚴(yán)（科）格（學(xué)）的估算：

假設(shè)宇宙由大量非相對(duì)論性物質(zhì)組成，總質(zhì)量為當(dāng)t=o,也就是現(xiàn)在，宇宙具有半徑

為Ro的球形邊界，物質(zhì)在其中均勻分布，所有物質(zhì)均具有背離球心的退行速度，速度大小與其

到球心的距離成正比，比例系數(shù)為哈勃常數(shù)為

（1）試論證：在之后的演化中，宇宙中的物質(zhì)始終均勻分布；且同一時(shí)刻，各處物質(zhì)退行

速度始終與其到球心的距離成正比。求出比例系數(shù)（稱(chēng)為哈勃參數(shù)H）以宇宙物質(zhì)密度p為自變

量的函數(shù)關(guān)系式。

（2）討論當(dāng)8o取不同值時(shí)，宇宙未來(lái)將會(huì)有怎樣的命運(yùn)。

（3）如果宇宙將會(huì)發(fā)生收縮，求出宇宙能夠達(dá)到的最大半徑Rmax，以及宇宙從力=0到收

縮為一個(gè)奇點(diǎn)的時(shí)間（假設(shè)當(dāng)宇宙邊緣收縮達(dá)到相對(duì)論性速度時(shí)，半徑已經(jīng)很接近0,從而無(wú)需

考慮相對(duì)論效應(yīng)）。

2

三花邊裙擺(20分)

圓錐擺是大家所熟悉的物理模型，長(zhǎng)度為，的不可伸長(zhǎng)輕繩，懸吊著質(zhì)量為小的質(zhì)點(diǎn)小球,

環(huán)繞懸掛點(diǎn)所在豎直直線(xiàn)，維持不變的水平高度與角速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。如下圖所示。

(1)如果圓錐擺環(huán)繞中軸穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，輕繩和豎直方向之間的夾角為詼，試給出此時(shí)

質(zhì)點(diǎn)環(huán)繞中軸的角動(dòng)量J和角速度。的表達(dá)式，重力加速度g為已知量。

(2)在穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的某個(gè)瞬間，對(duì)小球施加如圖所示的微小沖量L沖量方向在輕繩與中軸

所確定的平面內(nèi)，與輕繩方向垂直。這之后，輕繩與中軸的夾角0將會(huì)在環(huán)繞過(guò)程中，周期性的

薛隊(duì)長(zhǎng)為了在一階近似的條件下計(jì)算這一夕的變動(dòng)周期，選取環(huán)繞中軸以。轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)非慣

性參考系考慮問(wèn)題。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)加在。變動(dòng)的切向上的受力情況，可以列出方程

mid=mCl2lsinQcos9—mgsin0

考慮到是在出角度基礎(chǔ)上的微小變化，因此，記

。%+a

其中

a《為

于是

a=0

考慮一階近似

....?da

daa=0

根據(jù)以上思路繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算，薛隊(duì)長(zhǎng)給出了周期4。

雷神在看到上述解答后，表示了憤怒。指出這一解答過(guò)程有嚴(yán)重的錯(cuò)誤，得到的以不是正

確的周期。請(qǐng)大家借助雷神的智慧，指出上述解答的錯(cuò)誤之處。

(3)試計(jì)算出正確的周期T。

3

四飛得更高(20分)

本題討論空氣在豎直方向的熱力學(xué)性質(zhì)與運(yùn)動(dòng)特征。

我們知道，大氣主要由N2、。2分子組成，平均摩爾質(zhì)量為〃=29g/mol,地面附近大氣壓

52

為1atm=1.01325x10Pa,重力加速度為g=9.81m/s,普適氣體常量R=8.31J/(mol-K)o

為了方便計(jì)算，以下不科學(xué)地假定：空氣不導(dǎo)熱，陽(yáng)光照射不直接給空氣傳熱，空氣中不

存在風(fēng)或湍流。

(1)在無(wú)比干旱的沙漠中。試估算：海拔每升高100米，氣溫降低量低于多少度，才能保

證大氣是穩(wěn)定的。也就是說(shuō)，空氣中的一個(gè)氣團(tuán)受到擾動(dòng)而具有一個(gè)向上或向下的小速度后,

會(huì)傾向于回到原位置，而不會(huì)一條路走到黑。

(2)假設(shè)氣溫按照上一問(wèn)中的臨界條件分布。地面附近氣溫為25。a由于某處水分蒸發(fā),

產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)濕度為70%,溫度、壓強(qiáng)與周?chē)髿庖恢碌臍鈭F(tuán)。試描述該氣團(tuán)之后的運(yùn)動(dòng)情況,

并求出其速度與高度的定量關(guān)系。

計(jì)算過(guò)程中，可以忽略水蒸汽對(duì)空氣定容摩爾熱容的影響。。?60。。之間的水飽和蒸汽

壓入(mmHg)與溫度t(℃)滿(mǎn)足Antoine方程：

1750.286

hip,=8.10765-

t+235.0

水銀密度為PHg=13.6x103kg/m3,水的摩爾質(zhì)量為“HzO=18g/moL

(3)計(jì)算上述氣團(tuán)中的水蒸汽開(kāi)始發(fā)生凝結(jié)的高度。

4

五旋轉(zhuǎn)吧！導(dǎo)體棒(20分)

從前有一個(gè)半徑為R的實(shí)心長(zhǎng)圓柱中性導(dǎo)體(長(zhǎng)度忽略邊緣效應(yīng))，以均勻的角速

度3繞自己的中軸旋轉(zhuǎn)，內(nèi)部的自由電子紛紛被向外甩去，整個(gè)導(dǎo)體逐漸達(dá)到一種新的、穩(wěn)定的

電荷分布……

這時(shí)，又有一件事打破了自由電子的寧?kù)o：我們將導(dǎo)體放在了磁感應(yīng)強(qiáng)度Bo平行于圓柱中

軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。在各種力的作用下，自由電子再次重新排布，使整個(gè)導(dǎo)體最后達(dá)到一種終極

穩(wěn)定的電荷分布。很明顯，這個(gè)分布關(guān)于圓柱中軸具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，在中軸方向也具有平移不

變性。因此，我們將距離中軸r處的電荷體密度記作p(r)。

下面，我們計(jì)算p(r)的影響，并最終導(dǎo)出它的形式。

(1)試求距離中軸r處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E(r)與總的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小這里假設(shè)布滿(mǎn)均

勻環(huán)形電流的薄壁圓筒在其內(nèi)部產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度處處相等。

(2)分析導(dǎo)體內(nèi)一個(gè)自由電子的受力情況，并由此寫(xiě)出p(r)應(yīng)滿(mǎn)足的方程。

(3)求解上述方程，得出p(r)用A、3、3及自變量r表示的形式。

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六靜電致液滴解體(20分)

無(wú)重力空間中懸浮有一個(gè)半徑為R的導(dǎo)電球形液滴，該液體攜帶電荷量為Q、表面張力系

數(shù)為受靜電排斥力的影響，當(dāng)液滴攜帶電荷量Q太大時(shí)，液體可能會(huì)因排斥力而失穩(wěn)、解

體。以下各問(wèn)嘗試分析失穩(wěn)條件：

(1)假設(shè)液滴輕微偏離球形，變成一個(gè)旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)橢球，橢球表面方程如下：

其中a、&均為已知參數(shù)。已知旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)橢球的表面積公式如下：

S=27rb2(1+芹arcsine)

其中e=￡=配三是橢球的離心率。試求長(zhǎng)橢球液滴的表面張力勢(shì)能。

aa

(2)試求14問(wèn)中這一長(zhǎng)橢球的電容，以及變成長(zhǎng)橢球后液滴的電勢(shì)能。

提示：一根有限長(zhǎng)均勻直導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生電場(chǎng)的等勢(shì)面恰為長(zhǎng)橢球形。______

C\/o2_.2

(3)假設(shè)液體輕微偏離球形而變成旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)橢球，離心率e=-=——-《1)試將前兩

aa

問(wèn)中求得的電勢(shì)能、表面張力勢(shì)能表達(dá)式按離心率小量展開(kāi)；并分析什么情況下帶電液滴穩(wěn)定,

什么情況下失穩(wěn)。

6

七“孔”中窺像(20分)

如圖所示，5、5是兩個(gè)凸透鏡，Q是物點(diǎn)，Q所在的與光軸垂直的平面為物平面，DD是

光闌，已知焦距力=2a,=a，圖中標(biāo)示各距離為s=10a,I=4a,d=6a；此外，透鏡與

光闌半徑的關(guān)系為ri=丁2=3/3=3r。其中r=lcm,a=20cm。請(qǐng)?jiān)趲缀喂鈱W(xué)近軸范圍內(nèi)考

慮下列問(wèn)題，并忽略像差和衍射效應(yīng)。圖中橫向與縱向的長(zhǎng)度比例不同。

物

平

面

D7

(1)求像平面的位置，以及物平面上Q點(diǎn)上方2cm處的u點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的像“點(diǎn)的位置；

(2)物平面上Q點(diǎn)發(fā)出的光有的部分能夠到達(dá)像平面上的像點(diǎn)。點(diǎn)，而有的部分則不能。

那么，能夠到達(dá)像點(diǎn)的由Q點(diǎn)發(fā)出的光，與光軸的可能最大夾角為多大？

(3)對(duì)于物平面上的任意一個(gè)發(fā)光點(diǎn)P,如果其發(fā)出的某一條光線(xiàn)可以通過(guò)光闌0