2023屆新教材高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題練習(xí) 概率與統(tǒng)計(jì)B卷

(8)概率與統(tǒng)計(jì)

B卷

1.2020年春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒(2019-nCoV),是一種可以借助飛沫和接觸傳

播的變異病毒.新冠肺炎的確診要靠新冠病毒核酸的檢測，如果檢測結(jié)果呈陽性，則確

診此人體內(nèi)帶有新型冠狀病毒.某醫(yī)院隔離了一批發(fā)熱病人，其中經(jīng)檢測帶有新型冠狀

病毒的概率為±現(xiàn)從此醫(yī)院中抽出10個(gè)發(fā)熱病人作為樣本進(jìn)行核酸檢測.

5

(I)若從這10個(gè)樣本中隨機(jī)取出3個(gè)，求至少2人確診的概率；

(II)以此10個(gè)樣本的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批發(fā)熱病人的總體，若從這批數(shù)量很大的發(fā)熱

病人的樣本中任選3個(gè)，記《表示抽到的樣本中確診的人數(shù)，求J的分布列及數(shù)學(xué)期

望.

2.某啤酒廠要將一批鮮啤酒用汽車從所在城市甲運(yùn)至城市乙,已知從城市甲到城市乙只

有兩條公路,運(yùn)費(fèi)由廠家承擔(dān).若廠家恰能在約定日期將啤酒送到,則城市乙的銷售商一

次性支付給廠家40萬元;若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付給廠家2萬

元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給廠家2萬元.為保證啤酒的新鮮

度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送.已知信息如下：

在不堵車的情在堵車的情況

汽車行駛路線況下到達(dá)城市下到達(dá)城市乙堵車的概率運(yùn)費(fèi)/萬元

乙所需時(shí)間/天所需時(shí)間/天

公路1~Γ4a2

公路223~β~丁

(1)記選擇公路1運(yùn)送啤酒時(shí)廠家獲得的毛收入為X(單位:萬元),求X的分布列和EX;

(2)若α=g]=[,則選擇哪條公路運(yùn)送啤廠家獲得的毛收入更多？

注:毛收入=銷售商支付給廠家的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi).

3.習(xí)近平總書記在2020年新年賀詞中勉勵(lì)大家:“讓我們只爭朝夕,不負(fù)韶華,共同迎接

2020年的到來

其中，，只爭朝夕,不負(fù)韶華，，旋即成了網(wǎng)絡(luò)熱詞,成了大家互相砥礪前行的錚錚皙言,激勵(lì)

著廣大青年朋友奮發(fā)有為,積極進(jìn)取,不負(fù)青春,不負(fù)時(shí)代.

“只爭朝夕,不負(fù)韶華”用英文可翻譯為：“SeiZethedaydliveittothefull

(1)求上述英語譯文中,e,ij,44個(gè)字母出現(xiàn)的頻率(小數(shù)點(diǎn)后面保留兩位有效數(shù)字),并比

較4個(gè)頻率的大小(用“>”連接)；

(2)在上面的句子中隨機(jī)取一個(gè)單詞,用X表示取到的單詞所包含的字母個(gè)數(shù),寫出X

的分布列,并求出其數(shù)學(xué)期望；

(3)從上述單詞中任選2個(gè)單詞,求其字母個(gè)數(shù)之和為6的概率.

4.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí),加強(qiáng)自主創(chuàng)新,發(fā)展高端創(chuàng)造、智能制造.把我國制造業(yè)和實(shí)體

經(jīng)濟(jì)搞上去,推動(dòng)我國經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng),許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平,一些

中小型工廠的規(guī)模不大,在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),某一小型工廠自己沒有管

理軟件的高級(jí)技術(shù)員.欲購買管理軟件服務(wù)公司的管理軟件.并讓其提供服務(wù),某一管理

軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案：

方案一:管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元.對(duì)于提供的軟件服務(wù).每次另外收費(fèi)

200元；

方案二:管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元.若每月提供的軟件服務(wù)不超過15次.

不另外收費(fèi).若超過15次,超過部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.

⑴設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元.每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為％試寫出兩種方案

中y與X的函數(shù)關(guān)系式.

(2)該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過去20個(gè)月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)放

進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖.該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量,?現(xiàn)從服務(wù)次放為13次

和14次的月份中任選3個(gè)月.求這3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)、2個(gè)14次服務(wù)的概率.

(3)依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù),把頻率視為概率.從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇.種方

案更合適請說明理由.

5.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場,均養(yǎng)有1萬頭豬.根據(jù)豬的體重,將其分為三個(gè)

成長階段,如下表：

階段幼年期成長期成年期

體重(kg)[2,18)Γ18,82)[82,98]

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),兩個(gè)養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重X均近似服從正態(tài)分布N(50,16).

由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對(duì)大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度,高度重視

其質(zhì)量保證,為了養(yǎng)出健康的成年期的豬,甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖

模式.已知甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期的豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為

54

(1)試估算各養(yǎng)豬場三個(gè)階段的豬的數(shù)量；

(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬,則可盈利400元,若為不合格

的豬,則虧損200元;乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬,則可盈利500元，

若為不合格的豬,則虧損100元.記Y為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總

利潤,求隨機(jī)變量r的分布列,假設(shè)兩個(gè)養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完,求兩個(gè)養(yǎng)豬場的

總利潤的期望值.

(參考數(shù)據(jù):若Z~N(M,4),則

P(,μ-σ<Z<μ+σ)≈0.683,P{μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<Z<ju+3σ)≈0.997)

6.景泰藍(lán)(ClOiSOnne),中國的著名特種金屬工藝品之一,到明代景泰年間這種工藝技術(shù)制

作達(dá)到了最巔峰,因制作出的工藝品最為精美而聞名,故后人稱這種瓷器為“景泰藍(lán)'’.其

制作過程中有“掐絲”這一環(huán)節(jié),某大型景泰藍(lán)掐絲車間共有員工10000人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽

取IOo名對(duì)他們每月完成合格品的件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).得到如下統(tǒng)計(jì)表：

每月完成合格品的件數(shù)(12,14](14,16](16,18](18,20](20,22]

10453564

女員工人數(shù)3221753

(1)若每月完成合格品的件數(shù)超過184卜,則車間授予“工藝標(biāo)兵”稱號(hào),由以一上統(tǒng)計(jì)表填寫

下面的2x2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“工藝標(biāo)兵”稱號(hào)與性別有關(guān);

非“工藝標(biāo)兵''"工藝標(biāo)兵”總計(jì)

^^男員工人數(shù)'^^

女員工人數(shù)

合計(jì)

(2)為提高員工的工作積極性,該車間實(shí)行計(jì)件工資制:每月完成合格品的件數(shù)在12件以

內(nèi)(包括12件),每件支付員工200元,超出(0,2］的部分,每件支付員工220元,超出(2,4］的

部分,每件支付員工240元,超出4件以上的部分,每件支付員工260元,將這4段頻率視

為相應(yīng)的概率,在該車間男員工中隨機(jī)抽取2人,女員工中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行工資調(diào)查,

設(shè)實(shí)得計(jì)件工資超過3320元的人數(shù)為g,求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n{ad-be)2

附：/,其111n=a+b+c+d.

(a+?)(c+d)(a+c)(?+d)

P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

7.為了遏制新冠肺炎疫情,我國科研人員在研究新型冠狀病毒某種疫苗的過程中,利用小

白鼠進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn).為了研究小白鼠連續(xù)接種疫苗后出現(xiàn)Z癥狀的情況,決定對(duì)小白鼠

做接種試驗(yàn).該試驗(yàn)為:①對(duì)參加試驗(yàn)的每只小白鼠每天接種一次;②連續(xù)接種三天為一

個(gè)接種周期;③試驗(yàn)共分3個(gè)接種周期.已知每只小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)Z癥狀的概率

均為L假設(shè)每次接種后小白鼠當(dāng)天是否出現(xiàn)Z癥狀與上次接種無關(guān).

4

(1)若某只小白鼠出現(xiàn)Z癥狀,則對(duì)其終止試驗(yàn),求一只小白鼠至多能參加一個(gè)接種周期

試驗(yàn)的概率；

(2)若某只小白鼠在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次Z癥狀,則在這個(gè)接種周期結(jié)束后,

對(duì)其終止試驗(yàn).設(shè)一只小白鼠參加的接種周期為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

8.某校辯論隊(duì)計(jì)劃在周六、周日各參加一場辯論賽,分別由正、副隊(duì)長負(fù)責(zé),已知該校辯

論隊(duì)共有10位成員(包含正、副隊(duì)長),每場比賽除負(fù)責(zé)人外均另需3位隊(duì)員(同一隊(duì)員

可同時(shí)參加兩天的比賽,正、副隊(duì)長只能參加一場比賽).假設(shè)正、副隊(duì)長分別將各自比

賽通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給辯論隊(duì)8名隊(duì)員中的3位,且所發(fā)信息都能收到.

(1)求辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的概率；

(2)記辯論隊(duì)收到正隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的隊(duì)員人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的

分布列及其數(shù)學(xué)期望.

9.古人云:“腹有詩書氣自華.”習(xí)近平總書記倡導(dǎo)全民閱讀,建設(shè)書香中國.現(xiàn)在校園讀書

活動(dòng)熱潮正在興起,某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名

學(xué)生,獲得了他們一周課外讀書時(shí)間(單位：h)的數(shù)據(jù)如表所示：

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

~Γ(0,2]40.02

2(2,4]60.03

3(4,6]100.05

4(6,8]a0.06

5(8,10]140.07

：

6(10,12]^b0.12

7(12,14]500.25

8(14,16]460.23

9(16,18]340.17

合計(jì)200~Γ

⑴求aS的值;如果按讀書時(shí)間(0,6],(6,12],(12,18]分組,用分層抽樣的方法從這200名學(xué)生

中抽取20人,再從這20人中隨機(jī)選取3人,求恰有2人一周課外讀書時(shí)間在(12,18]內(nèi)的

概率.

(2)若將樣本頻率視為概率,從該校學(xué)生中隨機(jī)選取3人,記X為一周課外讀書時(shí)間在

(12,181內(nèi)的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估計(jì)該校一周人均課外讀書的時(shí)間.

10.為了引導(dǎo)居民合理用電,國家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià),居民用電原則上以住宅為單

位(一套住宅為一戶).

階梯級(jí)別第一階梯第二階梯第三階梯

月用電范圍/(千瓦?時(shí))(0,210](210,4001(400,÷x))

某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況,得到統(tǒng)計(jì)表如下:

居民用電編號(hào)12345678910

用電量(千瓦?時(shí))538690124132200215225300410

(1)若規(guī)定第一階梯電價(jià)每千瓦?時(shí)0?5元,第二階梯超出第一階梯的部分每千瓦?時(shí)0.6元,

第三階梯超出第二階梯的部分每千瓦?時(shí)0.8元,試計(jì)算居民用電戶月用電410千瓦.時(shí)時(shí)

應(yīng)交電費(fèi)多少元？

(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的用戶數(shù)的分布列與期望.

(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民用電,現(xiàn)從全市中依次抽取10戶,若抽到

k戶月用電量為第一階梯的可能性最大,求k的值.

答案以及解析

L答案：⑴記“若從這10個(gè)樣本中隨機(jī)取出3個(gè)，至少2人確診”為事件A,則所求概

率P（A）=CX圖xg+CX自假.

（II）由題意得自的所有可能取值為0,1,2,3.

則可知…民），

貝IJPe=O)=c；

Pc=I)=c；

PC=2)=CX

PC=3)=C;

所以J的分布列如表所示:

gO123

1124864

P

T25T25125125

所以&的數(shù)學(xué)期望四）=°'I?+∣'卷+2X需+3X64_30012

125^l25-T-

2.答案：（1）若汽車走公路1,

則不堵車時(shí)啤酒廠獲得的毛收入X=40-2+2=40（萬元）,

堵車時(shí)啤酒廠獲得的毛收入X=40—2-4=34（萬元），

所以汽車走公路1時(shí)啤酒廠獲得的毛收入X的分布列為

X4034

P?-aa

故EX=40(l-α)+34α=40-6α.

⑵當(dāng)a=l時(shí),由⑴知EX=40-6χJ=38(萬元).

33

當(dāng)"=2時(shí),設(shè)汽車走公路2時(shí)啤酒廠獲得的毛收入為r,則不堵車時(shí)啤酒廠獲得的毛收

4

入y=40-l=39(萬元),堵車時(shí)啤酒廠獲得的毛收入y=40-1-2=37(萬元),所以汽車走公

路2時(shí)啤酒廠獲得的毛收入r的分布列為

Y3937

3?

P

44

所以Ey=39x^+37J=38.5（萬元）,

44

由歐得選擇公路2運(yùn)送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多.

3.答案:(1)血＜?4個(gè)字母出現(xiàn)的頻率分別為90.17,10.10,/0.14,120.07,

其大小關(guān)系為e出現(xiàn)的頻率＞/出現(xiàn)的頻率＞i出現(xiàn)的頻率＞a出現(xiàn)的頻率.

(2)X的分布列為

X2345

242?

P

9999

(3)滿足字母個(gè)數(shù)之和為6的情況分為兩種：

①從含2個(gè)字母的2個(gè)單詞中任選一個(gè),再從含4個(gè)字母的2個(gè)單詞中任選一個(gè),不同的

方法有C?c;種.

②從含3個(gè)字母的4個(gè)單詞中任選2個(gè),不同的方法有C：種.

C；.C；+C；_4+6_5

故所求的概率P=

C；3618

4.答案：(1)由題意可知,方案一中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與X的函數(shù)關(guān)系式為

y=200x+4800,xeN,

7600,x≤15,x∈N

方案二中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=

500x+100,x>15,x∈N

(2)記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù),2個(gè)14次服務(wù)為事件A,則P(A)=等=2,

GO15

⑶對(duì)于方案一,設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為。元,由條形統(tǒng)計(jì)圖可得。的取值為

7400,7500,7800,8000,8200,

Pg=7400)=0.1,Py=7600)=0.4,

P(ξt=7800)=0.1,P(?=8000)=0.2,

P(?=8200)=0.2.

所以《的分布列為

474007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

所以E?)=7400×0.1+7600X0.4+7800×0.1+8(X)0×0.2+820()×0.2=78(X).

對(duì)于方案二,設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為多元,由條形統(tǒng)計(jì)圖可得幺的取值為

7600,8100,8600,

P{ξ2=7600)=0.6,P(ξ2=8100)=0.2,P(ξ2=8600)=0.2,

所以多的分布列為

760081008600

P0.60.20.2

E&)=7600X0.6+81OOX0.2+8600X0.2=7900.

因?yàn)镋?)<E6),所以從節(jié)約成本考慮,該工廠選擇方案一更合適.

5.答案：(1)設(shè)各階段豬的數(shù)量分別為%,%,%,

Q豬的體重X近似服從正態(tài)分布N(50,16),

0997-0954

.?.P(2≤X<18)=P(50-3×16≤X<50-2×16)≈-----------------=0.0215,

2

.?.n,=IOoOOXO.0215=215(頭)；

P(18≤X<82)=P(50-2×16≤X<50+2×16)≈0.954

.?.∕?=10OOOx0.954=9540(?);

0997-0954

P(82≤X≤98)=P(50+2×16≤X≤50+3×16)≈=0.0215,

2

.?.n,=10000×0.0215=215(?).

.?.甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場各有幼年期的豬215頭,成長期的豬9540頭,成年期的豬215頭.

(2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為900,300,-300.

43341137111

p(r=9∞)=-×-=-,P(r=300)=-×-+-×-=-,P(r=-300)=-×-!-=-,

5455454205420

.?.y的分布列為

Y900300-300

371

P

52020

?71—

.-.￡：(/)=900×-+300×——3∞×-=630(7G),

52020

由于兩個(gè)養(yǎng)豬場均有215頭成年期的豬,且兩個(gè)養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總

利潤的期望為630元,則總利潤的期望為630x215=135450（元）.

6.答案：（1）2x2歹U聯(lián)表如下:

非“工藝標(biāo)兵”-“工藝標(biāo)兵”總計(jì)

男員工人數(shù)48250

女員工人數(shù)42850

合計(jì)90ioWO

100x(48x8-42x2)-=4>3841

50×50×90×10

所以有95%的把握認(rèn)為“工藝標(biāo)兵”稱號(hào)與性別有關(guān).

（2）若員工實(shí)得計(jì)件工資超過3320元,則每月完成合格品的件數(shù)需超過16件,由題中統(tǒng)

計(jì)表數(shù)據(jù)可得,男員工實(shí)得計(jì)件工資超過3320元的概率6=|,女員工實(shí)得計(jì)件工資超

過3320元的概率6=g.

設(shè)隨機(jī)抽取的男員工中實(shí)得計(jì)件工資超過3320元的人數(shù)為X,隨機(jī)抽取的女員工中實(shí)

得計(jì)件工資超過3320元的人數(shù)為Y,則X~42,|),y

由題意可知，J的所有可能取值為0,1,2,3,

Pc=O)=P(X=O,y=0)=(∣)

321(3V121

Pe=I)=P(X=I,y=0)+P(X=0,y=l)=C2×∣×-×-+Cλ2×l11X-=—,

/9λ213212

A?=2)=P(x=2,y=0)+P(x=ι,r=i)=α×-I×-+c^×-×-×-=-,

P("3)=P(X=2,y=l)=(∣]X；=京，

所以隨機(jī)變量g的分布列為

g0123

92182

P

50502525

所以陽)=0x4+lx%+2x導(dǎo)3X1得

7.答案：（1）根據(jù)題意,得一只小白鼠第一天接種后當(dāng)天出現(xiàn)Z癥狀的概率I=L

第二天接種后當(dāng)天出現(xiàn)Z癥狀的概率g=1x；=怖,

能參加第三天試驗(yàn)但不能參加下一個(gè)接種周期試驗(yàn)的概率.泊十卷

所以一只小白鼠至多能參加一個(gè)接種周期試驗(yàn)的概率尸=[+2+A=:+V+V=W

（2）設(shè)事件C為“小白鼠在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次Z癥狀”,則

P(C)=CI=?

由題意,得隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,則

P(X=I)=P(C)=A,

32

P(X=2)=[1-P(C)].P(C)=(1—備X_5_—_1_3_5_

32~1024'

729

P(X=3)=[1-P(C)]?[I-P(C)]×1=^-,

所以X的分布列為

X~Γ23

5135729

P

321024?024

…、I5C135C7292617

E(X)=IX—+2×------+3×-------=--------

32102410241024

8.答案：（1）設(shè)事件A表示:辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長的通知信息.

則P(A)=Qa)=：,

OO

設(shè)事件B表示:辯論隊(duì)員甲收到副隊(duì)長的通知信息.

則P(B)=Q由)=：,

ee

設(shè)事件C表示:辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長或副隊(duì)長的通知信息.

則尸?=T而崛~(∣j=?

所以辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長或副隊(duì)長的通知信息的概率為生.

64

(2)由題意可得,隨機(jī)變量X的所有可能取值為3,4,5,6,

則P(X=3)=品=>P(X=4)=簧*,P(X=5)=篝啜,P(X=6)=∣∣<,

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X456

115155

P

56562828

故數(shù)學(xué)期望13$+4啜+5X*6*^?

9.答案