數(shù)列與不等式知識點及練習(xí)(唐)

數(shù)列與不等式一、看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②2()=3\*GB3③(為常數(shù)). 二、看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下兩種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②(，) 在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.〔2〕當(dāng)<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得取最小值.在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。四.數(shù)列通項的常用方法：〔1〕利用觀察法求數(shù)列的通項.〔2〕利用公式法求數(shù)列的通項：①；②等差、等比數(shù)列公式.〔3〕應(yīng)用迭加〔迭乘、迭代〕法求數(shù)列的通項：①；②〔4〕造等差、等比數(shù)列求通項：；②；③；④.第一節(jié)通項公式常用方法題型1利用公式法求通項例1：1.{an}滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。2.為數(shù)列的前項和，求以下數(shù)列的通項公式：⑴；⑵.總結(jié):任何一個數(shù)列，它的前項和與通項都存在關(guān)系：假設(shè)適合，那么把它們統(tǒng)一起來，否那么就用分段函數(shù)表示.題型2應(yīng)用迭加〔迭乘、迭代〕法求通項例2：⑴數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；⑵為數(shù)列的前項和，，，求數(shù)列的通項公式.總結(jié)：⑴迭加法適用于求遞推關(guān)系形如“”；迭乘法適用于求遞推關(guān)系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①②.題型3構(gòu)造等比數(shù)列求通項例3數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式.總結(jié)：遞推關(guān)系形如“”適用于待定系數(shù)法或特征根法：①令；②在中令，；③由得，.例4數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式.總結(jié)：遞推關(guān)系形如“”通過適當(dāng)變形可轉(zhuǎn)化為：“”或“求解.數(shù)列求和的常用方法一公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：3.4、5.二.裂項相消法:適用于其中{}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；局部無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。例2求數(shù)列的前n項和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項〔通項〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達(dá)求和的目的.通項分解〔裂項〕如：〔1〕〔2〕〔3〕三.錯位相減法:可以求形如的數(shù)列的和，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.例1：求和：.例2:數(shù)列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項的和．小結(jié)：錯位相減法類型題均為：連續(xù)相加。四.常用結(jié)論1〕1+2+3+...+n=2〕1+3+5+...+(2n-1)=3〕4〕5〕重要不等式1、和積不等式：(當(dāng)且僅當(dāng)時取到“”)．【變形】：①〔當(dāng)a=b時，〕【注意】：，2、均值不等式：兩個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系，即“平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均”*.假設(shè)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”〕;假設(shè)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”〕假設(shè)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”〕*.假設(shè)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”〕假設(shè)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”〕3、含立方的幾個重要不等式〔a、b、c為正數(shù)〕：〔，〕；*不等式的變形在證明過程中或求最值時，有廣泛應(yīng)用，如：當(dāng)時，同時除以ab得或。*均為正數(shù)，八種變式：①；②；③④；⑤假設(shè)b>0,那么；⑥a>0,b>0,那么；⑦假設(shè)a>0,b>0,那么；⑧假設(shè)，那么。上述八個不等式中等號成立的條件都是“”。放縮不等式：①，那么.【說明】：〔，糖水的濃度問題〕.【拓展】：.②，，那么；③，；④，.⑤,函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如圖：(2)函數(shù)性質(zhì)：①值域：；②單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，最值定理〔積定和最小〕①，假設(shè)積，那么當(dāng)時和有最小值；〔和定積最大〕②，假設(shè)和，那么當(dāng)是積有最大值.【推廣】：，那么有.〔1〕假設(shè)積是定值，那么當(dāng)最大時，最大；當(dāng)最小時，最小.〔2〕假設(shè)和是定值，那么當(dāng)最大時，最小；當(dāng)最小時，最大.③，假設(shè)，那么有那么的最小值為：④，假設(shè)那么和的最小值為：.②應(yīng)用根本不等式求最值的“八種變形技巧”：=1\*GB2⑴湊系數(shù)〔乘、除變量系數(shù)〕.例1.當(dāng)時，求函的數(shù)最大值.=2\*GB2⑵湊項〔加、減常數(shù)項〕：例2.，求函數(shù)的最大值.=3\*GB2⑶調(diào)整分子：例3.求函數(shù)的值域；=4\*GB2⑷變用公式：根本不等式有幾個常用變形,，不易想到，應(yīng)重視；例4.求函數(shù)的最大值；=5\*GB2⑸連用公式：例5.，求的最小值；=6\*GB2⑹對數(shù)變換：例6.，且，求的最大值；=7\*GB2⑺三角變換：例7.，且，求的最大值；=8\*GB2⑻常數(shù)代換〔逆用條件〕：例8.，且，求的最小值1、數(shù)列的一個通項公式是〔〕A、B、C、D、2、等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，那么〔〕A、B、2C、D、3、等差數(shù)列前項和為且那么〔〕A、17B、18C、19D、204、，記，那么M與N的大小關(guān)系〔〕A、M<NB、M>NC、M=ND、不確定5、假設(shè)，那么以下不等式：中正確的選項是〔〕A、〔1〕〔2〕B、〔2〕〔3〕C、〔1〕〔3〕D、〔3〕〔4〕6、不等式的解集是〔〕A、B、C、D、7、設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，假設(shè)〔〕A、B、C、D、8、在三個結(jié)論：=1\*GB3①，=2\*GB3② =3\*GB3③，其中正確的個數(shù)是〔〕 A、0 B、1 C、2 D、39、目標(biāo)函數(shù)，變量滿足，那么有〔〕 A、 B、無最小值 C、無最大值 D、既無最大值，也無最小值10、在R上定義運算假設(shè)不等式對任意實數(shù)成立，那么〔〕 A、 B、 C、 D、二、填空題：〔每題5分，共25分〕11、等比數(shù)列公比,那么的前4項和___________等比數(shù)列的前n項和，又，那么公比___________13、假設(shè),且，那么的最大值為___________14、實數(shù)x、y滿足不等式組，那么W=的取值范圍是_____________

15、關(guān)于的不等式的解集為三、解答題：〔本小題總分值12分〕等比數(shù)列中，，〔1〕求數(shù)列的通項公式;〔2〕假設(shè)分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前n項和.〔本小題總分值12分〕數(shù)列的前項和(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最大或最小值.〔本小題總分值12分〕向量，假設(shè)·，〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕求數(shù)列的前項和.〔本小題總分值12分〕在數(shù)列中，〔1〕設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列;〔2〕求數(shù)列的前項和.〔本小題總分值13分〕某房地產(chǎn)開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．〔Ⅰ〕假設(shè)扣除投資和各種裝修費，那么從第幾年開始獲取純利潤？〔Ⅱ〕假設(shè)干年后開發(fā)商為了投資其他工程，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以46萬元出售該樓;②純利潤總和最大時，以10萬元出售該樓，問哪種方案盈利更多？〔本小題總分值14分〕數(shù)列滿足：，，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；〔3〕令，求證：BABBCBADCC二、填空題：〔每題5分，共25分〕11、12、13、14、[－1,1)15、三、解答題：16、解：〔1〕設(shè)公比為，那么-----------------------6分〔2〕由〔1〕得那么-----------------------〔12分〕17、解：〔1〕當(dāng)n=1時，當(dāng)n2時，故〔2〕由，于是有最小值是-576，此時；無最大值。------------12分18、(1)·------------6分(2)------------12分19、解：〔1〕由得是等差數(shù)列------------------------8分〔1〕-〔2〕=----------------------12分20、解：〔1〕設(shè)第n年獲取利潤為y萬元n年共收入租金30n萬元，付出裝修費構(gòu)成一個以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，共因此利潤，令解得：所以