2024年中考數學核心素養(yǎng)專題五 幾何圖形的的閱讀理解【含答案】

2024年中考數學核心素養(yǎng)專題五幾何圖形的的閱讀理解一、選擇題1．閱讀下列材料，①——④步中數學依據錯誤的是()如圖，直線b∥c，a⊥b，試說明：a⊥c．解：因為a⊥b，根據“垂直的定義”，①所以∠1=90°．因為b∥c，根據“同位角相等，兩直線平行”，②所以∠1=∠2，根據“等量代換”，③所以∠2=∠1=90°，根據“垂直的定義”，④所以a⊥c．A．① B．② C．③ D．④2．閱讀圖中的材料，解答下面的問題：已知⊙O是一個正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為2，如果用它的面積來近似估計⊙O的面積，則⊙O的面積大約是（）A．12 B．12.4 C．12.56 D．4π3．閱讀下面的材料：定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點．求證：DE∥BC，且DE=1證明：延長DE到點F，使EF=DE，連接CF，…甲、乙兩人后續(xù)證明的部分思路如下：甲：如圖1，先證明△ADE≌△CFE，再推理得出四邊形DBCF是平行四邊形．乙：如圖2，連接DC，AF．先后證明四邊形ADCF，DBCF分別是平行四邊形．下列判斷正確的是（）A．甲思路正確，乙思路不符合題意B．甲思路錯誤，乙思路正確C．甲、乙兩人思路都正確D．甲、乙兩人思路都錯誤二、填空題4．【閱讀材料】平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個點A、B、C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置，費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1，我們可以將△BPC繞點B順時針旋轉60°得到△BDE，連接PD，可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等．【解決問題】如圖2，在直角三角形ABC內部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=3，求PA+PB+PC的最小值．5．閱讀材料：在直角三角形中，斜邊和兩條直角邊滿足定理：兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方，因此如果已知兩條邊的長，根據定理就能求出第三邊的長，例如：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，由定理得AC2+B請結合上述材料和已學幾何知識解答以下問題：已知：如圖，∠C=90°，AB∥CD，AB=5，CD=11，AC=8，點E是BD的中點，那么AE的長為．6．閱讀下面材料：已知：△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫??；步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧，兩弧交于點D；步驟3：連接AD，交CB延長線于點E．下列敘述正確的是．（填寫序號）①BE垂直平分線段AD；②AB平分∠EAC；③AC=CD；④S△ABC7．閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作對角線等于已知線段的菱形.已知：兩條線段a、b.求作：菱形AMBN，使得其對角線分別等于b和2a.小軍的作法如下：如圖(1)畫一條線段AB等于b；(2)分別以A、B為圓心，大于12在線段AB的上下各作兩條弧，兩弧相交于P、Q兩點；(3)作直線PQ交AB于O點；(4)以O點為圓心，線段a的長為半徑作兩條弧，交直線PQ于M、N兩點，連接AM、AN、BM、BN.所以四邊形AMBN就是所求的菱形.老師說：“小軍的作法正確.”該上面尺規(guī)作圖作出菱形AMBN的依據是8．請閱讀下列材料，解答問題：

克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數學家，天文學家，地理學家和占星家.在數學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理.托勒密定理：圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=2，則對角線BD的長為.9．閱讀下列材料，并解答以下問題．完成一件事有k類不同的方案，在第一類方案中有m1個不同的方法，在第二類方案中有m2個不同的方法，…，在第k類方案中有mk個不同的方法，那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mk種不同方法，這是分類加法計數原理．完成一件事有需要分成k個步驟，做第一步有m1種不同方法，做第二步有m2種不同方法，…，做第k步有mk種不同方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mk種不同的方法，這就是分步乘法計數原理．（1）若完成沿圖所示的街道從A點出發(fā)向B點行進這件事（規(guī)定：必須向北或向東走），會有種不同的走法．（2）若完成沿圖所示的街道從A點出發(fā)向B點行進，并禁止通過交叉點C這件事（規(guī)定：必須向北或向東走），有種不同的走法．10．閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣．對于任意三角形，任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．定理解讀：如圖，在任意△ABC中，以邊BC為例，其它兩邊是AB和AC，AB和AC的夾角為∠A，根據余弦定理有BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cosA，類似的可以得到關于AB2和AC2的關系式．已知在△ABC三、實踐探究題11．“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現同一條直線上有3個相等的情況，在學習過程中，我們發(fā)現“一線三等角”模型的出現，還經常會伴隨著出現全等三角形．根據對材料的理解解決以下問題∶（1）如圖1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC．猜想DE，AD，BE之間的關系：（2）如圖2，將（1）中條件改為∠ADC=∠CEB=∠ACB=α(90°<α<180°)，AC=BC，請問（1）中的結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在△ABC中，點D為AB上一點，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=2，BF=5，請直接寫出AB的長．12．閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應的任務．材料：三角形的內角平分線定理：如圖1，在ΔABC中，AD平分∠BAC，交BC于點D，則ABAC下面是這個定理的部分證明過程．證明：如圖2，過C作CE∥DA，交BA的延長線于點E．（1）【思路說明】請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）【直接應用】如圖3，△ABC中，E是BC中點，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，求線段FC的長；（3）【拓展延伸】如圖4，△ABC中，AD平分∠BAC，BC的延長線交△ABC外角角平分線AF于點F．①找出AB、AC、BF、CF這四條線段的比例關系，并證明；②若BD=2，CF=4，求CD的長．13．閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數．

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB=（2）基本運用

請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：EF（3）能力提升

如圖③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點O為Rt△ABC內一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．14．閱讀材料：在數軸上，點A，B分別表示實數a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，則AB=|a?b|．若如圖1，若點B在點A的右側，則AB=|a?b|=b?a，類似的，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(xA，yA如圖2，若AB∥x軸，則yA如圖3，若AB∥y軸，則xA如圖4，例如A(1，2)，請根據以上閱讀材料，解決下面的問題：（1）在平面直角坐標系xOy中，若點A的坐標為（2，4），點B的坐標為（6，4），連接AB，請直接寫出線段AB的長度及直線AB與x軸的位置關系；（2）如圖5，△AOB中，若A，B兩點的坐標分別為（2，4），（6，2），求△AOB的面積；（3）如圖6，在（2）的條件下，若直線MN經過點C（2，0）且垂直x軸，那么在直線MN上是否存在點P（除A點外），使得△OBP的面積等于△AOB的面積，若存在，請求出P點坐標、若不存在，請說明理由。15．閱讀下面的材料：小明遇到一個問題：如圖1，在?ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G．如果AFEF＝3，求CDCG的值．他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H，那么可以得到△BAF∽△（1）AB和EH之間的數量關系是，CG和EH之間的數量關系是，CDCG的值為（2）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖2，在四邊形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F．如果ABCD＝2，BCBE=16．學了正多邊形后，我們知道可以用直尺和圓規(guī)作正方形和正六邊形，但作正五邊形和正七邊形就不那么容易．現向同學們介紹如何用折紙的方法“編”出正多邊形．材料：等寬的紙條數根．折法：如圖1，將兩根等寬的紙條對折，穿插后重疊部分為正方形．如圖2，取一根等寬的紙條打個結，拉緊，重疊部分即為正五邊形．如圖3，取兩根等寬的紙條折疊穿插，拉緊，可得正六邊形．如圖4，把圖2的紙條再打一個結，拉緊，重疊部分即為正七邊形．問題：（1）若要編一個邊長為2cm的正方形，則所需紙條的寬度是多少？（2）若要編一個邊長為2cm的正六邊形，則所需紙條的寬度是多少？（3）把圖4的紙條再打一個結，拉緊，能得到正九邊形嗎？請你試一試，并求出正九邊形各內角的度數．17．請閱讀下列材料，并完成相應的任務．人類會作圓并且真正了解圓的性質是在2000多年前，由我國的墨子給出圓的概念：“一中同長也．”．意思說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下的定義要早100年．與圓有關的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數．下面是弦切角定理的部分證明過程：證明：如圖①，AB與⊙O相切于點A．當圓心O在弦AC上時，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度數等于它所夾半圓所對的圓周角度數．如圖②，AB與⊙O相切于點A，當圓心O在∠BAC的內部時，過點A作直徑AD交⊙O于點D，在AC上任取一點E，連接EC，ED，EA，則∠CED＝∠CAD．任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖③，AB與⊙O相切于點A．當圓心O在∠BAC的外部時，請寫出弦切角定理的證明過程．18．閱讀材料，回答問題：小聰學完了“銳角三角函數”的相關知識后，通過研究發(fā)現：如圖1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b=3，AB=c=2，那么asinA=bsinB=2．通過上網查閱資料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在著asin這個關系對于一般三角形還適用嗎？為此他做了如下的探究：（1）如圖2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，請判斷此時“asinA=bsinB（2）完成上述探究后，他又想“對于任意的銳角△ABC，上述關系還成立嗎？”因此他又繼續(xù)進行了如下的探究：如圖3，在銳角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，請判斷此時“asinA=bsin19．閱讀下列一段文字，回答問題．【材料閱讀】平面內兩點M（x1，y1），N（x2，y2），則由勾股定理可得，這兩點間的距離MN＝(x例如．如圖1，M（3，1），N（1，-2），則MN=(3?1)【直接應用】（1）已知P（2，-3），Q（-1，3），求P、Q兩點間的距離；（2）如圖2，在平面直角坐標系中的兩點A（-1，3），B（4，1），P為x軸上任一點，求PA+PB的最小值；（3）利用上述兩點間的距離公式，求代數式x2+(y?2)20．閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①，在等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3、4、5，求∠APB的度數；為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP圖①（2）能力提升如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，點O為Rt△ABC內一點，連接AO、BO、CO，且圖②21．閱讀材料，并回答下列問題：如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180°，可以變換到△ABD的位置；如圖2，把△ABC沿射線AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個三角形是另一個三角形經翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．（1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外）．；（2）如圖2，△ABC沿射線AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC=3，則DC=；（3）如圖3，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，把△ADE沿DE翻折，當點A落在四邊形BCED內部變?yōu)镕時，則∠F和∠BDF+∠CEF之間的數量關系始終保持不變，請你直接寫出它們之間的關系式：．22．［材料閱讀]用數形結合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數y=12x+1212+(12)2+(即兩個函數圖象的交點到x軸的距離．因為兩個函數圖象的交點(1，1所以，12【實踐應用】（1）任務一完善23方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23+方法2：借助函數y=23x+23因為兩個函數圖象的交點的坐標為，所以，23+（2）任務二參照上面的過程，選擇合適的方法，求34（3）任務三用方法2，求q+q2+（4）【遷移拓展】長寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫出(523．【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長的比叫做頂角的張率(Scop)．如圖1，在△XYZ中，XY=XZ，頂角X的張率記作Scop∠X=底邊÷腰=YZXY．容易知道一個角的大小與這個角的張率也是相互唯一確定的，所以，類比三角函數，我們可按上述方式定義∠α(0°<∠α<180°)的張率，例如，Scop60°=1，如圖2，P是線段AB上的一動點（不與點A，B重合），點C，D分別是線段AP，BP的中點，以AC，CD，DB為邊分別在AB的同側作等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG，連接PE和PG．（1）【理解應用】①若等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG的邊長分別為a，b，c，則a，b，c，三者之間的關系為；②Scop∠EPG=；（2）【猜想證明】如圖3，連接EF，FG，猜想Scop∠EFG的值是多少，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖4，連接EF，EG，若AB=12，EF=27，則△EPG的周長是多少？此時AP四、綜合題24．在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的發(fā)散點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP＋CP′＝3r，則稱P′為點P關于⊙C的發(fā)散點.下圖為點P及其關于⊙C的發(fā)散點P′的示意圖.特別地，當點P′與圓心C重合時，規(guī)定CP′＝0.根據上述材料，請你解決以下問題：（1）當⊙O的半徑為1時，①在點M（3，1），N(32，0），T(22，1）②點P在直線y=?3x+3（2）⊙C的圓心C在x軸上，半徑為1，直線y=?33x+3

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】35．【答案】56．【答案】①③7．【答案】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.（本題答案不唯一）8．【答案】1+9．【答案】35；1710．【答案】311．【答案】（1）DE=AD+BE（2）解：（1）中結論仍然成立，理由如下：∵∠ADC=∠CEB=∠ACB，∠BCE+∠ACD=180°?∠ACB，∠ACD+∠CAD=180°?∠ADC，∴∠CAD=∠BCE．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEB(AAS)．∴AD=CE，DC=BE．∴DE=AD+BE，∴（1）中結論仍然成立；（3）解：712．【答案】（1）證明：∵CE∥DA，∴BDCD=ABEA∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，∴AB即ABAC（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15，∴AB∴BD=11∴BC=BD+CD=26∴CD=15∵E是BC的中點，∴CE=1∵EF∥AD，∴CF∴CF=13．（3）解：①AB、AC、BF、CF這四條線段的比例關系：ABAC如圖：作CE∥AF交AB于點E，∴ABAE=BFCF∵AF平分∠CAM，∴∠MAF=∠CAF，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴AB②∵AD平分∠BAC，∴AB由①知AB∴BF∵BD=2，CF=4，∴2+CD+4解得CD=?3±17∵CD=?3?17∴CD=?3+1713．【答案】（1）150°（2）解：如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE'，

由旋轉的性質得，AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC?∠EAF=90°?45°=45°，

∴∠EAF=∠E'AF，

在△EAF和△E'AF中，

AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF（3）解：如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A'O'B處，連接OO'，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2，

∴BC=AB2?AC2=3，

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，

∴△A'O'B如圖所示；

∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A'O'B，

∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，

∴△BOO'14．【答案】（1）解：線段AB的長度為4，AB∥x（2）解：過點A作AE垂直y軸于點E，過點B作BF垂直x軸于點F，直線EA與直線相交與點C，得C（6，4），F（6，0），E（0，4）∴S∴S∴S（3）解：設存在點P(2，a)使得△OBP的面積等于過點P作PH垂直x軸于點H，過點B作BT垂直y軸于點T，過點B作BG垂直x軸于點G，直線HP與直線BG相交于點Q，得M(0，∴S∴10=6×(2?a)?解得a=?∴存在P(2，?83)15．【答案】（1）AB＝3EH；CG＝2EH；3（2）解：如圖2，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H．∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴CDEH∴CD＝23∵ABCD∴AB＝2CD＝43∴ABEH＝4∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF．∴AFEF＝ABEH＝16．【答案】（1）解：將兩根等寬的紙條對折，穿插后重疊部分為正方形，

∵正方形的邊長為2cm，

∴紙條的寬度為2cm.（2）解：由圖形可知：邊長為2的正六邊形是由6個邊長為2的等邊三角形組成，等邊三角形的高等于原來的紙帶寬度，

∴原來的紙帶寬度=32×2=3，

∴所需紙條的寬度是（3）解：能得到正九邊形，理由：設正九邊形內角的度數為x，

根據題意得：9x=（9-2）×180°，

解得：x=140°，

∴九邊形內角的度數為140°.17．【答案】（1）解：∵AD是⊙O直徑，∴∠DEA＝90°．∵AB與⊙O相切于點A，∴∠DAB＝90°．∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．∴弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數；（2）解：如圖，過點A作直徑AF交⊙O于點F，連接FC．∵AF是直徑，∴∠ACF＝90°．∴∠CFA＋∠FAC＝90°．∵AB與⊙O相切于點A，∴∠FAB＝90°．∴∠CAB＋∠FAC＝90°．∴∠CAB＝∠CFA，即弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數．18．【答案】（1）成立（2）解：作CD⊥AB于D．∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=CDb，sinB=CD∴asinA=abCD，bsinB∴asin