2024年中考數(shù)學核心素養(yǎng)專題一 數(shù)學思想方法【含答案】

2024年中考數(shù)學核心素養(yǎng)專題一數(shù)學思想方法一、選擇題1．數(shù)軸是我們學習和研究有理數(shù)的重要工具，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．整體 B．轉(zhuǎn)化 C．分類討論 D．數(shù)形結(jié)合2．已知直角三角形兩邊的長分別是3和4，求第三邊的長.琪棋的解答過程：“當?shù)谌吺切边厱r，第三邊長為32+42=5A．整體思想 B．轉(zhuǎn)化思想C．數(shù)形結(jié)合思想 D．分類討論思想3．如圖，以單位長度為邊長作正方形，以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點A就表示2，與負半軸的交點B就表示?2A．分類討論 B．數(shù)形結(jié)合 C．代入法 D．換元法4．在學習平行四邊形時，我們先學習了平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理，再通過平行四邊形邊、角的特殊化，獲得了特殊的平行四邊形——矩形、菱形和正方形，了解了它們之間的關(guān)系，并根據(jù)它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理．在學習這些知識的過程中，主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．方程思想 B．數(shù)形結(jié)合思想C．從特殊到一般思想 D．從一般到特殊思想5．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家歐幾里得編寫了《幾何原本》．他在編寫這本書時挑選一部分數(shù)學名詞和公認的真命題（即公理）作為證實其他命題的出發(fā)點和依據(jù)，除公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理的方法進行判斷，在此基礎(chǔ)上，逐漸形成了一種重要的數(shù)學思想，這種思想是（）A．公理化思想 B．數(shù)形結(jié)合思想C．分類討論思想 D．轉(zhuǎn)化思想6．我們在解二元一次方程組2x+y=6x=?yA．轉(zhuǎn)化思想 B．分類討論思想C．數(shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想7．為了求n邊形內(nèi)角和，下面是老師與同學們從n邊形的個頂點引出的對角線把n邊形劃分為若干個三角形，然后得出n邊形的內(nèi)角和公式．這種數(shù)學的推理方式是（）A．歸納推理 B．數(shù)形結(jié)合 C．公理化 D．演繹推理8．數(shù)學課上，老師在組織同學們探索多邊形的內(nèi)角和公式時，同學們提出了將此問題轉(zhuǎn)化為已學的三角形內(nèi)角和知識進行探索的思路．如圖是四名同學探索多邊形內(nèi)角和公式時運用的不同的分割方法，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個三角形，并得出了相同的結(jié)論．這四名同學在探索過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．建模思想 B．分類討論思想C．數(shù)形結(jié)合思想 D．轉(zhuǎn)化思想9．代數(shù)之父——丟番圖(Diophantus)是古希臘的大數(shù)學家，是第一位懂得使用符號代表數(shù)來研究問題的人．丟番圖的墓志銘與眾不同，不是記敘文，而是一道數(shù)學題．對其墓志銘的解答激發(fā)了許多人學習數(shù)學的興趣，其中一段大意為：他的一生幼年占16，青少年占112，又過了下面是其墓志銘解答的一種方法：解：設(shè)丟番圖的壽命為x歲，根據(jù)題意得：x6解得x=84．∴丟番圖的壽命為84歲．這種解答“墓志銘”體現(xiàn)的思想方法是（）A．數(shù)形結(jié)合思想 B．方程思想C．轉(zhuǎn)化思想 D．類比思想10．已知點A，B，C在同一條直線上，點M、N分別是AB、AC的中點，如果AB=10cm，AC=8cm，那么線段MN的長度為（）A．6cm B．9cm C．3cm或6cm D．1cm或9cm11．若|m|=5，|n|=2A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或312．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點D，A．2 B．2.5 C．4 D．513．定義一種運算“※”：x※y=2x?y?1（其中x，y為任意實數(shù)）．當a※b=3時，則(5+2aA．7 B．10 C．17 D．31二、填空題14．數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為?18和?3，P為數(shù)軸上一點，若AP：PB=3：2，則點15．一個等腰三角形兩邊的長分別為3和8，那么這個等腰三角形的周長是．16．“整體思想”是數(shù)學中的一種重要的思想方法，它在數(shù)學運算、推理中有廣泛的應(yīng)用，如：已知m+n=?2，mn=?3，則m+n?2mn=(?2)?2×(?3)=4．利用上述思想方法計算：已知3m?4n=?3，mn=?1．則6(m?n)?2(n?mn)=．17．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(?3，6)，B(?9，?3)，以原點O為位似中心，相似比為13，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A'18．如圖，在△ABC中，CA=CB=10，AB=12，點D為線段BC的三等分點，過點B作BE⊥AB，交射線AD于點E，連接CE，則CE的長為．三、解答題19．下面是小張同學解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并回答相應(yīng)的問題．解方程組：x?2y=1①3x+y=?2②

解：①×3，得3x?6y=3③…第一步

②?③，得?5y=?5…第二步

y=1…第三步

y=1代入①，得x=3…第四步

所以，原方程組的解為x=3（1）小彬同學的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的解題過程；（3）解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉?，在此過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想是(填序號)．

A.數(shù)形結(jié)合

B.類比思想

C.轉(zhuǎn)化思想

D.分類討論20．閱讀下列材料，完成后面任務(wù)：計算：35×5解：原式=35×5=35×(5=35×1（第三步）=35．（第四步）任務(wù)：（1）材料中運用的數(shù)學思想是．（填序號即可）①整體思想；②化歸思想；③公理化思想；④數(shù)形結(jié)合思想．（2）利用材料中的方法計算：?32×121．如圖1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC＝23∠AOB，OD平分∠AOC（1）分別求∠AOB的補角和∠AOC的度數(shù)；（2）現(xiàn)有射線OE，使得∠BOE＝30°．①小明在圖2中補全了射線OE，根據(jù)小明所補的圖，求∠DOE的度數(shù)；②小靜說：“我覺得小明所想的情況并不完整，∠DOE還有其他的結(jié)果．”請你判斷小靜說的是否正確？若正確，請求出∠DOE的其他結(jié)果；若不正確，請說明理由．22．在y關(guān)于x的函數(shù)中，對于實數(shù)m、n(m<n)，當m≤x≤n時，函數(shù)y的最大值與最小值之差為t（1）當m=1，n=3時，判斷下列函數(shù)是否是“倍增函數(shù)”？如果是，請在對應(yīng)的括號里打“√”，若果不是，請在對應(yīng)的括號里打“×”①y=3x（▲），②y=9x（▲），③y=1（2）當m=n?1>0時，反比例函數(shù)y=2m+5x為“倍增函數(shù)”，求（3）已知二次函數(shù)y=x2?nx+m2+2m+1(23．小東家與學校之間是一條筆直的公路，早飯后，小東步行前往學校，途中發(fā)現(xiàn)忘帶畫板，停下給媽媽打電話，媽媽接到電話后，帶上畫板馬上趕往學校，同時小東沿原路返回，兩人相遇后，小東立即趕往學校，媽媽沿原路返回，16分鐘時到家．假設(shè)小東始終以100米/分的速度步行，兩人離家的距離y（單位：米）與小東打完電話后的步行時間（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）小東打電話時，他離家米；（2）填上圖中空格相應(yīng)的數(shù)據(jù)；（3）小東和媽媽相遇后，媽媽回家的速度是多少？（4）求幾分鐘時兩人相距750米．24．閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).一元二次方程的幾何解法通過學習，我們知道可以用配方法、提公因式法、公式法等求解一元二次方程，但在數(shù)學史上人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月.下面是9世紀阿拉伯數(shù)學家阿爾·花拉子米利用幾何法求解x2解：如圖，構(gòu)造一個以未知數(shù)x為邊長的正方形，在某四條邊上向外作長和寬分別x和52的矩形，再把這個圖補成邊長為x+5于是大正方形的面積為：x2又已知x2+10x=39，所以大正方形的面積為于是大正方形的邊長為8，因此：x=8?5幾何法求解一元二次方程，只能得到正數(shù)解.任務(wù)：根據(jù)上述材料請你用幾何方法求方程x2（1）在如圖所示的區(qū)域內(nèi)畫出圖形，并標出相應(yīng)的線段長度.（2）根據(jù)（1）所畫圖形直接寫出方程x2（3）這種構(gòu)造圖形解一元二次方程的方法體現(xiàn)的數(shù)學思想是▲.（填寫字母序號即可）A.分類討論思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.公理化思想25．若函數(shù)G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值記為ymax，最小值記為ymin，且滿足ymax﹣ymin＝1，則稱函數(shù)G是在m≤x≤n上的“最值差函數(shù)”．（1）函數(shù)①y=1x；②y＝x+1；③y＝x2．其中函數(shù)是在1≤（2）已知函數(shù)G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）．①當a＝1時，函數(shù)G是在t≤x≤t+1上的“最值差函數(shù)”，求t的值；②函數(shù)G是在m+2≤x≤2m+1（m為整數(shù)）上的“最值差函數(shù)”，且存在整數(shù)k，使得k=ymaxy26．自主學習，請閱讀下列解題過程．解一元二次不等式：x2解：設(shè)x2?5x=0，解得：x1=0，x2=5，則拋物線y=x2?5x與x軸的交點坐標為（0，0）和（5，0）．畫出二次函數(shù)y=通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的和．（只填序號）①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想（2）一元二次不等式x2?5x＜0的解集為（3）用類似的方法解一元二次不等式：x2四、實踐探究題27．在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論“的數(shù)學思想，下面是運用“分類討論”的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題．【提出問題】已知有理數(shù)x，y，z滿足xyz＞0，求|x|x【解決問題】解：由題意，得x，y，z三個都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①當x，y，z都為正數(shù)，即x＞0，y＞0，z＞0時，|x②當x，y，z中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設(shè)x＞0，y＜0，z＜0，則|x綜上所述，|x|x【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）已知x，y是不為0的有理數(shù)，當|xy|＝-xy時，|x|x+|y|（2）已知x，y，z是有理數(shù)，當xyz＜0時，求x|x|（3）已知x，y，z是有理數(shù)，x+y+z＝0，xyz＜0，求|y+z|x28．閱讀理解：整體代換是一種重要的數(shù)學思想方法．例如：計算2（2m+n）-5（2m+n）+（2m+n）時，可將（2m+n）看成一個整體，合并同類項得-2（2m+n），再利用分配律去括號得-4m-2n．（1）若已知2m+n＝3，請你利用整體代換思想求代數(shù)式8m+4n-12的值；（2）某同學做一道題，已知兩個多項式A、B，求A-B的值．他誤將“A-B”看成“A+B”，經(jīng)過正確計算得到的結(jié)果是2x2+14x-6．已知：A＝x2+7x-1，請你幫助這位同學求出A-B正確的值．29．[閱讀理解]若x滿足（32-x）（x-12）=100，求（32-x）2+（x-12）2的值。解；設(shè)32-x=a．x-12=b，則（32-x）（x-12）=ab=100，a+b=（32-x）+（x-12）=20，（32-x）2+（x-12）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×100=200．我們把這種方法叫做換元法，利用換元法達到簡化方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．[解決問題]（1）若x滿足（100-x）（x-95）=5，則（100-x）2+（x-95）2=；（2）若x滿足（2023-x）2+（x-2000）2=229，求（2023-x）（x-2000）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB=24cm，點E、F是邊BC、CD上的點，EC=12cm，且BE=DF=xcm，分別以FC、CB為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CBMN，若長方形CBQF的面積為320cm2，求圖中陰影部分的面積和．30．閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù).小麗學習了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2方法1方程x2?x?6=0的兩根為x1=?2，x2=3，可得函數(shù)y=x2?x?6的圖象與x軸的兩個交點橫坐標為?2，3，畫出函數(shù)圖象，觀察該圖象在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式x2?x?6<0的解集.方法2不等式x2?x?6<0可變形為x2<x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=x2與任務(wù)：（1）不等式x2-x-6<0的解集為.（2）3種方法都運用了____▲____的數(shù)學思想方法.（從下面選項中選1個序號即可）A．分類討論 B．轉(zhuǎn)化思想 C．特殊到一般 D．數(shù)形結(jié)合（3）請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖象的簡圖，并結(jié)合圖象作出解答.

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】C14．【答案】?9或2715．【答案】1916．【答案】?817．【答案】(?1，2)18．【答案】6或619．【答案】（1）二（2）解：由題意，①×3，得3x?6y=3③．

②?③，得7y=?5．

∴y=?57．

把y=?57代入x+107=1，

（3）C20．【答案】（1）解：③（2）解：?32×原式=?32×=32×(?=32×(?=32×(?1)=?32．21．【答案】（1）解：因為∠AOB=120°，所以∠AOB的補角為180°-∠AOB=60°.因為∠AOC=23所以∠AOC=23（2）①因為OD平分∠AOC，∠AOC=80°，所以∠AOD=12所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=80°，所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=110°；②正確；如圖，射線OE還可能在∠BOC的內(nèi)部，所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=80°?30°=50°22．【答案】（1）解：①√；②√；③√（2）解：∵m=n?1>0，∴n=m+1，且2m+5>0，∴t==2+5又∵y=2m+5∴t=5m?解得m1=?1+∴m=?1+（3）解：拋物線對稱軸為：x=n2；①當n2≤m時；當x=n時，解得m1=?3（舍）；m2∴t=4?(m2?mn+m2②當m<n2<nymax=m2+2m+1=4ymin∴t=4?(n24?n解得n1=6+26當n?n2<③當m<n<n2時，綜上：m=1，n=1或6+26或6?223．【答案】（1）1400（2）解：從下往上依次填入800，（3）解：1400?100×622?6答：媽媽回家的速度為50米1分.（4）解：設(shè)在分鐘時，兩人相距750米，①相遇前相距750m，t=1400?750②相遇后相距750m，(t=6+750答：391424．【答案】（1）解：畫出的圖形如圖所示：（2）解：方程x2+4x=32（3）B25．【答案】（1）②（2）解：①當a＝1時，二次函數(shù)G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）為y＝x2﹣4x+3，對稱軸為直線x＝2．當x＝t時，y1當x＝t+1時，y當x＝2時，y3＝﹣1．若t＞2，則y2﹣y1＝1，解得t＝2（舍去）；若32?t?2，則y若1?t<32，則y若t＜1，則y1﹣y2＝1，解得t＝1（舍去）．綜上所述，t＝1或t＝2；②∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）的對稱軸為直線x＝2，又∵m+2≤x≤2m+1，∴m＞1，∴2＜m+2≤x≤2m+1，∴當2＜m+2≤x≤2m+1時，y隨x的增大而增大，∴當x＝2m+1時取得最大值，x＝m+2時取得最小值，∴k=y∴m，k為整數(shù)，且m＞1，∴m的值為3，又∵ymax﹣ymin＝1，∴a（6+1）2﹣4a（6+1）+3a﹣[a（3+2）2﹣4a（3+2）+3a]＝1，∴a=126．【答案】（1）①；③（2）0＜x＜5（3）解：設(shè)x2?2x?3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，畫出二次函數(shù)y=x2由圖象可知：當x＜﹣1，或x＞3時函數(shù)圖象位于x軸上方，此時y＞0，即x2?2x?3＞0，∴一元二次不等式27．【答案】（1）0（2）解：xyz＜0，且x，y，z是有理數(shù)，∴x，y，z三個有理數(shù)均為負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，①當x，y，z三個有理數(shù)均為負數(shù)時，即x＜0，y＜0，z＜0，∴原式＝x＝-1-1-1＝-3；②當x，y，z中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，不妨設(shè)x＜0，y＞0，z＞0，∴原式＝x＝-1+1+1＝1．綜上，x|x|（3）解：∵x+y+z＝0，xyz＜0，且x，y，z是有理數(shù)，∴x，y，z中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，不妨設(shè)x＜0，y＞0，z＞0，∴原式＝?x