時三角形內角和定理完整版

7.5三角形內角和定理第七章平行線的證明

優(yōu)

翼

課

件

導入新課講授新課當堂練習課堂小結第1課時三角形內角和定理八年級數學上（BS）教學課件第一頁，共三十五頁。學習目標2.會運用三角形內角和定理進行計算.（難點）1.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°.（重點）第二頁，共三十五頁。我的形狀最小，那我的內角和最小.我的形狀最大，那我的內角和最大.不對，我有一個鈍角，所以我的內角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內角和的理解，請同學們作為小判官給它們評判一下吧.導入新課情境引入第三頁，共三十五頁。

我們在小學已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°.與三角形的形狀、大小無關，所以它們的說法都是錯誤的.思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗證三角形的內角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？第四頁，共三十五頁。銳角三角形測量480720600600＋480＋720＝1800（學生運用學科工具—量角器測量演示）第五頁，共三十五頁。剪拼ABC21（小組合作，討論剪拼方法。各小組代表板演剪拼過程）第六頁，共三十五頁。視頻：剪拼驗證內角和定理第七頁，共三十五頁。三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.觀測的結果不一定可靠，還需要通過數學知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？講授新課三角形的內角和定理的證明一探究：在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起.第八頁，共三十五頁。驗證結論三角形三個內角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點A作l∥BC，∴∠B=∠1.(兩直線平行,內錯角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12第九頁，共三十五頁。第十頁，共三十五頁。證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12第十一頁，共三十五頁。第十二頁，共三十五頁。CBAEDF證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內角相補)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同學們還有其他的方法嗎？第十三頁，共三十五頁。思考：多種方法證明三角形內角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE第十四頁，共三十五頁。C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1試一試：同學們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟？第十五頁，共三十五頁。知識要點在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結為了證明三個角的和為180°,轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法.作輔助線第十六頁，共三十五頁。例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的內角和定理的運用二第十七頁，共三十五頁?！咀兪筋}】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.第十八頁，共三十五頁。例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.第十九頁，共三十五頁?；緢D形由三角形的內角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.總結歸納4第二十頁，共三十五頁。例3

在△ABC

中，∠A

的度數是∠B

的度數的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.解:設∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數學思想.第二十一頁，共三十五頁?！咀兪筋}】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數．解析：根據已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據角平分線的定義求出∠ACE即可求得∠DCE的度數．比例關系可考慮用方程思想求角度.第二十二頁，共三十五頁。解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.第二十三頁，共三十五頁。②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是

_________三角形.

練一練：①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,則∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°第二十四頁，共三十五頁。北.AD北.CB.東E例4

如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？三角形的內角和定理也常常用在實際問題中.第二十五頁，共三十五頁。解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°

=90°,答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.北.AD北.CB.東E第二十六頁，共三十五頁。【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數.解：如圖，由題意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．DE第二十七頁，共三十五頁。當堂練習1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=30x=50第二十八頁，共三十五頁。2.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°第二十九頁，共三十五頁。3.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．第三十頁，共三十五頁。4.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度數.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.第三十一頁，共三十五頁。5.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+