廣東省佛山市2022-2023學年高二年級上冊數(shù)學期末試卷

oo

廣東省佛山市2022-2023學年高二上學期數(shù)學期末試卷

姓名：班級：考號：

題號——四總分

4

評分

閱卷人

——、單選題

得分

oo

1.如圖，直線/的傾斜角為()

n|p

即

fa

oo

2.已知向量3=(4,—2,3),b=(1,5,x),滿足N_LB，貝收的值為()

A.2B.-2C.竽D.—竽

段

3.已知圓的一條直徑的端點分別為Pi(2,5),P2(4,3),則此圓的標準方程是()

照媒

A.(%+3)2+(y+4)2=8B.(%-3)2+(y-4)2=8

C.(久+3)2+(y+4)2=2D.(久—3猿+(y—4)2=2

彝4.已知向量五=(1,0,V3),h=(1,2,0),則石在五上的投影向量是()

和

ooA.(耳,耳，°)B.0,喀)C.(［，°,字)D.(-,-,0)

5.一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，幾個綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中

依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為京貝弧的值為()

A.4B.5C.12D.15

氐-￡

6.已知直線，1：%+2沖—1=0與％：(3a—1)%—ay—1=0平行，則實數(shù)a的值為

()

A.1B.1C.0或1D.g或1

oo

22

7.過點M（2,1）作斜率為1的直線，交雙曲線馬—馬=l（a>0,b>0）于A,B兩

ab

點，點M為AB的中點，則該雙曲線的離心率為（）

A.苧B.V3C.苧D.V2

8.在兩條異面直線a,b上分別取點4，E和點A,F,使A4i±a,且A&_Lb.已知

AiE=2,AF=3,EF=5,AA1=V6,則兩條異面直線a,b所成的角為（）

71兀

Ar2至

A-6BJTD.

-56

閱卷人

二、多選題

得分

9.對于一個古典概型的樣本空間。和事件A,B,其中7i（O）=18,九（/）=9,71（B）=

6,n（4UB）=12則（）

A.事件A與事件B互斥B.UB）=|

C.事件A與事件?相互獨立D.P（AB）=1

27

10.已知曲線C的方程為￡+金==1，則C可能是（）

A.半徑為VT7的圓

B.焦點在％上的橢圓，且長軸長為7^二1

C.等軸雙曲線

D.焦點在y上的雙曲線，且焦距為242k-16

11.已知拋物線C：y2=4久的焦點為F,過F的直線與C交于A、B兩點，且A在x軸

上方，過A、B分別作C的準線1的垂線，垂足分別為才、B；則（）

A.0A10B

B.若［4F|=5,則A的縱坐標為4

C.若而=2而，貝I」直線AB的斜率為

D.以A%'為直徑的圓與直線AB相切于F

12.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！?/155中，O為面的中心，E、F分

別為BC和DiCi的中點，則（）

2/23

oo

4

A.BiDl平面&EFB.平面AC%與平面&EF相交

C.點O到直線&E的距離為gD.點O到平面&EF的距離為平

oo閱卷人

—三、填空題

得分

n|p

即13.從長度為4,6,8,10的4條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的

概率為.

fa

14.如圖，在空間平移△ABC到△AB'C',連接對應頂點.設/=3，AB=b，AC=c,

M為A,。'中點，則用基底｛1，b,0表不向量B。=.

oo

段15.已知F是雙曲線C：今—1=l(a>0)的右焦點，P是C的左支上一動點，

照

媒4(0,2V3),若AAPF周長的最小值為10,貝UC的漸近線方程為.

16.圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)，從橢圓的一個集點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，

彝反射光線過橢圓的另一個焦點.如圖，膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡.它的形狀是

和

旋轉(zhuǎn)橢圓.為了使影片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強的光線，燈絲心，與影片門

oo

Fi應位于橢圓的兩個焦點處.已知橢圓C：琴+^=1，橢圓的左右焦點分別為2，F(xiàn)2,

一束光線從尸2發(fā)出，射向橢圓位于第一象限上的P點后反射光線經(jīng)過點％，且

tanzF1PF2=則Z&PF2的角平分線所在直線方程為.

氐-￡

oo

閱卷人

—四、解答題

得分

17.ZiZBC的三個頂點分別為4(1,2),B(3,0),C(4,5),M是AB的中點.

(1)求邊AB上的中線CM所在直線的方程；

(2)求ABCM的面積.

18.每年的11月9日是我國的全國消防日.119為我國規(guī)定的統(tǒng)一火災報警電話，但119

臺不僅僅是一部電話，也是一套先進的通訊系統(tǒng).它可以同中國國土上任何一個地方互通

重大災害情報，還可以通過衛(wèi)星調(diào)集防災救援力量，向消防最高指揮提供火情信息.佛山

某中學為了加強學生的消防安全意識，防范安全風險，特在11月9日組織消防安全系列

活動.甲、乙兩人組隊參加消防安全知識競答活動，每輪競答活動由甲、乙各答一題.在每

輪競答中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.已知甲每輪答對的概率為

|,乙每輪答對的概率為p,且甲、乙兩人在兩輪競答活動中答對3題的概率為興.

(1)求P的值；

(2)求甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題的概率.

19.已知橢圓C：,l(a>b>0),四點Pi(—L1),P2(0,b)，P3(l,|),

Pg，-|)中恰有三點在橢圓C上.

(1)求C的方程；

(2)若斜率存在且不為0的直線/經(jīng)過C的右焦點F,且與C交于A、B兩點，設A

關(guān)于x軸的對稱點為D,證明：直線BD過x軸上的定點.

20.如圖，在多面體ABCDE中，平面ABC1平面ACDE,四邊形ACDE是等腰梯形，

1

ED||AC,AB1AC,AE=ED=DC=^AC=1

4/23

oo

4

(1)若ZB=1,求BD與平面ACDE所成角的正弦值;

⑵若平面BDE與平面BCD的夾角為今求AB的長.

21.黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國960萬平方千米的大地之下?lián)碛谐?/p>

oo

過35000座，總長接近赤道長度的隧道(約37000千米).這些隧道樣式多種多樣，它們

或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”；或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公

n|p

即路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓

的知識后受此啟發(fā)，為山體隧道設計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為16

fa

米，洞門最高處距路面4米.

oo

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求圓弧AB的方程.

段(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優(yōu)化了設計方案，在路中間建立

了2米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬2米，高3.6米，則此貨車能否通

照媒

過該洞門?并說明理由.

22.已知過原點的動直線A與圓C：久2+y2—8%+12=0相交于不同的兩點A,B.

彝

和(1)求線段AB的中點M的軌跡廠的方程；

oo(2)若直線%：y=丘上存在點P,使得以點P為圓心，2為半徑的圓與r有公共

點，求k的取值范圍.

氐-￡

oo

答案解析部分

1.【答案】C

【知識點】直線的傾斜角

【解析】【解答】由題意可知：直線/的傾斜角為左的補角，即為孚.

4,4

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的傾斜角的求解方法和兩角互補的關(guān)系，進而得出直線1

的傾斜角的值。

※

※

2.【答案】A制

※

【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系※

即

※

【解析】【解答】a1b，a-(4,—2,3),b=(1,5,%)※

E

※

*'?4x1+(-2)x5+3x=0,※

鄭

※

解得x=2※

故答案為：A.f※e

※

照

※

※

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標表出

※

※

示得出實數(shù)x的值。腑

※

3.【答案】D※

K※-

【知識點】圓的標準方程※

?

※

【解析】【解答】由題意可知，圓心為線段P1P2的中點，則圓心為C(3,4),※

圓的半徑為|CPi|=用(2—3)2+(5—4>=V2,

故所求圓的方程為(％-3/+(y-4猿=2.

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合中點坐標公式得出圓心坐標，再結(jié)合兩點距離公式得出圓的

半徑長，從而得出圓的標準方程。

4.【答案】C

【知識點】空間向量的投影向量

【解析】【解答】由題意可得：a-b=lxl+0x2+V3x0=l,|a|=

O

6/23

oo[f+（）2+（百『=2'

故石在五上的投影向量為瞽需=扣=0，0,苧）.

故答案為：C.

4

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的坐標表示和向量的模的坐標表示，再結(jié)合數(shù)量積求

投影向量的方法，進而得出了在卷上的投影向量。

5.【答案】A

oo【知識點】相互獨立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】一個袋子中有若干個大小質(zhì)地完全相同的球，其中有6個紅球，72個綠

n|p球，

那

從袋中不放回地依次隨機取出2個球，取出的2個球都是紅球的概率是受

fa

UHI6x5_1

川（6+7i）（5+n）-3,

解得n.=4（負值舍去）.

故答案為：A.

oo

【分析】利用已知條件結(jié)合獨立事件乘法求概率公式得出n的值。

6.【答案】C

段

【知識點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

塌媒【解析】【解答】由已知可得[穹解得a=0或卷

故答案為：C.

彝

和

【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線平行斜率相等、縱截距不等，進而得出實數(shù)a的值。

oo

7.【答案】B

【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】設點4（%1，%）,8（%2,丫2），

氐-￡——左=1

則有1E，兩式做差后整理得魯于?緡笠=呢

[兆附_]xl~x2xl+x2b

la2b2

由已知=1，K1+%2=4，丫1+巧=2,

oo

1_a2

???2二

W^=V3

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合代入法和雙曲線的標準方程，再結(jié)合直線與雙曲線相交，聯(lián)

立直線與雙曲線的方程，從而結(jié)合韋達定理和作差法以及雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系

式，進而得出a,c的關(guān)系式，再結(jié)合雙曲線的離心率公式變形得出雙曲線的離心率的※

※

制

值。※

※

8.【答案】B即

※

※

【知識點】異面直線及其所成的角；余弦定理E

※

【解析】【解答】如圖，設兩條異面直線a,b所成的角為。（0<。3芻，※

鄭

※

※

f※e

※

照

※

※

出

※

※

腑

※

※

vAAr1a,AAr1b,A1E=2,AF=3,EF=5,AAr=逐,

K※-

.?.EF=EA+AA+AF※

±r?

2222※

則麗=（引+幣+AF）2=西+A^A+AF+2M-A^A+2M-AF+2A^A-AF※

52=22+（V6）2+32±2x2x3cos。，

得cos。=■^或cos。=（舍去）

7T

,'-0=3

故答案為：B

【分析】設兩條異面直線a,b所成的角為火0<89再利用1a,AA,1b,

ArE=2,AF=3,EF=5,44]=乃，再結(jié)合三角形法則和數(shù)量積的運算法則以及余

弦定理，進而得出滿足要求的cos。的值，從而得出角。的值。

9.【答案】B,C

8/23

oo【知識點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件；相互獨立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】由題意可得：P(A)=喘=，P(B)=喘器，則P⑻=1—

IclJL)乙(LIJZjD

「⑻=|,

4*.*n(7lUB)=71G4)+n(B)—n^AB),

「??i(48)=n(i4)+n(B)-n{AU8)=3W0,即事件A與事件B不互斥，A不符合題

思；

可得：n^AUB)=n(12)-n(X)+n(AB)=12,

oo故P(4B)=^^q,P(1UB)=^P4,P(而)=1—P(4UB)=

1__5

j,P(AB)=1—P(4B)=*

n|p

那

可知B符合題意，D不符合題意；

XVP(XB)=P(4)P(2),

fa

事件A與事件3相互獨立，C符合題意；

故答案為：BC.

oo【分析】利用已知條件結(jié)合互斥事件的定義、獨立事件的定義、互斥事件加法求概率公

式、對立事件求概率公式、獨立事件乘法求概率公式，進而找出正確的選項。

10.【答案】A,D

段

【知識點】二元二次方程表示圓的條件；橢圓的定義；雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質(zhì)

塌媒

【解析】【解答】對于A選項，若曲線C為圓，則解得k=8,

此時，曲線C的方程為/+y2=17,該圓的半徑為舊，A對；

彝對于B選項，若曲線C表示焦點在%軸上的橢圓，貝甲5n解得-9<k<8,

和

oo此時，橢圓C的長軸長為B不符合題意；

對于C選項，若曲線C為等軸雙曲線，貝U25-k+9+k=0,無解，C不符合題意；

對于D選項，若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，貝解得卜>25,

此時，雙曲線C的焦距為2V9+k+k-25=272k-16,D對.

氐-￡

故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結(jié)合圓的定義、橢圓的定義、橢圓的長軸求解方法、等軸雙曲線

的定義、雙曲線的焦距求解方法，進而找出正確的選項。

oo

1L【答案】B,C,D

【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】由題意可得：拋物線C：y2=4%的焦點/（1,o）,準線/：久=—1,

設直線AB為%=771y+1,力（冬，yi）（7i>0）,8（空，y2y則力（-1，y。，B（―1,

%），

聯(lián)立方程｛“1，消去y可得：y?-4my-4=0,

則』二16m2+16>0,yi+丫2=4m,37/2=-4，

對A：?.日=（*,%）,OB=（d,y2y

-OA-OB=。哈）+yty2=-3H0，

.,.OA,礪不相互垂直，A不符合題意；

”2

對B：：叫=今+1=5,則丫1=4或丫2=-4（舍去）,

；.A的縱坐標為4,B符合題意；

對C：，.,都=(1—空,—yi),而=(空一1,>2),且4F=2FB，

'y=2V2僅］=-2V2

'-yi=2y1

2為=一應或J%=或（舍去）,

/.-yi=2y2，則+y2=4m，解得

、yty2=-4

故直線的斜率符合題意；

ABk=-m=2a,c

22

對D：vZiiZz_\AB\=J(y1+y2)—4y1+y2-4y/m+1>

j|—1—2m—1|_1_2~~rv

...A'B'的中點M(—l,2m)到直線AB的距離d=一r~—=2Vm+1\A'B'\

_______________1

又丁|MF|=V4+4m2=2Vm2+1=|4?|,

故以才才為直徑的圓與直線AB相切于F,D符合題意;

故答案為：BCD.

【分析】由題意結(jié)合拋物線的標準方程可得拋物線C：y2=軌的焦點坐標和準線方程，

f

設直線AB為第=771y+1,4（學，y1）（y1>0）,8（空，y2）則力（一1，y。,3（—1,

為），再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立直線與拋物線方程結(jié)合判別式法和韋達定理得出

Z1>0,yi+y2=4m,丫1丫2=-4，再利用向量的坐標表示和數(shù)量積的坐標表示，再結(jié)

10/23

oo合數(shù)量積為o兩向量垂直的等價關(guān)系，進而判斷出示，礪不相互垂直；利用已知條件結(jié)

合兩點距離公式得出A的縱坐標；再利用向量的坐標表示得出向量的坐標，再結(jié)合都=

2屈和向量共線的坐標表示和韋達定理，進而得出點A,B的縱坐標和m的值，進而得

出直線AB的斜率；利用中點坐標公式和兩點距離公式以及點到直線的距離公式得出以

4

IB,為直徑的圓與直線AB相切于F,從而找出正確的選項。

12.【答案】B,C

【知識點】平面內(nèi)點到直線的距離公式；平面與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的判定;

oo點、線、面間的距離計算

【解析】【解答】如圖，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，則有：

4(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),E8,1,0),F(0,1),0(1,1),

n|p

那

4(1,0,1),Bi(l,1,1),A。0,1),

fa

設平面&EF的法向量為運=(久，y,z),

_,[[(n-A-^F=—x+iy=0

由布=(-l,4，0),A^E=(-i,1,-1),貝耳_1,

(ji?A^E=—2x+y—z=0

oo令％=2,則y=4,z=3,則祠=(2,4,3),

設平面力CD1的法向量為沅=(a,b,c),

段由尼=(—1,1,0),CD^=(0,-1,1),則[?禁=_：+b=,，

塌

媒令a=1,貝肪=c=L則沅=(1,1,1),

對A：。西=(1,1,1),則"*,即西與元不共線，

彝

和二為。不與平面&EF垂直，A不符合題意；

oo對B：???"亞,,則沅與針不共線,

二平面4CD1與平面&EF相交，B符合題意；

=>j

對C：=(0,|,-1),則C0S〈&0',ArE)=|TT1°即〈“1。'

砧〉為銳角，

氐-￡

，sin〈卡,A^E)=Jl-cos2〈碩,砧)=J

故點0到直線&E的距離為|4Msin〈卡，承〉=*，C符合題意；

對D：點O到平面力1EF的距離為卑劌=爭，D不符合題意.

oo

故答案為：BC.

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量的方法，再結(jié)合線面垂直的判定定理、兩平面相交

的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、點到平面的的距離公式，進而找出正確的選項。

13.【答案】|

【知識點】古典概型及其概率計算公式

【解析】【解答】由題可得，取出的三條線段長度的可能性有：

(4,6,8),(4,6,10),(4,8,10),(6,8,10),其

中能構(gòu)成三角形的有(4,6,8),(4,8,10),(6,8,10),

這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為最

故答案為：I

【分析】利用已知條件結(jié)合古典概型求概率公式，進而得出這三條線段能構(gòu)成一個三角

形的概率。

14.【答案】a-b+|c

【知識點】平面向量的基本定理

【解析】【解答】由題意可得：BM=BA+AA+AM=-AB+AA+=a-b+^c-

故答案為：a—b+^c-

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形法則、向量共線定理，進而結(jié)合平面向量基本定理，

從而得出3M=a-b+^co

15.【答案】y=+V3x

【知識點】雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質(zhì)；三角形中的幾何計算

12/23

oo【解析】【解答】由題意可得4(0,2V3),F(c,0),設F'(—c,0),

由雙曲線的定義可得|PF|-|PF1=2a,

\PF\=2a+\PF'\,\AF\=V12+c2,

則A4PF的周長為

4

\PA\+\PF\+\AF\=\PA\+\PF'\+2a+V12+c2>\AF'\+2a+V12+c2,

當且僅當4P,W共線時，取得最小值，且為2a+2A/12+C2,

由題意可得2a+2?1不『=10，BP2CI+2V12+a2+3=10

oo解得a=1,

則漸近線方程為y=±、久=+V3x

n|p

那

fa

oo

段

塌

媒【分析】由題意可得4(0,2V3),尸(c,0),設F'(—c,0),由雙曲線的定義和勾股定理

得出仍用=2a+\PF'\,\AF\="2+c2,再利用三角形的周長公式和三點共線求最值

彝的方法，進而得出三角形AAPF的周長的最小值，且為2a+2V12+C2,由題意可得

和

2a+2V12+C2=10,進而得出a的值，從而得出雙曲線的標準方程，再結(jié)合雙曲線的

oo

漸近線方程求解方法得出雙曲線的漸近線方程。

16.【答案】4%—2y—1=0

【知識點】直線的一般式方程；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；余弦定理

【解析】【解答】如圖，設NF/F2的角平分線與％軸交于點Q,???tanzFPF=

氐-￡12

2

MW；奈=I，siMzFiPFz+COSZF1PF2=1,z&PFe(0,兀)，

3

???COS/-F1PF2=可，

設PF】=m,PF=幾，

oo2

「??m2+n2-223\m=^

則卜°SZ%nPB=—萬而一=5，解得JI

m+n=4\n=2

?-,PF/=竽=PF/+F2F1,即4&F2P為直角三角形

FPF

pc2，F(xiàn)iPF?,3^12_2,^F1PF2_1

又「cosZ-FrPF2=2cos—~--1=耳，???cos---------=忑，sin-----，---=忑

7T1

COSZPQF2=cos(2-^QPF2)=sinzQPF2=為，coszPQF2e(0,兀)

sinzPQF?=等，tanzPQF?=；鬻次=2

當x=l時，1+萼=1，得了=土梳，P(LJ),

43ZZ※

Q※

IpQ：y_,=2Q_l),即4久—2y—1=0制

※

※

即

※

※

E

※

※

鄭

※

※

f※e

※

照

※

※

出

※

※

腑

※

【分析】設NF/F2的角平分線與久軸交于點Q，利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)※

K※-

系和（兀），進而得出的值，設再利用余弦定※

NFiPFe0,COSNF/F2PFi=m,PF2=n,?

※

理和橢圓的定義，進而得出m,n的值，再結(jié)合勾股定理判斷出二角形ARF2P為直角三※

角形，再利用二倍角的余弦公式和誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和代入法，從

而得出點P的坐標，再利用點斜式得出直線PQ的方程，從而得出N&PF2的角平分線所

在直線的一般方程。

17.【答案】（1）解：由題意可知：AB的中點M為（2,1）,

則邊AB上的中線CM所在直線的方程為g=瓷，即2%一y—3=