第六章、網(wǎng)絡(luò)綜合基礎(chǔ)

§6-1復(fù)頻率與復(fù)平面§6-2

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其性質(zhì)§6-3

霍爾維茨多項(xiàng)式§6-4

無(wú)源性和正實(shí)函數(shù)§6-5

歸一化和去歸一化第六章網(wǎng)絡(luò)綜合基礎(chǔ)§6-1復(fù)頻率與復(fù)平面

北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院俎云霄

傅立葉變換對(duì)拉普拉斯變換對(duì)

復(fù)頻率

將正頻率推廣到負(fù)頻率將實(shí)頻率推廣到復(fù)頻率

——復(fù)頻率通過(guò)拉普拉斯變換將電路的微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，便于求解。用來(lái)標(biāo)記復(fù)頻率s的復(fù)數(shù)平面就稱(chēng)為復(fù)平面或s平面。

復(fù)平面

§6-2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其性質(zhì)

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在單一激勵(lì)的線(xiàn)性非時(shí)變電路中，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義為零初始狀態(tài)下，響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比，并用符號(hào)H表示。設(shè)激勵(lì)e(t)的拉普拉斯變換為E(s)，響應(yīng)r(t)的拉普拉斯變換為R(s)，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義和分類(lèi)

激勵(lì)響應(yīng)激勵(lì)與響應(yīng)的位置關(guān)系網(wǎng)絡(luò)函數(shù)類(lèi)型電流源電壓激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗（函數(shù)）Z(s)電壓源電流激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納（函數(shù)）Y(s)電流源電壓激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移阻抗（函數(shù)）電壓源電壓激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移電壓比（函數(shù)）電流源電流激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移電流比（函數(shù)）電壓源電流激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移導(dǎo)納（函數(shù)）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義和分類(lèi)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)實(shí)質(zhì)上是描述單口網(wǎng)絡(luò)外部特性的量，而轉(zhuǎn)移函數(shù)則是描述雙口網(wǎng)絡(luò)傳輸特性的量。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的性質(zhì)

1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是s的是系數(shù)有理函數(shù)N(s)和D(s)分別為分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式，、均為實(shí)數(shù)。（線(xiàn)性、集總、非時(shí)變網(wǎng)絡(luò)）

2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)軸對(duì)稱(chēng)——零點(diǎn)——極點(diǎn)標(biāo)示了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)零、極點(diǎn)位置的s平面稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖。通常用“o”表示零點(diǎn)，用“

”表示極點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的性質(zhì)

3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的的極點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的關(guān)系穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)是指當(dāng)網(wǎng)絡(luò)加上沖激后，其響應(yīng)是有界的，而不是無(wú)限大。無(wú)源網(wǎng)絡(luò)是穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)。

若沖激響應(yīng)是有界的，則網(wǎng)絡(luò)就是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)的H(s)應(yīng)具有如下形式：、、均為非負(fù)實(shí)數(shù)分子多項(xiàng)式的冪次最多比分母多項(xiàng)式的冪次高一次。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的性質(zhì)

右半開(kāi)平面：不包含縱軸的右半平面。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的性質(zhì)

嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式：根只在s左半開(kāi)平面的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。霍氏多項(xiàng)式：根不在s右半開(kāi)平面，且無(wú)重根的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式叫做霍爾維茨（Hurwitz）多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱(chēng)霍氏多項(xiàng)式。廣義霍氏多項(xiàng)式：根不在s右半開(kāi)平面，但具有軸單根的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。線(xiàn)性、集總、非時(shí)變網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)應(yīng)具有如下性質(zhì)：（1）必須是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)。（2）分母多項(xiàng)式必須是霍氏多項(xiàng)式。（3）分子多項(xiàng)式的冪次最多比分母多項(xiàng)式高一次。如果網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)全在左半平面，零點(diǎn)全在右半平面，且零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)虛軸對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這樣的函數(shù)為全通函數(shù)，其所對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為全通網(wǎng)絡(luò)。如果網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)只在左半平面，則稱(chēng)其為最小相移函數(shù)，否則稱(chēng)為非最小相移函數(shù)。其所對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)分別稱(chēng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)和非最小相移網(wǎng)絡(luò)。

全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)和非最小相移網(wǎng)絡(luò)

全通函數(shù)的幅頻特性，所以，全通網(wǎng)絡(luò)可作為相移或時(shí)延網(wǎng)絡(luò)。一個(gè)非最小相移函數(shù)總可以表示為最小相移函數(shù)與全通函數(shù)的乘積。

全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)和非最小相移網(wǎng)絡(luò)

H(s)只具有左半平面的零、極點(diǎn)。H2(s)只具有左半平面的零、極點(diǎn)，是最小相移網(wǎng)絡(luò)。

全通函數(shù)§6-3霍爾維茨多項(xiàng)式

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n階霍氏多項(xiàng)式可寫(xiě)為如下一般形式：(1)嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式的最高冪次項(xiàng)與最低冪次項(xiàng)之間不能有缺項(xiàng)，且系數(shù)為正。(必要條件）

霍爾維茨多項(xiàng)式的性質(zhì)(2)廣義霍氏多項(xiàng)式可以缺常數(shù)項(xiàng)、奇次項(xiàng)或偶次項(xiàng)。(3)將嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式分解為偶部和奇部之和，即則偶部與奇部之比，或奇部與偶部之比展開(kāi)成連分式時(shí)，所得各商數(shù)項(xiàng)都為正。即

因?yàn)樗猩虜?shù)均為正數(shù)，所以P(s)是一個(gè)嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式。

試判斷是否為嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式?；魻柧S茨多項(xiàng)式的檢驗(yàn)解例5－2P(s)的偶部和奇部分別為

利用輾轉(zhuǎn)相除法可得

檢驗(yàn)多項(xiàng)式是否為霍氏多項(xiàng)式最直接的方法是求出多項(xiàng)式的根。如果各個(gè)根的實(shí)部均為負(fù)值，則該多項(xiàng)式一定是嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式；如果某些根的實(shí)部為負(fù)，某些根的實(shí)部為零，則是廣義霍氏多項(xiàng)式；否則就不是霍氏多項(xiàng)式。當(dāng)M(s)和N(s)有公因式時(shí)，會(huì)使相除的次數(shù)減少，則一定不是嚴(yán)格霍氏多項(xiàng)式，但是否為廣義霍氏多項(xiàng)式，需要進(jìn)一步分析公因式的根。如果根全為純虛數(shù)，即在虛軸上，則是廣義霍氏多項(xiàng)式，否則就不是霍氏多項(xiàng)式?；魻柧S茨多項(xiàng)式的檢驗(yàn)§6-4無(wú)源性和正實(shí)函數(shù)

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由R、L、C、M等無(wú)源元件組成的網(wǎng)絡(luò)，其驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)是有理正實(shí)函數(shù)，這是無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)的充分必要條件，是無(wú)源網(wǎng)絡(luò)綜合的基礎(chǔ)。

如果F(s)又是有理函數(shù)，則稱(chēng)其為有理正實(shí)函數(shù)。如果函數(shù)F(s)滿(mǎn)足:(1)當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，F(xiàn)(s)也為實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)

時(shí)，則就稱(chēng)其為正實(shí)函數(shù)，簡(jiǎn)記為P.r.。

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的正實(shí)性質(zhì)

是有理正實(shí)函數(shù)。

正實(shí)函數(shù)的性質(zhì)

1正實(shí)函數(shù)的倒數(shù)也是正實(shí)函數(shù)

證明

假定F(s)是正實(shí)函數(shù)，則它必滿(mǎn)足條件(1)和(2)。因此(1)當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，因?yàn)镕(s)為實(shí)數(shù)，所以，其倒數(shù)也為實(shí)數(shù)，即滿(mǎn)足條件(1)。(2)設(shè)，則有因?yàn)楫?dāng)時(shí)有，所以由上式可知，即滿(mǎn)足條件（2），性質(zhì)得證。2正實(shí)函數(shù)之和仍為正實(shí)函數(shù)

正實(shí)函數(shù)的性質(zhì)

3正實(shí)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為正實(shí)函數(shù)

設(shè)F(s)和f(s)都是正實(shí)函數(shù)，則其復(fù)合函數(shù)F[f(s)]也是正實(shí)函數(shù)。證明

當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，f(s)為實(shí)數(shù)，所以，F(xiàn)[f(s)]也為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足條件（1）。

當(dāng)時(shí)，，從而，滿(mǎn)足條件（2）。所以，復(fù)合函數(shù)是正實(shí)函數(shù)。正實(shí)函數(shù)條件的等價(jià)條件

(a)當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，也F(s)為實(shí)數(shù)；

(b)

，即在虛軸上F(s)的實(shí)部大于等于零；

(c)F(s)在s的右半平面內(nèi)解析，即:（i）極點(diǎn)不能在s的右半開(kāi)平面，（ii）若虛軸上有極點(diǎn)，則這些極點(diǎn)應(yīng)為單階且其留數(shù)為正實(shí)數(shù)。正實(shí)函數(shù)的檢驗(yàn)

條件(b):先將分子、分母多項(xiàng)式的奇部和偶部分開(kāi)，如果、為負(fù)，則一定不符合條件(b)，因此，不需再進(jìn)一步檢驗(yàn)。而如果P(x)中的所有系數(shù)均為正，則P(x)必然非負(fù)，F(xiàn)(x)符合條件(b)。如果除、為正外，其他某些系數(shù)為負(fù)，則必須要求P(x)在除原點(diǎn)外的正x軸上不能有奇數(shù)個(gè)根才能保證對(duì)所有都有。偶數(shù)個(gè)根和復(fù)數(shù)根是允許的。

條件（c）:先看s的右半平面是否有極點(diǎn)，這可以通過(guò)檢查有理函數(shù)的分母多項(xiàng)式是否是霍氏多項(xiàng)式來(lái)判斷；其次看虛軸極點(diǎn)是否單階且有正留數(shù)，這可將有理函數(shù)展開(kāi)成部分分式后加以確定。正實(shí)函數(shù)的檢驗(yàn)

三個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)都是正實(shí)數(shù)，所以條件(c)滿(mǎn)足。因此F(s)是正實(shí)函數(shù)。正實(shí)函數(shù)的檢驗(yàn)解例5－5條件(a)顯然滿(mǎn)足。

檢驗(yàn)是否是正實(shí)函數(shù)。由于，所以，從而，因此條件(b)也滿(mǎn)足。F(s)的分母顯然是霍氏多項(xiàng)式，其根為?！?-5歸一化和去歸一化

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歸一化頻率

歸一化頻率歸一化——頻率歸一化因子，無(wú)量綱的量

——實(shí)際頻率