統(tǒng)計(jì)、概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列-2023年高考數(shù)學(xué)考試（新高考）（解析版）

專題14統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例、概率、隨機(jī)變量及其分布列

匆偌臺新

一、互斥事件與對立事件關(guān)系模糊致錯(cuò)

?.某省高考實(shí)行新方案.新高考規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)、英語是必考科目，考生還需從思

想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)等級考試科目中選取3個(gè)作為選考科目.某考

生己經(jīng)確定物理作為自己的選考科目，然后只需從剩下的5個(gè)等級考試科目中再選擇2個(gè)組

成自己的選考方案，則該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”為()

A.相互獨(dú)立事件B.對立事件

C.不是互斥事件D.互斥事件但不是對立事件

【錯(cuò)解】選B,該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”不能同時(shí)發(fā)生，所以該考

生“選擇思想政治、化學(xué)'’和"選擇生物、地理”是對立事件.

【錯(cuò)因】混淆互斥事件與對立事件概念

【正解】選D,該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)

不發(fā)

生，所以該考生“選擇思想政治、化學(xué)''和"選擇生物、地理''為互斥事件但不是對立事

件.

2、某城市有兩種報(bào)紙甲報(bào)與乙報(bào)供居民們訂閱。記A=“只訂甲報(bào)”，B=“至少訂一種報(bào)”,

C="至多訂一種報(bào)"，D=“不訂甲報(bào)”，E="一種報(bào)也不訂”。判斷下列事件是不是互斥事件？

如果是互斥事件，再判斷是不是對立事件。

①A與C；②B與E；③B與D；④B與C；⑤E與C

【錯(cuò)解】選①或③或④或⑤

【錯(cuò)因】兩類事件的概念不清。

【正解】“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是指事件A與事件B

在一次實(shí)驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B在一次實(shí)驗(yàn)中有且

只有一個(gè)發(fā)生，因此，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件,

本題中“至少訂一種報(bào)，，與“一種報(bào)也不訂，，不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，所以

選②。

二、使用概率加法公式忽略成立條件致錯(cuò)

3、拋擲一均勻的正方體玩具(各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6),事件4表示“朝上一面

的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3"，求P(AUB).

313111

【錯(cuò)解】因?yàn)镻(A)=巖=],AB)=%=],所以P(AUB)=P(A)+P(8)=2+]=l.

【錯(cuò)因】事件A、8不是互斥事件,使用加法公式錯(cuò)誤.注意，在應(yīng)用公式P(AUB)=P(A)+

P(B)求解概率問題時(shí),一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以轉(zhuǎn)化為互斥事件,再

用公式.

【正解】將AUB分成出現(xiàn)“1、2、3”與“5”這兩個(gè)事件,記出現(xiàn)“1、2、3”為事件C,出現(xiàn)“5”為

31?

事件。,則C與。兩事件互斥,所以P(AU8)=P(CU￡))=P(C)+P(￡>)=j+χ=g.

三、求古典概型的概率基本事件重復(fù)或遺漏致錯(cuò)

3.已知函數(shù)yU)=∣√*+αr2+b2χ+l,若α∈{l,2,3},?∈{0,1,2},則該函數(shù)有兩個(gè)極值

點(diǎn)的概率為()

A.∣B.∣

CfD2

【錯(cuò)解】選C,.尸(X)=X2+2αt+爐，由題意知方程∕'(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根，

J=(2a)2—4?2>0,即4>6,有a=l,b=0;a=2,b—1:a—3,6=0,1,2,

62

-=-

共有5種，總的情況有3X3=9種,93

【錯(cuò)因】a=2,b=l或0,有兩種情況，錯(cuò)解中遺漏了一種情況。

【正解】選Bf'(x)=x2+20x÷?2,由題意知方程/'(X)=O有兩個(gè)相異實(shí)根，

J=(2tz)2-4?2>0,即α>Z?,有α=l,b=0;a=2,?=0,l：a=3,?=0,l,2,

共有6種，總的情況有3X3=9種，所以所求概率為E=?

4、從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn),則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概

率等于()

?1ClC1

ATOB.oQC.7OD.?7

【錯(cuò)解】選A或B或C

【錯(cuò)因】用列舉法列舉基本事件時(shí)因重復(fù)或遺漏而錯(cuò)誤

【正解】如圖所示,從正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn),可以看作隨

機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn),剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形,有(AB),(AC),(A,。),(AE),

(AF),(B,C),(β,E>),(β,E),(B,F),(C,∕)),(C,E),(C,F),(Z),E),(E>,F)

(瓦廠)共15種.若要構(gòu)成矩形,只要選相對頂點(diǎn)即可,有(AD),(B,E),(C,/),

共3種,故其概率為??=g.

5、箱子中有6件產(chǎn)品,其中4件正品,2件次品,每次隨機(jī)取出1件檢驗(yàn),直到把所有次品

檢驗(yàn)出停止,則檢驗(yàn)4次停止檢驗(yàn)的概率為

【錯(cuò)解】P=

K5

【錯(cuò)因】忽略前4次全是正品的情況.

-,CAS+M4

【rτ止τf解is】1Pp=C-=—.

M15

四、對條件概率概念理解不透致錯(cuò)

6.已知盒中裝有3只螺口燈泡與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放

置，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到螺口燈

泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為()

1997

A?4B?44C?TΓD?9

【錯(cuò)解】選B,共有12只燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，共有12x11種，則

笫1次抽到螺口燈泡，第2次抽到卡口燈泡，共有3x9種，則在他第1次抽到螺口

燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為尸=±2_=2。

12×1I44

【錯(cuò)因】沒有理解條件概率，錯(cuò)解中誤當(dāng)成古典概型去求。注意，條件概率：設(shè)A,B是條

件S下的兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)>0,則稱在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率

P(AB)

為條件概率，記作P(BIA),P(BIA)=麗’其中P(AB)表示事件A與事件B同時(shí)發(fā)

生構(gòu)造的事件.

【正解】選C,設(shè)事件A為第1次抽到螺口燈泡，事件3為第2次抽到卡口燈泡，則在第1

3義9

P(AB}12×119

次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率尸(8|A)=然2=?-=蓋

r?∕?)Il

n

7.第一個(gè)袋中有黑、白球各2只，第二個(gè)袋中有黑、白球各3只.先從第一個(gè)袋中任

取一球放入第二個(gè)袋中，再從第二個(gè)袋中任取一球，則兩次均取到白球的概率為()

1241

A.γB.γC.γD.2

【錯(cuò)解】選D,若從第一個(gè)袋中取的的是白球，則R=Jxd,若從第一個(gè)能中取的的

127

是黑球，則B=Lχ3,則兩次均取到白球的概率為e+B=Lχ3+Lχ3=L

227,227272

【錯(cuò)因】對條件概率概念理解不透致錯(cuò)。

14

【正解】選B記Ai表示第，次取到白球(i=l,2),則P(AI)=P(A2∣Aι)=]?由乘法公

I42

式，得P(AIA2)=P(AI)P(A2∣AI)=2×γ=y.

8、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個(gè)孩子，其中有1名女孩，則其至少有1個(gè)

男孩的概率為.

【錯(cuò)解1】此家庭有3個(gè)孩子共有(男，男，女)，(女，女，男)，(男，男，男)，(女，女，

21

女)4種可能，故其中有1名女孩條件下至少有1個(gè)男孩的概率為1=

42

【錯(cuò)因】基本事件空間認(rèn)識有誤，此家庭中3個(gè)孩子出生有先后順序，應(yīng)包含8種可能；同

時(shí)條件概率求解時(shí)若采用縮小事件空間用古典概型求解時(shí)事件總數(shù)應(yīng)為7,而不是

8.因?yàn)?男，男，男)中不包含其中有1個(gè)女孩.

【正解】此家庭共有3個(gè)孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女,

男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)

其中至少有1個(gè)女孩共有7種可能，其中至少有1個(gè)男孩有6種可能，故其概率為

6

7-

【錯(cuò)解2】記事件A表示“其中有1名女孩”，B表示"至少有1個(gè)男孩”，

3

-

83

則=-=-

P(BlA)77

-

8

【錯(cuò)因】其中有1名女孩共有6種可能，即至少有1名是女孩，錯(cuò)解中誤理解為有且只有I

名女孩.

6

【正解2】P(B∣A)=∣=∣.

8

五、求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)忽視所有事件概率和為1致錯(cuò)

8、若隨機(jī)變量X滿足P(X=/)=-??(i=1,2,3,4),則P(x＞√5)=—.

【錯(cuò)解】因?yàn)镻(X=i)=/1j,所以網(wǎng)尤＞6)=尸(X=3)+P(X=4)

--a1-a=—8tz=—2a.

12206015

【錯(cuò)因】沒有求出α的值

【正解】因?yàn)闈M足/3(*=。=7:(，=1,2,3,4),所以/_+，_+，_+—乙

',z(z+l)v,1×22×33×44x5

=￥_=1,所以4=3，所以網(wǎng)》＞6)=2(*=3)+尸(*=4)=

-a---a---S-a--2--a=—I

122060156,

9、某地最近出臺一項(xiàng)機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有四次參加考試

的機(jī)會，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第四次

為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9?

求在一年內(nèi)李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列。

【錯(cuò)解】隨機(jī)變量X可取1,2,3,4,則P(X=I)=O.6,p(X=2)=0.4X0.7=0.28,

p(X=3)=0.4×O.3×O.8=0.096,p(X=4)=0.4×().3×0.2X0.9=0.0216,

.?.李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列為

~x~1234

P"(λ280.0960.0216-

【錯(cuò)因】因?yàn)?.6+0.28+0.96+0.0216≠l,主要是對事件“X=4”不理解，“X=4”表示李

明前3次均沒通過，而第四次可能通過也有可能不通過。

【正解】隨機(jī)變量X可取1,2,3,4,則P(X=D=O.6,p(X=2)=0.4X().7=0.28,

p(χ=3)=().4×().3×().8=0.096,p(X=4)=0.4X0.3X0.2X(0.9+0.1)=0.0216,

.?.李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列為

~Y~1234

P~06^(λ280.0960.024

六、混淆超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念致錯(cuò)

10、某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，

已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3

件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品

中次品數(shù)量為X,員工8抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為匕k=0,1,2,3.則下列判斷

正確的是()

A.隨機(jī)變量X服從超幾何分布B.隨機(jī)變量Y服從超幾何分布

C.P(X=k)<P(Y=k)D.E(X)=E(F)

【錯(cuò)解】AD,對于A,B選項(xiàng)，由超幾何分布的概念可知A正確;

對于D選項(xiàng)，該批產(chǎn)品有M件，則E(X)=3?2吟,

<3E=<kC匯C=15(M-I)(M-2)=_15

?Cl,~hCM(MT(M-2)M因此D正確:

對于C選項(xiàng)，假若C正確可得E(X)<E(y),則D錯(cuò)誤，矛盾！故C錯(cuò)誤.

【錯(cuò)因】由超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念可知"有放回''是二項(xiàng)分布，“無放回”是超幾何分布,

故A錯(cuò)，B對。

【正解】由超幾何分布的概念可知B正確；對于D選項(xiàng)，該批產(chǎn)品有M件，則

5153kC=C；=SkCK=15(M-I)(M-2)="

E(X)=3?-=—,E(Y)=YCl,^?^Λ∕(M-1)(Λ∕-2)^Λ∕'

?=1

因此D正確;

對于C選項(xiàng)，假若C正確可得E(X)<E(y),則D錯(cuò)誤，矛盾！故C錯(cuò)誤.

11、某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種

乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).現(xiàn)在在總共8小塊地中，隨機(jī)選4小塊地種植品種甲，另外4小塊地種

植品種乙，種植完成后若隨機(jī)選出4塊地，其中種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求

P(X=2).

【錯(cuò)解】根據(jù)題意可知X服從二項(xiàng)分布，每塊地種甲的概率為故X~8(4,0?5),

p(χ=2)=Ci×0.52×0.52=-.

8

【錯(cuò)因】產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是沒有真正掌握二項(xiàng)分布與超幾何分布的概念而將它們混為一

談，本題中選地種植甲或乙品種是“不重復(fù)”試驗(yàn)，故X應(yīng)服從超幾何分布.

【正解】X可能的取值為0,1,2,3,4,且P(X=2)=普=H

七、分不清獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與相互獨(dú)立事件致錯(cuò)

21

12、甲、乙兩人各射擊1次，擊中目標(biāo)的概率分別是,和主假設(shè)兩人擊中目標(biāo)與否相互

之間沒有影響，每人各次擊中目標(biāo)與否相互之間也沒有影響，若兩人各射擊4次，則甲恰好

有2次擊中目標(biāo)且乙恰好有3次擊中目標(biāo)的概率為

【錯(cuò)解】設(shè)事件A表示“4次射擊中甲恰好有2次擊中目標(biāo)”，事件8表示“4次射擊中乙

恰好

有3次擊中目標(biāo)”，由題意知事件4與8相互獨(dú)立,

所以P(AB)=P(A)P(B)=02×G)-??

【錯(cuò)因】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與相互獨(dú)立事件混淆

【正解】設(shè)事件4表示“4次射擊中甲恰好有2次擊中目標(biāo)”，事件8表示“4次射擊中乙

恰好

有3次擊中目標(biāo)”，由題意知事件4與8相互獨(dú)立,

所以P(A8)=P(A)P(B)=GX(l)×β)2×c^×G)3×2=?

八、獨(dú)立性檢驗(yàn)問題中對犬的值理解不準(zhǔn)確致錯(cuò)

13.通過隨機(jī)詢問IlO名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到了如下的列聯(lián)表.參照

附表，能得到的正確結(jié)論是()

男女合計(jì)

愛好402060

不愛好203050

合計(jì)6050110

______Mad-be)?______

(a+i>)(c÷√)(α+c)(?+d)'

a0.050.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

C,在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

【錯(cuò)解】C

【錯(cuò)因】不理解K?的含義

八w皿卬-TR,110×(40×30-20×20)2

【正解】選A由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可付1-=6()X50×60×50≈7.822>6.635=xo.oιo,

故有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”.故選A.

14、在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,計(jì)算得到

隨機(jī)變量K?的觀測值2a56.632.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下,下面說法正確

的是O下面臨界值表供參考

P(K2≥Z°)0.0250.0100.0050.001

k。5.0246.6357.87910.828

A.由于隨機(jī)變量K2的觀測值k>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤

的概率不超過0.001

B.由于隨機(jī)變量K'的觀測值%>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤

的概率不低干0.001

C.由于隨機(jī)變量K2的觀測值k>10.828,所以“吸煙與患肺癌緣有關(guān)系”,并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)

誤的概率不超①0.001

D.由于隨機(jī)變量K2的觀測值k>10.828,所以“吸煙與患肺癌律有關(guān)系”,并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)

誤的概率不低于0.001

【錯(cuò)解】B

【錯(cuò)因】不理解K2的含義

【正解】由題意知,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,計(jì)算得到隨機(jī)變量K2的觀測值

k≈56.632,其中?≈56.632>10.828,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“吸

煙與患肺癌有關(guān)系”.故選A.

九.對于綜合性問題事件分拆混亂致錯(cuò)

15、某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，

兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”.甲,乙,丙三人在理論考核中合格的概率分

別為0.9,0.8,0.7,在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有

影響.

(1)求甲,乙,丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

(2)求這三人該課程考核都合格的概率.(結(jié)果保留三位小數(shù))

【錯(cuò)解】(1)設(shè)甲,乙,丙至少兩人合格為事件A,

P(A)=O.9x0.8x0.3+0.9x0.2x0.7+0.1x0.8x0.7=0.402.

(2)設(shè)三人都合格為事件8,P(B)=0.9x0.8x0.7=0.504.

【錯(cuò)因】事件分拆錯(cuò)誤.“至少兩人合格''要分析為“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合

格”“乙丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格''四個(gè)事件之和：三人課程考核合格要寫成

六個(gè)獨(dú)立事件的積.

【正解】記“甲理論考核合格”為事件4,“乙理論考核合格”為事件上,“丙理論考核合格”為事

件4,記了為4的對立事件,i=1,2,3.記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件乙實(shí)驗(yàn)考核合

格”為事件B2,“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B、.

(1)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C,

P(C)=P(A自243÷A∣A.2A3+A∣A2A3÷A?A2A3)—P(A∣A2A3)÷P(Λ∣A2A3)

+P(AiAA)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=

+P(^AΓA2A3)23

0.902.

(2)記“三人該課程考核都合格”為事件D

P(O)=P[(481)?(4282)?(A383)]=P(481)?P(A282)?P(A383)=().9xO.8xO.8xO.7xO.7x().9

=0.254016≈0.254.

所以這三人該課程考核都合格的概率約為0.254.

務(wù)布發(fā)通關(guān)

L一個(gè)射手進(jìn)行射擊，記事件A="脫靶”，4=“中靶"，A="中靶環(huán)數(shù)大于4”，

則在上述事件中，互斥而不對立的事件是()

A.Al與A2B.A1與A3

c.A2與4D.以上都不對

【答案】B

【解析】射手進(jìn)行射擊時(shí)，事件A="脫靶”，A2=“中靶"，4="中靶環(huán)數(shù)大于4”，

事件A與A2不可能同時(shí)發(fā)生，并且必有一個(gè)發(fā)生，即事件Al與是互斥且對立，A不是;

事件A與A不可能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，即事件A與4是互斥不對立，B是；事

件A2與4可以同時(shí)發(fā)生，即事件為與不互斥不對立，C不是，顯然D不正確.故選：B.

2.某校要從高一、高二、高三共2023名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡單隨機(jī)抽

樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽

取50名，則每名學(xué)生入選的可能性（）

A.都相等且為翡B.都相等且為小

C.不完全相等D.均不相等

【答案】A

【解析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣及分層隨機(jī)抽樣的定義可得，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，所

以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于端

3.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田.這"塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分

別為X”及，…，X"，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.X?,X2,???,X"的平均數(shù)B.XI，X2，…，X"的標(biāo)準(zhǔn)差

C.?i,X2,???,X”的最大值D.X∣,X2，…，X”的中位數(shù)

【答案】B

【解析】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差.

4.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率

分布直方圖如圖所示.在這些用戶中，用電量落在區(qū)間［∣50,250）內(nèi)的戶數(shù)為（）

【答案】B

【解析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得

（0.∞24+0.∞36+0.∞60+X+0.（X）24+O.（X）12）×50=l,

解得X=0.0044,所以用電量落在區(qū)間［150,250)內(nèi)的頻率為(0.0060+0.(X)44)x50=0.52,

用電量落在區(qū)間［150,250)內(nèi)的戶數(shù)為IOOXo.52=52戶.故選C.

5.(多選)某籃球職業(yè)聯(lián)賽中，運(yùn)動員甲在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表(不包含

罰球)：

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)

1005518

記該運(yùn)動員在一次投籃中，“投中兩分球”為事件A,“投中三分球”為事件8,“沒

投中”為事件C,用頻率估計(jì)概率，則下述結(jié)論正確的是()

A.P(A)=O.55B.P(B)=O.18

C.P(O=O.27D.P(B+O=0?55

【答案】ABC

【解析】由題意可知，P(A)=麗=0.55,尸(8)=麗=0.18,事件“A+B”與事件C為對立

事件，且事件A,B,C互斥，所以P(C)=I-P(4+B)=I-P(A)—P(8)=0.27,所以P(8+

C)=P(B)+P(C)=0.45.

6.某校為了解學(xué)生體能素質(zhì)，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，進(jìn)行體能測試.并將這50名學(xué)生成績

整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖.下列結(jié)論中不正確的是()

A.這50名學(xué)生中成績在［80,100］內(nèi)的人數(shù)占比為20%

B.這50名學(xué)生中成績在［60,80)內(nèi)的人數(shù)有26人

C.這50名學(xué)生成績的中位數(shù)為70

D.這50名學(xué)生的平均成績［=68.2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表)

【答案】C

【解析】根據(jù)此頻率分布直方圖，成績在［80,100］內(nèi)的頻率為(0.008+0.012)X10=0.20,所

以A正確；這50名學(xué)生中成績在［60,80)內(nèi)的人數(shù)為(0.032+0.020)x10x50=26,所以B∣E

確；根據(jù)此頻率分布直方圖，(0.008+0.02)X10=0.28<0.5,

(0.∞8+0.02+0.032)X10=0.6>0.5,可得這50名學(xué)生成績的中位數(shù)?60,70),所以C錯(cuò)誤

；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得：

x=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2,^τWD正確.

7.德國心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開始，而且遺忘的進(jìn)程并不

是均勻的.最初遺忘速度很快，以后逐漸減慢.他認(rèn)為“保持和遺忘是時(shí)間的函數(shù)”.他用

無意義音節(jié)（由若干音節(jié)字母組成、能夠讀出、但無內(nèi)容意義即不是詞的音節(jié)）作為記憶材料,

用節(jié)省法計(jì)算保持和遺忘的數(shù)量，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成描述遺忘進(jìn)程的曲線，即著名的艾賓

浩斯遺忘曲線（如圖所示）.若一名學(xué)生背了100個(gè)英語單詞，一天后，該學(xué)生在這100個(gè)英

語單詞中隨機(jī)聽寫2個(gè)英語單詞，以頻率代替概率，不考慮其他因素，則該學(xué)生恰有1個(gè)單

詞不會的概率大約為（）

艾賓浩斯遺忘曲線

t記憶的百分比

100%

44%---、4小時(shí)后忘記56%

26%____忘記74%

91%____:_____________________________

：：個(gè)月后忘記79%

∩∣-----------------■----------------1------------------------?

1小1天后1個(gè)學(xué)習(xí)后經(jīng)

時(shí)后月后過的時(shí)間

A.0.43B.0.39C.0.26D.0.15

【答案】B

【解析】根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，得100個(gè)英語單詞一天后忘記了74個(gè)，還記得26個(gè)，則

該學(xué)生恰有1個(gè)單詞不會的概率P=平斗-0.39.故選B.

Cioo

8.某地市在一次測試中，高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績J服從正態(tài)分布N（80,b2）,已知

P（60<?<80）=03,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從100分以下的

試卷中應(yīng)抽?。ǎ?/p>

A.20份B.60份C.80份D.90份

【答案】C

【詳解】因?yàn)椤﹡N（80,〃），所以，

<lθθ）=0.5+P（80<§<100）=0.5+P（60<4<80）=0.8,

因此，應(yīng)從100分以下的試卷中應(yīng)抽取IOoXO.8=80份.

9.某種包裝的大米質(zhì)量4（單位：kg）服從正態(tài)分布4~N（10,σ?2）,根據(jù)檢測結(jié)果可知

P（9.98≤^≤10.02）=0.98,某公司購買該種包裝的大米3000袋.大米質(zhì)量在10?02kg以上

的袋數(shù)大約為（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【詳解】因大米質(zhì)量JΛ∕(10,σ2),且尸(9.98≤J≤10.02)=0.98,則

尸e>κλ02)=匕"暨等幽=0.01,

所以大米質(zhì)量在10?02kg以上的袋數(shù)大約為3000x0.01=30.

10.第一個(gè)袋中有黑、白球各2只，第二個(gè)袋中有黑、白球各3只.先從第一個(gè)袋中任

取一球放入第二個(gè)袋中，再從第二個(gè)袋中任取一球，則兩次均取到白球的概率為()

A.yB.yC.yD./

【答案】B

14

【解析】記Ai表示第，次取到白球(i=1,2),則P(Al)=P(AZIAD='.由乘法公式，

142

得P(AiA2)=P(Ai)P(A^Ai)=2×j=γ

11.甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝''制，甲在每局比賽中獲勝的概

率均為二3，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立且沒有平局，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局

4

的概率為()

A.-B.-C.ID.-

3535

【答案】A

【詳解】設(shè)甲獲得冠軍為A,比賽進(jìn)行了三局為3,則P(A)=(1j+C??∣?(l33_27

4=32

9

3

P(AB)=C'2--(?-=所以P(8∣A)=也絲=券=，

432P(A)273

32

所以在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為§.

12.甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑

球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以A，&和A3表示由甲口袋取出的球是紅

球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球

的事件，則下列結(jié)論中正確的是()

A.P(8∣4)=?B.事件A與事件B相互獨(dú)立

1?

C.p(4網(wǎng)=5D.P(B)?-

【答案】D

QQ4

【詳解】由題意得P(8∣A?)=3+3；4+廣A'所以A錯(cuò)誤；因?yàn)镻(BlA)=5,

P(B)=P(A)P(MA)+P(4)P(B闖+「(4)尸@4)=會(+3*+3哈瑞，所

以P(B)≠P(B∣A,),即P(B)P(A)NP(%),故事件事件A與事件B不相互獨(dú)立，所以B

錯(cuò)誤，D正確；

53

尸⑷上需=笑群L嚶備所以C錯(cuò)誤：

10

13.已知兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,其中X~B(5,￡|,Y~N(μ,σ-](σ>0),若E(X)=E(Y),且

P(M<1)=0.3,貝”(y<—I)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

【答案】A

【詳解】由題設(shè)E(X)=E(Y)=5xg=l,即M=I,又P(M<1)=P(T<y<l)=0.3,故

P(y<-l)=0.5-0.3=0.2.

14.有歌唱道：“江西是個(gè)好地方，山清水秀好風(fēng)光.”現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到江西

旅游，準(zhǔn)備從廬山、三清山、龍虎山和明月山四個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游玩,

記事件A為“甲和乙至少一人選擇廬山”，事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則尸(陰A)

7?7

A.γ^B.gC.γD.γ

【答案】D

【解析】由題意知事件A“甲和乙至少一人選擇廬山”包含w(Λ)=C∣α+l=7種情況，事

件AB“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，且至少一人選擇廬山"包含"(48)=CIe{=6種情況，所以

6

P(BIA)=

n(A)7-

15.兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(與>',)(?y2),,(毛，yn),下列說法錯(cuò)

誤的是()

A.落在回歸直線方程上的樣本點(diǎn)越多，回歸直線方程擬合效果越好

B.相關(guān)系數(shù)卜I越接近1,變量X,y相關(guān)性越強(qiáng)

C.相關(guān)指數(shù)/?2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差

D.若X表示女大學(xué)生的身高，y表示體重，則K≈0.65表示女大學(xué)生的身高解釋了65%的

體重變化

【答案】A

【詳解】對于A：回歸直線方程擬合效果的強(qiáng)弱是由相關(guān)指數(shù)K或相關(guān)系數(shù)M判定，故不

正確；

對于B：根據(jù)相關(guān)系數(shù)H越接近1,變量相關(guān)性越強(qiáng)，故正確；

對于C：相關(guān)指數(shù)K越小，殘差平方和越大，效果越差，故正確；

對于D：根據(jù)片的實(shí)際意義可得，/=0.65表示女大學(xué)生的身高解釋了65%的體面變化，

故正確；

16.下列說法正確的序號是（）

①在回歸直線方程9=0?8x-12中，當(dāng)解釋變量X每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量9平均增加

0.8個(gè)單位；

②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得它（》-法；-。尸最小的原理；

n

③已知X,y是兩個(gè)分類變量，若它們的隨機(jī)變量K?的觀測值女越大，貝『'X與y有關(guān)系”

的把握程度越小；

④在一組樣本數(shù)據(jù)（町yj,（?,y2）,...,（?,y,1）（M≥2,X?,χi,...,X,不全相等）的

散點(diǎn)圖中，若所有樣本α,y）G=l,2,〃）都在直線y=-；x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性

相關(guān)系數(shù)為

A.①@B.①②C.②④D.③④

【答案】B

【詳解】對于①，在回歸直線方程3>=0.8x-12中，當(dāng)解釋變量X每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)

報(bào)變量亍平均增加0.8個(gè)單位，故①正確；

對于②，用離差的平方和，即:Q=t（y-9,）2=t（χ-α-如『作為總離差，并使之達(dá)到最

f=l/=I

?。贿@樣回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條。由于平方乂叫二乘方，所以這種使

“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法：所以利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使

得￡（必一如-“）2最小的原理；故②正確；

n

對于③，對分類變量X與y,對它們的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，貝Ι卜X

與y有關(guān)系”的把握程度越小，故③錯(cuò)誤；

對于④，相關(guān)系數(shù)反映的是兩變量之間線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，與回歸直線斜率無關(guān)，題中樣

本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為τ,故④錯(cuò)誤.

17.已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合{（X,?,y）∣i=i,2,…，〃},求得的回歸直線方程為3=1?5X+0.5,

且元=3,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（1.3,2.1）和（4.7,7.9）誤差較大，去除后重新求得的回歸

直線/的斜率為1.2,則（）

A.變量X與N具有正相關(guān)關(guān)系B.去除后的回歸方程為9=l?2x+1.6

C.去除后）'的估計(jì)值增加速度變慢D.去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2,3.75）的殘差為005

【答案】AC

【詳解】因?yàn)橹匦虑蟮玫幕貧w方程/的斜率為1.2,故變量X與y具有正相關(guān)關(guān)系，故選項(xiàng)A

正確；將元=3代入回歸直線方程為9=L5X+0.5,解得y=5,則樣本中心為（3,5）,去掉

13+4721+79

兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)032』)和(4.7,7.9)后,由于τ=3,τ=5'故樣本中心還是(3,5),

又因?yàn)槿コ笾匦虑蟮玫幕貧w直線/的斜率為1.2,所以5=3χl.2+a,解得α=1.4,

所以去除后的回歸方程為9=l?2x+1.4,故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)長5>L2,所以去除后y的

估計(jì)值增加速度變慢，故選項(xiàng)C正確：因?yàn)?=l?2x2+l?4=3.8,所以

y-y=3.75-3.8=-0.05,故選項(xiàng)D不正確.

18.一箱中裝有6個(gè)同樣大小的紅球，編號為1,2,3,4,5,6,還有4個(gè)同樣大小的黃

球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從箱中任取4個(gè)球，下列變量服從超幾何分布的是（）

A.X表示取出的最小號碼

B.若有放回的取球時(shí)，X表示取出的最大號碼

C.取出一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)黃球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分

D.若有放回的取球時(shí)，X表示取出的黃球個(gè)數(shù)

【答案】C

【解析】超幾何分布的概念為：設(shè)總體有N個(gè)，其中含有M個(gè)不合格品。若從中隨機(jī)不放

回抽取〃個(gè)產(chǎn)品，則不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，若">M,則可能取0,1,2

M,

由古典方法可以求得X=Z的概率是:P(X=氏)=g∕),JI=O,1,2,M假如n<M,

則X可能取0,1,2…，"；此時(shí)求得X=化的概率是:P(X=Z)=一MC蘆.,火=0,1,2,n根

據(jù)超幾何分布的定義，可知ABD均不合要求，C對。A選項(xiàng)，X可能取值為1,2,34,5,6,7,

P(X=7)=:=+，P(X=6)暗喘,P(X=5)=mP(X=W,

P(X=3)=fb?P(X=2)=mq,P(X=I)=3=|,

JooJo??Jo?

X的分布列為:

X1234567

24?2121

P

51562121Iθ52W

B選項(xiàng)，若有放回的取球時(shí)，X表示取出的最大號碼，則X的取值可能為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

P(X=I)=Cj?,P(X=2)=C;

SF)必+明?+啕階%4

p(χ=4)=C閶(涉端除％田闔+C儒〉

L,故不滿足超幾何分布；

C選項(xiàng)，X表示取出的4個(gè)球的總得分，則X的取值可能為4,5,6,7,8,

p(χ=4)=與=，，P(X=5)=^^=3=且，P(X=6)=≤?=^^=3,

7,,

'C：。210'C：021035'