第04講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（人教A版2019選擇性必修第二冊）（原卷版）

第04講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用【人教A版2019】·模塊一導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問題·模塊二導(dǎo)數(shù)中的不等式證明·模塊三導(dǎo)數(shù)中的恒成立、能成立問題·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問題1．導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問題利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點（方程的根）主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.【考點1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）】【例1.1】（2023上·天津濱海新·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xex+1x≥0A．1,1+1e∪C．1,1+1e∪【例1.2】（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=xex,x<0-x2+2x,x≥0，若關(guān)于A．-∞,-1e B．-1e【變式1.1】（2023上·北京·高三?？茧A段練習(xí)）已知fx=xexA．存在實數(shù)k，使得對任意實數(shù)m，函數(shù)gxB．存在實數(shù)m，使得對任意實數(shù)k，函數(shù)gx至少有2C．對于任意實數(shù)m，存在實數(shù)k，使得函數(shù)gx恰有2D．對于任意實數(shù)k，存在實數(shù)m，使得函數(shù)gx恰有3【變式1.2】（2020·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=x,x>0e2x,x≤0，gx=-x2+2x（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程gfxA．32-ln2 B．-32模塊二模塊二導(dǎo)數(shù)中的不等式證明1．導(dǎo)數(shù)中的不等式證明(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題．【考點1

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式】【例1.1】（2023上·湖南衡陽·高二校考期末）已知函數(shù)f(x)=ax+lnx+1，(1)若f(x)的極大值為1，求實數(shù)a的值；(2)若a=-1，求證：f(x)≤g(x).【例1.2】（2023上·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a≤0時，若fx1=fx2【變式1.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)若fx≥0，求(3)求證：sin1【變式1.2】（2023上·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若方程fx=1-xlnx有兩個不等的實數(shù)根x1，模塊三模塊三導(dǎo)數(shù)中的恒成立、能成立問題1．導(dǎo)數(shù)中的恒（能）成立問題解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【考點1

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】【例1.1】（2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式ea+x?lnx<x2+axA．-∞,0 B．-1,0 C．-1,+∞【例1.2】（2023上·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=12x2-4x+alnx，若函數(shù)y=f(x)存在兩個極值點xA．-∞，-1 B．-∞，-16-8【變式1.1】（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)f(x)=xln(1)討論f(x)x(2)已知g(x)=2x-ex-1-1，若f(x)≥g(x)【變式1.2】（2023上·福建莆田·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在1,f(2)若對?x∈0,+∞，fx≤a【考點2利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】【例2.1】（2023下·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=lnx，若存在x0∈1A．1,12+C．12+ln【例2.2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）若存在x0∈0,1，使不等式x0+eA．12e,e2 B．1e【變式2.1】（2023上·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=a2e2x(1)若a=3，求y=gx(2)若存在實數(shù)x∈0,1使fx>3【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+(1)當(dāng)a=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，求函數(shù)f(2)若?x1,x2【考點3\o"利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)"\t"/gzsx/zsd28301/_blank"利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)】【例3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）作函數(shù)fx=【例3.2】（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知函數(shù)fx(1)若fx≥0在1,+∞(2)若a=-1，求證：函數(shù)fx的圖象在函數(shù)gx【變式3.1】（2023下·四川樂山·高二期末）已知函數(shù)fx=e(1)求a；(2)若直線y=b與y=fx和y=g【變式3.2】（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=lnx圖象上三個不同的點Mm,(1)求函數(shù)fx在點P(2)若PM=PN，探究線段MN的中點【考點4

導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用】【例4.1】（2023·全國·高二課堂例題）某企業(yè)要生產(chǎn)容積為Vm3的圓柱形密閉容器，如圖，已知該容器側(cè)面耗材為1元/m2，上下底面的耗材為1.5元/m2．問：如何設(shè)計圓柱的高度hm和上下底面的半徑rm，使得費用最少？

【例4.2】（2023上·福建福州·高三?？计谥校└Ｖ菽彻珗@有一個半圓形荷花池（如圖所示），為了讓游客深入花叢中體驗荷花美景，公園管理處計劃在半圓形荷花池中設(shè)計棧道觀景臺P和棧道PA、PB、PC、AB，觀景臺P在半圓形的中軸線OC上（如圖，OC與直徑AB垂直，P與O,C不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知AB=200米，∠PAB=θ，棧道總長度為L．

(1)求L關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．(2)若棧道的造價為每米5千元，問：棧道PC長度是多少時，棧道的建設(shè)費用最?。坎⑶蟪鲈撟钚≈担咀兪?.1】（2023下·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）已知某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入成本px萬元，假設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬件，并且全部銷售完，每1件的銷售收入為100元，且(1)求出年利潤y（萬元）關(guān)于年生產(chǎn)零件x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）；(2)將年產(chǎn)量x定為多少萬件時，企業(yè)所獲年利潤最大.【變式4.2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）工廠需要圍建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長度y（單位：m）是利用原有墻壁長度x（單位：m(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍；(2)隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？(3)當(dāng)堆料場的長、寬比為多少時，需要砌起的新墻用的材料最?。磕K四模塊四課后作業(yè)1．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出下列四個圖象：

函數(shù)fx=aA．①③ B．②③ C．②④ D．②③④2．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnxA．在區(qū)間(1e,1)B．在區(qū)間(1e,1)C．在區(qū)間(1e,1)D．在區(qū)間(1e,1)3．（2022上·廣東廣州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x-xlnx的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線y=1的對稱點在kx+y-1=0的圖象上，則實數(shù)A．-∞,1 BC．0,1 D．-4．（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，且f'xA．fln3>3f0 B．f2<5．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形EFGH的中心與正方形ABCD的中心重合，正方形ABCD的面積為2，截去如圖所示的陰影部分后，將剩下的部分翻折得到正四棱錐M-EFGH(A，B，C，D四點重合于點M)，當(dāng)四棱錐體積達(dá)到最大值時，圖中陰影部分面積為（

）

A．25 B．45 C．436．（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=sinx-2ax-axcosx，?x≥0，A．14,+∞ B．0,14 C7．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）若存在x0∈-1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e8．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=xexx≤0lnxxx>0，若關(guān)于A．-∞,-1C．0,1e D9．（2023上·四川德陽·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=mex+lnm,g(x)=lnx，若f(x)≥g(x)A．(-∞,1e] B．(0,110．（2023下·天津和平·高二天津二十中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx與gx是定義在同一區(qū)間a,b上的兩個函敉，若對任意的x∈a,b，都有fx-gx≤kk>0，則稱fx與gx在a,b上是“k度和諧函數(shù)”，a,b稱為“k度密切區(qū)間”．設(shè)函數(shù)fx=lnxA．-e-1,1 BC．1e-e11．（2023下·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)fx=12x2+ln12．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=4時，求fx的極值及曲線y=fx在點(2)若函數(shù)fx有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍13．（2023下·重慶南岸·高二校考階段練習(xí)）學(xué)校外的濕地公園有一形狀為半圓形的荷花池.如圖所示，為了提升荷花池的觀賞性，現(xiàn)計劃在池塘的中軸線OC上設(shè)計一個觀景臺D(點D與點O，C不重合)，其中