2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第3講：函數(shù)應(yīng)用（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第3講：函數(shù)應(yīng)用

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

x2-l,x≥0,

1.（5分）（2022春?如皋市期中）已知函數(shù)f（χ）［?若/(/(〃))=-1,

X<Cθ,

.X

則a—()

A.1或-1B.1或0C.1或-1或0D.-1或0

2a

X-ax÷^?,x:≥l

2.（5分）（2022春?安徽期中）若函數(shù)f（x）=，在R上單調(diào)遞增，則

(2a+2)χ-5,x<1

實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

-b

?-(l>?)?(-1.?]C.(-1,2]D.(-I,2)

DD

(9

x?x+lX41,若函數(shù)g(χ)

3.（5分）（2022?南開區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（X）=

,2X2-8X+10x>1

=∕（x）+1X-II-。恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是（）

A.∪(4,+8)B?普,4)

C.-KDO)D.(1,+co)

2?θ

4.（5分）（2022?南京三模）已知/（x）=<',若Vx21,f(x+2w)+ιnf(x)

-X2?x<0

>0,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A.(-1,+∞)B.(-?,+8)C.(0,+∞)D.(-?,1)

42

》。

2X-1+21-X.2IX

5.（5分）（2022?江西二模）已知函數(shù)/（x）,f(??)=/(X2)

IIog4(-χ)I,x<0

—f（X3）—f（X4）,且X1<X2<X3<X4,則Xl+X2+X3+X4的最小值是（）

A.-2B.3C.-1d

1^?4

χ-2,x≤m

6.（5分）（2022?鄭州二模）若函數(shù)f（X）=?是定義在R上的增函數(shù)，則

x2-2x,x>m

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（)

A.(-∞,1]U{2}B.{1}U[2,+∞)C.(-8,1]D.[2,+∞)

第1頁（共35頁）

J?*-?,x>θ.若小)=_],則實(shí)數(shù)

7.(5分)(2022?朝陽區(qū)一模)已知函數(shù)f(

-2x,X<C0.

加的值為()

A.-2B.?C.1D.2

2

f

4x<4

8.(5分)(2022?惠州一模)已知/(x)=.,則當(dāng)QO時(shí)，/(2x)

(χ-16)2-143,X>4

與/(x2)的大小關(guān)系是()

A./(2x)≤∕(x2)B.f(2x)K(√)

C./(2v)=∕(x2)D.不確定

log?5x,x>0,

9.(5分)(2021秋?成都期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=<∣-χ若對任意給定的∕n∈

———,X<C0.

22,

(0,2),都存在唯一的非零實(shí)數(shù)Xo滿足f(f(χfp)=-2am+am則正實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.(0,?]B.(0,?)C.(0,2]D.(0,2)

10.(5分)(2021秋?聊城期末)已知函數(shù)/(x)=,-x2+2mχ-m2,x<m,若/(『一幻

Iχ-mI>x>m

>∕(3α),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,4)B.(-∞,-1)U(4,+∞)

C.(-4,1)D.(-∞,-4)U(1,+∞)

二.多選題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

'I臚-1IV<1

(多選)11.(5分)(2022?莆田模擬)已知函數(shù)f(χ)={∣1,,函數(shù)g

-4X2+16X-13,X≥1

(x)=∕(x)-a,則下列結(jié)論正確的是()

A.若g(X)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是[1,2)

B.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是(0,1)

C.若g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI，X2,XJ,X4(xi<X2<X3<X4),則X3+X4=4

D.若g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI，XI,X3，X4(X1<X2<X3<X4),則X3X4的取值范圍是

第2頁(共35頁)

/137、

（:E）

（多選）12.（5分）（2021秋?南崗區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f（χ）=∣∣2x^1I'x42,集

-χ+5>X>2

合M={x∣∕2（X）+2f（x）+?=0,kER],則下列命題正確的是（）

A.當(dāng)左=O時(shí)，M={0,5,7}

B.當(dāng)時(shí)，M=0

C.若Λ∕={α,b,c},則k的取值范圍為（-15,-3）

D.若M={α,b,c,d}（其中α<6Vc<d）,貝∣J2"+2"+c+d=14

（多選）13.（5分）（2021秋?薛城區(qū)期中）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，

（1,X為有理數(shù)

是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)/G）=',稱為狄利克雷

I。，X為無理數(shù)

函數(shù)，則關(guān)于/（X）下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的值域是[0,1]

B.Vx∈R,f（/（?））=1

C.f（x+2）=∕（x）對任意x∈R恒成立

D.存在三個(gè)點(diǎn)4Gi,fQxι））,B（x2./（x2））,C（X3,/（x3））,使得44BC為等腰直

角三角形

（多選）14.（5分）（2021秋?連城縣校級月考）對于實(shí)數(shù)X,符號田表示不超過X的最大

整數(shù)，例如[ττ]=3,[2.5]=2,[-1.4]=-2,定義函數(shù)/（x）=X-IXl,則下列命題中正

確的是（）

A.f（-3.9）=/（4.1）

B.函數(shù)/（x）的最大值是1

C.函數(shù)/（x）的最小值是O

D.方程f（χ）1=O沒有實(shí)數(shù)根

‘9xT+91-X一2χ30

（多選）15.（5分）（2021?浙江模擬）已知函數(shù)/G）=（//'"U,若/（%]）

IIn（-X）I,x<O

=/（X2）=/（X3）=/（X4）,且XlVX2Vx3Vχ4,貝IJ（）

A.X3÷X4=2

B.x1x2=1

第3頁（共35頁）

??

-2

C.-a2:≤x]<-1≤x2≤e

?J_

D?2^e2-e2<X]+X2+X3+X4<°

三.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

16.(5分)(2022?東城區(qū)一模)已知函數(shù)f(χ)=∣e'+'若k=0,則不等式

kx2-χ+l,x<0.

f(x)<2的解集為；若/G)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則上的取值范圍為.

17.(5分)(2022?昌樂縣校級模擬)設(shè)函數(shù)f(X)=:x<θ>已知χ∣<χ2,且一知)

—f(x2),若工2-Xi的最小值為e,則a的值為_______.

18.(5分)(2021秋?松江區(qū)期末)已知函數(shù)/(x)=JXTx<0,若對任意的xι6[2,

[Iχ-aIx≥0

+8),都存在χ2e[-2,-1],使得f(xι)?∕(x2)>α,則實(shí)數(shù)α的取值范圍為.

lθgr,X>x>0,

19.(5分)(2021秋?徐匯區(qū)期末)已知函數(shù)f(χ)=]2設(shè)集合Z={(0,

,∣2x+l∣>x≤0?

ft)∣tz≤-1,且〃WbW加，m,A7∈R},若對任意的(4,b)￡4,總有α?∕(b)-b-3a^

0成立，則m-n的最大值為.

'Ilog9x+lI,x>0

20.(5分)(2021春?天津期末)已知函數(shù)f(x)Y乙,若存在互不相

-x2-2x÷l,x≤0

等的實(shí)數(shù)a,b,c,d,使得/(Q)=∕(b)=∕(c)=八d),則a+b+c+d的取值范圍是.

四.解答題(共5小題，滿分50分，每小題10分)

-X(x+4),

21.(10分)(2021秋?友好區(qū)校級期中)已知/(4)=<

x,x〉0

(1)求/(/(-1))；

(2)若/(α)=12,求。的值；

(3)若其圖像與y=b有三個(gè)交點(diǎn)，求6的取值范圍.

22.(10分)(2021?河北區(qū)學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/(x)=J×2-4x+6-3

X+6,x<0

(I)求函數(shù)y=∕'(x)的零點(diǎn);

第4頁(共35頁)

(ID求不等式/(χ)>∕(1)的解集.

R-X2+2X,x>0

23.(10分)(2021秋?香坊區(qū)校級月考)已知函數(shù)/G)=，0,X=O是奇函數(shù).

2

ιx?ιx.x<0

(1)求實(shí)數(shù)，"的值；

(2)解不等式/(x)>∣χ-2|.

'f(Y)X或3

24.(10分)(2021春?賀蘭縣校級期末)已知/(x)=∣χ-1∣+1,F(X)U

12-3x,X>3

(1)解不等式/(x)≤2Λ-+3;

(2)若方程F(X)="有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

25.(10分)(2022春?天心區(qū)校級期中)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，/(0)=0,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=X2+4X.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求/(x)在區(qū)間［-6,詞上的值域.

第5頁(共35頁)

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第3講：函數(shù)應(yīng)用

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題，滿分50分，每小題5分)

X2~1JX≥0,

1.(5分)(2022春?如皋市期中)已知函數(shù)f(χ)U1若/(/(α))=-1,

―,x<0,

IX

貝(ja=()

A.1或-1B.1或0C.1或-1或0D,-1或0

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，按。的取值范圍分3種情況討論/(/(〃))=-1的解，求出。的值,

綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)QVO時(shí)，/'(。)=-l?<0,f(/(tz))=；=Q=-1,解可得

a?

a

a=-1；

當(dāng)OWQVl時(shí)，f(a)=a2-KO,fQf(〃))=―--=-1,解可得Q=0,

a2-l

當(dāng)時(shí)，f(Q)=CT-120,/(/(〃))=(α2-1)2-1=-1,解可得Q=I;

綜合可得：Q=I或-1或0,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

2心a-?

2.(5分)(2022春?安徽期中)若函數(shù)f(χ)=(*-ax+q'X在R上單調(diào)遞增，則

(2a+2)x^5,x<1

實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-1,?)B.(-1,?]C.(-1,2]D.(-1,2)

55

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式求解.

第6頁(共35頁)

??1

【解答】解：由題意＜2a+2>0,解得

5

l^^^^2a^?3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

(O

x?x+lx≤1

3.(5分)(2022?南開區(qū)校級模擬)已知函數(shù)f(χ)=若函數(shù)g(X)

.2X2-8X+10x>1

=/(x)+∣x-l∣-α恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】今g(X)=0得∕?(X)—f(x)+∣x-l∣=”,作出〃(x)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷y

=h(X)與y=α圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)。的范圍即可.

【解答】解：g(X)=0=>χ,(X)+∣x-1|-α=0≠√^(X)+∣x-??=a,

令h(x)=/(x)+?x-1|,

m/，、［X2+2X+1-X+1,X≤1fχ2+x+2,X≤1

則h(x)R.。,

2x-Sx+10+x-l,x>l2x-7x+9,x>l

作出h(X)的圖象：

第7頁(共35頁)

如圖(x)與歹=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，孕)

a∈(?,(J(4,+8).

48

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.(5分)(2022?南京三模)已知/(x)=4',若Vx21,f(x+2w)+mf(x)

-X2,x<0

>0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-1,+8)B.(-?,+8)C.(0.+∞)D.(-?,1)

42

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分和機(jī)<0進(jìn)行分類討論，分別確定W的取值范圍，最后綜合得答案.

【解答】解:①20時(shí)，/'(x+2m)+mf(x)=(x÷2∕w)2+mx2>0,符合題意；

加〈0時(shí)，fCx+2m)+mf(x)>0,

即f(x+2m)〉-mf(x)=f(V^mx),

顯然/(x)在R上遞增，則x+2m>4^ιχX寸Vx21恒成立，

(1-V^in)x÷2m≥0,對Vx21恒成立，

Rnlfl-√-m>O

則：?I-、≠-4<m<0?

Il-V-m+2m>04

練上，m∈(-?,+∞>

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.

2X^1+21^X-2,X>0

5.(5分)(2022?江西二模)已知函數(shù)/G)=.,f(XI)=f(X2)

IIog4(-x)I,x<O

=f(X3)=/(X4)，且XlVx2Vx3Vx4,則Xl+x2+x3+x4的最小值是()

A.-2B.衛(wèi)C.-1D.」

22

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；整體思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)g(X)=2、+2、，判斷出g(X)是偶函數(shù)，結(jié)合圖象平移規(guī)律得出/?)的

圖象，結(jié)合圖象和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.

第8頁(共35頁)

【解答】解：設(shè)g（X）=2?2-Λ因?yàn)間（-X）=g（X）,所以g（X）是偶函數(shù)，

g（0）=0,g（χ）=2X+2f-2>2√F^-2=0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立），故g

（X）是偶函數(shù)，且最小值為0,

函數(shù)y=2xr+2∣r-2可以由函數(shù)y=2x+2'-2的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到，

函數(shù)/（x）的圖象如圖所示：

則X3+X4=2,且f(χ)《f(O)力，

°Z

因?yàn)?(XI)=f(X2)，所以lθg4(-XI)=TOg4(-X2)，

所以lθg4(-XI)+lθg4(-X2)=0，即(-Xl)(-X2)=1，

因?yàn)?1叫(-乂2)K/'即"g4(-X2)>^?'所以χ2E(j4]'所以

1

x1÷x2=-÷x2-

--,

又因?yàn)閔(t)=t+Lt∈(-1,-?]1任取t[，t2∈(i,4^1且"四,

tt

rmι./、，/、11/、2^l_(t1-t2)

>?(t1)-h(t2)=t1÷^-t2-=(t1-t2)÷τ-^=R

因?yàn)閠?-∕2<0,t?t2-KO-

所以∕ι(tι)-h(fe)>0,即〃(力)>h(/2).

所以y=h（t）=tJ"在（-1,-'］上單調(diào)遞減，

所以X1+x

所以xι+x2+x3+x4的最小值是-?.

2

第9頁（共35頁）

r2

6.（5分）（2022?鄭州二模）若函數(shù)f（χ）=1;'Xm是定義在R上的增函數(shù)，則

X2-2X,x>m

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-8,1]U{2}B.{1}U[2,+8）C.（-∞,1]D.[2,+∞）

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】畫出函數(shù)y=x-2與y=x2-2%的圖象，利用分段函數(shù)的單調(diào)性，判斷的范

圍即可.

【解答】解：函數(shù)V=X-2與y=χ2-2x的圖象如圖：由圖象可知m=1時(shí)，函數(shù)

χ-2,x≤m

f（x）≈是定義在R上的增函數(shù)，

X2-2X,x>m

χ-2,x≤m

當(dāng)機(jī)》2時(shí)，函數(shù)f（χ）=∣是定義在R上的增函數(shù)，

X2-2X,x〉m

實(shí)數(shù)加的取值范圍是{1}U[2,+8）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及分析問題解決問題的能

力，是中檔題.

7.（5分）（2022?朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f（χ）=[2x-3'X》。，若/（加）=-1,則實(shí)數(shù)

-2x,x<C0.

第10頁（共35頁）

m的值為()

A.-2B.?C.1D.2

2

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得［&*"或］πi<°,由此計(jì)算可得答案.

2JR-3=-11-2m=-l

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(χ)=［2*-3'x≥0'

-2x,x<C0.

若/(機(jī))=-1,則有或，m<0,

m

ι2-3=-ll-2m=-l

解可得"7=1；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.(5分)(2022?惠州一模)已知/(x)=，e，X、,則當(dāng)XNO時(shí)，/QX)

(χ-16)2-143,X>4

與f(χ2)的大小關(guān)系是()

A./(2x)≤∕(x2)B./⑵)珂(W)

C.f(2Λ`)=∕(χ2)D.不確定

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)條件先判斷2、與X2的大小關(guān)系，然后利用分段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可.

【解答】解：當(dāng)x20時(shí)，由2jc=χ2,得χ=2或χ=4,

當(dāng)04W2時(shí)，422，一20,此時(shí)/(x)在(-8,4］上為增函數(shù)，則/(2jc)

當(dāng)2<x<4時(shí)，4<2JC<X2<16,

當(dāng)4<χV16時(shí)，/(x)為減函數(shù)，則/(2D>∕(x2),

當(dāng)x24時(shí)，2后，》16,此時(shí)/(x)為增函數(shù),則/(2jc)?∕(χ2),

綜上/(2、)2/(，)，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，先比較2、

第11頁(共35頁)

和χ2的大小關(guān)系，然后利用函數(shù)/(χ)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小是解決本題的關(guān)鍵，是中

檔題.

TOgo×>x>0，

9.(5分)(2021秋?成都期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=∣Jv,5若對任意給定的“正

—,x<0.

22,

(0,2),都存在唯一的非零實(shí)數(shù)3滿足f(f(χcι))=-2am+aιπ則正實(shí)數(shù)”的取值

范圍為()

A.(0,?]B.(0,?)C.(0,2]D.(0,2)

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【分析】作出函數(shù)/(X)的圖象，結(jié)合/(X)的值域范圍，可知"?。-2混°22.1,ae(0,

+8),且We(0,2),進(jìn)一步求解正實(shí)數(shù)”的取值范圍.

Iog05×,x>0Γ-log2x,x>0

【解答】解：f(X)

—,x<0?-l,x<0

XX

作出函數(shù)/G)的圖象如圖:

由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)镽,

要使對任意給定的加6(0,2),

22

都存在唯一的非零實(shí)數(shù)X。滿足f(f(xo))=-2am+am>

則/(f(xo))>-I,O<∕(xo)≤2,可得JL≤XO<1.

4

[?”74-2加],tz∈(0,+o°),且加∈(0,2),

不等式等價(jià)為2ιnλaλ-ma-1≤0,

即(ma-1)(2ma+l)≤0,

*/2mα+l>0,

二不等式等價(jià)為ma-l≤0,即a≤A,

m

Vw∈(0,2),.?.A∈(?,+8),Bpα<A,

m2個(gè)2

.?.正實(shí)數(shù)“的取值范圍為(0,?].

2

故選：A.

第12頁(共35頁)

【點(diǎn)評】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)

鍵，難度較大.

-x2+2mχ-m2,x≤∏ι?∕,(2-4)

10.（5分）（2021秋?聊城期末）已知函數(shù)/（x）=,β

Iχ-mI*x>m

>∕(3(z),則實(shí)數(shù)α的取值范圍是（）

A.(-1,4)B.(-8,-1)u(4,+∞)

C.(-4,1)D.(-8,-4)U(1,+8)

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】分類討論；分類法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知可知/（x）單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性即可求解不等式.

-x2+2mχ-m2,x≤m

【解答】解：由分段函數(shù)的性質(zhì)，可知/（x）=J

Iχ-mI,X>m

當(dāng)XW加時(shí)，/'(x)=-x2+2mx-“J開口向下,

對稱軸x=m,故此時(shí)/（x）遞增，且/（，”）=0,

當(dāng)x>"?時(shí)，/(x)=X-遞增，且/(m)=0,

故/（x）在R上單調(diào)遞增,

若/(J-4)>/(3α),則42-4>30,

解得α>4或“<-1,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,-DU（4,+∞）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于基礎(chǔ)試題.

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

第13頁（共35頁）

IRX-II<1

(多選)11.(5分)(2022?莆田模擬)已知函數(shù)f(χ)=12?1>x1,函數(shù)g

-4X2+16X-13,X≥1

(x)=∕(x)-a,則下列結(jié)論正確的是()

A.若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則”的取值范圍是［1,2)

B.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則α的取值范圍是(0,1)

C.若g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI,X2,X3，X4(XlVX2<X3<X4),則X3+X4=4

D.若g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)XI,X2>X3>X4(xi<X2<X3<X4),則X3X4的取值范圍是

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=∕(x)與y=α圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而數(shù)形

結(jié)合求解即可得答案.

【解答】解：令g(x)=/(x)-α=0,得/(x)=a,

即所以g(X)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=/(x)與y=4圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

作出函數(shù)N=/(x)圖像如圖，

g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是(0,1),故8選項(xiàng)正確;

第14頁(共35頁)

g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)xi，X2,R3,X4(X1<X2<X3<X4)?

此時(shí)X3，X4關(guān)于直線X=2對稱，所以13+X4=4,故C選項(xiàng)正確；

由C選項(xiàng)可知X3=4-X4,所以*3X4=(4-X4)X4=-xj+4x1

由于g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，。的取值范圍是(O,1),

故0<-4X>16X4-13<L

所以迫<_乂2+4(二故。選項(xiàng)正確.

4Λ442

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

(多選)12.(5分)(2021秋?南崗區(qū)校級期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=[2'-lI'x≤2,集

-x+5,X>2

合M={x∣∕2QX)+2f(x)+?=0,A∈R},則下列命題正確的是()

A.當(dāng)％=0時(shí)，M={0,5,7}

B.當(dāng)4>1時(shí)，M=0

C.若M={α,b,c},則k的取值范圍為(-15,-3)

D.若M={α,b,c,d}(其中αV6Vc<d),貝∣J2"+2'+c+d=14

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：邏輯推理.

【分析】令f=∕(x),則方程y2(x)+2∕r(x)+Ar=O轉(zhuǎn)化為於+2什左=0(*),求出方程(*)

的兩個(gè)根，從而求出f(x)=O或f(x)=-2,求解即可判斷選項(xiàng)/,當(dāng)時(shí)，方程

(*)的判別式A=4-4A<0,即可判斷選項(xiàng)8,分類討論，分別研究方程(*)根的情

況，結(jié)合二次方程根的分布以及函數(shù)的圖象分析求解，即可判斷選項(xiàng)C,由題意，得到

方程(*)的兩個(gè)根fι<-1且四6(0,1)且/(d)=fι,/(α)=/(?)=f(c)=及，

所以/(d)=-d+5=t?,1-2a=2b-1=-C+5=∕2-求解即可判斷選項(xiàng)D

【解答】解：令f=∕(x),則方程/(X)+2∕,(x)+?=0,即P+2f+左=O(*),

對于當(dāng)氏=O時(shí)，方程(*)的兩個(gè)根為八=0,f2=-2,

則/(x)=O或(〉)--2,

解得x=0或X=5或x=7,

所以Λ∕={0,5,7},

故選項(xiàng)/正確；

第15頁(共35頁)

對于8,當(dāng)4>1時(shí)，方程(*)的判別式A=4-4∕<0,

故方程(*)無解，

所以M=0,

故選項(xiàng)8正確；

對于C,若方程(*)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為fι=f2=-l,

結(jié)合圖象可知，/(x)=-1僅有一解，不符合Λ∕={tz,b,c}；

若M={α,b,c},則方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)其為f?,攵且fl<f2,

1+t^=-2<0

則I?12,

Ltlt2=k

從而力，/2不可能均為正數(shù)，且恒有力<-1，

若M有三個(gè)元素，則還需∕2∈[1,3)或/2=0,

令ZZ(E)=A+2Z+%,

則[h(3)=15+k>0,解得-15<反-3或QO,

[h(l)=3+k<0

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于。，若Λf={α,b,C,d},即方程(*)的兩個(gè)根八V-1且/26(0,1)且f(d)=

t?,f(a)=f(b)=f(C)=t2,

所以/(d)=-d+5=t?,1-2a=2b-1=-C+5=∕2,

故2。+2〃=2,

又t↑+t2-(-d+5)+(-c+5)--2,

所以c+d=12,

則2a+2b+c+d=14,

故選項(xiàng)O正確.

故選：ABD.

第16頁(共35頁)

【點(diǎn)評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分段函數(shù)的理

解與應(yīng)用，集合的表示方法的應(yīng)用，對于分段函數(shù)問題，一般運(yùn)用分類討論或是數(shù)形結(jié)

合法進(jìn)行研究，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(多選)13.(5分)(2021秋?薛城區(qū)期中)德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,

為有理數(shù)

是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)/(x)=(1,'X,及，稱為狄利克雷

[O,X為無理數(shù)

函數(shù)，則關(guān)于/(X)下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的值域是[0,1]

B.VxCR,fCf(x))=1

C.f(x+2)=∕(x)對任意x∈R恒成立

D.存在三個(gè)點(diǎn)/1(xi,f(xi)),B(X2，f(X2)),C(X3,f(X3)),使得C為等腰直

角三角形

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】直接求得函數(shù)的值域判斷/；對X分類討論判斷8與C；假設(shè)存在三個(gè)點(diǎn)/,B,

C,使得BC為等腰直角三角形，利用反證法思想推出矛盾判斷D?

【解答】解：對于/,函數(shù)的值域?yàn)閧0,1},可知4錯(cuò)誤；

對于8,當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，/(x)=l,∕(∕(x))=f(x)=1,

當(dāng)X為無理數(shù)時(shí)，f(x)=0,f(/(x))—f(X)=1,

Λ?x∈R,/(/(x))=1,故8正確；

對于C,當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，x+2為有理數(shù)，/(x+2)=∕(x)=1,

當(dāng)X為無理數(shù)時(shí)，x+2為無理數(shù)，/(r÷2)=∕(x)=0,

：.f(x+2)=/(x)對任意XeR恒成立，故C正確；

對于。，若448C為等腰直角三角形，不妨設(shè)8為直角，

則/(xι),/(X2),/(X3)的取值的可能性為：/(xι)=0,/(X2)=1,/(X3)=0，

或/(xι)=1,∕(X2)=0,/(X3)=1，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∣X2-刈=1，

Λ/(XI)=/(X2)>這與/(xi)≠f(X2)矛盾，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查數(shù)學(xué)知識的遷移與應(yīng)用能力，正確理解題意

是關(guān)鍵，是中檔題.

第17頁(共35頁)

(多選)14.(5分)(2021秋?連城縣校級月考)對于實(shí)數(shù)X,符號國表示不超過X的最大

整數(shù)，例如IXl=3,[2.5]=2,[-1.4]=-2,定義函數(shù)/(x)=X-IXl,則下列命題中正

確的是()

A./(-3.9)=/(4.1)

B.函數(shù)/(x)的最大值是1

C.函數(shù)/(x)的最小值是0

D.方程f(χ)1=0沒有實(shí)數(shù)根

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)/(x)=X-[X]的簡圖，由此分析選項(xiàng)，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，作出函數(shù)圖像：

由此依次分析選項(xiàng)：

對于4f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,/(4.1)=4.1-4=0.1,故有-3.9)=/

(4.1),N正確：

對于8,由圖可知，函數(shù)/(x)沒有最大值，故8錯(cuò)誤；

對于C,函數(shù)/(x)的最小值是0,C正確；

對于O,函數(shù)f(x)的圖象每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，所以方程g(X)=∕?(x)-上有無

2

數(shù)個(gè)根，

即函數(shù)g(χ)的圖像與X軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故。錯(cuò)誤；

【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是作出/(x)=X-團(tuán)的簡圖，屬于基

第18頁(共35頁)

礎(chǔ)題.

(多選)15.(5分)(2021?浙江模擬)已知函數(shù)[(x)=12X1+21x^2'x)°,若/(χι)

IIn(-X)I