上海交通大學(xué)致遠(yuǎn)學(xué)院 2014年春季學(xué)期

上海交通大學(xué)致遠(yuǎn)學(xué)院2014年春季學(xué)期《抽象代數(shù)》課程教學(xué)說明課程基本信息開課學(xué)院（系）：致遠(yuǎn)學(xué)院課程名稱：《抽象代數(shù)》(AbstractAlgebra)學(xué)時/學(xué)分：64學(xué)時/4學(xué)分先修課程：數(shù)學(xué)分析、空間解析幾何、高等代數(shù)、初等數(shù)論上課時間：周3周5第1、2節(jié)上課地點：中院205任課教師：章璞pzhang@辦公室及電話：數(shù)學(xué)樓1203助教：邢長賈xing_changjia@Officehour：周4周5下午2:00-4:00數(shù)學(xué)樓1203課程主要內(nèi)容和教學(xué)進(jìn)度安排課程性質(zhì)：抽象代數(shù)是高等學(xué)校數(shù)學(xué)類各專業(yè)的必修課。它是研究群、環(huán)、域這三種基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)的一門課程。主要內(nèi)容包括群的基本結(jié)構(gòu)理論、群在集合上的作用及其應(yīng)用、環(huán)的基本結(jié)構(gòu)和因子分解理論、中國剩余定理、域的擴(kuò)張理論、有限域及其應(yīng)用、Galois理論及其應(yīng)用。教學(xué)目標(biāo)：要使學(xué)生掌握抽象代數(shù)基本的理論與方法，注意結(jié)合具體的例子來理解抽象代數(shù)中的數(shù)學(xué)概念、思想和思維方法，使學(xué)生的抽象思維能力得到系統(tǒng)的訓(xùn)練和提高，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其它學(xué)科奠定堅實的代數(shù)基礎(chǔ)。第1章群論（30學(xué)時）1.0課程簡介（0.5學(xué)時）課程名稱；歷史演變與研究對象：數(shù)數(shù)－算術(shù)－代數(shù)－結(jié)構(gòu)－作用基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)：群、環(huán)、域特點與重要性：從三方面講：理論、應(yīng)用、思維的訓(xùn)練要求與學(xué)習(xí)提示：概念清楚、意義明確、理解準(zhǔn)確、邏輯嚴(yán)密強(qiáng)調(diào)例子對于理解和發(fā)展的重要性掌握standardarguments思考、比較、聯(lián)系；多想、多練.1.1對稱性與群概念的引入（0.5學(xué)時）美（beauty）的基本要素：對稱性怎樣數(shù)學(xué)地描述現(xiàn)實世界中對稱性？：圖形M的對稱性理解為集合M的保距（一一）變換；從而這種變換的集合連同變換的合成（即M的對稱群）體現(xiàn)了圖形M有“多少”對稱性；用圓的對稱群和正多邊形的對稱群作比較;引出群的觀念.1.2群的定義與例子（2學(xué)時）什么是群（強(qiáng)調(diào)4條）；簡單性質(zhì)（單位元與逆元的唯一性；左、右消去律；穿脫原理）；舉例：數(shù)群、GL(n,C),O(n,R),U(n,C),SL(n,Z)（對求逆封閉）,集合的變換群（乘法是什么），剩余類加群（第1次遇到“定義合理性”問題）；稍進(jìn)一步的性質(zhì)（單邊定義；除法定義；有限半群成群的充要條件）；有限群的群表;群同態(tài)、群同構(gòu)及其意義；舉例（如：行列式映射，指數(shù)函數(shù)）；自同構(gòu)群；舉例：有理數(shù)加群的自同構(gòu)群.1.3子群與Lagrange定理（2學(xué)時）子群的定義；單位元與逆元的一致性；子群的判定；子群的例子:SL(n,C)<GL(n,C),SO(n,R)<O(n,R),SU(n,C)<U(n,C);子群的構(gòu)造:交，積成為子群的條件；集合上的關(guān)系；等價關(guān)系與劃分；等價類；舉例；左陪集分解和Lagrange定理(右陪集分解和Lagrange定理；由此得到子群的指數(shù)的意義；左陪集分解和右陪集分解的一種對應(yīng)）難點：（左）陪集分解的一個完全代表元系Lagrange定理的應(yīng)用舉例：包括元素的階及計算；兩子群積集的計數(shù)公式.1.4循環(huán)群（1學(xué)時）固定階循環(huán)群在同構(gòu)意義下的唯一性；有限循環(huán)群的固定階子群在通常意義下的唯一性；循環(huán)群的生成元和自同構(gòu)群.1.5共軛關(guān)系（1學(xué)時）中心、中心化子、共軛元的個數(shù)；類方程及其應(yīng)用：p-群有非平凡的中心；p平方階群是Abel群.正規(guī)化子、共軛子群的個數(shù)。1.6正規(guī)子群、商群、群同態(tài)基本定理（3學(xué)時）正規(guī)子群的定義與例子；商群的構(gòu)造；為什么要商群？同態(tài)基本定理：表述、意義、證明和應(yīng)用（子群對應(yīng)定理和兩個同構(gòu)定理）；應(yīng)用舉例：內(nèi)自同構(gòu)群同構(gòu)于G/Z(G).1.7置換群（3學(xué)時）變換群的重要性；Cayley定理；S_n中元素的表達(dá)、奇偶性、階；對稱群與交錯群的生成系置換的型；共軛類的劃分；有限單群；A_n（n>4）的單性；舉例：S_n的正規(guī)子群；S_4/K_4同構(gòu)于S_3.1.8群在集合上的作用（2學(xué)時）群作用的思想；兩種定義的等價性；作用的核；三種典型的作用及其核：（左）正則作用；（左）誘導(dǎo)作用；共軛作用；軌道公式；舉例；正多面體的旋轉(zhuǎn)群和對稱群；提及：Klein關(guān)于幾何學(xué)的Erlangen綱領(lǐng)：（歐氏、仿射、射影等）幾何學(xué)與（相應(yīng)地，正交變換、仿射變換、射影變換等）群作用下的不變性.1.9Burnside引理在計數(shù)中的應(yīng)用（2學(xué)時）Burnside引理；項鏈問題1.10Sylow定理（3學(xué)時）有限群SylowI,II,III的表述與部分證明（作為群作用的應(yīng)用）;舉例：利用Sylow定理判斷有限群的非單性；確定階數(shù)最小的單的非Abel群，即A_5其他例子.1.11群的直積（2學(xué)時）外直積與內(nèi)直積的統(tǒng)一；直積的等價刻畫;當(dāng)(n,m)=1時，Z_nXZ_m=Z_{nm};舉例.1.12群的生成元與定義關(guān)系（2學(xué)時）自由群的概念；自由群的商群可表達(dá)任一群；并由此導(dǎo)出用生成元和定義關(guān)系表達(dá)群；舉例：二面體群生成元和定義關(guān)系；四元數(shù)群的生成元和定義關(guān)系;有限生成自由Abel群的秩.1.13有限生成Abel群（2學(xué)時）歸結(jié)為有限生成自由Abel群（秩）與有限Abel群；有限Abel群與數(shù)的劃分的關(guān)系；會用初等因子和不變因子對有限Abel群分類；舉例：求互不同構(gòu)的1500階Abel群；有限Abel群的Lagrange定理之逆成立.1.14小階群的結(jié)構(gòu)（2學(xué)時）2p階非Abel群；8階和12階非Abel群；確定1至15階群（列表）.1.15可解群（2學(xué)時）換位子群與商群的可換性之間的關(guān)系;可解群的定義和基本性質(zhì)；舉例：S_n,A_n,D_n;p-群；pq階群可解群的等價刻畫.課外找時間期中考試試卷點評（1學(xué)時）第2章環(huán)論（12學(xué)時）2.1環(huán)的基本概念（2學(xué)時）定義；簡單性質(zhì)；舉例（數(shù)環(huán)、剩余類環(huán)、矩陣環(huán)、加群的自同態(tài)環(huán)、群環(huán)、四元數(shù)體）2.2環(huán)同態(tài)基本定理（2學(xué)時）理想的構(gòu)造；舉例：域上全矩陣環(huán)是單環(huán)；商環(huán)的構(gòu)造；環(huán)同態(tài)基本定理的意義（強(qiáng)調(diào)與群論的平行和區(qū)別）；舉例.2.3同態(tài)基本定理的應(yīng)用（1學(xué)時）無零因子環(huán)的特征；商域.2.4中國剩余定理在“秘密共享”中的應(yīng)用（1學(xué)時）2.5唯一因子分解整環(huán)（2學(xué)時）不可約元與素元；非UFD的例子；因子分解理論；UFD的三個等價刻畫.2.6主理想整環(huán)和Euclid整環(huán)（3學(xué)時）UFD,PID,ED三者之間的關(guān)系；PID中的極大理想和素理想.2.7多項式環(huán)（1學(xué)時）簡略回顧及推廣高等代數(shù)中多項式部分（包括Eisenstein不可約性判別法）;Gauss定理：UFD上的多項式環(huán)仍是UFD；域上多元多項式環(huán)不是主理想整環(huán).第3章域論（11學(xué)時）3.1域的擴(kuò)張（3學(xué)時）素域、域擴(kuò)張的方法（歸結(jié)為單擴(kuò)域）；單擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)；舉例；有限擴(kuò)域與代數(shù)擴(kuò)域及其關(guān)系.3.2分裂域（2學(xué)時）意義、存在與唯一性；同構(gòu)延拓定理；Galois群的階.3.3有限域（4學(xué)時）結(jié)構(gòu)定理；具體構(gòu)造；不可約多項式；提及：Wedderburn定理（有限體是域，不作證明）；舉例：有限域上的一般線性群和特殊線性群.3.4可分?jǐn)U域和正規(guī)擴(kuò)域（2學(xué)時）可分性；正規(guī)擴(kuò)域與分裂域;有限Galois擴(kuò)域.第4章Galois理論（8學(xué)時）4.1Galois理論的基本定理（2學(xué)時）群和域的反序?qū)?yīng)關(guān)系；舉例.4.2代數(shù)方程的Galois群（2學(xué)時）作為根集的（可遷）置換群；其它算法舉例.4.3代數(shù)方程的根式可解性（2學(xué)時）根式可解的含義；Galois’GreatTheorem（利用上述基本定理怎樣將代數(shù)方程的根式可解性歸結(jié)為其Galois群的可解性）4.4尺規(guī)作圖問題（1學(xué)時）課程總結(jié)及再舉例（2學(xué)時）課程教學(xué)方法本課程以課堂教學(xué)為主，結(jié)合自學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的能力、抽象思維和推理的能力、從抽象到具體的能力、以及嚴(yán)謹(jǐn)表述和正確計算的能力。在本課程的教學(xué)中適當(dāng)安排課堂討論，包括讓學(xué)生上臺講自己對概念和定理的表述和理解并加以點評。通過這樣的活動提高學(xué)生的清晰思考和用語言文字準(zhǔn)確表達(dá)的能力、發(fā)現(xiàn)分析和解決問題的能力。每節(jié)課的課堂教學(xué)大致有如下部分組成：1．回顧要用到的已學(xué)的要點（一般不超過3分鐘）2以問題的方式提出本次課要討論和解決的主要問題（一般不超過3分鐘）主要的推理和講解；注意具體例子4總結(jié)部分（包括布置作業(yè)合課外思考。一般不超過3分鐘）5詢問、解答疑難和開展討論部分（一般為5分鐘左右）。特別的課堂討論另外安排時間。課程考核方式及說明最終成績由平時作業(yè)、大作業(yè)、讀書報告與小論文、期中與期未考試成績組合而成。各部分所占比例如下：平時作業(yè)8%。主要考核對知識點的掌握程度。由于目前助教對于平時作業(yè)情況記錄的區(qū)分度不太明顯，根據(jù)以往的經(jīng)驗此部分不宜太高。大致區(qū)分度為：每次作業(yè)都認(rèn)真獨立完成且基本正確得7-8分；作業(yè)根本不做且不上課為零分；作業(yè)交不到一半次數(shù)且潦草質(zhì)量差得1-3分；介于中間者為4-6分。大作業(yè)、讀書報告與小論文：6%。由于這是一門基礎(chǔ)課程，這部分比例不宜大。這部分雖小，但對于要取得榮譽(yù)的同學(xué)是要通過這關(guān)才能實現(xiàn)。根據(jù)以往的經(jīng)驗通常只有學(xué)得較好、并且富有創(chuàng)新精神的同學(xué)才有時間和能力完成。大作業(yè)基本內(nèi)容為：例如，18階和20階群的分類；455階群的分類；Burnside引理在開關(guān)線路問題、正多面體的著色問題、分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)等中的應(yīng)用舉例；有限域在編碼中的應(yīng)用等等。讀書報告有更廣泛的題材：可以是與本課程相關(guān)的內(nèi)容，同學(xué)通過閱讀和思考，將所讀內(nèi)容整理成文并有自己的理解。例如，將Wedderburn