黑龍江省大慶高中高三10月月考數(shù)學(xué)（文）試題

20202021學(xué)年上學(xué)期第一次月考高三文科數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1.設(shè)集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A∪B=（）A.{1，2，3，4} B.{2，3} C.{2，3，4} D.{1，3，4}【答案】A【解析】分析】根據(jù)并集的定義直接進(jìn)行運(yùn)算即可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集及其運(yùn)算，熟練掌握并集的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限，故選D.3.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】分析：討論函數(shù)性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)椋壹春瘮?shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.4.已知平面向量若則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可以求出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，解得．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，以及向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A20 B.10 C.30 D.60【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可得幾何體直觀圖如下圖所示：可知三棱錐高：；底面面積：三棱錐體積：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準(zhǔn)確求解出三棱錐的高和底面面積.6.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時(shí)，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個(gè)平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運(yùn)用，屬于中檔題.7.設(shè)，則的值是（）A.1 B.e C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)自變量的取值，代入分段函數(shù)解析式，運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.8.若，且，則（）A. B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，由正弦求得余弦值，結(jié)合正切和角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】若，且，則，所以，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)關(guān)系，以及正切的和角公式進(jìn)行化簡求值，屬綜合基礎(chǔ)題.9.已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，滿足，且成等差數(shù)列，則（）A. B.6 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且不為1，由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，再由等比數(shù)列的求和公式，可得答案．【詳解】數(shù)列是公比不為l的等比數(shù)列，滿足，即且成等差數(shù)列，得，即，解得，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（）A向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用函數(shù)的圖象變換求出結(jié)果．【詳解】由圖象知，，，，得，又，得，所以，為了得到的圖象，所以只需將的圖象向右平移個(gè)單位即可.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求解析式，考查三角函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.11.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線的方向向量，即可用向量法求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.又因?yàn)椋?，所以，，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查用向量法求異面直線的夾角，準(zhǔn)確的建系以及計(jì)算的準(zhǔn)確是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，也即是關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，從而得函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而可得選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，故，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，參變分離的方法的運(yùn)用，屬于中檔題.二?填空題13.平面向量、滿足，，，則向量、的夾角為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律，展開化簡，再根據(jù)向量、的模，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義，即可求得與夾角的余弦值，進(jìn)而求得與的夾角.【詳解】設(shè)向量、的夾角為，因?yàn)橄蛄?、滿足，，，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，即與的夾角為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球的體積為______.【答案】【解析】【分析】將三棱錐放在長方體中，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球的直徑為長方體的體對(duì)角線的長求解.【詳解】如圖所示：將三棱錐放在長方體中，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球的直徑是PB，球的半徑，屬于三棱錐的外接球的體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球的體積，還考查了空間想象和轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.15.《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今共織九十尺，問織幾日？”.其中“日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布，則每天比前一天少織布的尺數(shù)為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)第天織布的尺數(shù)為，可知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)題意得出關(guān)于公差的方程，解出這個(gè)量的值，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)第天織布的尺數(shù)為，可知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則，，，則，解得，，解得，因此，每天比前一天少織布的尺數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則______.【答案】【解析】【分析】由已知得出函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，函數(shù)是奇函數(shù)，從而得出函數(shù)為周期函數(shù)，得最小正周期，利用周期性及奇偶性可化簡計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，又函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，∴∴∴函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為4.，∴化為，∴，根據(jù)周期為4，可得：根據(jù)奇函數(shù)可得：∴，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?對(duì)稱性與周期性，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)是周期函數(shù)，求出周期為4，然后可化簡函數(shù)值中自變量的值，再由對(duì)稱性求解.三?解答題17.已知函數(shù)．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）T＝π；（2）最大值為，最小值為－2．【解析】【分析】（1）先利用兩角和的正弦公式和二倍角公式轉(zhuǎn)化為＝2sin2x－2cos2x，再利用輔助角公式轉(zhuǎn)化，然后由周期公式求解.（2）根據(jù)，得到，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）＝sin2x·＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝．所以，的最小正周期T＝＝π．（2）因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－2．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.18.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若△ABC的面積等于，求△ABC的周長的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的方程，求出∠B．（2）因?yàn)锽已知，所以求面積的最小值即為求ac的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫驗(yàn)?，所以sinA＞0，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．?）依題意，即ac＝4．所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又由余弦定理得∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號(hào)．所以△ABC的周長最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形、基本不等式求最值，考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)，是一道容易題.19.在遞增的等比數(shù)列中，，，為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）本題首先可根據(jù)、得出，然后通過計(jì)算得出以及，再然后根據(jù)、得出以及，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果；（2）本題首先可結(jié)合（1）得出以及，然后寫出以及的表達(dá)式，最后通過錯(cuò)位相減法求和即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)遞增的等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，即，解得或（舍去），故，，因?yàn)?，，所以，，，故，，?）因?yàn)?，所以，，則，，故，故.【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解，在寫“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.20.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，側(cè)面底面，其中，，，.（Ⅰ）是上一點(diǎn)，求證：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由勾股定理得，再由平面平面，得平面，得證；（Ⅱ）由，得【詳解】（Ⅰ）在中，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面平面平面（Ⅱ）取中點(diǎn)，由為等邊三角形得平面平面，平面，又因?yàn)橹?，，在中，邊上的高三棱錐的體積為.考點(diǎn)：空間中的位置關(guān)系、體積計(jì)算．21.代駕就是當(dāng)車主不能自行開車到達(dá)目的地時(shí)，由專業(yè)駕駛?cè)藛T駕駛車主的車將其送至指定地點(diǎn)并收取一定費(fèi)用的行為.某互聯(lián)網(wǎng)代駕平臺(tái)為了分析客戶的需求，以便于更好的服務(wù)廣大客戶，隨機(jī)調(diào)查了1000名代駕司機(jī)一個(gè)月內(nèi)的客戶滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如下列聯(lián)表：非常滿意基本滿意合計(jì)駕齡年300駕齡10年以上合計(jì)其中（1）求、、的值；（2）分別估計(jì)客戶對(duì)“駕齡年”、“駕齡10年以上”代駕司機(jī)服務(wù)基本滿意的概率；（3）請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有％的把握認(rèn)為不同駕齡的代駕司機(jī)對(duì)客戶對(duì)該互聯(lián)網(wǎng)代駕平臺(tái)的評(píng)價(jià)有差異？附：，【答案】（1），，；（2）；；（3）填表見解析；有.【解析】【分析】（1）由可得；（2）計(jì)算和即得；（3）根據(jù)所求填充即可，計(jì)算出可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意有，，，可求得，，.（2）客戶對(duì)“駕齡年”代駕司機(jī)服務(wù)基本滿意的概率為，客戶對(duì)“駕齡10年以上”代駕司機(jī)服務(wù)基本滿意的概率為.（3）完成列聯(lián)表如下：非常滿意基本滿意合計(jì)駕齡年300100400駕齡10年以上400200600合計(jì)7003001000由，故能有％的把握認(rèn)為不同駕齡的代駕司機(jī)對(duì)客戶對(duì)該互聯(lián)網(wǎng)代駕平臺(tái)的評(píng)價(jià)有差異.【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)．計(jì)算是解題關(guān)鍵．本題屬于基礎(chǔ)是．22.已知函數(shù).(I)當(dāng)a=1時(shí)，①求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；②求函數(shù)f(x)的最小值；(II)求證:當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).【答案】（1）切線方程；；（2）證明見解析【解析】【分析】(I)函數(shù)求導(dǎo)，求出得切線方程；解求單增區(qū)間，解求單減區(qū)間；利用單調(diào)性求最值；(II)構(gòu)造得到函數(shù)調(diào)調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理證有且只有一個(gè)零點(diǎn).【詳解】(I)當(dāng)時(shí)，①函數(shù)，，