專題2-2十三種高考補充函數歸類（講練）

專題2-2十三種高考補充函數歸類一、知識梳理與二級結論二、熱考題型歸納【題型一】放大鏡函數【題型二】高斯函數（取整函數）【題型三】保值函數【題型四】一元三次函數【題型五】分式型反比例函數【題型六】對數型反比例函數【題型七】對數型無理函數【題型八】對數型絕對值函數【題型九】對勾函數【題型十】指數型對勾函數【題型十一】指數型雙刀函數【題型十二】指數型“反比例函數”【題型十三】抽象函數賦值型三、高考真題對點練四、最新?？碱}組練知識梳理與二級結論一、抽象公式應用思維：如：正用：逆用:變用：抽象函數賦值經驗：字母取0，1，-1，x，-x，-1×x奇偶性賦值：x，-x方向或者目標：；三、對數公式積累應用（3）.重要的，用于不等式計算：無中生有思想技巧四、圖像變換：奇函數變換，又叫原點變換：偶函數變換，又叫y軸變換：軸變換，又叫直線鏡面變換：（1）、（2）、（3）、若是一般直線（斜率不是正負1）對稱，就需要用解析幾何斜率等知識常規(guī)求解了五、“反比例”函數圖像特征及其重要技巧：“分離常熟”形如，必有對稱中心，對稱中心為，可通過如下計算求得熱點考題歸納【題型一】放大鏡函數【典例分析】1.設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題設條件可得當時，，其中，結合函數在上的解析式和函數在的圖象可求的取值范圍.【詳解】當時，，故，因為，故當時，，，同理，當時，，依次類推，可得當時，，其中.所以當時，必有.如圖所示，因為當時，的取值范圍為，故若對任意，都有，則，令，或，結合函數的圖象可得，故選：D.2.（2020屆北京市順義牛欄山第一中學西校區(qū)高三下學期4月月考試卷數學試題）已知定義域為的函數滿足：對任何，都有，且當時，．在下列結論：（1）對任何，都有；（2）任意，都有；（3）函數的值域是；（4）“函數在區(qū)間上單調遞減”的充要條件是“存在，使得”．其中正確命題是（）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】C【分析】根據題設條件，結合函數的周期性和單調性，合理賦值，逐項判定，即可求解.【詳解】對于（1）中，對任何，都有，且當時，，所以，所以是正確的；對于（2）中，因為當時，，可得，解得，即當時，，所以不正確；對于（3）中，取，則，可得，從而函數的值域為，所以是正確的；對于（4）中，令，則，所以，所以函數在區(qū)間上單調遞減，而必要性顯然成立，所以是正確的，所以正確的命題為（1）（3）（4）.故選：C.【提分秘籍】滿足形式，一般情況下，b多是0或者1.俗稱為“放大鏡函數”。（1）如果函數在上滿足，則此類函數在局部范圍上具有與周期函數相類似的性質．（2）復雜函數的零點，可以轉化為熟悉函數圖像的交點來處理．【變式演練】1.（安徽省黃山市屯溪第一中學2021-2022學年數學試題）定義在上函數滿足，且當時，，則使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【分析】由題設遞推關系及已知區(qū)間解析式，分析可得分段函數：在上有，應用數形結合的方法求參數m的最小值.【詳解】由題設知，當時，，故，同理：在上，，∴當時，.函數的圖象，如下圖示.在上，，得或.由圖象知：當時，.故答案為：.2.設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圖示，求出當時，函數的解析式，求出成立的x的值，運用數形結合的思想可得選項．【詳解】解：時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當時，，令，解得，所以要使對任意，都有，則，，故選：B．3.設函數的定義域為R，且，當時，，若對任意，都有，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題設得到且，，注意判斷函數值的變化趨勢，再求得的最大k值，此時結合二次函數性質確定上對應x值，即可得m的范圍.【詳解】令，則，故，而，所以且，令，則，故，而，所以且，結合已知：且時，而，對且，，即隨增大依次變小，要使對任意都有，令，則且，則上，且上，當時，令，則，解得或，綜上，要使對任意都有，只需.故選：C【題型三】保值函數【典例分析】1..對于函數，若存在區(qū)間，當時，的值域為，則稱為倍值函數．若是倍值函數，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意有方程有兩個不同的實數根，則，令，求導得函數的單調性與極值，由此可求出結論．解：∵，定義域為，函數在上為增函數，∴由題意有，，，即方程有兩個不同的實數根，∴，令，則，由得，由得，∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，∴函數在處取得極大值，又當時，，當時，，∴，∴當時，直線與函數的圖象有兩個不同的交點，此時方程有兩個不同的解，∴的取值范圍為，故選：C．2.函數y＝sinx的定義域為[a，b]，值域為，則b－a的最大值是________．【答案】【分析】由于正弦函數的周期性，可以在一個周期區(qū)間內確定函數值為和的值，結合周期性性可得結論．【詳解】因為函數y＝sinx，x∈[a，b]的最小值和最大值分別為－1和.不妨在一個區(qū)間[0，2π]內研究，可知，，由正弦函數的周期性可知(b－a)min＝，(b－a)max＝.故答案為：．【提分秘籍】一般地，若的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”，把函數存在區(qū)間，使得函數為上的倍域函數，結合函數的單調性，轉化為是解答的關鍵.【變式演練】1.（四川省內江市高中零模2022屆高二期末考試數學試題對于函數，若存在區(qū)間，當時，的值域為，則稱為倍值函數.若是倍值函數，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】可看出在定義域內單調遞增，可得出是方程的兩個不同根，從而得出，通過求導，求出的值域，進而可得到的范圍．解：在定義域內單調遞增，，即，即是方程的兩個不同根，

∴，設，∴當時,函數單調遞減,不存在兩個根的問題,時，；時，，∴是的極小值點，的極小值為：，

又趨向0時，趨向；趨向時，趨向，

時，和的圖象有兩個交點，方程有兩個解，

∴實數的取值范圍是．故選:C．2.設函數的定義域為，若函數滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數”，若函數為“倍縮函數”，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據“倍縮函數”的定義，構造出方程組，利用方程組的解都大于，求出實數的取值范圍.【詳解】因為函數為“倍縮函數”，且滿足存在，使在上的值域是，所以在上是增函數；所以，即，所以是方程的兩個根，設，則，此時方程為即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于；所以，解得：，所以滿足條件的取值范圍是，故選：A3.（河南省2021-2022學年高三上學期質量檢測（五）數學試題設函數，若存在，使得在上的值域為，則實數的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】求導函數，判斷出函數單調遞增，從而可得，將問題轉化為在上有兩個不同解，令，利用導數判斷函數的單調性，并求出端點值與極值即可求解.【詳解】在上單調遞增又在上的值域為則在上有兩個不同解令則在上單調遞增，在上單調遞減，又.故選：A【題型二】高斯函數（取整函數）【典例分析】1.（山西省2022屆高三一模數學（理）試題）高斯函數也稱取整函數，記作，是指不超過實數x的最大整數，例如，該函數被廣泛應用于數論、函數繪圖和計算機領域．下列關于高斯函數的性質敘述錯誤的是（）A．值域為Z B．不是奇函數C．為周期函數 D．在R上單調遞增【答案】D【分析】根據高斯函數的定義，結合值域、函數的奇偶性、函數的單調性對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由高斯函數的定義可知其值域為Z，故A正確；不是奇函數，故B正確；易知，所以是一個周期為1的周期函數，故C正確；當時，，所以在R上不單調，故D錯誤．故選：D2.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號.設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如：，.已知函數，下列說法中正確的是（）A．是周期函數 B．的值域是C．在上是減函數 D．，【答案】AC【分析】根據定義將函數寫成分段函數的形式，再畫出函數的圖象，根據圖象判斷函數的性質.【詳解】由題意可知，，可畫出函數圖像，如圖：可得到函數是周期為1的函數，且值域為，在上單調遞減，故選項AC正確，B錯誤；對于D，取，則，故D錯誤.故選：AC．【提分秘籍】取整函數表示不超過的最大整數，又叫做“高斯函數”，【變式演練】1.高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如，.已知函數，函數，則（）A．函數的值域是 B．函數是周期函數C．函數的圖象關于對稱 D．方程只有一個實數根江蘇省南通市2020-2021學年高一下學期期初數學試題【答案】AD【分析】先研究函數的奇偶性，作出函數的圖象，作出函數的圖象判斷選項ABC的正確性，再分類討論判斷方程的根的個數得解.【詳解】由題得函數的定義域為，所以函數為偶函數，當時，；當時，；當時，；所以函數的圖象如圖所示，所以函數的圖象如圖所示，所以函數的值域是，故選項A正確；由函數的圖象得到不是周期函數，故選項B不正確；由函數的圖象得到函數的圖象不關于對稱，故選項C不正確；對于方程，當時，，方程有一個實數根；當時，，此時，此時方程沒有實數根；當時，，此時，此時方程沒有實數根；故方程只有一個實數根，故選項D正確.故選：AD2.（江蘇省無錫市第一中學2021-2022學年高三上學期10月階段性質量檢測數學試題高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，．已知函數，則關于函數的敘述中正確的是（）A．是偶函數 B．是奇函數C．在上是增函數 D．的值域是【答案】BC【分析】計算得出判斷選項A不正確；用函數的奇偶性定義，可證是奇函數，選項B正確；通過分離常數結合復合函數的單調性，可得出在R上是增函數，判斷選項C正確；由的范圍，利用不等式的關系，可求出，選項D不正確，即可求得結果.【詳解】根據題意知，.∵，，，∴函數既不是奇函數也不是偶函數，A錯誤；，∴是奇函數，B正確；在R上是增函數，由復合函數的單調性知在R上是增函數，C正確；，，，，，D錯誤.故選：BC.3.(上海市行知中學2020-2021學年高三上學期數學試題)對于正整數,設函數，其中表示不超過的最大整數，設，則的值域為_________.【答案】【分析】先由題中條件，得到，討論，，，四種情況，再判斷的周期性，即可得出結果.【詳解】由題意，，當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；又，所以是以為周期的函數，因此的值域為.故答案為：【題型四】一元三次函數【典例分析】1.（2023·全國·高三專題練習）對于三次函數，經研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數都有對稱中心，而且三次函數的拐點（使二階導數的點）正好是它的圖像的對稱中心．若，則．（且）【答案】【分析】由拐點的定義可得的對稱中心是點，分n為奇數和n為偶數，結合函數的對稱性即可得出答案.【詳解】，，由，得，且，∴的對稱中心是點，因此．故當n為奇數時，．當n為偶數時，．綜上所述，．故答案為：.2.（重慶市江津中學校2021-2022學年高三第二次階段考試數學（理）試題）已知函數是上的增函數.當實數取最大值時，若存在點，使得過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點的坐標為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：求出函數的導數，利用導數研究函數的單調性，求出m的最大值，結合過點Q的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，判斷函數的對稱性進行求解即可.詳解：由得，是上的增函數，在上恒成立，即：在上恒成立.設，，，設，，，函數在單調遞增，.即，，又，.m的最大值為3.故得.將函數的圖象向上平移3個長度單位，所得圖象相應的函數解析式為.由于，為奇函數，故的圖象關于原點對稱，由此即得函數的圖象關于成中心對稱.這表明存在點，使得過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等.故選：C.【提分秘籍】所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖像的對稱中心，設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”．【變式演練】1.對于三次函數，定義：設為函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心.”請你將這一發(fā)現(xiàn)視為條件，已知函數，則它的對稱中心為___________；___________.【答案】

【分析】對兩次求導，根據題意求出的對稱中心為，可得，再利用倒序相加法即可求和.【詳解】由可得，，令可得：，且，所以點為的對稱中心，所以，令兩式相加可得，所以，即，故答案為：，.2.經研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數的圖象都只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數，是的導數.若函數圖象的對稱點為，且不等式對任意恒成立，則（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【解析】求導得，故由題意得，，即，故.進而將問題轉化為，由于，故，進而得，即，進而得ABC滿足條件.【詳解】由題意可得，因為，所以，所以，解得，故.因為，所以等價于.設，則，從而在上單調遞增.因為，所以，即，則（當且僅當時，等號成立），從而，故.故選：ABC.【題型五】分式型反比例函數【典例分析】1..（2022秋·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中校考期中）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為，，…，，則（

）A．m B．4m C．6m D．7m【答案】D【分析】根據函數的中心對稱相關性質即可求解.【詳解】因為，所以所以關于中心對稱，所以關于中心對稱所以故選：D2.（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎瘮店P于成中心對稱，函數的圖像與的圖像有2022個交點，則這些交點的橫，縱坐標之和等于（

）A． B． C．10110 D．5050【答案】A【分析】根據函數分離常數可得關于點對稱，又關于點對稱，然后利用對稱性求解即可．【詳解】因為，所以函數關于成中心對稱，又函數關于成中心對稱，函數的圖象與的圖象有2022個交點，則這些交點也關于點對稱，所以每兩個對稱點縱坐標之和為，2022個交點有1011組對稱點，所以這2022交點得縱坐標之和為，所以每兩個對稱點橫坐標之和為，2022個交點有1011組對稱點，所以這2022交點得橫坐標之和為，故這些交點的橫縱坐標之和為．故選：A．【提分秘籍】形如：。對稱中為P，其中【變式演練】1.（2023春·上海嘉定·高三?？奸_學考試）已知在區(qū)間上是嚴格增函數，則的取值范圍是．【答案】【分析】先對函數解析式變形，結合反比例函數的單調性可得答案.【詳解】，因為在區(qū)間上是嚴格增函數，所以，即.故答案為：.2.（2023·全國·高三專題練習）已知，則【答案】【分析】根據函數解析式求出，進而可得，由此可得結果.【詳解】解：因為，所以，所以，所以故答案為：3.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習）若，不等式恒成立，則實數k的取值范圍是．【答案】【分析】先由題意確定，分類討論與兩種情況，將問題轉化為恒成立問題，再利用對勾函數的單調性即可得解.【詳解】因為不等式對任意恒成立，且，所以，當時，不等式恒成立等價于，即對于任意恒成立，即，令，，則，由對勾函數性質易得在時，單調遞增，故，則，與矛盾，故此時k不存在；當時，不等式恒成立等價于對于任意恒成立，當時，顯然成立，當時，不等式等價于對于任意恒成立，即，令，，則，由對勾函數性質易得在時，單調遞減，故，則，故；綜上：，即．故答案為：.【題型六】對數反比例函數【典例分析】1.（2023春·云南紅河·高三模擬）若為偶函數，則實數．【答案】3【分析】根據偶函數的定義求解即可.【詳解】若為偶函數，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，即，當時，，定義域，關于原點不對稱，不符合，舍去，當時，，定義域或，關于原點對稱，符合，綜上，.故答案為：3.2.（2023春·四川綿陽·高三期末）若為奇函數，則實數．【答案】【分析】由奇函數的定義域關于原點對稱可求得的值，由奇函數的性質得出可求得的值，然后利用函數奇偶性的定義驗證函數即可.【詳解】因為，當時，則，則函數的定義域為，此時函數為非奇非偶函數，不合乎題意，所以，，由可得且，所以，函數的定義域為，因為函數為奇函數，則其定義域關于原點對稱，所以，，解得，則，由奇函數的性質可得，解得，此時，，該函數的定義域為，，即函數為奇函數，合乎題意，故.故答案為：.【提分秘籍】【變式演練】1.（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數的圖象關于原點對稱，則實數m的值為.【答案】【分析】根據奇函數的性質根據，即可求解.【詳解】依題意，，即,所以，解得，當時，，定義域不關于原點對稱，故舍去，當時，，定義域為，符合要求，故，故答案為：2.（2023·云南·校聯(lián)考二模），其最大值和最小值的和為．【答案】0【分析】證明函數是奇函數即得解.【詳解】由題得函數的定義域為，關于原點對稱.所以是奇函數，故其最大值和最小值的和為0．故答案為：03.（2023秋·高一單元測試）已知函數（其中是自然對數的底數，）是奇函數，則實數的值為.【答案】【分析】利用奇函數的性質可得出，結合對數運算可得出實數的值.【詳解】對于函數，，解得或，所以，函數的定義域為，因為函數為奇函數，則，即，即，解得.故答案為：.【題型七】對數無理函數型【典例分析】1.（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知函數，若不等式對任意均成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據函數為奇函數且為增函數得，則有，求出右邊最小值即可.【詳解】因為的定義域為，且，所以函數是奇函數，由，所以函數為上單調遞增的奇函數，所以不等式對任意均成立等價于，即，即對任意均成立，又，當且僅當時取等號，所以的取值范圍為.故答案為:2.（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數，若，，，則．【答案】【分析】根據題意，由函數的解析式可得，又由，變形可得，由此可得答案．【詳解】因為，所以，所以，所以函數的定義域為，又，因為，，，所以，所以.故答案為：．【提分秘籍】【變式演練】1.（2023春·貴州黔南·高三模擬）若函數是奇函數，則a的值為．【答案】【分析】根據奇函數的性質和對數運算法則直接計算即可.【詳解】因為函數是奇函數，所以，即，所以，即，所以，即a的值為.故答案為：2.（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知為奇函數，則的值可以為．（寫出一個滿足條件的即可）【答案】1（答案不唯一）【分析】由恒成立，由和分析函數的定義域是否關于原點對稱，化簡，結合為正奇數、為0或正偶數分析即可求解.【詳解】因為恒成立，當時，函數的定義域為，當時，函數的定義域為，所以對于，函數的定義域關于原點對稱，而，當為正奇數時，，函數為奇函數，當為0或正偶數時，，函數為偶函數，不符合題意.綜上所述，當為正奇數時，函數為奇函數，所以的值可以為1（答案不唯一）.故答案為：1（答案不唯一）.3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若正實數滿足，則的最小值為.【答案】16【分析】根據題意設，利用函數奇偶性可以得到設，再利用基本不等式即可求出結果.【詳解】由函數，設，則的定義域為，，則，所以是奇函數，則，又因為正實數滿足，所以，，當且僅當時取到等號.故答案為：16.【題型八】對數絕對值型函數【典例分析】1.（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實驗中學?？茧A段練習）已知函數，若實數互不相等，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】畫出的圖象，結合圖象得的取值范圍，再由，，用表示，結合函數導數可求出的取值范圍.【詳解】解：令，解得，當時，，所以函數的圖象如圖，當時，或，因為，所以，，，因為，所以，因為，所以，所以，設，所以，解得或（舍去），當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，，由，所以取值范圍為，故答案為:.2.（2020·云南·模擬預測）已知，函數，．若關于的方程有個解，則的取值范圍為．【答案】.【詳解】令g（x）=t，則方程f（t）=λ的解有4個，根據圖象可知，0＜λ＜1．且4個解分別為t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，

則x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有兩個不相等的實根，則△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，當0＜λ＜時，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，同理也恒成立；故λ的取值范圍為（0，）．故答案為（0，）．【提分秘籍】對數絕對值對于，若有兩個零點，則滿足1.2.3.要注意上述結論在對稱軸作用下的“變與不變”【變式演練】1.（2022·浙江·模擬預測）已知函數若方程有四個解，且，則的取值范圍為.【分析】即與的圖象有4個不同的交點.作出兩個函數的圖象得到，，化簡得到，構造函數，求出函數的定義域，利用導數求函數的取值范圍得解.【詳解】由題知方程有4個解，即與的圖象有4個不同的交點.作出2個函數的圖象，如圖所示，易知當時，有4個不同的交點，則，即，，所以，可看作關于的函數，記為，又當時，，當時，，所以函數的定義域為.由題得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以時，，即的取值范圍是.故答案為：2.（2023春·江西新余·高三模擬）設函數，有四個實數根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分段函數解析式研究的性質，并畫出函數圖象草圖，應用數形結合及題設條件可得、、，進而將目標式轉化并令，構造，則只需研究在上的范圍即可.【詳解】由分段函數知：時且遞減；時且遞增；時，且遞減；時，且遞增；∴的圖象如下：有四個實數根，，，且，由圖知：時有四個實數根，且，又，由對數函數的性質：，可得，∴令，且，由在上單增，可知，所以3.（2021·全國·高三專題練習），若存在互不相等的實數，，，使得，則下列結論中正確的為（

）①；②，其中為自然對數的底數；③函數恰有三個零點.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】①將問題轉化為直線與函數圖像有4個交點，觀察圖像可得答案；②設，則可得，，根據關系代入求值域即可；③函數的零點個數，即為函數與的圖像交點個數，關注和時的交點個數即可得答案根據圖像可得答案.【詳解】解：函數的圖像如圖：，即直線與函數圖像有4個交點，故，①正確；，不妨設，則必有，，，則，且，由對勾函數的性質可得函數在上單調遞增，，，②正確；函數的零點個數，即為函數與的圖像交點個數，如圖當時，函數與的圖像有3個交點，當時，研究與是否相切即可，，令，則，則切點為，此時切線方程為，即，所以與圖像相切，此時函數與的圖像有3個交點，因為，故函數與的圖像恒有3個交點，即函數恰有三個零點，③正確.故選：D.【題型九】對勾函數【典例分析】1..（2020秋·廣東深圳·高三?？计谥校┮阎x在（0，3]上的函數的值域為[4，5]，若，則a+b的值為.【答案】7【解析】將函數變形為，令，，由，利用對勾函數的性質求解.【詳解】因為，令，所以，因為，所以，所以在上遞減，在遞增，所以①，又，所以②，所以，由①②得或，因為，所以所以a+b=7故答案為：72.．（2021秋·高三單元測試）已知函數，若存在，使得，則正整數的最大值為.【答案】4【分析】根據單調性得到，要使正整數盡可能大，則可以是，得到答案.【詳解】當時，，單調遞減，故，要使正整數盡可能大，則可以是，故的最大值為4.故答案為：4.【提分秘籍】形如稱為對勾函數1.有“漸近線”：y=ax2.“拐點”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）【變式演練】1.（2022·全國·高三模擬練習）已知函數關于點對稱，若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】由得使得不等式一邊是參數，另一邊是不含關于的式子，分離參數.【詳解】由為奇函數，可得其圖像關于對稱，所以的圖像關于對稱，由題目可知函數關于點對稱，可得，對任意的，恒成立恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，設，當時，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.2.（2021秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習）設，若，使成立的最大正整數為，則取值范圍為．【答案】【分析】根據題意，極端考慮即，解不等式即可得到答案；【詳解】根據題意，即，在上遞減，在上遞增，所以，，故，解得，故填：．3..（2022秋·安徽合肥·高三考開學考試）已知，函數，使得，則a的取值范圍.【答案】【解析】由已知得出函數的單調性，再得出時，a的值，從而分兩種情況，分別由解得可得a的取值范圍.【詳解】因為，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，解得（舍去），（1）當，解得；（2）當，不符題意.故答案為：.【題型十】指數對勾型【典例分析】1.（2023·浙江衢州·高三模擬）已知函數有唯一零點，則．【答案】2【分析】先判斷函數關于對稱，從而可得函數的零點只能為，從而可求得，再利用定義法得出在上的單調性，從而可得出結論.【詳解】，因為，所以函數關于對稱，要使函數有唯一零點，所以函數的零點只能為，，所以，此時，令，設，則，因為，所以，則，所以，即，所以函數在上遞增，又在上遞增，所以函數在上遞增，在上遞減，又，故可知函數有唯一零點，符合題意，所以.故答案為：.2.（2022秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）若，則的解集是.【答案】【分析】根據題意求得為偶函數，且在上單調遞增，結合，把不等式轉化為，得到，即可求解.【詳解】由函數，可得，所以為偶函數，當時，可得，所以函數在上單調遞增，又由，所以不等式等價于，則滿足，解得，即不等式的解集為.故答案為：.【提分秘籍】指數對勾型：【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數有且只有一個零點，則實數a的值為．【答案】【分析】首先證明，則，解得，再代回原函數證明函數只有唯一零點即可.【詳解】，，的圖象關于直線對稱，若函數有且只有一個零點，即的圖象與軸有且只有一個交點，則只能是，即，解得，此時，，當且僅當,即時取等號,當時,，又，，當時,，當時，函數有且只有一個零點.故答案為：.2.（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯(lián)考階段練習）設函數，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【分析】先判斷函數的奇偶性與單調性，然后利用函數的性質解不等式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以函數的定義域為且，又，∴為偶函數.當時，令，∵，∴在上是增函數，易知函數在上是增函數，∴在上是增函數.又為偶函數，∴，∴由，得，解得，故答案為：.3.（2019秋·江蘇南京·高三南京市第一中學?？茧A段練習）已知函數，則不等式的解集是.【答案】【分析】利用導數可得的單調性，結合函數解析式的特征可得的圖象關于直線對稱，由上述兩個性質可去掉對應法則得到關于的不等式，解這個不等式可得所求的解集.【詳解】，令，則，所以即為上的增函數，而，所以當時，，故為上的減函數；當時，，故為上的增函數；又，所以的圖象關于直線對稱.因為，所以，解得.故答案為：.【題型十一】指數雙刀函數型【典例分析】1.（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校?？寄M預測）已知函數，若，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】首先判斷的奇偶性，令，利用導數說明的單調性，即可得到的單調性，結合函數的奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因為，定義域為，由，可知函數為偶函數，函數圖象關于軸對稱，又由，令，由可知函數為奇函數，又由，（當且僅當時取等號），可得函數單調遞增，且當時，由一次函數在區(qū)間單調遞增且函數值恒為正，可知函數在區(qū)間單調遞增，又由函數為偶函數，可得函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，不等式可化為，必有，平方后整理為，解得或，即實數的取值范圍為.故答案為：2.（2022北京·高三強基計劃）已知函數，若實數m滿足，則實數m的取值范圍是．【答案】【分析】利用函數的單調性可求參數的取值范圍.【詳解】，故為奇函數，當時，均為增函數，且函數值非負，故在上單調遞增，所以在上單調遞增，從而題中不等式等價于故答案為：提分秘籍】指數雙刀函數：圖像如圖：a>10<a<1【變式演練】1.（2023·全國·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，則．【答案】【分析】根據奇函數定義可構造方程求得的值，求導后，代入即可求得結果.【詳解】為定義在上的奇函數，，即，恒成立，，解得，，，.故答案為：.2.（2023春·山東臨沂·高二?？茧A段練習）已知函數，若成立，則實數t的取值范圍為．【答案】【分析】由函數解析式可知函數是奇函數，利用導數可判斷函數在上單調遞增，利用函數單調性可知等價于，解出不等式即可求得實數t的取值范圍.【詳解】由題得函數的定義域為，因為，所以函數是奇函數．又恒成立，所以函數在上單調遞增；不等式等價于，所以，即，解得．所以實數t的取值范圍為．故答案為：3..（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）設函數，則滿足的x的取值范圍是．【答案】.【分析】令得，令并利用導數研究單調性、奇偶性定義判斷奇偶性，再將題設不等式化為，結合單調性、奇偶性求參數范圍即可.【詳解】令，則，若，所以，則，所以在R上單調遞增，又，故為奇函數，而等價于，所以，故，可得.故答案為：【題型十二】指數型“反比例函數”【典例分析】1.（2022秋·浙江溫州·高三校聯(lián)考）已知函數是定義在R上的奇函數，若對任意，不等式恒成立，則實數有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】A【分析】先求出函數并得到在R上遞增，再結合的性質求解．【詳解】解：為奇函數，，，，單調遞增，單調遞增，單調遞增．為了解決問題我們先研究對勾函數的性質，，令且，，∴在上單調遞增．若恒成立，則等價成，即①，令，①化為，令，由上面的討論知，在上單調遞增，，，∴，∴a的最大值為．故選：A．2..（2023春·湖南長沙·高三長沙市長郡梅溪湖中學?？迹┤簟昂瘮凳瞧婧瘮怠笔钦婷}，則a的值是.【答案】【分析】由已知求出函數的定義域，.然后根據奇函數的性質，列出關系式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，的定義域為R，且.因為函數是奇函數，所以有成立，即，即.因為，所以有，所以.故答案為：.【提分秘籍】【變式演練】1.（2023·遼寧大連·校考模擬預測）已知函數，若，在時恒成立，則θ的取值范圍是．【答案】【分析】先利用復合函數的單調性判斷是單調遞減函數且，則題意可轉化成，在時恒成立，設，對稱軸為，分兩種情況即可求解.【詳解】因為，因為是單調遞增函數，且，所以根據復合函數的單調性性質可得是單調遞減函數，而，所以，在時恒成立可轉化成，在時恒成立，可整理得，在時恒成立，設當時，的對稱軸為，此時，當t>0，恒成立，滿足題意，所以由可得，所以，，解得，，因為，所以；當，的對稱軸為，則，解得，所以或，，所以或，，因為，所以或，綜上所述，θ的取值范圍是.故答案為：2.（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據題意，構造函數，判斷其奇偶性，并求導判斷單調性，代入可求解集.【詳解】為奇函數，在R上單調遞增，，，，，則.故答案為：.3.（2020·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學?？家荒＃┮阎瘮担瑢τ?，，使得成立，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】需先求函數的值域，再分兩步對所要求的條件進行轉化．要使對于，時成立，只要，而且，以及對任意恒成立.【詳解】，由，得，，即的值域是，．①對于，，使得，轉化為只要，，；對于，，，轉化為只要，，解不等式組，得或；②由對于恒成立，，，，解得：或；故的取值范圍是.故答案為：.【題型十三】抽象函數賦值型【典例分析】1.（福建省福州市第一中學2020-2021學年高三數學試題）若對，有，函數在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】利用已知條件可得，則為奇函數，構造即可知為奇函數，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和為0，即可求最大、最小值的和.【詳解】由題設，且，∴，則，∴為奇函數，令，∴，即是奇函數，∴在上的最小、最大值的和為0，即，∴.故選：B2.（2023春·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學校）已知函數的定義域為，且，，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】依題意令得到，再以代換，即可得到，從而得到，即可得到，從而求出函數的周期，再求出、、、、的值，根據周期性計算可得.【詳解】解：由，令得①，以代換得②，由①②可得，，即，所以，故是的一個周期，令，得，，令，得，，，，，，，，.故選：A．【提分秘籍】抽象函數的性質研究：①賦值法求特定元素的函數值；②利用已知抽象函數的等式性質，證明函數的單調性；③利用單調性解不等式式.【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數滿足：，則.【答案】【分析】由已知等式聯(lián)想到三角公式，構造函數求解.【詳解】由已知等式聯(lián)想到三角公式，注意它們結構相似，通過嘗試和調整，構造函數，則，故函數滿足題意，而函數是周期的函數，.故答案為：.2.（2023春·河北石家莊·高三石家莊一中?？茧A段練習）設奇函數的定義域為，且對任意，都有．若當時，，且，則不等式的解集為．【答案】【分析】由題知函數在上單調遞減，在上單調遞減，且，，，，再根據對數函數單調性將轉化為解即可得答案.【詳解】解：設，且，則因為，當時，，所以，因為對任意，都有．所以，，即，所以，函數在上單調遞減，因為是定義域為的奇函數，所以，函數在上單調遞減，因為不等式等價于不等式，即，因為對任意，都有，，所以，當時，得；當時，得所以，所以，，，，，所以，當時，的解集為，當時，的解集為，所以，的解集為，所以，不等式的解集為故答案為：3.（2022秋·湖北武漢·高三校聯(lián)考期中）函數是定義在上的增函數，若對于任意正實數，恒有，且，則不等式的解集是.【答案】【分析】根據抽象函數的關系將不等式進行轉化，利用賦值法將不等式進行轉化結合函數單調性即可得到結論．【詳解】，，，則不等式等價為，函數在定義域上為增函數，不等式等價為，即，解得，不等式的解集為，故答案為：.高考真題對點練一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數性質知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數，故，即.故選：A.2．（山東·高考真題）函數的反函數圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】先求已知函數的反函數，再結合反比例函數的圖象及圖象變換性質判斷其圖象.【詳解】因為，所以，所以，所以函數的反函數為，函數的圖象可由反比例函數的圖象向左平移一個單位得到，從選項得知B滿足，故選：B.3．（遼寧·高考真題）將函數的圖像按向量平移得到函數的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題由函數的圖像得到函數的圖像，需將函數的圖像向左平移1個單位，向下平移1個單位；故．【詳解】設，則函數的圖像按向量平移后所得圖像的解析式為，，故選：A．4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數的圖像為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分析函數的定義域、奇偶性、單調性及其在上的函數值符號，結合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數的定義域為，且，函數為奇函數，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數單調遞增，故B選項錯誤；故選：D.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數由，聯(lián)想到余弦函數和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.6．（·浙江·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計算，再計算可得．【詳解】由得.由得.故選：B．7．（全國·高考真題），若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇偶性定義確定函數的奇偶性，然后由奇偶性求值．【詳解】函數定義域是，又函數為奇函數，所以．故選：B．8．（江蘇·高考真題）設是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】A【詳解】試題分析：由為奇函數，則，可得，即，又，即，可變?yōu)椋獾茫键c：函數的奇偶性，對數函數性質，分式不等式．9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數,則（

）A．是奇函數，且在(0,+∞)單調遞增 B．是奇函數，且在(0,+∞)單調遞減C．是偶函數，且在(0,+∞)單調遞增 D．是偶函數，且在(0,+∞)單調遞減【答案】A【分析】根據函數的解析式可知函數的定義域為，利用定義可得出函數為奇函數，再根據函數的單調性法則，即可解出．【詳解】因為函數定義域為，其關于原點對稱，而，所以函數為奇函數．又因為函數在上單調遞增，在上單調遞增，而在上單調遞減，在上單調遞減，所以函數在上單調遞增，在上單調遞增．故選：A．【點睛】本題主要考查利用函數的解析式研究函數的性質，屬于基礎題．10．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數，則f(x)（

）A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減【答案】D【分析】根據奇偶性的定義可判斷出為奇函數，排除AC；當時，利用函數單調性的性質可判斷出單調遞增，排除B；當時，利用復合函數單調性可判斷出單調遞減，從而得到結果.【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確.故選：D.【點睛】本題考查函數奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據自變量的范圍化簡函數，根據單調性的性質和復合函數“同增異減”性得到結論.二、填空題11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據冪函數的性質可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）12．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數是偶函數，則.【答案】1【分析】利用偶函數的定義可求參數的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數，故，時，整理得到，故，故答案為：1最新?？颊骖}一、單選題1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）記，若（且），則稱是的n次迭代函數．若，則（

）A． B． C．2022 D．2023【答案】B【分析】根據題意，由函數的解析式迭代可得，由此可得，進而可得，將代入計算可得答案．【詳解】根據題意，，即，則，，，故有，所以，故.故選：B．【點睛】準確理解題干給出的“n次迭代函數”的概念并正確應用，是解決本題的關鍵.2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知函數，則（

）A．B．函數有一個零點C．函數是偶函數D．函數的圖象關于點對稱【答案】D【分析】根據題意，判斷函數的單調性，結合單調性性質判斷A，由指數函數的性質可得，結合零點定義判斷B，舉反例判斷C，證明，由此可得函數的對稱性，判斷D，綜合可得答案．【詳解】函數的定義域為，對于A，函數，函數在R上為增函數，易得在R上為增函數，則有，A錯誤；對于B，，有，則有，所以沒有零點，B錯誤；對于C，，，所以，不是偶函數，C錯誤；對于D，因為，所以所以，所以函數的圖象關于點對稱，D正確；故選：D．3．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）函數滿足、，都有，且，則（

）A． B．數列單調遞減C． D．【答案】BCD【分析】令，推導出，令可判斷A選項；分析可知數列為等比數列，求出該數列的通項公式，結合數列單調性的定義可判斷B選項；利用基本不等式可判斷C選項；利用錯位相減法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數滿足、，都有，令，則，即，則，所以，，A錯；對于B選項，令，，可得，所以，，且，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，所以，，所以，，即，故數列單調遞減，B對；對于C選項，對任意的，，所以，，當且僅當時，等號成立，C對；對于D選項，令，①則，②①②可得，因此，，D對.故選：BCD.4．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）若函數有唯一零點，則實數（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【分析】由函數解析式推導出函數的對稱性，然后結合只有唯一的零點求出參數的值.【詳解】由，得，即函數的圖象關于對稱，要使函數有唯一的零點，則，即，得．故選：A．5．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）如圖，這是函數的部分圖象，則它的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察函數的圖象可得函數是奇函數，由此排除AB；再由函數單調性定義推理并排除C作答.【詳解】觀察函數的圖象知，函數的定義域為，是奇函數，而函數是偶函數，函數是奇函數，則與是非奇非偶函數，AB不可能；對于C，是奇函數，且當時，函數與都是增函數，任取，，因此，即函數在上單調遞增，C不可能；對于D，是奇函數，當且無限增大時，的值無限趨近于，且趨近于無窮大，的值無限趨近于無窮大，但增大的速度遠大于增大的速度，則無限趨近于0，當時，，選項D符合.故選：D6．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知函數，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數得在上為減函數，在上為增函數，由可得，利用恒成立，得，再根據可得.【詳解】的定義域為，，令，得，令，得，所以在上為減函數，在上為增函數，因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，因為，所以，又因為在上為增函數，所以，即，所以，綜上所述：.故選：B【點睛】關鍵點點睛：推出恒成立，得是解題關鍵.7．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）已知函數的定義域為，且都有，則下列說法正確的命題是（

）①；②；③關于點對稱；④A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】利用特殊值法，結合函數的奇偶性、對稱性和周期性進行求解即可.【詳解】對于①，由于都有，所以令，則，即，因為，所以，所以①正確，對于②，令，則，所以，即，所以，所以②錯誤，對于③，令，則，所以，即，所以關于點對稱，所以③正確，對于④，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以的周期為4，在中，令，則，因為，所以，，所以，所以，所以④正確，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查抽象函數及其應用，利用函數的周期性是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題.8．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預測）已知函數定義域為，滿足，當時，.若函數的圖像與函數的圖像的交點為，（其中表示不超過x的最大整數），則下列說法正確的個數（

）①是非奇非偶函數函數；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對于①,利用特殊值驗證，可判斷；對于②，根據的含義，明確函數的解析式，進而作出圖象，數形結合，可判斷；對于③，確定，求和，即可判斷；對于④，根據，結合等比數列的前n項和公式，即可判斷，由此可得答案.【詳解】對于①，函數，則，故且，即是非奇非偶函數函數，①正確；對于②，函數定義域為，滿足，當時，，則當時，，故，當，，，當時，，，當，，，故當，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得最大值，當時，，當時，，當時，，因此當時，函數，作出函數的部分圖象，如圖，

由圖象可知，當時，函數的圖象有唯一公共點，因為，又滿足的整數有2024個，即，②正確；對于③，，所以，③正確；對于④，因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列，故，④正確，故選：D二、多選題9．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預測）已知函數為上的奇函數，且，當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由求得，即可判斷