2024屆五年高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練：四 三角函數(shù)與解三角形

專題四三角函數(shù)與解三角形

考點(diǎn)14三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

題組

一、選擇題

1+V5

1.[2023新高考卷II,5分]已知a為銳角,cosa=--,---則sin］=(D)

4

A中B中C3-VsD.X

44

2

3—V56-2V5

［解析］cosa==l-2sin2-,得siM三=（亨），又a為

42816

銳角，所以sin±>0,所以sin±=3且，故選D.

224

2.［2023新高考卷I,5分］已知sin(a-0)=工，cosasin0=',則

36

cos(2(z+2夕)=(B)

A.-7B.1iC.--1D.-7-

9999

sinacosB—cosasinB=-,.

i3所以sinacos/?=二，所以

(cosasin/?=-,2

sin(a+S)=sinacos0+cosasin=-+-=-,所以cos(2a+20)=1—

2sin2(a+夕)=1—2x(|)=,故選B.

3.［2022新高考卷11,5分］若sin(a+6)+cos(a+0)=2A/2COS(a+

sinp,則(C)

A.tan(a—S)=1B.tan(a+￡)=1C.tan((z-0)=—1D.tan((z+￡)=

-1

［解析］sin(a+S)+cos(a+￡)=V2sin(a+夕+；)=2V2sinR-cos

(a+；),所以sin(a+cos0+sin0cos(。+：)=2sin0cos(a+：),整理

得sin(a+cos0—sinpcos(a+：)=0,即sin(a+：-0)=0,所以a—

P+：=/nr,fcEZ,所以tan(a-0)=tan(kn—

4.［2021新高考卷I,5分］若tan0=-2，則四必等等=(C)

sin3+cos3

AA.--6B「|C-1D1

5

［解析］解法一因?yàn)閠anI,所以喘胃sin0(sin0+cos0)2

sin0+cos0

sin20+sin0cosQtan20+tan6

sin0(sin0+cos0)=詈=W?故選c-

sin20+cos20l+tan20

解法二因?yàn)閠an6=—2,所以角。的終邊在第二、四象限，（提示：根據(jù)正切

值的正負(fù)，確定角?？赡芩诘南笙蓿?/p>

.2

sin0win1Q7—^―.

“或V5'所以sin6(l+sin28)sin8(sin0+cos0)2

所以i以1

cos0Q=—^=cose夕-一/sin0+cos0sin0+cos0

sin0(sin0+cos6)sin20+sin6cos0=---=|.故選C.

5.［2021全國(guó)卷乙,5分］cos2"—cos2需=(D)

A*

BTC-TDT

［解析］因?yàn)閏os工=sin管一工）=si.n—TT,（注意到工+工=5,所以可靈活運(yùn)

12

用誘導(dǎo)公式化為同角）

所以Cos2^—cos2,=cos2號(hào)—sin2號(hào)cos(2x自=cos^=?.故選D.

6.［2021全國(guó)卷甲，5分］若aE(0,,tan2a-C0Sg，則tana=(A)

2-sina

A-f

BTC-TD-v

2sinacosa2sinacosa

［解析］因?yàn)閠an2a=黯，且tan2a=,所以

l-2sin2a2-sinal-2sin2a

cosa1V154

，由aW他5得cosaW0,解得sina=-,cosa——，tana=

2-sina44

sina=票故選A.

cosa

7.［2020全國(guó)卷II,5分］若a為第四象限角，則（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

［解析］由題意，知一1+2kn<a<2/cn(fceZ),所以—TI+4/CIT<2a<

4/CTT(/CGZ),所以cos2a<0或cos2a>0,sin2a<0,故選D.

【速解】當(dāng)a=一“時(shí)，cos2(z=0,sin2a=-1排除A,B,C,故選D.

49

8.［2020全國(guó)卷III,5分］已知2tan6—tan(0+?)=7,則tan6=(D)

A.-2B.-1C.1D.2

［解析］由已知得2tan6-篝營(yíng)=7,得tan0=2.

9.［2020全國(guó)卷I,5分］已知aG(O,TT)，且3cos2a—8cosa=5，則sina-

(A)

A.—B.-C.-D.—

3339

［解析］3cos2a—8cosa=5,.-13(2cos2a—1)—8cosa=56cos2a—

8cosa—8=0,.-,3cos2a_4cosa-4=0，解得cosa-2(舍去)或cosa—

—|.???aEsina—V1—cos2a=.故選A

10.［2019全國(guó)卷I,5分］tan255°=(D)

A.-2-V3B.-2+V3C.2-V3D.2+V3

坦+i

［解析］tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=f=2+

V3,故選D.

11.［2019全國(guó)卷II,5分］已知aG(0,；),2sin2a-cos2a+1,則sina=

(B)

A.-B.—C.—D.—

5535

［解析］由2sin2a=cos2a+1,得4sinacosa=1—2sin2a+1,即

2sinacosa=1—sin2a.因?yàn)閍E(。()，所以cosa=V1—sin2a,所以

2sinaVl—sin2a=1—sin2a,解得sina=日，故選B.

二、填空題

12.［2023全國(guó)卷乙，5分］若,tan0=-，則sin0—cos6=

［解析］由,解得5「故sin6-

sin20+cos20=1,

13.［2022浙江，6分］若3sina-sin夕=V10，仇+夕=］,則sina=

3V104

_,cos2p=—.

FT-尸5

［解析］因?yàn)閍+P=；,所以夕=］-a,所以3sina—sin￡=3sina—

sin(；-a)=Ssina—cosa=V10sin(a-g)=V10,其中sincp=

,coscp~~~~~.所以a—0=5+2/cn,kE.Z9所以a=鼻+9+2/CTC,kE.

Z,所以sina=sin(］+9+2/CTI)=COS(P=誓，左￡2.因?yàn)?也夕=

3sina—V10=—噂,所以cos2夕=1—2sin2jff=1—|.

14.［2021北京，5分］若尸(cos6,sin0)與Q(cos(9+Jsin(0+&關(guān)于y軸

對(duì)稱，寫出一個(gè)e的值處(答案不唯一).

TZ

［解析］由題意可得cos6=—cos(9+5)，sin0=sin+：)，貝U。=2/CIT+

n-(e+?)6=察+Mi,kEz，可令k=0,貝！Je=胃,故e的一個(gè)值為磬.

\6/121Z1Z

15.［2020江蘇，5分］已知siM償+a)=|，則sin2a的值是:.

［解析］因?yàn)镾in2(2+a)=|,所以1cosg+2a)=|,1+s：2a=|，得S也2a=(.

16.［2020浙江，6分］已知tan0=2，則cos20=二^,tan(9—：)=：.

［解析］解法一因?yàn)閠an0=2,所以sin0=2cos6,由sin2。+cos20=1可

知，Sin2e=g,所以cos2e=l—2sin2e=—/tan(。一￡)=黑=*

1

3.

cos20-sin20_l-tan20

解法二因?yàn)閠an9=2所以cos20=cos20—sin20

cos20+sin20l+tan20

1-4tan6-l_2-1_1

1+41+tan0-1+2—3

17.［2020北京,5分］若函數(shù)f(%)=sin(%+g)+cos%的最大值為2,則常數(shù)卬

的一個(gè)取值為工(符合2Mi+JkeZ都可以,答案不唯一).

［解析］易知當(dāng)y=sin(x+0),y=cos%同時(shí)取得最大值1時(shí)，函數(shù)/(%)=

sin(%+0)+cosx取得最大值2,故sin(%+0)=cosx,則0=］+2ku,kE

Z,故常數(shù)0的一個(gè)取值為(

18.［2019全國(guó)卷I,5分］函數(shù)/(%)=sin(2%+當(dāng))—3cos%的最小值為二.

［解析］f(汽)=sin(2光+—3cosx=—cos2x—3cosx=1—2cos2%—3cosx=

-2(COSK+［)+g因?yàn)閏osXe,所以當(dāng)cos%=1時(shí)，/(%)取得最

小值，/(%)min=-4.

19.［2019江蘇，5分］已知需目=—I，則5也（2/+；）的值是^.

\4/

［解析］解法一品與tana(l-tana)—|,解得tana=2或tana=一1,當(dāng)

tana+1

1-tana

2sinacosa2tana4cos2a-sin2a

tana=2時(shí),sin2a=—；----=-,cos2oa=---------=

sin*2a+cos2atanza+l5sinza+cosza

匚,止匕時(shí)sin2a+cos2a=二，同理當(dāng)tana=一工時(shí)，sin2a=

tan2a+l553

—|,cos2a=，此時(shí)sin2a+cos2a=|,所以sin(2a+：)=-y(sin2a+

cos2a)=—.

」io

tanctsinacos(a+v)2rt/TT\2/

解法二一彳―示=-----7一鼠=——，則sinacos(cz+-)=--cosasin(a+

tan(a+少cosasin(a+^J3V4/3\

，又芋=sin[(a+-仇]=sin(a+；)cosa—cos(a+sina=

|sin(a+B)cosa,貝！Jsin(a+cosa=哈，則sin(2a+習(xí)=sin[(a+習(xí)+

1.X,TTx,(,.1./,Tt\13V2V2

a\=sinfa+-jcosa+cosa+—sina=-sina+-cosa=-x——=—.

」v4y\473\4731010

三、解答題

20.[2019浙江，14分]設(shè)函數(shù)/(%)=sin%,xeR.

(I)已知ee[o,2ii),函數(shù)/o+0)是偶函數(shù)，求e的值；

[答案]因?yàn)?+0)=sin(%+0)是偶函數(shù)，

所以8=^+fcn,fcGZ,

所以cos0=0.

又ee[O,2TT)，因此e=]或等.

(II)求函數(shù)y=[/(%+fj)52+[/(久+g』2的值域.

[答案]y=[f(x+「)]2+[f(x+9]2

=sin2(%+§+sin2(%+

1-cos(2x+gl-cos(2x+?

=1—-(―cos2%--sin2%)

2\22)

=1—Ycos(2汽+.

因此，函數(shù)的值域是[1—今1+'.

考點(diǎn)15三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題組一

一、選擇題

1.［2023天津，5分］已知函數(shù)/(%)圖象的一條對(duì)稱軸為直線4=2,7(%)的一個(gè)

周期為4,則/(久)的解析式可能為(B)

A./(%)=sin(1汽)B./(%)=cosC./(%)=sin(:汽)D./(%)=

cos(")

［解析］對(duì)于A,/(%)=sin管％),最小正周期為答=4,因?yàn)?⑵=sinn=

0,所以函數(shù)/(%)=5也仁久)的圖象不關(guān)于直線％=2對(duì)稱，故排除A；對(duì)于

B,/(%)=cos6x),最小正周期為爭(zhēng)=4,因?yàn)?⑵=COST!=-1,所以

函數(shù)/(無)=cose％)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，故選項(xiàng)B符合題意；對(duì)于

C,D，函數(shù)y=sin《％)和y=cos《％)的最小正周期均為答=8,均不符合

4

題意,故排除C,D.綜上，選B.

2.(2023全國(guó)卷乙，5分)已知函數(shù)/(%)=sin(a%+夕)在區(qū)間g,竽)單調(diào)遞

增,直線%=:和%=§為函數(shù)y=f(x)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸，貝行(一工)=

(D)

A.--B.--C.-D.—

2222

［解析］由題意得卜空=斗-；，解得a=2,易知久=3是/(%)的最小值點(diǎn)，

260366

所以UX2+(p=—+2fcir(/ceZ),得p=—+2/CTC(JCeZ),于是/(%)=

626

sin(2x+詈+2/CTT)—sin(2%+詈)，f(一工)=sin(-x2+=sing=

與，故選D.

3.［2022浙江，4分］為了得到函數(shù)y=2sin3久的圖象，只要把函數(shù)y=

2sin(3x+§圖象上所有的點(diǎn)(D)

A.向左平移段個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移與個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

1515

［解析］因?yàn)閥=2sin(3x+1)=2sin［3(x+自］，所以要得到函數(shù)y=sin3x的

圖象，只要把函數(shù)y=2sin(3%+§的圖象上所有的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)

度，(易錯(cuò)：平移時(shí)注意確定平移方向與單位長(zhǎng)度)

故選D.

4.［2022全國(guó)卷甲，5分］將函數(shù)/(%)=sin(3K+§(3>0)的圖象向左平移］

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則口的最小值是(C)

A.-B.-C.-D.-

6432

［解析］記曲線C的函數(shù)解析式為gO),則g(%)=sin?(%+］)+堂=sin［o)為+

ga+E)］.因?yàn)楹瘮?shù)g(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以三3+?=Mr+

(fcGZ),得3=2k+1(kGZ).因?yàn)?>0,所以3min=1?故選C.

5.［2022北京，4分］已知函數(shù)f(%)=cos2%—sin2%,則(C)

A.f(%)在(-；,-：)上單調(diào)遞減B.f(%)在(-上單調(diào)遞增

C./(%)在(0()上單調(diào)遞減D.7(%)在(4工)上單調(diào)遞增

［解析］依題意可知/(%)=cos2%—sin2%=cos2%,對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋

所以2%E(―u,—§,函數(shù)/(%)=cos2%在(—］,—§)上單調(diào)遞

增，所以A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋(一玄沙所以"e(一建)，

函數(shù)/Q)=cos2%在(-%卷)上不單調(diào)，所以B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因

為％G(0,(),所以2%G(0,g),函數(shù)/(%)=cos2%在(0,(上單調(diào)遞減,所

以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椤癈&工)，所以函數(shù)/(%)=

cos2%在(2，器)上不單調(diào)，所以D選項(xiàng)不正確.故選C.

【速解】易得/(%)=cos2x,它的圖象是將y=cos%的圖象的橫坐標(biāo)縮短到原

來的］得到的.

因?yàn)閥=COS久在(O,TT)上單調(diào)遞減，在(一TT,0)上單調(diào)遞增，所以/(%)=cos2%

在(0()上單調(diào)遞減，在(-；,0)上單調(diào)遞增，且其最小正周期為n,所以A,

B,D錯(cuò)誤，C正確，故選C.

6.［2021新高考卷I,5分］下列區(qū)間中，函數(shù)/(%)=7sin(x—3單調(diào)遞增的

區(qū)間是(A)

A(嗚)B.&n)C?W)?得,2U)

［解析］解法一令--+2Ml<%--<-+2/CTC,kEZ,得--+2/CTT<x<—+

26233

2/nr,kGZ.取k=0,則冶W%W州.因?yàn)?0,印冶，等,所以區(qū)間(0弓)

是函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間.故選A.

解法二當(dāng)0<%<：時(shí)，—］<.所以/(%)在(0()上單調(diào)遞增，故A

正確；當(dāng)廣工<n時(shí)，］<%—即<^，所以/(久)在(”)上不單調(diào)，故B不

正確；當(dāng)TT<%<乎時(shí)，詈<%—汴等，所以/(%)在N陽上單調(diào)遞減，故

C不正確；當(dāng):<%<2ir時(shí)，詈<%—方〈詈，所以/(%)在停,2同上不單

調(diào)，故D不正確.故選A.

【速解】/(%)=7sin(x—§的圖象是將y=7sin%的圖象向右平移藍(lán)個(gè)單位

長(zhǎng)度得到的.因?yàn)閥=7sin%的一個(gè)增區(qū)間為(―￡，，所以易得(03)是

/(%)=7sin(x-§的一個(gè)增區(qū)間.故選A.

7.［2021全國(guó)卷乙，5分］函數(shù)/(久)=sin：+cos：的最小正周期和最大值分別

是(C)

A.3TT和魚B.3TC和2C.6n和/D.6n和2

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=sin|+cos|=V2dsing+弓cos：)=V2(singeos：+

cos|sinE)=V2sin(：+：)，

所以函數(shù)/(%)的最小正周期T=竽=6n,最大值為四.故選C.

3

【方法技巧】一般地，關(guān)注以下結(jié)論在解題中的運(yùn)用，可提高解題的速度和準(zhǔn)

確性：sinx±cosx=V2sin('士,V3sinx+cosx=2sin(%±§),sinx+

V3cosx=2sin(%±］).

8.［2021全國(guó)卷乙，5分］把函數(shù)y=/(%)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;

倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)、=

sin(%-9的圖象，則/(%)=(B)

A.sin(--—)B.sin(-+—)C.sinf2%--)D.sinf2%+—)

\2127\2127k12/V127

［解析］依題意，將、=sin(%-§的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得曲線

上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到/(%)的圖象，所以y=

/什、將其圖象向左平移微個(gè)單位長(zhǎng)度/

sin(%—-J---------------------------->y=sinyx+—J的圖象

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍

------------------------------->/(x)=sin(1+S)的圖象?

9.［2021北京，4分］已知函數(shù)/(%)=cosx—cos2x,則該函數(shù)(D)

A.是奇函數(shù)，最大值為2B.是偶函數(shù)，最大值為2

C.是奇函數(shù)，最大值為9D.是偶函數(shù)，最大值為：

［解析］因?yàn)闊oeR,/(—%)=cos(—%)—cos(—2%)=cosx—cos2x=/(%),所以

函數(shù)/(%)=cosx—cos2x為偶函數(shù).

1、29

(COS%—］)+手,當(dāng)且僅

當(dāng)cos第=：時(shí)，f(x)取得最大值9,所以/(工)的最大值為晟.故選D.

488

【速解】因?yàn)榕己瘮?shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，所以排除A,C；易知當(dāng)cos%=l

時(shí)，cos2%W,故函數(shù)/(無)最大值取不到2,排除B.故選D.

10.［2019全國(guó)卷11,5分］若石--,x=—是函數(shù)/(%)=sin0)%(0)>0)兩

424

個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則3=(A)

31

A.2B.-C.1D.-

22

［解析］依題意得函數(shù)/(%)的最小正周期T=詈=2X(苧—§=TT,解得3=

2,選A.

11.［2019全國(guó)卷II,5分］下列函數(shù)中，以;為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的

是(A)

A./(%)=|cos2x\B./(%)=|sin2x\C./(%)=cos|x|D./(%)=sin|x|

［解析］A中，函數(shù)/(%)=|cos2%|的周期為:，當(dāng)%€仁，］)時(shí)，2%C&TC),

函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，故A正確；B中，函數(shù)/(無)=|sin2%|的周期為］,當(dāng)久G

時(shí)，2%C(Q),函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，故B不正確；C中，函數(shù)/(%)=

cos|%|=cos%的周期為2n,故C不正確；D中，/(%)=sin|%|=

{-sin^%<0由正弦函數(shù)圖象知，在％20和％<0時(shí)，/(%)均以如為周

期，但在整個(gè)定義域上/(久)不是周期函數(shù)，故D不正確.選A.

12.［2020新高考卷I,5分］(多選題)如圖是函數(shù)y=sin(ax+⑴)的部分圖

象，貝ljsin(3%+夕)=(BC)

A.sin（%+；）B.sinQ—2xjC.cos（2%+￡）D.cos（弋一2%）

［解析］由題圖可知，函數(shù)的最小正周期T=2得—印=n，?喘=r,3=±2.

不妨取a>0，則3=2,y=sin（2x+cp），將點(diǎn)0）代入得,sin（2x￡+0）=

02x^+cp=2/cir+IT,/CGZ，即R=2/CIT+g,/ceZ,故y=sin（2x+g）.

由于y=sin（2x+=sin［ir—（2x+詈）］=sin4—2%），故選項(xiàng)B正確；y=

sinQ—2%）=cos碎—Q—2%）］=cos（2x+，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)

TT271

%?時(shí),sinC+弓）=1H0,錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)％=1產(chǎn)=整

6\63/212

時(shí)，cos償-2x瑞）=1工-1,錯(cuò)誤.綜上，選BC.

二、填空題

13.［2022北京，5分］若函數(shù)/（%）=Asin%—百cos%的一個(gè)零點(diǎn)為（則4=

上/圖7?

［解析］依題意得/（；）=4*J一舊X：=0,解得4=1，所以/（%）=sin%-

V5cosx=2sin（第一小，所以/=2sin忌一：）=—V2.

14.(2022全國(guó)卷乙，5分)記函數(shù)/(%)=COS(MT+歹)(3>0,0<p<it)的

最小正周期為T.若/(T)=?,x=^為/(%)的零點(diǎn)，則a的最小值為3.

［解析］因?yàn)門-—(―)="，所以COS(2TT+p)=f，即cos卬=".又0<(p<

，所以3=%因?yàn)椋?2為/(久)的零點(diǎn)，所以白山+^=^+^^^6Z),解得

1T69962

a=9/c+3(/cCZ).又口>0,所以當(dāng)k=0時(shí)，3取得最小值，且最小值為3.

15.(2020全國(guó)卷HI,5分)關(guān)于函數(shù)/(%)=sin%+有如下四個(gè)命題：

①/(久)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

②f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

③/(%)的圖象關(guān)于直線％=5對(duì)稱.

④/(%)的最小值為2.

其中所有真命題的序號(hào)是②③.

［解析］由題意知/(%)的定義域?yàn)椋麨閨%kn,keZ),且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又

/(一%)=sin(-x)+—7—=-(sin%+/一)=-7(%),所以函數(shù)/(久)為奇函

數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以①為假命題，②為真命題.因?yàn)?)=

/一=/(%),所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=

sin(u-%)+si.n(二ii%)=sin%+sinx

］對(duì)稱，③為真命題.當(dāng)sin%<0時(shí)，/(%)<0,所以④為假命題.

16.［2019北京，5分］函數(shù)/(%)=sin22x的最小正周期是1.

［解析］：/(久)=sin22x=,???/(%)的最小正周期T=芋=，

242

三、解答題

17.［2021浙江，14分］設(shè)函數(shù)/(%)=sin%+cos%(%ER).

(I)求函數(shù)y=[/(%+])]2的最小正周期；

[答案]因?yàn)?(%)=sinx+cosx,

所以/(%+])=sin(%+/)+cos(%+/)=cos%—sin%,

所以y=[/(%+1)]?=(cosx—sin%)2=1—sin2%.

所以函數(shù)y=[f(x+])]2的最小正周期T=等=冗.

(II)求函數(shù)y=/(%)/(%*)在[0,，上的最大值.

［答案］/(久一9=sin(%-?)+cos(x—=V2sinx,

所以y=f(x)f(%_：)=V2sinx(sinx+cos%)=V2(sinxcosx+sin2%)=

V2Qsin2x—71cos2x+=1)=sin(2x—

22+今

當(dāng)xW［0弓］時(shí)，2汽一-GH，%

4

所以當(dāng)2%-，即％=詈■時(shí)，函數(shù)y=/(%)/(%-習(xí)在［。門上取得最大

值，Mymax=1+y.

題組二

一、選擇題

1.［2023全國(guó)卷甲，5分］函數(shù)y=/(%)的圖象由函數(shù)y=cos(2x+§的圖象向

左平移J個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則y=/(%)的圖象與直線y=；尤-;的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

622

(C)

A.1B.2C.3D.4

［解析］把函數(shù)y=cos(2%+2的圖象向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)/(%)=

cos［2(%+%)+1-cos(2x+］)=-sin2x的圖象.作出函數(shù)/(%)的部分圖象

和直線y=*-［如圖所示?觀察圖象知，共有3個(gè)交點(diǎn).故選C.

2.［2022新高考卷I,5分］記函數(shù)/(久)=sin(3%+：)+>°)的最小正周

期為T.若曰<T<n，且y=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)停,2)中心對(duì)稱，則/信)=

(A)

35

A.1B.-C.-D.3

22

［解析］因?yàn)?<T<7T,所以？<-<TT,解得2<3<3.因?yàn)閥=fix)的圖

33to

象關(guān)于點(diǎn)停,2)中心對(duì)稱，所以b=2,且5山(亨3+；)+6=2,即

sin(―a+當(dāng)=0,所以鄧to+-=fcn(/ceZ)，又2<a<3,所以空<—o)+

\24/2442

耳,所以軍a+T=4",解得3=1,所以/(%)=sin(|x+：)+2,所

4424z\Z4/

以，(5)=s'11ex3+：)+2=sin號(hào)+2=1.故選A.

3.［2022全國(guó)卷甲，5分］設(shè)函數(shù)/(%)=sin(3%+§在區(qū)間(0,TT)恰有三個(gè)極值

點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是(C)

A」|為D.《爭(zhēng)

［解析］由％G(0,n),得s+§?根據(jù)函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,n)恰有三

個(gè)極值點(diǎn)，知Fcna+Jw?,得?<3根據(jù)函數(shù)/(久)在區(qū)間(0,n)恰

23266

有兩個(gè)零點(diǎn)，知2“<1X60+-<3TC,得三G).綜上，&)的取值范圍為上<

33<<3-6

,8

3v.

4.［2022天津，5分］已知/(%)=|sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：

①/(%)的最小正周期為21T;

②/(%)在［-：，m上單調(diào)遞增；

44

③當(dāng)％G［」,勺時(shí)，/(%)的取值范圍為;

6344

④/(無)的圖象可由g(￡)=卜也(2%+9的圖象向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

其中，正確說法的個(gè)數(shù)為(A)

A.1B.2C.3D.4

［解析］因?yàn)?(久)=|sin2%,所以/(久)的最小正周期T=y=n，所以①錯(cuò)誤；

當(dāng)％C［—%：時(shí)，2%G［-p^］,所以函數(shù)/(%)=/in2%在上單調(diào)遞

增，所以②正確；

當(dāng)％C［—巳三時(shí)，2%￡［—，?］,所以sin2%C［―￡1］,所以函數(shù)/(無)=

6333Z

；sin2%的值域?yàn)椋郇D,所以③錯(cuò)誤；

242

將g(x)=；sin(2久+?的圖象向左平移？個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象對(duì)應(yīng)解析式為

y=3sin［2(%+￡)+：］=|sin9％+］)=gcos2x豐/(%),所以④錯(cuò)誤.

綜上，正確說法的個(gè)數(shù)為1,故選A.

5.［2019天津,5分］已知函數(shù)/(%)=i4sin(a)x+卬)(4>O,o>>0,\(p\<IT)是奇

函數(shù)，且/(久)的最小正周期為TT,將y=/(%)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到

原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).若=遮，則

信)=(0

A.-2B,-V2C,V2D.2

［解析］由/(%)為奇函數(shù)可得w=GZ)，由|伊|<n,得(P-0，又/(%)的最

小正周期為TT，所以詈=n,o>=2.所以/(久)=Asin2%.所以g(%)=Asin%.由

g(；)=Asin；=V2,得A=2，所以/(%)=2sin2x，故/管)=2sin亨=V2.

【方法技巧】若f(%)=4sin(3］+>)(%GR)為奇函數(shù),則g=kir(kGZ),若

f(x)-i4sin(a)x+(p)(xER)為偶函數(shù)，則夕—ku+^(kEZ).

6.［2019全國(guó)卷I,5分］關(guān)于函數(shù)/(%)=sin|x|+|sinx\有下述四個(gè)結(jié)論：

①/(%)是偶函數(shù)

②/(%)在區(qū)間(Q)單調(diào)遞增

③/(%)在|-1T,1T］有4個(gè)零點(diǎn)

④/(%)的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(C)

A.①②④B.②④C.①④D.①③

［解析］解法一：/(一%)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx\=/(%)，：./(%)

為偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)］<%<71時(shí)，/(%)=sin%+sinx-2sinx,：?/W

在單調(diào)遞減，故②不正確；/(久)在［-殖河的圖象如圖所示，由圖可知函

數(shù)/(%)在［-叫a］只有3個(gè)零點(diǎn)，故③不正確；

y

*“

y-sin|x|與y=|sinx\的最大值都為1且可以同時(shí)取到，；./(%)可以取到最

大值2,故④正確.綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故選C.

解法二,?,/(—%)=sin|—%|+|sin(—x)|=sin|x|+|sinx\—/(%),/(%)為偶

函數(shù)，故①正確，排除B；當(dāng)］<%<a時(shí)，/(%)=sin%+sinx-2sinx

/(%)在&TT)單調(diào)遞減，故②不正確，排除Ay=sin|%|與y=|sinx|的最大

值都為1且可以同時(shí)取到，??./(%)的最大值為2,故④正確.選C.

7.［2019全國(guó)卷III,5分］設(shè)函數(shù)/(%)=sin(口%+§⑷>0),已知/(%)在

［0,2n有且僅有5個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論：

①/(%)在(0,2n)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②/(%)在(0,2n)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③/⑺在(0*)單調(diào)遞增

④3的取值范圍是件，靠

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(D)

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

［解析］畫出函數(shù)/(%)的大致圖象，如圖所示，根據(jù)題意知，xA<2u<xB,根

據(jù)圖象可知函數(shù)/(久)在(0,2TT)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)

有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)/w211<出，有等工2n〈等，得甘4

50)50)5

3〈柒所以④正確；當(dāng)%時(shí)，^<a)x+3詈+9因?yàn)?/p>

荒，所以詈+X箸所以函數(shù)/(%)在(0*)單調(diào)遞增，所以③正確.故選

D.

8.［2022新高考卷II,5分］(多選題)已知函數(shù)/?(%)=sin(2x+0)(0<8<

n)的圖象關(guān)于點(diǎn)得，0)中心對(duì)稱，則(AD)

A./(%)在區(qū)間(0瀉)單調(diào)遞減B./(%)在區(qū)間?詈)有兩個(gè)極值

點(diǎn)

C.直線％=?是曲線y=/(%)的對(duì)稱軸D.直線y=第一％是曲線y=/(%)的

62

切線

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)管,0)中心對(duì)稱，所以sin(2x曰+卬)=

0,所以詈+(P=kn(kEZ),結(jié)合。<W<1T,得(P=y,所以/(%)=

sin卜％+野.

對(duì)于A,當(dāng)為€(0,工)時(shí),2%+^G(y,y),所以函數(shù)/(%)在區(qū)間(O,\)單

調(diào)遞減，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)％C(-2等)時(shí)，2%+yG(py),所以函數(shù)/(%)在區(qū)間

(—*詈)只有一個(gè)極值點(diǎn)，故B不正確；

對(duì)于C，因?yàn)?(9)=sin(2xr+詈)=sin3n=0,所以％=?不是曲線y=

/(%)的對(duì)稱軸，故C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)?'(%)=2cos@久+§),若直線y=乎一％為曲線y=/(%)的切

線，則由2cos(2。+等)=-1,得2%+等=2kir+*或2%+*=2kir+

等(keZ),所以％=krc或%=時(shí)+］(/cCZ).當(dāng)％=CZ)時(shí)，/(%)=

y,則由？=乎一eZ),解得k=o；當(dāng)％=/CTI+式左eZ)時(shí)，/(%)=

--y,方程—j=?—ku—g(/ccZ)無解.綜上所述，直線y=^—%為曲線

y=/(%)的切線，故D正確.

綜上所述，選AD.

二、填空題

9.［2023新高考卷I,5分］已知函數(shù)f(%)=cosa)x-l(w>0)在區(qū)間［0,2n］

有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是3.

［解析］函數(shù)/(%)=cosa)x-1在區(qū)間［0,2ir］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即coscox-1

在區(qū)間［0,2刊有且僅有3個(gè)根，因?yàn)閍>0,XC［0,2可，所以3%G［0,2O)TI］,則

由余弦函數(shù)的圖象可知，4TT<2OITI<6TI,解得2W<3,即3的取值范圍

是［2,3).

10.［2023新高考卷II,5分］已知函數(shù)/(%)=sin(。％+3)，如圖，,B是直線

y=：與曲線y=/(%)的兩個(gè)交點(diǎn)，若則/(n)=二空.

26z

［解析］對(duì)比正弦函數(shù)y=sin%的圖象易知，點(diǎn)(詈,0)為“五點(diǎn)(畫圖)法”中

的第五點(diǎn)，(提醒：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)

(畫圖)法”中的哪一個(gè)點(diǎn))

所以日3+3=2TT①.

,TI

由題知|2B|=-久4=!，I51T兩式相減，得3(打一%4)=3，

6(3%B+W=￡，6

即三3=空，解得3=4.

66

代入①，得夕=一詈，所以/(a)=sin(4n_詈)=_sin*=一爭(zhēng)

11.［2021全國(guó)卷甲,5分］已知函數(shù)/(%)=2cos(3%+0)的部分圖象如圖所示,

則滿足條件(/(%)—(/(%)—f管))>0的最小正整數(shù)%為2.

［解析］由題圖可知，3=等—：亨(T為/(%)的最小正周期)，得7=

TC,所以3=2,所以/(%)=2cos(2%+3).點(diǎn)&0)可看作''五點(diǎn)作圖法”中

的第二個(gè)點(diǎn)，貝I］2x2+w=/得8=一，所以/(%)=2cos(2%—),所以

326\6/

/(_—)=2cos［2x-］=2cos(-等)=2cos==l,/(y)=

2cos(2x詈一§=2cosm=0，所以(/(%)—/(―十］(/(無)—f得))>0，

即(/(久)-1)/(%)>0,可得/(%)>1或/(%)<0,所以cos(2%—">3或

cos(2x—：)<0.當(dāng)cos(2x—：)<0時(shí)，］+2/CTI<2%—^<^+2/cn,kE

Z,解得］+Mr<%<詈+Mr,kEZ，此時(shí)最小正整數(shù)%為2.當(dāng)cos(2x一§)>

”寸，4+2加V2%-汴？+2kn,kEZ，解得-^+kTi<x<^+kn,kEZ,

此時(shí)最小正整數(shù)%為3.綜上，最小正整數(shù)%為2.

12.［2020江蘇，5分］將函數(shù)y=3sin(2%+§的圖象向右平移，個(gè)單位長(zhǎng)度，

則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是久=-,.

［解析］將函數(shù)y=3sin(2%+^的圖象向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=

3sin［2(%—方)+弓=3sin(2%—的圖象,由2%—卜='+Mr=eZ,得對(duì)

稱軸方程為久=*+(/cn,keZ,其中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程為久=-空.

【易錯(cuò)警示】解決此類試題時(shí)，經(jīng)常因?yàn)椴焕斫鈭D象平移變換的規(guī)則而出錯(cuò)，

要注意“左加右減”是對(duì)自變量%來說的.

考點(diǎn)16解三角形

題組一

一、選擇題

1.12023全國(guó)卷乙，5分］在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別是a力,c,若

acosB—bcosA—c，且C=￡,則B=(C)

A.—B.-C.—D.—

105105

［解析］因?yàn)閍cosB—bcos4=c,所以由正弦定理得sinZcosB—sinBcosA—

sinC—sin(B+A),則2sinBcos2=0.在△ABC中，sinB二0,則cosA—

0/=；.所以B=Ti—A—C=n-］—￡=工，故選C.

2.［2021全國(guó)卷甲，5分］在△ABC中，已知B=120°,AC=V19,ZB=2,

則BC=(D)

A.1B.V2C.V5D.3

得

［解析］由余弦定理=AB2+BC2_2ABBC-cosB,BC2+2BC-15=

0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故選D.

3.［2020全國(guó)卷III,5分］在△ABC中，cosC=1/C=4,BC=3,則cosB=

(A)

A.-B.-