云南省大理州2024屆高三畢業(yè)生第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

云南省大理州2024屆高三畢業(yè)生第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合人=｛可尤2-無一6<0｝,集合8=｛小=<1卜則AB=()

A.[0,3)B.[1,3)C.[1,3]D.(-2,+oo)

2.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是卜1,0）,則z的共輾復(fù)數(shù)胃=（）

A.1+V2iB.1-V2iC.-l+72iD.-l-72i

3.在，ABC中，AB=3AD，則CD=(

iuumULiriuunuuir

A.AB--ACB.AB+-ACC.-AB-ACD.-AB+AC

3333

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的

天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸.若某次下雨盆

中積水的深度恰好是盆深的一半，則該天池盆中水的體積為（）

A.1404兀立方寸B.1080兀立方寸C.756兀立方寸D.7027r立方寸

22

5.直線y=2x與橢圓c：A+斗=1的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓

ab

C的離心率為（）

A.V2-1B.C.V3-1D.

22

6.函數(shù)/（x）=sin?x+e）（o>0,0<0<n）,若不等式了（點(diǎn)］對(duì)VxeR恒成立,

且/'（X）的圖像關(guān)于x=S對(duì)稱，則。的最小值為（）

O

A.1B.2C.3D.4

7.已知a=1.6,b=e0-6,c=l+lnl.6,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

8.已知三棱錐S-ABC中，AB=2垃,AC=BC=2,三棱錐S—ABC的外接球的表

面積為8兀，則三棱錐S-ABC體積的最大值為（）

A.B.-C.9D.2

333

二、多選題

9.如圖，正方體ABC。-A耳GA的棱長(zhǎng)為1,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.正方體ABCQ-A4C0的內(nèi)切球的半徑為正

2

B.兩條異面直線2c和BG所成的角為三

C.直線8c與平面A8GR所成的角等于彳

D.點(diǎn)。到面AC?的距離為且

2

10.已知函數(shù)/（x）=e、—2x+l,則下列說法正確的是（）

A./（元）有極大值21n2B.7'（X）有極小值3—21n2

C.7'（x）無最大值D.7（尤）在（In2,-）上單調(diào)遞增

11.過拋物線C：V=2px上一點(diǎn)A。,一4）作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交

點(diǎn)分別為M、N,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程是x=T

B.過C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為12

C.直線MN過定點(diǎn)（4,4）

D.當(dāng)點(diǎn)A到直線肱V的距離最大時(shí)，直線肱V的方程為2元+y-38=O

12.已知函數(shù)，（x）=e*4尤-%的零點(diǎn)為。,函數(shù)g（x）=lnx+x-m的零點(diǎn)為匕，其中“eR,

則下列各式成立的是（）

加2

A.ea+]nb>mB.ea+]nb=mC.ab<—

4

D.（a-Z?）2+（ea-lnZ?）2>2

三、填空題

13.（x-2y）8的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足：對(duì)任意的利，weN*,都有“+”=%4,且％=3,則

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

￡i=

as-

15.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功舉辦了三月街民族節(jié)活動(dòng).在活動(dòng)期

間，有6名志愿者報(bào)名參加了三月街民族節(jié)志愿服務(wù)活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后6名志愿者排成

一排合影，則甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為.

16.已知圓C：/+;/-2了-45>+1=0,過點(diǎn)A。,1)的相互垂直的兩條直線分別交圓C于

點(diǎn)Af,N和P,Q,則四邊形MQVP面積的最大值為.

四、解答題

17.記S“為數(shù)列何｝的前〃項(xiàng)和，已知％=2,是公差為1的等差數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

〃11

(2)證明：￡——<7.

k=lakak+l4

18.如圖，在11ABe中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知5=3,c=6,

sin2C=sinB,且AD為邊上的中線，AE為一區(qū)4c的角平分線.

⑴求cosC及線段BC的長(zhǎng)；

⑵求VADE的面積.

19.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCQ為直角梯形，AD//BC,ABJ.BC,側(cè)

面底面ABC。，PA=PB=AD=2,BC=4.

(1)若尸8的中點(diǎn)為E,求證：AE//平面PCD；

(2)若AB=2,求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值.

20.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，激勵(lì)青年學(xué)生積極奮發(fā)向上.某學(xué)校團(tuán)委組織學(xué)生參

加了“青春心向黨，奮進(jìn)新時(shí)代”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行

調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

組

距

04

O.35

.O

0.015—

0.01—

°60708090100分

（1）用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的50%分位數(shù);

（2）將此次競(jìng)賽成績(jī)自近似看作服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差S分別作

為〃，的近似值），已知樣本的平均數(shù)約為80.5,標(biāo)準(zhǔn)差s。7.5.現(xiàn)從該校參與知識(shí)競(jìng)

賽的所有學(xué)生中任取100人，記這100人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過88分的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)

變量X,求X的數(shù)學(xué)期望;

⑶從得分區(qū)間［80,90）和［90,100］的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再?gòu)倪@10

份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷

有2份來自區(qū)間［90,100］的概率.

參考數(shù)據(jù)：若AN(〃,02),貝尸(〃一b<jW〃+b)a0.68,P(〃一2b<JW〃+2b)a0.95,

P(〃-3cr<&W〃+3o■卜0.99.

2

21.已知雙曲線r：方=l（a>0,6>0）,其漸近線方程為x±2y=0,點(diǎn)（2近,1）在

a

r±.

⑴求雙曲線「的方程;

⑵過點(diǎn)A（2,0）的兩條直線AP,A。分別與雙曲線「交于尸，。兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）,

且兩條直線的斜率之和為1,求證：直線P。過定點(diǎn).

22.已知函數(shù)/(x)=2(x-sinx).

（1）判斷函數(shù)/（尤）的單調(diào)性;

⑵已知函數(shù)g（x）=/（x）-4x+2租Inx,其中0>1,若存在g（Aj）=g（%2）（占w%），證

明：x,+x2>1+Inm.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】解一元二次不等式求解集、根式的性質(zhì)求定義域確定集合，由交集運(yùn)算求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)，集合4=何-2＜尤＜3},集合8={x|xWl},

所以Ac3=[l,3).

故選：B

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和共軌復(fù)數(shù)定義解題即可.

【詳解】z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是卜1,0),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得z=T+"，

由共貌復(fù)數(shù)的定義可知』=-1-6.

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

---1.-

【詳解】AB=3AD，：,CD=AD-AC=-AB-AC,

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算即可得解.

由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸,

???積水深9寸，.?.水面半徑為*18+6)=12寸，

則盆中水的體積為，x9x(62+122+6xl2)=756兀(立方寸).

故選：C.

5.A

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】根據(jù)A在橢圓上和直線y=2x上列方程，整理后求得橢圓的離心率.

【詳解】設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為4右焦點(diǎn)為尸（c,o）,

根據(jù)題意：AF_Lx軸，A在橢圓上，

由《+[=1解得力=￡,則AG%,A在直線y=2尤上，則A（c,2c）,

atra<a）

所以2c=Z,及=2訛,a2-c2=2ac,所以e?+2e—1=0（0<e<l）,

a

解得6=也-1.

故選:A

【分析】根據(jù)題意，由條件可得。，再由函數(shù)了（尤）的對(duì)稱軸得到。，即可得到結(jié)果.

【詳解】由已知得=sin[：+°J=1,

又0co<兀，故：+夕=',得夕=：,

?.?〃》）的圖像關(guān)于工=]對(duì)稱，

O

.①兀兀兀,,_

??-----1—=—bkit,k￡Z,

842

貝I]口=2+8左>0,kwZ,

，當(dāng)左=0時(shí)，①的最小值為2.

故選：B.

7.D

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而確定的大小關(guān)系.

【詳解】令〃x）=e=l-x,則（（x）=e-1,x>0,有用x）>0.

故函數(shù)在（0,+功單調(diào)遞增，故/（0.6）>〃0）=0,

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

即e“_l>0.6,所以e°6>1.6,即入,

11_

令g(x)=lnx+l-x,則/(尤=r%>1,有g(shù)<x)<0.

故函數(shù)g(x)在。,欣)單調(diào)遞減，故g(1.6)<g(l)=0,即lnl.6+l—1.6<0,

所以lnl.6+l<1.6,即0>c.

綜上：b>a>c.

故選：D

8.A

【分析】通過分析得到ABC外接圓的半徑和外接球半徑相等，得到MC為外接球中的大

圓，進(jìn)而判斷當(dāng)SO,平面ABC時(shí)，三棱錐的高最大，通過計(jì)算即可得到答案.

【詳解】設(shè)三棱錐ABC外接球的半徑為R,則4兀&=8兀，解得R=0,

?：AB=2。AC=BC=2,：.ZACB=9QP,即ABC為直角三角形，

則，AfiC外接圓的直徑即為直角三角形的斜邊A3,

故.ABC外接圓的半徑廠=也，

所以ABC為外接球中的大圓，即為三棱錐5-ABC外接球的直徑，

設(shè)A2的中點(diǎn)為。，則0即為球心，

當(dāng)SO_1_平面ABC時(shí)，三棱錐的高最大，此時(shí)SO=0，

11n萬

止匕時(shí)匕-ABC=§SABC-SO=-x2xyf2=—^-,

即三棱錐S-ABC體積的最大值為逑.

3

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為:

(1)幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線進(jìn)而求解；

(2)坐標(biāo)法：通過建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間坐標(biāo)運(yùn)算公式求解；

(3)基底法：通過向量的基底轉(zhuǎn)化以及向量的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

9.BC

【分析】根據(jù)正方體和內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，可判定A錯(cuò)誤；連接AC,C，，把異面直線

2c和8G所成的角的大小即為直線2c和A2所成的角，△AC。為正三角形，可判定B正

確；證得4c，平面A3GR,進(jìn)而求得直線BC與平面ABGR所成的角，可判定C正確；

結(jié)合等體積法，得到勿置四二^￡)1-ACD，進(jìn)而可判定D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A中，正方體A3C。-$耳6。的內(nèi)切球的半徑即為正方體ABCD-A4GA的

棱長(zhǎng)的一半，所以內(nèi)切球的半徑”=；,所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于B中，如圖所示，連接ACC，，

因?yàn)锳B//￡2且AB=CQ1,則四邊形ABGR為平行四邊形，所以8CJ/AR,

所以異面直線2c和BQ所成的角的大小即為直線。。和A?所成的角ZARC的大小，

又因?yàn)锳C=A〃="C=0,則△ACR為正三角形，即/A，C=q,所以B正確；

對(duì)于C中，如圖所示，連接B。，在正方形B4GC中，

因?yàn)锳B2平面88。。，4Cu平面B4GC,所以旦C.

又因?yàn)锳BIBG=B,鉆u平面A8CQ,BC,u平面ABC.,

7T

所以BQ，平面ABC.D,,所以直線3C與平面ABCR所成的角為ZCBQ=

所以C正確；

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)點(diǎn)。到面ACO1的距離為/?,因?yàn)椤鰽C。］為正三角形，

所以SVACR=gxACxARsi吟=咚,

又因?yàn)镾vAs=gxADxCD=g,根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：力置CR=%1—ACD，

即：x/zxS=卜￡?2、5砂，即L/zx立JxlxL解得八=",所以D錯(cuò)誤.

3,1332323

故選：BC.

10.BCD

【分析】用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=e'-2x+l的定義域?yàn)镽,并且/'(x)=e<2,

尸(x)=0時(shí)x=ln2

當(dāng)xe(e,ln2)時(shí)，f(%)<0,單調(diào)遞減；

當(dāng)無e(ln2,+w)時(shí)，/^)>0,/(X)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=ln2時(shí)，/(尤)取得極小值，無極大值，也無最大值，

并且極小值=/(In2)=3-21112,所以BCD正確，A錯(cuò)誤;

故選：BCD.

11.AD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)點(diǎn)4。,-4)在拋物線上，求出拋物線方程，即可求出準(zhǔn)線方程；根據(jù)過

拋物線C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短為2p,可判斷B；對(duì)于C,設(shè)直線MN為x=，ny+",

聯(lián)立直線和拋物線方程消元后，再根據(jù)韋達(dá)定理即4WL4V,即可求得直線MN所過定點(diǎn)；

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線"N的距離最大，即可求得MN的方程.

【詳解】將4(1,-4)代入拋物線C中得P=8,則拋物線C為y=16-

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

故拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-4,故A正確；

當(dāng)過拋物線C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為16,故B錯(cuò)誤；

設(shè)直線肱V為苫=沖+〃，M^,y],

聯(lián)立拋物線可得，y1-16my-16n=Q,

%+%=16m,M%--16〃，

?.?AMLAN,

,??田?=1凱12+4H-吸2叫+5+4)(%+4)=0，

,.?。工-4,必。一4,，+4)(%+4)-0,

...(Ky「4)+]=o,

256

化簡(jiǎn)整理可得，

%%-4(%+%)+272=0,

二一16〃一64〃？+272=0,得〃=-4機(jī)+17,

直線MN為x=m(y—4)+17,

二直線MN過定點(diǎn)P(17,4),故C錯(cuò)誤，

當(dāng)MNLAP時(shí)，點(diǎn)A到直線MN的距離最大，

此時(shí)kMN-kAP=—1,k.=3，則kuN=-2,

此時(shí)直線MN為2x+y-38=O,D正確.

故選：AD.

12.BCD

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式和導(dǎo)數(shù)的性

質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】令〃x)=0、g(x)=O,貝Ue*=〃?-x、\ax-m-x,

在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)〉=二、y=lnx、y=〃z—x的圖像，

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

因?yàn)楹瘮?shù)丫=^與y=ln尤互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

m

x=—

解方程組!下得2

m，

二

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=e，+x-機(jī)的零點(diǎn)為。,函數(shù)g(x)=ln%+%-m的零點(diǎn)為Z?,

所以J3(b,lnb)關(guān)于(耳,萬)對(duì)稱,則〃+/?=機(jī)，ea+lnb=m>

所以由基本不等式得必<3叱=左，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=；時(shí)，等號(hào)成立,

442

2

因?yàn)閍】b,i^ab<—,所以A錯(cuò)誤，B、C正確.

4

對(duì)于D,由于(〃-廳+佇-In"表示點(diǎn)A(〃,e。)，3優(yōu),lnb)間距離的平方,

令/z(x)=e",貝!J"⑺=e"，由〃(%)=1解得x=0,此時(shí)，(。)=1,

所以y=e'上的點(diǎn)距y=X的最小距離為卑1=1,

V22

所以由反函數(shù)的對(duì)稱性可得直線V=r+機(jī)與y=e，、y=lnx相交于點(diǎn)4(0,1),3(1,0)時(shí)，

線段AB的長(zhǎng)度最小，

此時(shí)|AB|=0,所以("療+仁-也葉22成立，故D正確；

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的形式利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解是解題

的關(guān)鍵.

13.112

【分析】由二項(xiàng)式定理展開即可求出fy2的系數(shù).

【詳解】因?yàn)?尤-2yy的展開式中含fy2的項(xiàng)為C.6(_2y)2=112x6y2,

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

(x-2y)8的展開式中x6y2的系數(shù)為112.

故答案為：112.

14.9

【分析】根據(jù)%=3得到數(shù)列｛瑪｝是公比為3的等比數(shù)列，然后求生即可.

〃5

【詳解】令m=1,則有%=嘰=3%,故數(shù)列同是公比為3的等比數(shù)列，故今=4』.

故答案為：9.

15.1/0,2

【分析】先根據(jù)全排列求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，然后利用特殊元素優(yōu)先考慮結(jié)合相鄰元素

捆綁法求解滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式求解即可.

【詳解】6名志愿者排成一排合影共有A：中排法，

而乙、丙志愿者相鄰，甲志愿者不在兩邊的排法有種排法，

故甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為

Ag5

故答案為：—

16.7

【分析】先判斷點(diǎn)和圓的關(guān)系，再求出兩條弦長(zhǎng)，最后根據(jù)均值不等式求最大值.

【詳解】圓C：x2+y2-2x-4y+l=0,即：(x-1)2+(y-2)2=4,點(diǎn)A。/)在圓C內(nèi)部，

設(shè)圓心C到直線PQ和肱V的距離分別為4，d2,則有：

\PQ\=2y/4-d；,\MN\=2^4-d；,且力+成引時(shí)之，

所以，四邊形M2NP面積S=J|PQ|pW|=2產(chǎn)下.產(chǎn)至交［8^專述］=7,

2I2J

當(dāng)且僅當(dāng)4=4=［時(shí)等號(hào)成立，故四邊形MQNP面積的最大值為7.

故答案為：7

17.(l)??=2n；

(2)證明見解析

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】（1）根據(jù)題意求出S“=/+〃，根據(jù)S”,a”的關(guān)系即可求得答案；

（2）由（1）可得——的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法求出Z——的表達(dá)式，即可證明結(jié)論.

akak+\k=lakak+\

【詳解】⑴??飛=2,.?.$=q=2,又19，是公差為1的等差數(shù)列，

S

——=2+〃-1—M+1,**?S=n1n,

nn

2

，當(dāng)〃22時(shí)，Sn_x=（n-l）+n-l,

an=Sn-Sn_1="+〃一+〃-1=2〃，

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2滿足上式,

{%}的通項(xiàng)公式為=2n

（2）證明：由（1）知

n1

.?.z—11—I

k=lakak+\4

18.(l)cosC=-,BC=6

4

e3A

)8

【分析】（1）利用二倍角正弦公式結(jié)合正弦定理推出cosC=J,再利用余弦定理即可求得a,

4

即得答案.

（2）求出sinC=正，即可求出5.一利用角平分線性質(zhì)可推出從而

43

2血=京吟即可求得答案.

【詳解】（1）由題意在ABC中，sin2C=sinB,/.2sinCeosC=sinB,

2ccosC=b,而〃=3,c=6,cosC=—,

4

由余弦定理得cosC=U+9-3g=a=6（a=-g舍去），即3c=6.

6a42

（2）在ABC中，cosC=y>0,‘Celo.E],；.sinC=正，

4I2j4

SAKr=ic4CBsinC=ix3x6x^l=^^,

-ABC2244

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

TAE平分N3AC,,\sinZBAE=sinZCAE,

BEA3CEAC

由正弦定理得:

sin/BAEsinNAEBsinZCAEsinZAEC

其中sinZAEB:sinZAEC,

???*=籌=2,貝切=:肛.應(yīng)超=*

ACCE33

?.?4。為8。邊的中線，，54芯=：54?：，

.<,_<_197153715

—-

**.ADE—)ADC-^tAEC~ABC-——g~,

19.(1)證明見解析；

【分析】（1）取尸C的中點(diǎn)F,連接ERD尸，由已知易證四邊形A。尸E是平行四邊形，即

DF//AE,再由線面平行的判定證結(jié)論；

（2）設(shè)。是中點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.

【詳解】（1）如圖，取PC的中點(diǎn)R連接EF,DF,

?:E、尸分別為PB,PC的中點(diǎn)，

EF//BC,EF=-BC=2

2

'：AD//BCS.AD=-BC=2,

2

￡F〃AD且所=A￡）,故四邊形ADFE是平行四邊形，

?.DF//AE,AEZ平面尸CD,￡）尸u平面PCD,

AE〃平面PCD.

P

（2）設(shè)。是AB中點(diǎn)，作。y//BC,由底面A3CD為直角梯形且AP//8C,得。y，AB,

因?yàn)镽4=P3,所以尸O_LAB,

由面24^_1面ABCD,面PABc面ABCD=AB,尸Ou面RW,故尸07.面A3CD,

以。為原點(diǎn)，。氏帆,。尸所在直線分別為x，Mz軸建空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

AA（-1,O,O）,8（1,0,0）、C（l,4,0）、。（-1,2,0）、尸（0,0,?。?

則20=(一1,0,石)，PD=(-1,2,-V3),DC=(2,2,0),

n-BP=-x+>/3z=0廣(rr\

設(shè)面PBD的法向量〃=（%,%z）,則＜L，取X=VL得”=黃,否」；

n?PD=-x+2y-v3z=0

m?DC=2a+2b=0

設(shè)面PCD的法向量根二（a,4c）,貝！J＜取a=l,得根=（1,—1,一百）；

m-PD=-a+2b-6c=0

\m-n\V105

設(shè)平面PCD與平面尸8。的夾角為e,貝1」35。=＞仃^

M-\n\77x7535

.??平面PC。與平面PBD的夾角的余弦值為警.

20.(1)80；

(2)16；

⑶：.

【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的概念求解即可；

（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解尸仔＞88）=0.16,然后根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求解期望

即可；

（3）根據(jù)分層抽樣、條件概率公式求解即可.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：0.01x10+0.04x10=0.5,故此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的50%

分位數(shù)為80分；

（2）由題意可知小~N（80.5,7.5）,因?yàn)镻（〃一b＜J＜〃+b）“0.68,

即尸（73＜告V88卜0.68,故尸偌＞88）=匕詈=0.16,

由題意知，抽取的100人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過88分的學(xué)生人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

即X~5(100,0.16),故X的數(shù)學(xué)期望E(x)=100x0.16=16.

所以抽取的100人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過88分的學(xué)生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為16人；

(3)由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在［8。,9。)和的頻率分別為0.35和0.15,

按照分層抽樣，抽取10份，其中分?jǐn)?shù)在［80,90),應(yīng)抽取10x石篝石=7份，

分?jǐn)?shù)在［90,100］應(yīng)抽取10xos："=3，

記事件A：抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間；

C3—C3—C37

事件8：取出的試卷有2份來自區(qū)間［90,100］,則一

P（AB）=/0仁27

Jo40

7

故-470

4

10

所以抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間［90,100］的概率為1.

21.⑴上一了2=1；

4'

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)雙曲線的漸近線與過一點(diǎn)列方程組即可得的值，從而得雙曲線方程;

⑵設(shè)直線池的方程為尸質(zhì)+，〃，「(4%),。優(yōu),力)，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，

再根據(jù)斜率與坐標(biāo)運(yùn)算從而得k,m的關(guān)系來確定直線定點(diǎn)即可.

【詳解】(1)Vfl>0,b>0,依題意，：2

解得：。=2,b=l,

所以雙曲線C的方程為1-產(chǎn)=1

(2)依題意可知尸。斜率存在，設(shè)方程為、=履+，〃，9(%,%),。(尤2，%)，

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

y=kx+m

—8kmx-4m2—4=0

22

貝I]A=64k2病+4（1-4用（4M+4）>0,即m+l-4^>0@,

8km

玉+工2

1-4左2

所以

4m2+4

l-4k2

設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為K，k2,由題意知：kx+k2=\,故有:

2kxxx2+（m-2左）（％+%2）—4m

履+歸2=—■+-

-2x?—2玉工2-2（玉+々）+4

4m2+48km

2k+（m-2k）-4m

一1一4嚴(yán)1一442

----二1,

4m2+48km

2+4

K4F-1一442

整理得（優(yōu)+2左）（m+2左一1）=0

當(dāng)〃?+2左=0,PQy=kx—2k,過A（2,0）舍去，

當(dāng)初+2k-l=0,^PQ:y=kx-2k+l,過點(diǎn)（2,1）,

91

止匕時(shí)，將7〃=1—2々代入①得（1一2左）+1—4左2=2—4左＞0,得左＜],滿足題意.

二直線PQ過定點(diǎn)/（2,1）

22.（1）函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增

（2）證明見解析

【分析】（1）對(duì)函數(shù)/（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可;

（2）先求出g（x）解析式，由g（xj=g（xj,化簡(jiǎn)可得

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)