與等比數(shù)列相關(guān)的結(jié)論（解析版）-2023年高考數(shù)學技巧練習

專題11與等比數(shù)列相關(guān)的結(jié)論

一、結(jié)論

已知等比數(shù)列{4},公比為q,前〃項和為s“.

⑴an=amq"~"'(m,n∈?V*).

⑵若加+〃=p+4,則am-an=%,?%(〃,p,q∈N*);反之,不一定成立.

t

⑶α102<????anι,am+,αm+2-a2m,a2m+ia2ιn+2…a3nt,成等比數(shù)列(fneN).

(4)公比q≠T時，Sπ,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列(〃GN*).

⑸若等比數(shù)列的項數(shù)為2〃(〃eN*),公比為4,奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S仙，則

(6)]ɑ“},{a}是等比數(shù)列,則Uɑ“},{」-},他,也J,{3}也是等比數(shù)列(/l≠0,〃∈N*).

anbH

(7)通項公式an=%q"7=±?q".從函數(shù)的角度來看,它可以看作是一個常數(shù)與一個關(guān)于n

q

的指數(shù)函數(shù)的積,其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上一群孤立的點.

(8)只有同號的兩個數(shù)才能有等比中項;兩個同號的數(shù)的等比中項有兩個,它們互為相反數(shù).

XXX

⑼三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為一，X,陽；四個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為F，一，

qq

二、典型例題

例題1.(2023秋?河南駐馬店?高三統(tǒng)考期末)在正項等比數(shù)列｛q｝中，若％,%是關(guān)于?-

的方程χ2-∕nr+4=0的兩實根，則log?0l+log?q+log?%-+log?為=(

【答案】B

【詳解】由題意及韋達定理可得4%=4,由等比數(shù)列性質(zhì)可得444%=管,

i?log,al+Iog2a2+Iog2ai++Iog2?9=Iog2al???=9.

故選：B

【反思】若加+〃=〃+4,則a,」。”=4?%(m,”,p,q∈N*),等比數(shù)列中，注意利用角

標和性質(zhì).

例題2.(2023春?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學?？奸_學考試)已知等比數(shù)列｛%｝的

前〃項和S“滿足5s=10,SK)=40,則52。=()

A.130B.160C.390D.400

【答案】D

【詳解】因為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S,滿足Ss=10,品,=40,

所以Ss,Si0-Ss,S15-S,o,S20-S15依然成等比數(shù)列，

2

jj??)S5(Sl5-Sl0)=(Sio-S5),即IO(SL40)=(40-10)2,解得:幾=130,

5!∣JS5(S20-S15)=(S10-S5)(?-S10),BpIO(S20-BO)=30x90,解得：S20=400,

故選：D.

【反思】公比4≠T時，S”，S2,,-,,,S3.—S2,,S4,,-S3,,成等比數(shù)列("∈N*),本例

中，55,Sl0-S5,S15-Sl0,S20-Sl5依然成等比數(shù)列此結(jié)論可快速解題.

例題3.(2023?全國?高三專題練習)已知一個等比數(shù)列首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)

項之和為85,偶數(shù)項之和為170,則這個數(shù)列的項數(shù)為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【詳解】設(shè)這個等比數(shù)列｛可｝共有2kpeN*)項，公比為q,

則奇數(shù)項之和為S奇=%+%++〃2"1=85,

偶數(shù)項之和為S偶=%+/+÷?=?(^÷?++%1)=4S奇=170,

&=型

?85

等比數(shù)列｛%｝的所有項之和為S?.J(1；)=2"-1=170+85=255，則2z=256,

解得％=4,因此，這個等比數(shù)列的項數(shù)為8.

故選：C.

【反思】利用結(jié)論若等比數(shù)列的項數(shù)為2〃(〃∈N*),公比為4,奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項

之和為S(8,則聿=4,可直接根據(jù)結(jié)論求出4,進而求出其它量.

S奇

三、針對訓練舉一反三

一、單選題

1.(2023秋?浙江杭州?高二浙江省杭州第二中學?？计谀?已知數(shù)列｛%｝是遞增的等比數(shù)

歹u，4+2+0,=14,ala2a3=64,則公比g=()

A.?B.1C.2D.4

【答案】C

【詳解】已知4。m=64,所以W=64,解得%=4,即qq=4①;

又4+“2+〃3=14,則q+43=10,即q(l+q2)=10②；又q≠0,

由①②得"=￡，所以2d-5g+2=0,解得9=2或g="

q22

因為數(shù)列｛可｝是遞增的等比數(shù)列，所以4=2.

故選：C.

2.(2023秋?廣東汕頭?高二統(tǒng)考期末)已知正項等比數(shù)列｛α,,｝滿足

log2αl+log2?+……+log2%β2=2022,貝口0g2(q+o2022)的最小值為()

A.1B.2C.IOllD.2022

【答案】B

[詳解】log201+log2o2+……+log2α2022=log,(αlα,...02022)=2022

所以W2????)22=2.2,又數(shù)列｛4｝是正項等比數(shù)列，

所以(Z∣6∣2022=a2aιaι?~a3a2(>ιo=.......=am??a?o?ι=2=4

所以Iog2(?,+?22)>Iog2(2√Ο]?2)=log24=2,當且僅當數(shù)列為常數(shù)列時，等號成立.

故選：B.

3.(2023?全國?高三專題練習)等比數(shù)列[at.)中，己知％+生+6+%=20,%+%+%+仆=I。，

則數(shù)列匕」的前16項和5,為

7512575

A.20B.—C.-----D.-----

222

【答案】B

5-S1

【詳解】試題分析：由題意得，S4=20,58-S,=10,則」J-=],根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)

可知S4,S8-S4,5l2-S8,5,6-S12構(gòu)成公比為T等比數(shù)列，

575

S4=20,S8-S4=10,S12-S8=5,S16-S12=-,且Sg=30,=35,Shi=晝，故選B.

4.(2023?全國,高三專題練習)已知數(shù)列｛%｝的前"項和S"=2"一'+1,則數(shù)列｛%｝的前10

項中所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和的比為()

1172341

A.~B.2C.-----D.-----

2341172

【答案】C

1

【詳解】當〃≥2時，an=Sn-Sn^=2"-,又4=5=2,

即前10項分別為2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,

所以數(shù)列｛4｝的前10項中S155=U=華=341,s=2+止*=2+型=172,所以

1-431-43

?=172

SJ341，

故選：C.

5.（2023?全國?高二專題練習）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的首項為1,奇數(shù)項之和為

21,偶數(shù)項之和為10,則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)歹U｛??｝為等比數(shù)列，設(shè)??=?,<'=q"^',

又由數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項之和為21,偶數(shù)項之和為10,則〃=午=2,

故S“=21+10=-??-~c^-n2"-1=31=〃=5；

1-4

故選：A

6.（2023,全國?高二專題練習）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,其前〃項和為與，前〃項積為

z

τn,且滿足條件4>1,aba,>?,"j<0,則下列結(jié)論錯誤的是（）

%τ

A.0<√<lB.0<aβai<1

C.5”的最大值為邑D.7；的最大值為"

【答案】C

【詳解】若4<0,貝∣J4<0,%>0,所以6%<0,與小%>1矛盾；

若4≥1,則因為q>l,所以4>1，/>1,則忙|>0，馬組］<0矛盾，

因此。<"1,所以AIE確.

因為"二|<0,所以∕>ι>%>o,因此年％=。；?°，1），即B正確.

因為。>0,所以S,單調(diào)遞增，即S,,的最大值不為邑，C錯誤.

因為當“≥7時，?∈（0,l）,當14〃≤6時，??∈（l,+∞）,

所以T11的最大值為"，即D正確.

故選：C

7.（2023?高三課時練習）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,其前〃項和為S“，前〃項積為

并且滿足條件o</<ι<%,則下列結(jié)論正確的是（）

A.?>1B.O<α1<1C.S”的最大值為S?D.T”的最大值為A

【答案】D

【詳解】解：由于O<%<l<%,得°<9=%?<1,同時q>l;由于4>1,O<q<l,則5“

?6

無最大值；由于4>1，0</<l,則7”的最大值為

故選：D.

二、多選題

8.(2023春?安徽?高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試)記等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.，

前"項積為。，且滿足q>ι,a2022>1,?023<1,Ijiij()

A.”2022,“2024—1<°B.$2022+1<$2023

C.金22是數(shù)列｛G中的最大項D.加5>1

【答案】AC

【詳解】數(shù)列｛α,,｝的公比為g?

對于A,?|>1,?3<1>.,?θ<?O23<1>又“2022>1，,0<4<l.

?022'"2024=<?23<1>?'.a2022'“2024—1<°,故A正確;

對于B,I,。2023<1,；?。2023=,^2023-^2022<1，即$2022+1>$2023,故B錯誤;

1

對于C,■-0<?<l,αι>1,二數(shù)列｛““｝是遞減數(shù)列，?二出022>1，?2023??

??.4)22是數(shù)列｛北｝中的最大項，故C正確；

241144

對于。,τ^45=α1α2α,???α4045-αl(α19)(αl?).??(ol?)

=Q產(chǎn)5嚴*314044=”產(chǎn)5產(chǎn)2x4045=佃產(chǎn)］"',

,?,θ<。2023<1，(a202))<?,即‰45<??故Di音誤.

故選AC.

a<

9.(2023?全國?高三專題練習)已知等比數(shù)列｛%｝滿足al>0,公比“>1,且q02"'202∣?>

“I。2.,,“2022>1，則()

A.a202i>1B.當"=2021時，q%…為最小

C.當"=IOll時，4%…%最小D.存在〃<1011,使得4"e=4’2

【答案】AC

【詳解】對A,?,??1>0,q>?,an>0,又O1O2…<?21<1，4/…?22>l,

1,

a2022>>I,

a?a2a2(i21

故A正確.

對B,C,由等比數(shù)列的性質(zhì)，4。2021="2"2020=…=4oιo4o∣2=4o“,

aaaaa

故?2,,,?021="∣OU<1，"1011<1，?22022=43。2021=…=^iɑ??e?o??=ι012，

22

.?.a2a3ai---a2022=α1θ2'>',/aia2---a202l<1,4>0,q>?,.?.al<1,'>1,

aιa?

?1012>1.故當"=IOll時，…4最小，B錯誤,C正確；

對D,當“<1011時，an<α101l<1,^anan^<απ+∣<aπ+2,故D錯誤.

故選：AC

三、填空題

10.（2023秋?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝中，若

a1a4+2a3a5+a4ab=4,則/+%=.

【答案】2

【詳解】等比數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，

.?.a2a4+2ajla5+a4aβ=a；+2ajla5+a；=（4+%]=4,ai+a5=2（負值舍去）

故答案為：2.

11.（2023秋?廣東?高二校聯(lián)考期末）若等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，且d+%4=2e6,

則Intz1+Ina2++In%.

【答案】21

【詳解】由等比數(shù)列的下標和性質(zhì)有d=44，所以Y=e6.

因為數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，所以%=，，

因為a∣%=〃2。6=。Μ5=Y，所以

Inal+Ina2++In%=ln（a1a2%）=Ina：=71na4=7×3=21.

故答案為：21.

12.（2023?高三課時練習）已知S”是正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，SH）=20,則

?-2S2O+SK）的最小值為.

【答案】-5

【詳解】解：設(shè)｛為｝公比為9.

當4=1時,Sl0=IOa1=20,則q=2,此時有S30-2S20+S10=30Λ1-2×20ai÷IOa1=0;

當9力1時，

因為S30一$20=41+。22+L+。3（），S?。-S∣ο="∣∣+&++°20，Sg=《+&++。10，

所以邑0-S?o_%I+〃22+L+“30=/oS2（）-S]0_4]+012+L+a2（）_^∣0

02（）—S]0÷L+%oS]06f÷^z+L+”[O

cill+Cl1212

,220

所以520-‰=5,0×√°=20"。,S30-S20=(S20-Sl0)X<7°=SiO×q°=2O?,

所以∣∣2n

S30-2520+50=S30—52O-(52O-50)=20c∕-20√'"=2θ(q"'-g)-5,

當/°=；時，S30-2?+S10有最小值為一5.

綜上所述，S3。-252。+小的最小值為-5.

故答案為：-5.

13.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)正項等比數(shù)列｛q｝的前"項和為%若邑=IOJ則含

32

的值為.

【答案】91

【詳解】方法一：等比數(shù)列｛q,｝中，邑，S4-S2,S6-S#成等比數(shù)列，

則邑，9S2,8IS2成等比數(shù)列，二$6-邑=8造2,.??56=91邑,

方法二:設(shè)｛q｝公比為4，由題意顯然g>0且#1,所以"(l-/)=io￥°—")nq=3,

l-?7?-q

i-q

故答案為：91.

14.(2023?高二課時練習)設(shè)等比數(shù)列伍,｝共有3"項，它的前2〃項的和為