2023-2024學(xué)年深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

初中PAGE1試卷2023-2024學(xué)年度九年級(jí)寒假作業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷說(shuō)明：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號(hào)等填寫(xiě)在答題卷規(guī)定的位置上．2．考生必須在答題卷上按規(guī)定作答：凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無(wú)效．3．全卷三大題，共4頁(yè)，考試時(shí)間90分鐘，滿分100分．一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.的相反數(shù)是（）A. B.2024 C. D.2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達(dá)到每秒以上．用科學(xué)記數(shù)法表示1300000是（）A. B. C. D.4.某學(xué)校組織演講比賽，最終有7位同學(xué)進(jìn)入決賽，這7位同學(xué)的評(píng)分分別是：9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．請(qǐng)問(wèn)這組評(píng)分的眾數(shù)和中位數(shù)是（）A.9.3，9.4 B.9.7，9.4 C.9.4，9.3 D.9.3，9.55.下列說(shuō)法正確是（）A.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 D.四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形6.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.7.八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的荊州博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，求騎車(chē)學(xué)生的速度．若設(shè)騎車(chē)學(xué)生的速度為，則可列方程為（）A B. C. D.8.如圖，直線被所截，若，，則∠1的大小是（）A.35° B.40° C.50° D.55°9.如圖，在山坡上植樹(shù)，要求兩棵樹(shù)間的坡面距離是3，測(cè)得斜坡的傾斜角為，則斜坡上相鄰兩棵樹(shù)的水平距離是（）A. B. C.6 D.10.如圖，中，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，若，則的值為（）A.5 B.4 C. D.二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.小明觀察某個(gè)紅綠燈口，發(fā)現(xiàn)紅燈時(shí)間20秒，黃燈5秒，綠燈15秒，當(dāng)他下次到達(dá)該路口時(shí)，遇到紅燈的概率是______．12.若，，則代數(shù)式的值是______．13.如圖．是的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，，交于點(diǎn)P．若，則的度數(shù)等于______．14.如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊上，把沿直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，連接．若點(diǎn)D、E、F在同一條直線上，，則______．15.如圖，□OABC頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D（4，3）在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖像經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．已知□OABC的面積是，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________．三、解答題（本題共7小題，其中16題5分，17題7分，18、19、20題各8分，21題9分，22題10分，共55分〕16.計(jì)算17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．18.我市某中學(xué)舉行“法制進(jìn)校園”知識(shí)競(jìng)賽，賽后將學(xué)生的成績(jī)分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題．（1）成績(jī)?yōu)椤癇等級(jí)”的學(xué)生人數(shù)有名；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“D等級(jí)”扇形的圓心角度數(shù)為，圖中m的值為；（3）學(xué)校決定從本次比賽獲得“A等級(jí)”學(xué)生中選出2名去參加市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽．已知“A等級(jí)”中有1名女生，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出女生被選中的概率．19.某中學(xué)為落實(shí)《教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)管理的通知》文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門(mén)選修課程，需要購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球．已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)籃球和3個(gè)足球共需費(fèi)用510元；購(gòu)買(mǎi)3個(gè)籃球和5個(gè)足球共需費(fèi)用810元．（1）求籃球和足球的單價(jià)分別是多少元；（2）學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)籃球、足球共50個(gè)，并要求籃球不少于30個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)5500元．那么有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？20.如圖，為的直徑，交于點(diǎn)C，D為上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至F，使，連接．（1）求證：為的切線；（2）若且，求的半徑．21.[問(wèn)題背景]為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉(cāng)庫(kù)的自動(dòng)換氣窗采用了以下設(shè)計(jì)：如圖，窗子的形狀是一個(gè)五邊形，它可看作是由一個(gè)矩形和一個(gè)組成，該窗子關(guān)閉時(shí)可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度可以自動(dòng)打開(kāi)窗子上的通風(fēng)口換氣通風(fēng)口為（其余部分均不通風(fēng)），為的中點(diǎn)，是可以沿窗戶邊框上下滑動(dòng)且始終保持和平行的伸縮橫桿．已知邊框，設(shè)為，窗子的高度（窗子的最高點(diǎn)到邊框的距離）為．[初步探究]（1）若，，與之間的距離為，通風(fēng)口的面積為①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系是______；②當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系；③伸縮桿移動(dòng)到什么位置時(shí)，通風(fēng)口面積最大，最大面積是多少?[拓展提升]（2）若伸縮桿移動(dòng)到高于所在位置的某一處時(shí)通風(fēng)口面積達(dá)到最大值．h需要滿足的條件是______．通風(fēng)口的最大面積是______（用含a，h的代數(shù)式表示）．22.基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接，若，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，，，若，，求的長(zhǎng)．【拓展提升】（3）如圖3，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接、，，若，，求______．2023-2024學(xué)年度九年級(jí)寒假作業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷說(shuō)明：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號(hào)等填寫(xiě)在答題卷規(guī)定的位置上．2．考生必須在答題卷上按規(guī)定作答：凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無(wú)效．3．全卷三大題，共4頁(yè)，考試時(shí)間90分鐘，滿分100分．一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.的相反數(shù)是（）A. B.2024 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查相反數(shù)的概念，理解并掌握相反數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”的概念即可求解．【詳解】解：的相反數(shù)是，故選：．2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意．B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不合題意；C、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意；故選：C．3.5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達(dá)到每秒以上．用科學(xué)記數(shù)法表示1300000是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．本題確定，即可．【詳解】解：．故選：C．4.某學(xué)校組織演講比賽，最終有7位同學(xué)進(jìn)入決賽，這7位同學(xué)的評(píng)分分別是：9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．請(qǐng)問(wèn)這組評(píng)分的眾數(shù)和中位數(shù)是（）A.9.3，9.4 B.9.7，9.4 C.9.4，9.3 D.9.3，9.5【答案】A【解析】【分析】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．直接根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵這七位同學(xué)的評(píng)分分別是9.1，9.3，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，∴這組評(píng)分的眾數(shù)為9.3，中位數(shù)為9.4．故選：A．5.下列說(shuō)法正確的是（）A.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 D.四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的判定，牢記有關(guān)矩形的判定定理及定義是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)概念題，難度不大．【詳解】解：A、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤；B、兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤；C、兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形可能是菱形，故錯(cuò)誤；D、四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，正確，故選：D．6.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的加法，同底數(shù)冪的除法，算術(shù)平方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．【詳解】解：A．與不能合并，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意；B．，原選項(xiàng)計(jì)算正確，此項(xiàng)符合題意；C．，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意；D．，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，此項(xiàng)不符合題意．故選：B．7.八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的荊州博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，求騎車(chē)學(xué)生的速度．若設(shè)騎車(chē)學(xué)生的速度為，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)“時(shí)間等于路程除以速度”結(jié)合題意，即可列出方程．【詳解】解：設(shè)騎車(chē)學(xué)生的速度為，則汽車(chē)的速度為，20分鐘，由題意得：，故選：C．8.如圖，直線被所截，若，，則∠1的大小是（）A.35° B.40° C.50° D.55°【答案】C【解析】【分析】由三角形外角的性質(zhì)求出，由平行線的性質(zhì)得到最終結(jié)果；本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)得到．【詳解】解：∵，∵，．故選：C．9.如圖，在山坡上植樹(shù)，要求兩棵樹(shù)間的坡面距離是3，測(cè)得斜坡的傾斜角為，則斜坡上相鄰兩棵樹(shù)的水平距離是（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，掌握含直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫(huà)出直角三角形，再利用含30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∴,，∵，∴，則；故選：B．10.如圖，中，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，若，則的值為（）A.5 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，連接，由題意可知，證明，可知為等腰直角三角形，易得，再證，則，，可證，易知為等腰直角三角形，得，，即可求解．添加輔助線構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，連接，∵，，∴，設(shè)，則，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，則，∵，∴，∴，則，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，故選：D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.小明觀察某個(gè)紅綠燈口，發(fā)現(xiàn)紅燈時(shí)間20秒，黃燈5秒，綠燈15秒，當(dāng)他下次到達(dá)該路口時(shí)，遇到紅燈的概率是______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查概率的意義以及概率求法，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵紅燈時(shí)間20秒，黃燈5秒，綠燈15秒，∴遇到紅燈概率是，故答案為：．12.若，，則代數(shù)式的值是______．【答案】4【解析】【分析】本題考查因式分解，掌握平方差公式，利用整體思想求解是關(guān)鍵．【詳解】解：∵，且，∴，∴，故答案為：4．13.如圖．是弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，，交于點(diǎn)P．若，則的度數(shù)等于______．【答案】##20度【解析】【分析】本題主要考查了等邊對(duì)等角，切點(diǎn)的定義，直角三角形兩銳角互余，根據(jù)，得到，，可得，結(jié)合進(jìn)而得出最后的結(jié)論．正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．14.如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊上，把沿直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，連接．若點(diǎn)D、E、F在同一條直線上，，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)折疊和平行線的性質(zhì)說(shuō)明，設(shè)，則，證明，得到，代入解方程可得答案．【詳解】解：∵把沿直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，說(shuō)明是解題的關(guān)鍵．15.如圖，□OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D（4，3）在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖像經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．已知□OABC的面積是，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________．【答案】（，4）【解析】【分析】由點(diǎn)D坐標(biāo)求出k=12，直線OB的表達(dá)式為y=x，設(shè)B（x，x），則C（，x），BC=x﹣，由平行四邊形的面積公式列方程求出x值即可解答．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（4，3），∴k=4×3=12，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∵點(diǎn)D在對(duì)角線OB上，∴設(shè)直線OB的表達(dá)式為y=mx，∴3=4m，則m=，∴直線OB的表達(dá)式為y=x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥OA，設(shè)B（x，x），則C（，x），BC=x﹣，∵OABC的面積是，∴（x﹣）·x=，解得：x=，∵x＞0，∴x=，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，4），故答案為：（，4）．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)，一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和平行四邊形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7小題，其中16題5分，17題7分，18、19、20題各8分，21題9分，22題10分，共55分〕16.計(jì)算【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式、絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)．熟練掌握二次根式化簡(jiǎn)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式.17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式．18.我市某中學(xué)舉行“法制進(jìn)校園”知識(shí)競(jìng)賽，賽后將學(xué)生的成績(jī)分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題．（1）成績(jī)?yōu)椤癇等級(jí)”的學(xué)生人數(shù)有名；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角度數(shù)為，圖中m的值為；（3）學(xué)校決定從本次比賽獲得“A等級(jí)”的學(xué)生中選出2名去參加市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽．已知“A等級(jí)”中有1名女生，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出女生被選中的概率．【答案】（1）5（2）72°；40（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)“A等級(jí)”的人數(shù)及占比求出學(xué)生總?cè)藬?shù)，再減去各組人數(shù)即可求出成績(jī)?yōu)椤癇等級(jí)”的學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)“D等級(jí)”的占比即可求出其圓心角度數(shù)，根據(jù)“C等級(jí)”的人數(shù)即可求出m的值；（3）根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】（1）學(xué)生總?cè)藬?shù)為3÷15%=20（人）∴成績(jī)?yōu)椤癇等級(jí)”的學(xué)生人數(shù)有20-3-8-4=5（人）故答案為：5；（2）“D等級(jí)”的扇形的圓心角度數(shù)為m=，故答案為：72°；40；（3）根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∴P（女生被選中）=．【點(diǎn)睛】此題主要考查統(tǒng)計(jì)調(diào)查的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出學(xué)生總?cè)藬?shù)及概率的求解方法．19.某中學(xué)為落實(shí)《教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)管理的通知》文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門(mén)選修課程，需要購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球．已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)籃球和3個(gè)足球共需費(fèi)用510元；購(gòu)買(mǎi)3個(gè)籃球和5個(gè)足球共需費(fèi)用810元．（1）求籃球和足球的單價(jià)分別是多少元；（2）學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)籃球、足球共50個(gè)，并要求籃球不少于30個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)5500元．那么有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？【答案】（1）籃球的單價(jià)為120元，足球的單價(jià)為90元（2）學(xué)校一共有四種購(gòu)買(mǎi)方案：方案一：籃球30個(gè)，足球20個(gè)；方案二：籃球31個(gè)，足球19個(gè)；方案三：籃球32個(gè)，足球18個(gè)；方案四：籃球33個(gè)，足球17個(gè)【解析】【分析】（1）根據(jù)購(gòu)買(mǎi)2個(gè)籃球和3個(gè)足球共需費(fèi)用510元；購(gòu)買(mǎi)3個(gè)籃球和5個(gè)足球共需費(fèi)用810元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)要求籃球不少于30個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)5500元，可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以求得籃球數(shù)量的取值范圍，然后即可寫(xiě)出相應(yīng)的購(gòu)買(mǎi)方案．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)籃球的單價(jià)為x元，足球的單價(jià)為y元，由題意可得：，解得，答：籃球的單價(jià)為120元，足球的單價(jià)為90元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)采購(gòu)籃球m個(gè)，則采購(gòu)足球?yàn)椋?0-m）個(gè)，∵要求籃球不少于30個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)5500元，∴，解得30≤x≤33，∵x為整數(shù)，∴x的值可為30，31，32，33，∴共有四種購(gòu)買(mǎi)方案，方案一：采購(gòu)籃球30個(gè)，采購(gòu)足球20個(gè)；方案二：采購(gòu)籃球31個(gè)，采購(gòu)足球19個(gè)；方案三：采購(gòu)籃球32個(gè)，采購(gòu)足球18個(gè)；方案四：采購(gòu)籃球33個(gè)，采購(gòu)足球17個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式組．20.如圖，為的直徑，交于點(diǎn)C，D為上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至F，使，連接．（1）求證：為的切線；（2）若且，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）的半徑為3【解析】【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟記切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合對(duì)等角相等即可推出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑，則，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴，∵是半徑，∴為的切線；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)的半徑，則，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得，或（舍去），∴的半徑為3．21.[問(wèn)題背景]為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉(cāng)庫(kù)的自動(dòng)換氣窗采用了以下設(shè)計(jì)：如圖，窗子的形狀是一個(gè)五邊形，它可看作是由一個(gè)矩形和一個(gè)組成，該窗子關(guān)閉時(shí)可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度可以自動(dòng)打開(kāi)窗子上的通風(fēng)口換氣通風(fēng)口為（其余部分均不通風(fēng)），為的中點(diǎn)，是可以沿窗戶邊框上下滑動(dòng)且始終保持和平行的伸縮橫桿．已知邊框，設(shè)為，窗子的高度（窗子的最高點(diǎn)到邊框的距離）為．[初步探究]（1）若，，與之間距離為，通風(fēng)口的面積為①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系是______；②當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系；③伸縮桿移動(dòng)到什么位置時(shí)，通風(fēng)口面積最大，最大面積是多少?[拓展提升]（2）若伸縮桿移動(dòng)到高于所在位置的某一處時(shí)通風(fēng)口面積達(dá)到最大值．h需要滿足的條件是______．通風(fēng)口的最大面積是______（用含a，h的代數(shù)式表示）．【答案】（1）①；②；③金屬桿移動(dòng)到所在的位置時(shí)，通風(fēng)口面積最大，最大面積是；（2）；【解析】【分析】（1）①利用三角形的面積公式解答即可；②過(guò)作，垂足為，分別與、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，由四邊形是矩形，可得四邊形是矩形，再證明，，運(yùn)用相似三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論；③根據(jù)②的結(jié)論進(jìn)行分析計(jì)算即可；（2）在中有內(nèi)接矩形，易證當(dāng)為中位線時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積為面積的一半；延長(zhǎng)、交直線于、，則為的中位線時(shí)，矩形的面積最大；要想金屬桿移動(dòng)到高于所在位置的某一處時(shí)通風(fēng)口面積達(dá)到最大值，只需與邊平行的中位線在上方即可，作于交于，證明，，利用相似三角形性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵，∴當(dāng)時(shí)，在下方，此時(shí)，由題意：，∴，故答案為：；②如圖，過(guò)作，垂足為，分別與、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，由題意可知，，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，即，化簡(jiǎn)，得：，∴；③