2024年中考數(shù)學必考考點總結+題型專訓（全國通用）專題08 三角形綜合篇（原卷版+解析）

專題07三角形的綜合知識回顧知識回顧②分別以點M與點N為圓心，大于MN②①③②①三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。8.等腰三角形的性質：①等腰三角形的兩腰相等。②等腰三角形的兩底角相等。(簡稱“等邊對等角”)③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。(簡稱底邊上三線合一)9.等腰三角形的判定：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個底角相等的三角形是等腰三角形。(等角對等邊)③若一個三角形某一邊上存在“三線合一”,則三角形是等腰三角形。10.等邊三角形的性質：①等邊三角形的三條邊都相等，三個角也相等，且三個角都等于60°。②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”③等腰三角形是一個軸對稱圖形，有三條對稱軸。④等腰三角形的面積等于(a為等腰三角形的邊長)。11.等腰三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個角都相等(兩個角是60°)的三角形是等腰三角形。③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。④有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。12.直角三角形的性質：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。13.勾股定理的內容：在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊是a,b,斜邊14.勾股定理的逆定理：15.特殊三角形三邊的比：16.兩點間的距離公式：1.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F,連接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(2)若AB=4,求線段FC的長.2.如圖1,將長為2a+3,寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”(如圖2),得到大小兩個正方形.(1)用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長.圖1圖2AC上一動點(點P不與點A,D,C重合),過點P作AC的垂線，與AB相交于點Q,連接DQ,設AP=x,△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S.(2)求S關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍.(1)如圖1,點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE=DF,AE與CF的數(shù)量關系是,位置關系是(2)如圖2,點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE=DF,EA與CF的延長線交于點M,則AE①(1)中的結論還成立嗎?如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM,求∠EMD的度數(shù)；事事【性質應用】(1)如圖②,D是△ABC的邊BC上的一點，若BD=3,DC=4,則S△ABD:SADC=(2)如圖③,在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S△(3)如圖③,在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點.若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S(圖①)(圖③)6.在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點.若△OAB≌△OCD,則點O叫做該四邊形的“等形點”.=5,BC=12,連接AC,求AC的長；(3)在四邊形EFGH中，EH//FG.若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”,求的值.7.兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求證：BD=CE;(2)解決問題：如圖2,若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E說明理由.8.在△ABC中，AC=BC,點D在線段AB上，連接CD并延長至點E,使DE=CD,過點E作EF⊥AB,(1)如圖1,若∠ACB=120°,請用等式表示AC與EF的數(shù)量關系：(2)如圖2.若∠ACB=90°,完成以下問題：①當點D,點F位于點A的異側時，請用等式表示AC,AD,DF之②當點D,點F位于點A的同側時，若DF=1,AD=3,請直接寫出AC的長.圖1A備用圖(1)如圖1,CB平分∠ACD,求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于∠BAC),BC,DE的延長線相交于點(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(旋轉角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB的度數(shù).圖1圖3(1)如圖1,AD是等邊△ABC的中線(2)如圖2,在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°.過點A作AP//BC,且AP=BC,過點P作直線I⊥BC,分別交AB、BC于點O、E,求四邊形OECA的面積.(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法①以點C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點D,連接CD;②作CD的垂直平分線l,與CD交于點E;③以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線1于點P,連接AP、BP,得△ABP.請問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求?請證明你的結論.圖2圖311.如圖，在△ABC中，∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于點E.P是邊BC上的動點(不與B,C重合),連結AP,將△APC沿AP翻折得△APD,連結DC,記∠BCD=a.(1)如圖，當P與E重合時，求α的度數(shù).(2)當P與E不重合時，記∠BAD=β,12.綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC=∠ACB.求證∠ACD=∠ABC.獨立思考：(1)請解答王老師提出的問題.實踐探究：(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長CA至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點F,點G,H分別在BF、BC上，BG=CD,∠BGH=∠BCF.在圖中找出與BH相等的線段，并證明.”問題解決：(3)數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當∠BAC=90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求.該小組提出下面的問題，請你解答.“如圖3,在(2)的條件下，若∠BAC=90°,AB=4,AC=2,求BH的長.”(圖1)13.如圖1,在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,AB=4cm.點D從A點出發(fā)，沿線段AB向終點B運動.過點D作AB的垂線，與△ABC的直角邊AC(或BC)相交于點E.設線段AD的長為a(cm),線段DE的長為h(cm).(1)為了探究變量a與h之間的關系，對點D在運動過程中不同時刻AD,DE的長度進行測量，得出變量a(cm)01234變量h(cm)01210在平面直角坐標系中，以變量a的值為橫坐標，變量h的值為縱坐標，描點如圖2-1;以變量h的值為橫坐標，變量a的值為縱坐標，描點如圖2-2.圖2-1根據(jù)探究的結果，解答下列問題：②將圖2-1,圖2-2中描出的點順次連接起來.③下列說法正確的是.(填“A”或“B”)A.變量h是以a為自變量的函數(shù)B.變量a是以h為自變量的函數(shù)(2)如圖3,記線段DE與△ABC的一直角邊、斜邊圍成的三角形(即陰影部分)的面積(cm2)為s.時，求a的值.圖314.已知CD是△ABC的角平分線，點E,F分別在邊AC,BC上，AD=m,BD=n,△ADE與△BDF的面積之和為S.(1)填空：當∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC時， ; ;的數(shù)量關系，并說明理由；時，請直接寫出S的大小.1(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC.①BD,CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.②點D,E分別是邊AC,AB的中點，連接BD,CE.求證：BD=CE.(從①②兩題中選擇一題加以證明)經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB=AC,D為邊AC上一動點(不與點A,C重合).對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E,使得BD=CE.進而提出問題：若點D,E分別運動到邊AC,AB的延長線上，BD與CE還相等嗎?請解決下面的問題：(2)如圖2,在△ABC中，AB=AC,點D,E分別在邊AC,AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并證明.探究：用數(shù)學的語言表達(3)如圖3,在△ABC中，AB=AC=2,∠A=36°,E為邊AB上任意一點(不與點A,B重合),F為邊AC延長線上一點.判斷BF與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.專題07三角形的綜合①②③如圖②②有兩個底角相等的三角形是等腰三角形。(等角對等邊)①等邊三角形的三條邊都相等，三個角也相等，且三個角都等于60°。②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”②三個角都相等(兩個角是60°)的三角形是等腰三角形。④有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。是a,b,斜邊是c,則c2=a2+b2。31.特殊三角形三邊的比：32.兩點間的距離公式：專題練習專題練習1.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F,連接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(2)若AB=4,求線段FC的長.【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質可得MC=MA=MB,根據(jù)外角的性質可(2)根據(jù)CE=CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長.【解答】(1)證明：∵∠ACB=90°,點M為邊AB的中點，(2)解：∵AB=4,2.如圖1,將長為2a+3,寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”(如圖2),得到大小兩個正方形.(1)用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長.圖2【分析】(1)觀察圖形，用直角三角形較長的直角邊減去較短的圖2(2)根據(jù)正方形的面積=邊長的平方列出代數(shù)式，把a=3代入求值即可.較長的直角邊=2a+3,∴小正方形的邊長=2a+3-a=a+3;(2)小正方形的面積=(a+3)2,當a=3時，面積=(3+3)2=36.DB,點P是邊AC上一動點(點P不與點A,D,C重合),過點P作AC的垂線，與AB相交于點Q,連接DQ,設AP=x,△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S.(1)求AC的長；(2)求S關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)勾股定理可求出BD,根據(jù)AD=BD進而求出AC,(2)分兩種情況進行解答，即點P在點D的左側或右側，分別畫出相應的圖形，根據(jù)相似三角形的判定和性質分別用含有x的代數(shù)式表示PD、PE、PQ,由三角形面積之間的關系可得答案.【解答】解：(1)在Rt△BCD中，BC=4,CD=3,(2)當點P在點D的左側時，即0<x<5,如圖1,此時重疊部分的面積就是△PQD的PD=AD-AP=5-x,當點P在點D的右側時，即5<x<8,如圖2,答：S關于x的函數(shù)解析式為：當0<x<5是△ABC的角平分線.(1)如圖1,點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE=DF,AE與CF的延長線交于點M,則AE與CF的數(shù)量關系是,位置關系是：(2)如圖2,點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE=DF,EA的延長線交CF于點M.①(1)中的結論還成立嗎?如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM,求∠EMD的度數(shù)；【分析】(1)證明△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性質得出AE=CF,∠DAE=∠DCF,由直角三角形的性質證出∠EMC=90°,則可得出結論；(2)①同(1)可證△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性質得出AE=CF,∠E=∠F,則可得出結論；②過點D作DG⊥AE于點G,DH⊥CF于點H,證明△DEG≌△DFH(AAS),由全等三角形的性質得出DG=DH,由角平分線的性質可得出答案；③由等腰直角三角形的性質求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案.【解答】解：(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AD(2)①(1)中的結論還成立，理由：同(1)可證△ADE≌△CDF(SAS),②過點D作DG⊥AE于點G,DH⊥CF于點H,例如：如圖①,在△ABC和△A'B'C中，AD,A'D'分別是BC和BC邊上的高線，且AD=A'D'、則△ABC和△A'B'C是等高三角形.【性質探究】則【性質應用】(2)如圖③,在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,SABC=1,則SBEC=,S△CDE=;(3)如圖③,在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點.若BE:AB=1:m,CD:(圖②)(圖②)(圖③)【分析】(1)根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案；(2)同(1)的方法即可求出答案；(3)同(1)的方法即可求出答案.【解答】解：(1)∵BD=3,DC=4,故答案為：3:4;6.在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點.若△OAB≌△OCD,則點O叫做該四邊形的(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”.已知CD求的值.【分析】(1)根據(jù)“等形點”的定義可知△OAB≌△OCD,則∠OAB=∠C=90°,而O=∠OEF,再由平行線性質得OE=OH,從而推出OE=OH=OG,從而解決問題.【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，(2)作AH⊥BO于H,設OH=x,則BH=7-x,(3)如圖，∵邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”,7.兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求證：BD(2)解決問題：如圖2,若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關系并說明理由.即可得BD=CE:(2)根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE(SAS),即有AD=BE,∠ADC=∠BEC,從而可得∠BEC=∠ADC=135°,即知∠AEB=∠BEC-∠CED故AE=AD+DE=90°,由CD=CE,CM⊥DE,∠DCE=90°,可得DM故AE=AD+DE【解答】(1)證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，(2)解：∠AEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∵△CDE是等腰直角三角形，8.在△ABC中，AC=BC,點D在線段AB上，連接CD并延長至點E,使DE=CD,過點E作EF⊥AB,交直線AB于點F.(2)如圖2.若∠ACB=90°,完成以下問題：①當點D,點F位于點A的異側時，請用等式表示AC,AD,DF之間的數(shù)量關系，并說②當點D,點F位于點A的同側時，若DF=1,AD=3,請直接寫出AC的長.圖1圖2備用圖【分析】(1)過點C作CG⊥AB于G,先證明△EDF≌△CDG,得到EF=CG,然后等腰三角形的性質和含30度直角三角形的性質，即可求出答案；(2)①過點C作CH⊥AB于H,與(1)同理，證明△EDF≌△CDH,然后證明△ACH②過點C作CG⊥AB于G,與(1)同理，得△EDF≌△CDG,然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.【解答】解：(1)過點C作CG⊥AB于G,如圖1,(2)①過點C作CH⊥AB于H,如圖2,與(1)同理，可證△EDF≌△CDH,∴△ACH是等腰直角三角形，②如圖3,過點C作CG⊥AB于G,與(1)同理可證，△EDF≌△CDG,當點F在點A、D之間時，有與①同理，可證△ACG是等腰直角三角形，當點D在點A、F之間時，如圖4:(1)如圖1,CB平分∠ACD,求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于∠BAC),BC,DE的(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(旋轉角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質得到AC=DC,根據(jù)角平分線的定義得到∠DCB=(2)根據(jù)全等三角形的性質得到∠ABC=∠DEC,根據(jù)三角形內角和定理證明即可；(3)在AD上取點M,使AM=BC,連接BM,證明△AMB≌△CBD,得到BM=BD,∠ABM=∠CDB,根據(jù)三角形的外角性質、三角形內角和定理計算，得到答案.【解答】(1)證明：∵△ABC≌△DEC,∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴平行四邊形ABDC為菱形；(2)解：∠ACE+∠EFC=180°,(3)解：如圖3,在AD上取點M,使AM=BC,連接BM,則∠ADB=α+β,∴α+β=30°,即∠ADB=30°,圖3(1)如圖1,AD是等邊△ABC的中線，點P在AD的延長線上，且AP=AC,則∠APC的度數(shù)為(2)如圖2,在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°.過點A作AP//BC,且AP=BC,過點P作直線l⊥BC,分別交AB、BC于點O、E,求四邊形OECA的面積.(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上①以點C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點D,連接CD;③以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線1于點P,連接AP、BP,得△ABP.請問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求?請證明你的結論.圖2圖1圖2【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質得到AB=AC,∠BAC=60°,圖3根據(jù)等腰三角形的三(2)連接PB,證明四邊形PBCA為菱形，求出PB,解直角三角形求出BE、PE、OE,(3)過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，兩條平行線交于點F,根據(jù)線段垂直平分線的性質得到PA=PF,根據(jù)等邊三角形的性質得到∠PAF=60°,進而求出∠BAP=15°,根據(jù)要求判斷即可.【解答】解：(1)∵△ABC為等邊三角形，故答案為：75°;∵AP//BC,AP=BC,∴四邊形PBCA為平行四邊形，∴平行四邊形PBCA為菱形，(3)符合要求，理由如下：如圖3,過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，兩條平行線交于點F,∴四邊形FDCA為正方形，∴裁得的△ABP型部件符合要求.11.如圖，在△ABC中，∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于點E.P是邊BC上的動點(不與B,C重合),連結AP,將△APC沿AP翻折得△APD,連結(1)如圖，當P與E重合時，求α的度數(shù).(2)當P與E不重合時，記∠BAD=β,探究α與β的數(shù)量關系.【分析】(1)由∠B=40°,∠ACB=90°,得∠BAC=50°,根據(jù)AE平分∠BAC,P與E重合，即得∠ACD=∠ADC=65°,從而α=∠ACB-∠ACD=25°;(2)分兩種情況：①當點P在線段BE上時，可得∠ADC=∠ACD=90°-α,根據(jù)∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD,即可得2α-β=50°;②當點P在線段CE上時，延長AD∠BAD可得90°-α=40°+α+β,2a+β=50°.【解答】解：(1)∵∠B=40°,∠ACB=90°,∵AE平分∠BAC,P與E重合，答：α的度數(shù)為25°;(2)①當點P在線段BE上時，如圖：②如圖2,當點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F,如圖：如圖1,在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC=∠ACB.求證∠ACD=∠ABC.獨立思考：(1)請解答王老師提出的問題.實踐探究：(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長CA至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點F,點G,H分別在BF、BC上，BG=CD,∠BGH=∠BCF.