專題04三角大題真題精練

專題04三角大題真題精練1．（2023年新高考全國(guó)I卷）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【考點(diǎn)】（1）利用三角形內(nèi)角關(guān)系換角消元求角；（2）由二角一邊求邊和角；（3）由兩邊一夾角和對(duì)邊對(duì)角用等積法求高.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，由，由正弦定理，，可得，，.2．（2023年新高考全國(guó)II卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【考點(diǎn)】（1）將面積做分形轉(zhuǎn)換成知一邊一角的小三角形面積，（2）利用面積公式知三求一；（3）由一角兩邊求角；（4）利用中線與邊線形成兩角互補(bǔ)，兩角余弦值和為0，建立面積關(guān)系的方程組建立二元方程，也可用中線向量與邊長(zhǎng)向量等式兩邊平方建立二元方程，（5）解二元二次方程組；然后同樣與條件等式聯(lián)立求解.【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過(guò)作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.3．（2022年新高考全國(guó)I卷）記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【考點(diǎn)】（1）利用二倍角公式和兩角和差公式轉(zhuǎn)化條件等式；（2）利用內(nèi)角關(guān)系換角求值；（3）由正弦定理邊換角建立基本不等式結(jié)構(gòu)式求最值.【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．4．（2022年新高考全國(guó)II卷）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【考點(diǎn)】（1）利用面積公式轉(zhuǎn)換三元二次方程；（2）利用余弦定理公式整體轉(zhuǎn)換；（3）利用同角平方關(guān)系轉(zhuǎn)化求值.（4）利用正弦定理比例平方整體轉(zhuǎn)化求值【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.5．（2021年新高考全國(guó)I卷）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【考點(diǎn)剖析】（1）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)換（2）利用余弦定理同角分形建立兩元方程；（3）整體代換消元建立齊次二元二次方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求得兩邊比，利用余弦定理消元求值；（4）線段分點(diǎn)問(wèn)題可用平面向量基本定理建立方程【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)椋?，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛?，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．6．（2021年新高考全國(guó)II卷）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】（1）由正弦定理角換邊，建立方程組求值；（2）余弦定理三邊求角再求面積；（3）利用余弦定理建立三元函數(shù)，等量代換消元變成一元函數(shù)判斷正負(fù).【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.7．（2020年新高考全國(guó)卷）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【考點(diǎn)】（1）正弦定理角換邊；（2）知一角用余弦定理建立函數(shù)；（3）解方程組求值.（4）三角形內(nèi)角互換建立方程求角【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：由可得：，不妨設(shè)，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時(shí).若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時(shí)：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問(wèn)題中的三角形不存在.［方法二］：由，得．由，得，即，得．由于，