福建省泉州市高三上學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（二）

泉州市2024屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（二）高三數(shù)學本試卷共22題，滿分150分，共8頁.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙?試題卷上答題無效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的，黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，解得：，所以，所以.故選：D.2.已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)乘法運算和坐標對應方式即可做出選擇.【詳解】，對應復平面內(nèi)對應的點，因為，所以位于第二象限.故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系和范圍即可解出，則得到答案.【詳解】因為，則，結合，解得，則，故選：C.4.已知圓柱母線長等于2，過母線作截面，截面的最大周長等于8，則該圓柱的體積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件知當截面的周長最大時，截面為圓柱的軸截面，結合已知條件求出圓柱的半徑，利用圓柱的體積公式即可求解.【詳解】當過母線作截面，截面的周長最大時，此時截面為軸截面.設圓柱的底面半徑為，則因為過母線作截面，截面的最大周長等于8，所以，解得.所以該圓柱的體積為.故選：B.5.函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）21012352.31.10.71.12.35.949.1A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B，D；當時，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長越來越快，可排除C.故選：A.6.若拋物線與橢圓的交點在軸上的射影恰好是的焦點，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出橢圓與拋物線交點坐標，代入橢圓方程并結合離心率定義即可.【詳解】不妨設橢圓與拋物線在第一象限的交點為，橢圓右焦點為，則根據(jù)題意得軸，，則，則，當時，，則，則，代入橢圓方程得，結合，不妨令；解得，則其離心率，故選：C.7.某學校舉辦運動會，徑賽類共設100米?200米?400米?800米?1500米5個項目，田賽類共設鉛球?跳高?跳遠?三級跳遠4個項目.現(xiàn)甲、乙兩名同學均選擇一個徑賽類項目和一個田賽類項目參賽，則甲、乙的參賽項目有且只有一個相同的方法種數(shù)等于（）A.70 B.140 C.252 D.504【答案】B【解析】【分析】由分類加法、分步乘法計數(shù)原理以及排列組合的計算即可得解.【詳解】由題意若甲、乙的相同的參賽項目為徑賽類項目，則有種選法，他們再分別從田賽類項目中各選一個（互不相同）即可，這時候有種選法，所以此時滿足題意的選法有，由題意若甲、乙的相同的參賽項目為田賽類項目，則有種選法，他們再分別從徑賽類項目中各選一個（互不相同）即可，這時候有種選法，所以此時滿足題意的選法有，綜上所述，甲、乙的參賽項目有且只有一個相同的方法種數(shù)等于種.故選：B8.已知函數(shù).若函數(shù)存在零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對求導，求出的單調(diào)性和最值，函數(shù)存在零點，即與的圖象有交點，即可求出的取值范圍.【詳解】，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以的最大值為，最小值為，故，函數(shù)存在零點，即，即與的圖象有交點，所以故選：C,二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.拋擲一枚股子，設事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”，事件“出現(xiàn)的點數(shù)為3的倍數(shù)”，則（）A.與是互斥事件B.不是必然事件C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用事件的關系，互斥事件與對立事件的定義結合古典概型的概率公式，即可判斷求解.【詳解】擲骰子有點數(shù)為1，2，3，4，5，6六種結果，事件A=“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”包含2，4，6三種結果，事件B=“出現(xiàn)的點數(shù)為3的倍數(shù)”包含3，6兩種結果，對于A，事件A，B有可能同時發(fā)生，故事件A，B不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件包含2,3,4,6四種結果，所以不是必然事件，故B正確；對于C，事件包含6一種結果，所以，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，當時，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】求出函數(shù)的周期，根據(jù)周期性計算函數(shù)值再判斷即可.【詳解】因為，則，所以的周期為2，對A，，因為，令，則，顯然，對B，因為，則，則，故B正確；對C，，，則，故C錯誤；對D，，，則，故D正確.故選：BD.11.已知拋物線的準線為，焦點為，過的直線與交于兩點，則（）A.的方程為B.與以線段為直徑的圓相切C.當線段中點的縱坐標為2時，D.當?shù)膬A斜角等于時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出準線方程判斷A，根據(jù)拋物線定義及圓與直線相切的判定判斷B，利用拋物線的定義求弦長可判斷CD.【詳解】由拋物線的方程可知，所以準線方程為，故A正確；設中點為，過分別作準線的垂線，垂足分別為，則由梯形中位線可得，再由拋物線定義可得，，所以，即圓心到準線的距離等于半徑，所以與以線段為直徑的圓相切，故B正確；設，因為中點的縱坐標為2，所以，由拋物線的定義可知，故C錯誤；當?shù)膬A斜角等于時，由于，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，所以，由拋物線定義可得，故D正確.故選：ABD12.在空間直角坐標系中，，，，，在球的球面上，則（）A.平面B.球表面積等于C.點到平面的距離等于D.平面與平面的夾角的正弦值等于【答案】AC【解析】【分析】由球心F在平面ABC上的投影位置及D點求球心F的坐標和球半徑，可得E點坐標，利用空間向量計算點到平面的距離和平面與平面的夾角的正弦值.【詳解】平面ABC的一個法向量，，則，又因為平面ABC，所以平面ABC，A正確；因為，，，則，球心F在平面上的投影點即外接圓圓心，設，因，則，得，即，球半徑，球F表面積，B錯誤；由，，得，，，，設平面ACE的一個法向量，，所以，取，，點到平面的距離等于，C正確；同理可得平面的一個法向量，平面與平面的夾角的余弦值等于，正弦值等于，D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：注意到A，B，C三點共面，且平面ABC即為平面，所以易得球心F在平面ABC上的投影，將空間問題平面化.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，，則__________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)向量加減的坐標運算和向量模的坐標運算即可得到答案.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，則，，則，故答案為：10.14.數(shù)列中，，則__________.【答案】15【解析】【分析】根據(jù)遞推關系求解即可.【詳解】由，可得，，.故答案為：1515.已知直線，圓被所截得到的兩段弧的長度之比為，則圓的方程可以為__________.（只需寫出一個滿足條件的方程即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求出圓心到直線的距離與半徑的關系，再假設圓心位于原點，代入計算即可.【詳解】若圓被所截得到的兩段弧的長度之比為，則劣弧所對圓心角為，設圓的半徑為，則圓心到直線的距離為，不妨使得圓心為坐標原點，設圓的方程為，則，解得，則此時圓的方程為，故答案為：（答案不唯一.）16.若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】令，根據(jù)，可轉(zhuǎn)化為，利用求出，再檢驗即可得解.【詳解】令，則定義域為，且，由題意，，，，又在上可導，所以為函數(shù)的極值點，，，即，當時，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，成立.綜上，時的取值范圍為.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.等差數(shù)列和等比數(shù)列中，.（1）求的公差；（2）記數(shù)列的前項和為，若，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差等比數(shù)列的通項公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及等差等比數(shù)列的通項公式，利用分組求和及等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意得，整理，得，消去，得，解得或.【小問2詳解】由（1）得或.因為，所以，故.從而，.18.教育部印發(fā)的《國家學生體質(zhì)健康標準》，要求學校每學年開展全校學生的體質(zhì)健康測試工作.某中學為提高學生的體質(zhì)健康水平，組織了“坐位體前屈”專項訓練.現(xiàn)隨機抽取高一男生和高二男生共60人進行“坐位體前屈”專項測試.高一男生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績在的男生有4人.高二男生成績（單位：）如下：10212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估計高一男生成績的平均數(shù)和高二男生成績的第40百分位數(shù)；（2）《國家學生體質(zhì)健康標準》規(guī)定，高一男生“坐位體前屈”成績良好等級線為，高二男生為.已知該校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校男生“坐位體前屈”成績優(yōu)良等級與年級有關？等級年級良好及以上良好以下合計高一高二合計附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）15，16.35（2）詳見解析【解析】【分析】（1）完善頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖求高一男生成績平均值，根據(jù)所給數(shù)據(jù)按百分位數(shù)定義求高二男生成績第40百分位數(shù)；（2）列出列聯(lián)表，計算，根據(jù)所給小概率值表判斷即可.【小問1詳解】依題意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.因為高一男生成績在[5,10)的男生有4人，所以，解得.由，解得.由樣本估計總體，可估計高一男生成績的平均數(shù).由，可知樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第8項和第9項數(shù)據(jù)的均值，高二男生“坐位體前屈”成績在[5,15)有7人，[15,20)有8人,所以第40百分位數(shù)在[15,20)中，故.由樣本估計總體，可估計高二男生成績的第40百分位數(shù)為16.35.【小問2詳解】根據(jù)樣本，知高一男生成績良好及以上占，良好以下占，高二男生成績良好及以上占，良好以下占，由樣本估計總體，可得列聯(lián)表如下：

良好及以上良好以下合計高一300300600高二300200500合計6005001100零假設為：該校男生“坐位體前屈”成績等級與年級之間無關.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“坐位體前屈”成績等級與年級有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.19.如圖，兩個棱長均等于2的正四棱錐拼接得到多面體.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量共線可得，再由線面平行的判定定理得證；（2）求出兩個平面的法向量，利用向量夾角求出平面夾角的余弦，再轉(zhuǎn)化為正弦即可.【小問1詳解】連結，交于點，連結，由正四棱錐性質(zhì)可知平面，平面，所以三點共線，又四邊形是正方形，可得兩兩垂直，且交于點.以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，由，在中，，則，從而，故，又，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可得，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，所以，設平面與平面的夾角為，則，所以.20.一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到紅球的概率；（2）設第次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求；（3）對于事件，當時，寫出的等量關系式，并加以證明.【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨立事件乘法公式、條件概率公式及排列數(shù)公式求解；（3）根據(jù)（2）猜想，由條件概率公式證明即可.【小問1詳解】記事件“第次摸到紅球”為，則第2次摸到紅球的事件為，于是由全概率公式，得.【小問2詳解】由已知得，，，.【小問3詳解】由（2）可得，即，可猜想：,證明如下：由條件概率及，得，，所以.21.的內(nèi)角所對的邊分別為.已知.（1）若，