陜西省咸陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期模擬檢測(cè)（一）理科數(shù)學(xué)試題（教師版）

咸陽(yáng)市高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題；本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得集合，再求交集即可.【詳解】；，故.故選：B.2.已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等求出的值，再由復(fù)數(shù)幾何意義得解.【詳解】由，則，由復(fù)數(shù)相等得，所以在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D3.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】由，所以，則.故選：C4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且等比數(shù)列滿足，若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，求得，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有，即可求解．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以．故選：D.5.著名的本福特定律：以數(shù)字1開頭的數(shù)字在各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)的頻率似乎要高于其他數(shù)，也稱為“第一位數(shù)定律”或者“首位數(shù)現(xiàn)象”．意指在一堆從實(shí)際生活中得到的十進(jìn)制數(shù)據(jù)中，一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字是的概率為．以此判斷，一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字是1的概率與首位數(shù)字是9的概率之比約為多少？（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.2.9 B.3.8 C.4.5 D.6.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求得對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可估算結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，首位數(shù)字是1的概率，首位數(shù)字是的概率，故.故選：D.6.直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，因?yàn)椋?，，所以，直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是為.故選：B.7.某同學(xué)寒假期間想到咸陽(yáng)市的9個(gè)旅游景點(diǎn)乾陵、茂陵、漢陽(yáng)陵、袁家村、鄭國(guó)渠、昭陵、旬邑馬欄革命舊址、長(zhǎng)武亭口活動(dòng)舊址、涇陽(yáng)安吳青訓(xùn)班中的3個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行旅游，其中旬邑馬欄革命舊址、長(zhǎng)武亭口活動(dòng)舊址、涇陽(yáng)安吳青訓(xùn)班三個(gè)景點(diǎn)為紅色旅游景點(diǎn)，則他所去的景點(diǎn)中至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用組合應(yīng)用問題結(jié)合古典概型求出概率.【詳解】該同學(xué)所有的旅游方案有，至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的方案有，故他所去的景點(diǎn)中至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的概率.故選：C8.將一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這個(gè)多面體的外接球的體積為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到多面體為正八面體，然后根據(jù)正八面體的棱長(zhǎng)可得外接球的半徑，進(jìn)而可得體積.【詳解】如圖一：所得的多面體為正八面體，這正八面體的球心如圖二中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑為，正八面體的棱長(zhǎng)為，在中，，，，所以，所以.故選：D.9.等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求出即可計(jì)算得解.【詳解】由求導(dǎo)得：，有，即有兩個(gè)不等實(shí)根，顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，依題意，，在等差數(shù)列中，，所以.故選：A10.已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為0，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式的乘法找到常數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式求解.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，解得.故選：C．11.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，由已知離心率的關(guān)系得出，然后由橢圓與雙曲線的定義把用表示，再由余弦定理求解可得．【詳解】設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，則，，，∴，不妨設(shè)，由得，，是三角形內(nèi)角，所以，故選：C．12.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，作差法比較，可得結(jié)果.【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，而，所以，即，也就是；下面再比較與，，因?yàn)?，所以，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角，為銳角，且，，則角______．【答案】【解析】【分析】由于，由兩角差的正切公式求解.【詳解】由為銳角，，且，則，，所以，又為銳角，所以.故答案為：14.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，根據(jù)已知得，，可解出，再由表面積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，由題意，由扇形弧長(zhǎng)得，①又圓錐的高為，則，②由①②可得，所以圓錐的表面積.故答案為：.15.設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示的可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即得.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影（不含邊），其中，目標(biāo)函數(shù)，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)與1的和，直線的斜率，直線的斜率，顯然，即，，所以取值范圍為.故答案為：16.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先得到函數(shù)，是奇函數(shù)，，再由，則，結(jié)合單調(diào)遞增，得到，即，然后由，利用基本不等式求解.【詳解】解：因，所以，所以是奇函數(shù)，，若，則，所以，又單調(diào)遞增，所以，即，，則，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為：，故答案為：三、解答題；共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知該三角形的面積．（1）求角A的大小；（2）若，求面積的最大值，并求當(dāng)面積取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2），12【解析】【分析】（1）由三角形面積公式及已知化簡(jiǎn)后，利用余弦定理可得角值；（2）方法一：利用余弦定理及基本不等式得出的最大值同，然后由三角形的面積公式可得面積最大值，從而得出三角形周長(zhǎng)．方法二：由正弦定理把邊長(zhǎng)用角表示，然后求得三角形的面積，并三角恒等變換得出最大值，從而求得角大小后得三角形的各邊長(zhǎng)，即得周長(zhǎng)．【小問1詳解】由，得．由余弦定理得：，．【小問2詳解】方法一：因?yàn)?，，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，，所以的面積：，此時(shí)，的周長(zhǎng)為12．方法二：，，由正弦定理得，的面積，，又，，當(dāng)時(shí)，面積最大值為．此時(shí)，，于是的周長(zhǎng)為12．18.為慶祝元旦，某商場(chǎng)回饋消費(fèi)者，準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，如果顧客一次消費(fèi)達(dá)到500元，可參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下；抽獎(jiǎng)盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，活動(dòng)結(jié)束．否則記為失敗，隨即獲得紀(jì)念品1份，當(dāng)然，如果顧客愿意可在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽獎(jiǎng)，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（1）某顧客進(jìn)行該抽獎(jiǎng)試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽獎(jiǎng)，記其進(jìn)行抽獎(jiǎng)試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為驗(yàn)證抽獎(jiǎng)試驗(yàn)成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記t表示成功時(shí)抽獎(jiǎng)試驗(yàn)的輪次數(shù)，y表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：t12345y23298604020求y關(guān)于t的回歸方程：，并預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（四舍五入精確到1）．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，．參考數(shù)據(jù)：，，（其中）．【答案】（1）分布列見解析，（2），465【解析】【分析】(1)的取值可能為，分別求得隨機(jī)變量取每一值的概率，得出分布列，由此可得數(shù)學(xué)期望；(2)令，則，由公式求得和回歸方程并可得預(yù)測(cè)成功的人的總?cè)藬?shù).【小問1詳解】的取值可能為1，2，3，；；；所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望為：．【小問2詳解】令，則，由題意可知，，所以．所以，．故所求的回歸方程為所以估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；預(yù)測(cè)成功的人的總數(shù)為．19.如圖所示，在三棱錐中，，，點(diǎn)O、D分別是、的中點(diǎn)，底面．（1）求證：平面；（2）當(dāng)k取何值時(shí)，二面角的余弦值為？【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明可得平面；（2）連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出面面角，然后解方程即可.【小問1詳解】在中，點(diǎn)O、D分別是、的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問2詳解】O為中點(diǎn)，連接，，則，平面，平面，，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，在中，，，，，，則，，，平面，平面，，又且，平面平面，是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，令，得，設(shè)為二面角的平面角．則，解得．方法二：作，又，，平面平面，平面，，又，是二面角的平面角．設(shè)，由題意可知，，，即為等腰三角形．在中，作，則，且，，在中，，則，在中，根據(jù)余弦定理，，解得．20.已知橢圓的離心率為，依次連接四個(gè)頂點(diǎn)得到的圖形的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和四邊形面積得到方程組，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，，設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)結(jié)合求出，求出以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，同理得到以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程，得到直線的方程為，直線過定點(diǎn).【小問1詳解】由題可得，即，，得．①又，即，②由①②可得，，所以橢圓C的方程為：．【小問2詳解】設(shè)，，，由題知，直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為：，聯(lián)立方程得，，整理得，即，在橢圓上，，即，，，即，，解得，（此處也可以嘗試采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)而可得斜率）過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為：，，即，整理可得以M為切點(diǎn)橢圓C的切線方程為，同理，以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，又兩切線均過點(diǎn)P，故，且，整理化簡(jiǎn)得，且，點(diǎn)，均在直線上，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，過雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為21.已知函數(shù)，．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化恒成立條件列不等式可求的取值集合；（2）利用小問（1）構(gòu)造不等式，賦值結(jié)合累加法證明，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和不等式性質(zhì)即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得，由x，，列表如下xa0遞減極小值遞增，因?yàn)楹愠闪?，所以，．令，則，由x，，列表如下x10遞增極大值遞減．又，，，，，故a的取值集合為．【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，，（當(dāng)時(shí)，“”成立），令，，則，，由累加法可知累加可得，即，令，，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線與軸的交點(diǎn)為P，經(jīng)過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解即得.（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，借助弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【小問1詳解】曲線的極坐標(biāo)方程化為，把代入得，直線的極坐標(biāo)方程化為，把代入得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程是，直線的直角坐標(biāo)方程是.