北京第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（教師版）

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期開學(xué)檢測(cè)試卷高三數(shù)學(xué)班級(jí)__________姓名__________學(xué)號(hào)__________成績(jī)一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置．）1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用集合交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C.2.如果復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，那么（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的分類即可作答.【詳解】，因復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，于是得且，解得，所以.故選：A3.已知，則（）A. B.2 C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】利用賦值法，即令，即可求得答案.【詳解】由于，故令，即得，即，故選：B4.有三對(duì)師徒共6個(gè)人，站成一排照相，每對(duì)師徒相鄰的站法共有（）A.72種 B.48種 C.54種 D.8種【答案】B【解析】【分析】因?yàn)槊繉?duì)師徒必須相鄰，所以，三對(duì)師徒進(jìn)行捆綁，則有，捆綁后再次進(jìn)行排列，則有種組合拍列，所以，每對(duì)師徒相鄰的站法共有種【詳解】由題意得每對(duì)師徒相鄰的站法共有故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的相鄰問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題5.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)C在圓上，則的最大值為（）A B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角換元得，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】不妨設(shè)，．因?yàn)?，，則，，所以．當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故選:D．6.若函數(shù)的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，可得，根據(jù)基本不等式，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋易畲笾禐?，所以，即，故A一定成立；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，故B一定成立；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，故C一定成立；，當(dāng)同號(hào)時(shí)，，當(dāng)異號(hào)時(shí)，，故D不一定成立.故選：D7.函數(shù)的圖象是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段?。ㄈ鐖D），則不等式的解集為（）A.或B.或C.或D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得到函數(shù)是奇函數(shù)，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】由函數(shù)的圖象知：函數(shù)是奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，如圖所示：函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)是，所以的解集為：或，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8.從某個(gè)角度觀察籃球可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形如圖所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)8等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用已知條件求出雙曲線的實(shí)半軸的長(zhǎng)，虛半軸的長(zhǎng)，然后求解半焦距，推出離心率即可．【詳解】解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過(guò)點(diǎn)且，將點(diǎn)代入方程，即，解得，所以，故離心率為，故選：C．9.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，記：為等差數(shù)列；：對(duì)任意自然數(shù)為等差數(shù)列，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得出命題均等價(jià)于，再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}成等差數(shù)列，所以，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，且公比不為1，所以，整理得到，又命題成等差數(shù)列，所以，即，整理得到，所以是的充要條件，故選：C.10.某同學(xué)所在的課外興趣小組計(jì)劃用紙板制作一個(gè)簡(jiǎn)易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個(gè)相同的部件拼接粘連制成，每個(gè)部件由長(zhǎng)方形紙板（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長(zhǎng)方形卷后為圓柱的側(cè)面．現(xiàn)建立如圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)為裁剪曲線上的點(diǎn)，作軸，垂足為．圖乙中線段卷后形成的圓?。▓D甲），通過(guò)同學(xué)們的計(jì)算發(fā)現(xiàn)與之間滿足關(guān)系式，求該裁剪曲線圍成的橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意，利用函數(shù)的周期，求出圓柱底面圓半徑，繼而求得橢圓短軸長(zhǎng)，結(jié)合函數(shù)的最大值求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合橢圓的離心率定義，即可求得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，所以相應(yīng)圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為，故其直徑為4，故根據(jù)題意可知該橢圓的短軸長(zhǎng)為，即，又的最大值為2，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，解得故，故橢圓的離心率為.故選：B.二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共18分，請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則拋物線的準(zhǔn)線方程為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，設(shè)l方程為，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，求出的表達(dá)式，說(shuō)明當(dāng)取最小值時(shí)，滿足的直線有且僅有一條，即可求得p的值，即可求得答案.【詳解】設(shè)，由題意知過(guò)的動(dòng)直線的斜率不為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即此時(shí)取最小值，即此時(shí)滿足的直線有且僅有一條，即，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故答案為：12.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．【答案】##0.2【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到方程，求出，進(jìn)而求出正弦和余弦，求出答案.【詳解】由題意得，解得，故，所以，，故.故答案為：13.等差數(shù)列滿足，則a5=______；若，則n=______時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和取得最大值．【答案】①.4②.6【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出，再結(jié)合，得到，然后求出使時(shí)的正整數(shù)解即可．【詳解】等差數(shù)列滿足，所以，即，，所以，所以．令，解得，所以的前6項(xiàng)和取得最大值．故填：4，6．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及等差數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題，還考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)（1）若，則的零點(diǎn)是_______.（2）若無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】①.②.【解析】【詳解】（1）若，則，令可得，即的零點(diǎn)是（2）若無(wú)零點(diǎn),則如圖所示當(dāng)此時(shí)，應(yīng)有，當(dāng)如圖所示，此時(shí)應(yīng)有，綜上可得.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有以下四個(gè)結(jié)論：①若，則②若，且，則且③若，且在前16項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為3:1，則公差為2④若，且，則和均是的最大值其中正確命題的序號(hào)為___________.【答案】①②④【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、下標(biāo)和性質(zhì)與前項(xiàng)和公式，依次分析各結(jié)論即可得解.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，即是遞增數(shù)列，因?yàn)?，即，所以，即，則，所以且，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，所以，則，則，又，，所以，即，故，得，，所以的公差為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?，即，即，整理得，因?yàn)?，所以，由于，所以，故，即，因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，則，，所以，，故和均是的最大值，故④正確.故答案為：①②④.三?解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，．（1）求的大??；（2）已知是的中線，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，化簡(jiǎn)，可得，結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）由，，利用基本不等式可得，再根據(jù)是的中線，可得，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由于在中，，，則，則，由于；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故；由是的中線，得，即得，即得，故的最大值為.17.甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對(duì)同一體育項(xiàng)目，在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測(cè)試，乙進(jìn)行了7次測(cè)試.每次測(cè)試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚捍螖?shù)同學(xué)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694（1）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的概率；（2）從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；（3）從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，設(shè)Y表示這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望EY與（2）中EX的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）的分布列為所以.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并計(jì)算出期望即可求解；（3）根據(jù)題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，計(jì)算出期望與（2）中期望即可求解；【小問(wèn)1詳解】由題意可知：甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中，測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的共4次，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，所以從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的概率.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)的可能取值為1，2，3，則；；，所以的分布列為所以.【小問(wèn)3詳解】由題意可知：從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則；；；；所以的分布列為所以，.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，和交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；（ii）點(diǎn)A到平面CEF的距離.條件①：；條件②：直線與平面所成的角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見解析（2）（ⅰ）（ⅱ）1【解析】【分析】（1）利用空間中直線與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線即可證明；（2）若選條件①，利用，通過(guò)推理論證得到，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解；若選條件②，利用與平面所成角為，通過(guò)推理論證得到，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，，.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,∥且，所以四邊形平行四邊形.所以為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)?，分別為和的中點(diǎn)，所以∥.因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?小問(wèn)2詳解】選條件①：(ⅰ)連接.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，所以.在中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,，則，，，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，可得.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以.設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.(ⅱ)因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.選條件②：與平面所成角為.連接.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面，平面，所以.所以為直線與平面所成角，即.所以為等腰直角三角形.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，所以.所以.以下同選條件①.19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）由，討論、研究導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，進(jìn)而判斷題設(shè)不等式是否恒成立，即可得參數(shù)范圍；（3）根據(jù)（2）結(jié)論及零點(diǎn)存在性確定時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)，由零點(diǎn)性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性，應(yīng)用分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則在R上遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，若，則，在上遞減；若，則，在上遞增；綜上，時(shí)的遞增區(qū)間為R，無(wú)遞減區(qū)間；時(shí)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；當(dāng)時(shí)，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，所以在上遞減，在上遞增，要使對(duì)恒成立，所以，只需，令且，則，即遞減，所以，故在上不存在；綜上，【小問(wèn)3詳解】由（2）知：時(shí)，在恒有，故不可能有零點(diǎn)；時(shí)，在上遞減，在上遞增，且，所以上，無(wú)零點(diǎn)，即，且趨向于正無(wú)窮時(shí)趨向正無(wú)窮，所以，在上存在唯一，使，要證，只需在上恒成立即可，令，若，則，令，則，即在上遞增，故，所以，即在上遞增，故，所以在上恒成立，得證；故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，通過(guò)討論確定在某一單調(diào)區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)的a的范圍后，應(yīng)用分析法證恒成立即可.20.已知橢圓的離心率為，且其左頂點(diǎn)到橢圓外的直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于（異于），求線段的中點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用離心率和左頂點(diǎn)到橢圓外的直線的距離列方程組得到的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，再代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后利用直線分別交直線得的坐標(biāo)，從而求線段的中點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題意知橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，又左頂點(diǎn)到橢圓外的直線的距離為，所以，得，又橢圓的離心率為，即，在橢圓中，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的直線方程為,代入橢圓方程可得，即，則，由為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則直線的方程為，即，把代入得，即，同理，則直線的方程為，把代入得，即，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，即.設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，即，則，整理得.因?yàn)?，所以，設(shè)，由韋達(dá)定理可得①，②；由為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則直線的方程為，即，代入，得，即，同理，直線的方程為，與直線的交點(diǎn).線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，所以③.把①②代入③可得：.故的中點(diǎn)坐標(biāo).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、方程思想、計(jì)算能力、推理論證能力，解題時(shí)要善于未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題和利用偉大定理進(jìn)行化簡(jiǎn)整理.這類問(wèn)題的求解策略為：直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算中提取變量，從而得到定點(diǎn).21.已知數(shù)列A：的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個(gè)數(shù)為．（1）若數(shù)列A：1，2，4，3，求集合T，并寫出的值；（2）若A是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；（3）若，數(shù)列A由這個(gè)數(shù)組成，且這個(gè)數(shù)在數(shù)列A中每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求的取值個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用列舉法寫出符合題意的所有的的取值可能，得出的值；（2）先假設(shè)數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，公差為，則可知，當(dāng)時(shí)，，則可知的最大值為，最小值為，