第三章 計(jì)算機(jī)分子模擬簡(jiǎn)介2011

美國(guó)國(guó)家科學(xué)研究委員會(huì)（1995）

材料設(shè)計(jì)（materialsbydesign）一詞正在變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，它意味著在材料研制與應(yīng)用過(guò)程中理論的份量不斷增長(zhǎng)，研究者今天已經(jīng)處在應(yīng)用理論和計(jì)算來(lái)設(shè)計(jì)材料的初期階段。

《材料科學(xué)的計(jì)算與理論技術(shù)》材料設(shè)計(jì)在材料研究中的地位第三章計(jì)算機(jī)分子模擬簡(jiǎn)介一、計(jì)算科學(xué)與理論和實(shí)驗(yàn)的關(guān)系二、計(jì)算科學(xué)的工作流程三、計(jì)算機(jī)分子模擬的層次四、計(jì)算機(jī)分子模擬的主要內(nèi)容五、量子力學(xué)層次的模擬方法六、分子力學(xué)方法七、統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法八、介觀層次的模擬九、宏觀層次的模擬十、對(duì)接技術(shù)中國(guó)首次實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)，美刊稱(chēng)是里程碑由清華大學(xué)教授、中國(guó)科學(xué)院院士薛其坤領(lǐng)銜的團(tuán)隊(duì)歷時(shí)4年，實(shí)現(xiàn)了反?；魻栃?yīng)的量子化，是世界基礎(chǔ)研究領(lǐng)域的一項(xiàng)重要科學(xué)發(fā)現(xiàn)。該結(jié)果于3月14日在線發(fā)表于美國(guó)《科學(xué)》雜志?；魻栃?yīng)是電磁效應(yīng)的一種，這一現(xiàn)象是美國(guó)物理學(xué)家霍爾于1879年在研究金屬的導(dǎo)電機(jī)制時(shí)發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)電流垂直于外磁場(chǎng)通過(guò)導(dǎo)體時(shí)，在導(dǎo)體的垂直于磁場(chǎng)和電流方向的兩個(gè)端面之間會(huì)出現(xiàn)電勢(shì)差，這一現(xiàn)象就是霍爾效應(yīng)。這個(gè)電勢(shì)差也被稱(chēng)為霍爾電勢(shì)差。

在量子霍爾效應(yīng)家族里，至此仍未被發(fā)現(xiàn)的效應(yīng)是“量子反常霍爾效應(yīng)”——不需要外加磁場(chǎng)的量子霍爾效應(yīng)。量子反常霍爾效應(yīng)的最美妙之處就在于不需要任何外加磁場(chǎng)，人類(lèi)有可能利用其無(wú)耗散的邊緣態(tài)發(fā)展新一代的低能耗晶體管和電子學(xué)器件，從而解決電腦發(fā)熱問(wèn)題和摩爾定律的瓶頸問(wèn)題，因此，這項(xiàng)研究成果將會(huì)推動(dòng)新一代的低能耗晶體管和電子學(xué)器件的發(fā)展，可能加速推進(jìn)信息技術(shù)革命的進(jìn)程。2010年，中科院物理所方忠、戴希帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)與張首晟教授等合作，從理論與材料設(shè)計(jì)上取得了突破，他們提出Cr或Fe磁性離子摻雜的Bi2Te3、Bi2Se3、Sb2Te3族拓?fù)浣^緣體能形成穩(wěn)定的鐵磁絕緣體，是實(shí)現(xiàn)量子反常霍爾效應(yīng)的最佳體系[Science，329,61(2010)]。他們的計(jì)算表明，這種磁性拓?fù)浣^緣體多層膜在一定的厚度和磁交換強(qiáng)度下，即處在“量子反?；魻栃?yīng)”態(tài)。該理論與材料設(shè)計(jì)的突破引起了國(guó)際上的廣泛興趣，許多世界頂級(jí)實(shí)驗(yàn)室都爭(zhēng)相投入到這場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中來(lái)，沿著這個(gè)思路尋找量子反?；魻栃?yīng)。“量子反?；魻栃?yīng)”從理論研究到實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的全過(guò)程，都是由我國(guó)科學(xué)家獨(dú)立完成。

理論計(jì)算得到的磁性拓?fù)浣^緣體多層膜的能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的霍爾電導(dǎo)一、什么是計(jì)算機(jī)分子模擬？

計(jì)算機(jī)分子模擬是以計(jì)算機(jī)及計(jì)算機(jī)技術(shù)為工具和手段，運(yùn)用計(jì)算數(shù)學(xué)的方法，解決復(fù)雜物理、化學(xué)、生物等問(wèn)題的一門(mén)應(yīng)用科學(xué)。計(jì)算機(jī)分子模擬為復(fù)雜體系的規(guī)律和性質(zhì)的研究提供了重要手段，對(duì)相關(guān)學(xué)科的發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用。第一節(jié)、計(jì)算機(jī)分子模擬簡(jiǎn)介

計(jì)算機(jī)模擬對(duì)理論而言，它所依據(jù)的理論原理和數(shù)學(xué)方程式有理論提供的，其結(jié)論還需要理論來(lái)分析檢驗(yàn)；為理論研究提供計(jì)算數(shù)據(jù)及進(jìn)行復(fù)雜數(shù)值解的方法和手段。二、計(jì)算機(jī)模擬與理論、實(shí)驗(yàn)的關(guān)系計(jì)算機(jī)模擬與理論和實(shí)驗(yàn)相互聯(lián)系，相互依賴(lài)，相輔相成。

計(jì)算機(jī)模擬對(duì)實(shí)驗(yàn)而言，它所依賴(lài)的數(shù)據(jù)是由實(shí)驗(yàn)提供的，其結(jié)果還要實(shí)驗(yàn)來(lái)分析檢驗(yàn)；對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，可以模擬實(shí)驗(yàn)過(guò)程。

計(jì)算機(jī)模擬方法是連接理論與實(shí)驗(yàn)的橋梁，常常稱(chēng)其為“計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”。實(shí)驗(yàn)理論計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)理論計(jì)算機(jī)計(jì)算指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)解釋實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)理論驗(yàn)證理論產(chǎn)生數(shù)據(jù)信息模擬實(shí)際過(guò)程指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)分析數(shù)據(jù)信息控制實(shí)驗(yàn)儀器提供方程組解釋結(jié)果指導(dǎo)理論精確計(jì)算大尺度計(jì)算

美國(guó)著名的洛斯阿莫斯科學(xué)實(shí)驗(yàn)室的專(zhuān)家率先在世界上模擬生命中的一個(gè)基本遺傳過(guò)程——活細(xì)胞中有超過(guò)100萬(wàn)個(gè)原子參與的蛋白質(zhì)“組裝”，為此科學(xué)家動(dòng)用了一臺(tái)全球最大功率的計(jì)算機(jī)。一、計(jì)算機(jī)分子模擬的工作流程第二節(jié)、計(jì)算機(jī)分子模擬方法的工作流程具體問(wèn)題物理、化學(xué)模型數(shù)學(xué)模型分析計(jì)算結(jié)果上機(jī)計(jì)算編制算法程序

對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行分析，要抓住問(wèn)題的主要矛盾和矛盾的主要方面，進(jìn)行各種必要的近似，建立物理、化學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬物理模型。把物理模型抽象、簡(jiǎn)化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。物理、化學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型

計(jì)算方法的選取應(yīng)以物理、化學(xué)機(jī)理為背景，以能否正確反映微分方程所描述的物理、化學(xué)現(xiàn)象為依據(jù)。實(shí)際上應(yīng)包括邏輯設(shè)計(jì)和程序編制兩大部分。

實(shí)際上應(yīng)包括程序調(diào)試和正式計(jì)算兩步。考察程序正確性時(shí)一定要有檢驗(yàn)數(shù)據(jù)作對(duì)比，任何疏忽大意都意味著整個(gè)過(guò)程的失敗。

首先要對(duì)計(jì)算出的結(jié)果的合理性和可信性作出判斷，其次要對(duì)結(jié)果作出物理解釋。算法程序階段上機(jī)計(jì)算階段結(jié)果分析階段第三節(jié)、計(jì)算機(jī)模擬的層次10-10m10-9m10-7m10-3m100m空間尺度10-15s10-12s10-9s100s103s時(shí)間尺度量子力學(xué)層次統(tǒng)計(jì)力學(xué)層次介觀層次宏觀層次10-10m10-9m10-7m10-3m100m空間尺度10-15s10-12s10-9s100s103s時(shí)間尺度微觀模擬量子力學(xué)層次統(tǒng)計(jì)力學(xué)層次介觀層次宏觀層次第四節(jié)、計(jì)算科學(xué)的主要內(nèi)容

一般說(shuō)來(lái)，物質(zhì)的物理性質(zhì)不涉及到原子內(nèi)部的變化，而化學(xué)性質(zhì)則伴隨著原子間電子的相互轉(zhuǎn)移。宏觀物質(zhì)分子化學(xué)性質(zhì)原子原子核電子物理性質(zhì)量子力學(xué)

？

只有量子力學(xué)才能描述原子核與電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分子計(jì)算科學(xué)最底層的層次就是量子力學(xué)層次，它也是其他更高層次計(jì)算的基礎(chǔ)。在Cu2O(001)表面的吸附構(gòu)型全電子密度等值面圖水溶液中咪唑啉分子反應(yīng)在FeCO3表面的吸附

對(duì)于較大的體系，可以不考慮電子的變化，將電子和原子核（原子）看成一個(gè)整體對(duì)待。

統(tǒng)計(jì)力學(xué)層次。

如果計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)是原子或分子間的相互作用力，而不考慮原子內(nèi)部的變化，則稱(chēng)該層次為原子分子層次，這一層次的計(jì)算一般都基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)，所以又稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)力學(xué)層次。腐蝕介質(zhì)粒子在緩蝕劑膜中擴(kuò)散行為的研究液相條件下多個(gè)緩蝕劑分子在金屬表面吸附

另外，由于大分子(包括聚合物和生物大分子)以及某些相對(duì)穩(wěn)定的分子聚集體(如膠體)的性質(zhì)既不同于小分子也有別于連續(xù)的宏觀物質(zhì)，而這類(lèi)物質(zhì)無(wú)論在自然界還是對(duì)于人類(lèi)生產(chǎn)實(shí)踐都具有特別重要的意義，通常將這一層次稱(chēng)為介觀層次，即介于原子分子層次和宏觀層次之間。表面活性劑在水溶液中自聚集MM

將對(duì)象層次化使得研究在各個(gè)層次上分別展開(kāi)，但層次間顯然是相互關(guān)聯(lián)的，如何描述這種關(guān)聯(lián)—即在較低層次中的變化在較高層次中以何種方式得以體現(xiàn)—就是對(duì)接技術(shù)(bridgingtechniques)的任務(wù)。QM量子力學(xué)層次統(tǒng)計(jì)力學(xué)層次介觀層次宏觀層次對(duì)接技術(shù)計(jì)算機(jī)分子模擬

相對(duì)于量子力學(xué)層次和統(tǒng)計(jì)力學(xué)層次，介觀層次和對(duì)接技術(shù)還處于起步階段。計(jì)算科學(xué)②直接通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬預(yù)測(cè)物質(zhì)性質(zhì)。有些苛刻的條件目前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)難以達(dá)到(如地球物理化學(xué)中的高溫高壓)，而有些性質(zhì)無(wú)法通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定(如長(zhǎng)鏈烷烴在其臨界點(diǎn)以下就會(huì)裂解，因而無(wú)法測(cè)定臨界點(diǎn))，此時(shí)分子模擬卻可大顯身手。③借助計(jì)算機(jī)模擬能系統(tǒng)地研究微觀作用對(duì)宏觀性質(zhì)的影響，從而能更理性地設(shè)計(jì)新物質(zhì)，有效地降低開(kāi)發(fā)成本。④通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬能夠發(fā)現(xiàn)一些新的現(xiàn)象，從而深化人類(lèi)對(duì)自然界本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，如硬球流體的一階凝固相變、Ⅷ型冰的發(fā)現(xiàn)等。①檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論的合理性。如前所述某些簡(jiǎn)單體系能夠用統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論方法求解，為了衡量該理論準(zhǔn)確與否，需要將同一體系的分子模擬結(jié)果作為其檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算機(jī)模擬的重要性:第五節(jié)、量子力學(xué)層次的模擬方法

只有量子力學(xué)才能描述原子核與電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，計(jì)算科學(xué)最底層的層次就是量子力學(xué)層次，它也是其他更高層次計(jì)算的基礎(chǔ)。描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)稱(chēng)為微觀粒子的波函數(shù)。

一個(gè)微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)來(lái)描述，當(dāng)確定后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值以及它取各種可能測(cè)量值的幾率都完全確定。

力學(xué)量的平均值在量子力學(xué)中的表達(dá)式為：核心問(wèn)題：

要解決量子態(tài)如何隨時(shí)間變化以及在各種具體情況下如何求出波函數(shù)。

薛定諤方程是量子力學(xué)中最基本的方程，其地位與牛頓方程在經(jīng)典物理中的地位相當(dāng)。1926年，奧地利著名物理學(xué)家薛定諤建立了描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)所滿(mǎn)足的方程—

薛定諤方程。

由于多電子體系的薛定諤方程無(wú)法精確求解，目前已發(fā)展出多種手段來(lái)近似求解。這些方法可分為:從頭算分子軌道法(abinitiomolecularorbital,MO)

電子密度泛函理論(electricaldensityfunctionaltheory)半經(jīng)驗(yàn)分子軌道法(semi-empiricalMO)3大類(lèi).

量子力學(xué)層次的計(jì)算通過(guò)求解薛定諤方程得到?jīng)Q定電子運(yùn)動(dòng)狀況的波函數(shù)，進(jìn)一步可以計(jì)算分子的其他性質(zhì)，如標(biāo)準(zhǔn)生成焓、鍵能、幾何構(gòu)型、偶極矩、電荷分布以及各種光譜性質(zhì)等。

我從事物理學(xué)研究已有五十多年，但是獲得的卻是諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。這反映出物理中的電子是物理學(xué)研究的一個(gè)重要課題，恐怕也是化學(xué)研究領(lǐng)域最重要的課題。

——WalterKohn1998年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)獲得者

今天，化學(xué)學(xué)科正在經(jīng)歷著一場(chǎng)革命的陣痛，它正在從實(shí)驗(yàn)科學(xué)向數(shù)學(xué)科學(xué)拓展。

——JohnA.Pople1998年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)獲得者

量子化學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為廣大化學(xué)家所使用的工具，將化學(xué)帶入一個(gè)新時(shí)代，在這個(gè)新時(shí)代里實(shí)驗(yàn)和理論能夠共同協(xié)力探討分子體系的性質(zhì)?；瘜W(xué)不再是純粹的實(shí)驗(yàn)科學(xué)了。

——JohnA.PopleA+BCDE？Co+-ON2的結(jié)合？(Co+O)三重態(tài)：25.3kcal/mol三重態(tài)五重態(tài)：16.3kcal/mol？

2p(O)

2s(O)

4s3d(Co+)

五重態(tài)6.6kcal/mol11.0kcal/mol

自由基是非?；顫姷?，在下圖中用不同的顏色標(biāo)記出了胸腺嘧啶分子表面對(duì)自由基攻擊的敏感程度。其中黃色靶心的位置更容易被攻擊。

芳環(huán)分子在過(guò)渡金屬表面的相互作用不僅因其作為一種模型體系而有很大的價(jià)值，而且是氫化和氫解催化反應(yīng)的前身，對(duì)于光化學(xué)反應(yīng)也是十分重要的。在研究過(guò)程中，2.6-二甲基吡啶與銅是我們發(fā)現(xiàn)的一種新的吸附類(lèi)型。（小分子在金屬表層吸附過(guò)程的研究）Lowestunoccupiedmolecularorbital(LUMO)Highestoccupiedmolecularorbital(HOMO)第六節(jié)、分子力學(xué)方法

以上介紹的量子力學(xué)(quantummechanics,QM)方法在計(jì)算中都涉及到了電子的運(yùn)動(dòng)情況，因而計(jì)算量很大，目前還不能進(jìn)行“大”分子的計(jì)算。對(duì)于像聚合物、蛋白質(zhì)、核酸等在當(dāng)今化學(xué)中備受關(guān)注的大分子，不得不用分子力學(xué)(molecularmechanics,MM)方法來(lái)處理。

分子力學(xué)從本質(zhì)上說(shuō)上是能量最小值方法，即在原子間相互作用勢(shì)的作用下,通過(guò)改變粒子分布的幾何位型,以能量最小為判據(jù),從而獲得體系的最佳結(jié)構(gòu)。

其中Ec是鍵的伸縮能，Eb是鍵角彎曲能，Et是鍵的二面角扭轉(zhuǎn)能，Enb

是非鍵作用能，它包括vanderWaals作用能，偶極（電荷）作用能、氫鍵作用能等。分子的空間能Es可表示為：應(yīng)用舉例第七節(jié)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法

1、宏觀化學(xué)現(xiàn)象是~1024個(gè)分子（原子）的集體行為，固有統(tǒng)計(jì)屬性2、量子力學(xué)方法的局限性：對(duì)象為平衡態(tài)、單分子或幾個(gè)分子組成的體系；不適用于動(dòng)力學(xué)過(guò)程和有溫度壓力變化的體系。分子模擬的兩種主要方法：

⑴ 分子動(dòng)力學(xué)法(MD，MolecularDynamics)

基于粒子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典軌跡 ⑵ MonteCarlo法(MC)

基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)MonteCarlo方法（MonteCarloMethod）MonteCarlo原為地中海沿岸Monaco(摩納哥)的一個(gè)城市的地名,是世界聞名的大賭場(chǎng)，MonteCarlo方法的隨機(jī)抽樣特征在它的命名上得到了反映。MonteCarlo方法解決的問(wèn)題：1、問(wèn)題本身是確定性問(wèn)題，要求我們?nèi)ふ乙粋€(gè)隨機(jī)過(guò)程，使該隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均是所求問(wèn)題的解；2、問(wèn)題本身就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，可根據(jù)問(wèn)題本身的實(shí)際過(guò)程來(lái)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，并采用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)求得問(wèn)題的解。問(wèn)題本身是確定性問(wèn)題問(wèn)題本身是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程晶體生長(zhǎng)過(guò)程中某些時(shí)刻的原子位置圖晶相逐漸向液相推移，液相原子最后找到自己的平衡位置，結(jié)晶結(jié)束，全部液相轉(zhuǎn)變?yōu)楣滔唷７肿觿?dòng)力學(xué)模擬（Moleculardynamicssimulation）

MD是一種確定性方法，它用經(jīng)典力學(xué)來(lái)描述所模擬體系，通過(guò)數(shù)值求解運(yùn)動(dòng)方程得到粒子在相空間的軌跡，即其任意時(shí)刻的微觀狀態(tài)，在達(dá)到平衡以后就可以測(cè)定感興趣的性質(zhì)。

屬于微觀尺度的模擬技術(shù)。牛頓力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)Layer-CellModelereasilycreatessimulationofwater-benzeneinterface

在體系內(nèi)部物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)完全均一的一部分稱(chēng)為“相”（Phase)。相與相之間在指定的條件下有明顯的界面，在界面上，從宏觀的角度看，性質(zhì)的改變是飛躍式的。Ru-Al合金斷裂過(guò)程動(dòng)態(tài)模擬C.S.Becquart,D.Kim,J.A,Rifkin,andP.C.Clapp,Mat.Sci.Engin.,A170,87(1993)斷裂點(diǎn)周?chē)膿p壞區(qū)域Moleculardynamicssimulationsoftheadsorptionofindustrialsilanemoleculesatazincoxidesurface第八節(jié)介觀層次的模擬

由于大分子(包括聚合物和生物大分子)以及某些相對(duì)穩(wěn)定的分子聚集體(如膠體)的性質(zhì)既不同于小分子也有別于連續(xù)的宏觀物質(zhì)，通常將這一層次稱(chēng)為介觀層次(mesoscale)，即介于原子分子層次和宏觀層次之間。

目前處理介觀問(wèn)題的方法是粗?；夹g(shù)。即將某個(gè)區(qū)域作為一個(gè)整體來(lái)處理，而不考慮其內(nèi)部細(xì)節(jié)。粗?；囊氪蟠蠼档土擞?jì)算強(qiáng)度。介觀問(wèn)題用珠子表示多個(gè)原子或分子的集合體，以珠子作為模擬的最小單元CollagenDNApolymeraseMuscleproteinAntibodiesenzyme

介觀層次計(jì)算所涉及的內(nèi)容多種多樣，如聚合物性質(zhì)與其結(jié)構(gòu)的關(guān)系、膠體的凝聚和老化、高分子的自組裝和蛋白質(zhì)折疊等，共同點(diǎn)是其復(fù)雜性。介觀層次模擬方法應(yīng)用實(shí)例——巖石發(fā)生潤(rùn)濕發(fā)轉(zhuǎn)圖一水流作用下，無(wú)表面活性劑，油珠在親水表面形態(tài)的演化巖石潤(rùn)濕性發(fā)生變化后，油珠運(yùn)動(dòng)形式發(fā)生變化。加入表面活性劑后，油珠鋪展成液膜，以液膜方式運(yùn)移，為后面油相的移動(dòng)提供便利。圖二水流作用下，有表面活性劑，油珠形態(tài)的演化

1、介觀層次的長(zhǎng)度標(biāo)度在10nm～10μm

之間，而邊長(zhǎng)為10μm

的立方體將包含高達(dá)1015個(gè)原子，對(duì)如此巨大的體系進(jìn)行模擬是難以想像的。

總之，這個(gè)層次的直接模擬非常困難，即使目前的大型計(jì)算機(jī)也只能勉強(qiáng)承受。介觀層次現(xiàn)象的理論尚處于起步階段，遠(yuǎn)不如前述的兩個(gè)層次成熟，一些模型只是對(duì)原子分子層次或宏觀層次所作計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)性外推，很多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都不能得到合理解釋。存在的困難：2、另一方面時(shí)間標(biāo)度往往超過(guò)100ns，大大超過(guò)了目前MD所能模擬的時(shí)間(一般不足納秒級(jí)

)。第九節(jié)宏觀層次的模擬有限差分法有限元法1、應(yīng)用微分方程型數(shù)學(xué)模型2、應(yīng)用積分方程型數(shù)學(xué)模型矩量法邊界元法數(shù)值積分法數(shù)值模擬方法抽象物理模型算法設(shè)計(jì)工程問(wèn)題結(jié)果輸出Discretizationsnode基本方法演示★Structural/Stress、★

FluidFlow、★

HeatTransfer★Electro-MagneticFields、★SoilMechanics、★

Acoustics應(yīng)用領(lǐng)域★IrregularBoundaries★DifferentMaterials★VariableElementSize★EasyModification★