2023中考數(shù)學練習 10 二次函數(shù)綜合問題（學生版+解析版）

專題10二次函數(shù)綜合問題

一、【知識回顧】

【思維導圖】

二次函數(shù)

【類型清單】

二、【考點類型】

考點1：線段周長問題

典例1：(2022?漳州)如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點M是拋物線在X軸下方上的動點，過點M作MN〃y軸交直線BC于點N,求線段MN

的最大值；

(3)在(2)的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸1上是否存在點P,使APBN是

等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式1](2018?大慶)如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A、B兩點，B點坐標為(4,0),與y軸

交于點C(O,4).

(2)點P在X軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求

PE+EF的最大值；

(3)點D為拋物線對稱軸上一點.

①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，直接寫出點D的坐標；

②若ABCD是銳角三角形，直接寫出點D的縱坐標n的取值范圍.

【變式2](2022九上?東陽月考)如圖，拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過A(-1,O),B(3,O),C(0,3)

三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，過點D做DQLX軸于點M,DQ與BC相交于點M.DE±BC

于E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求線段DE長度的最大值；

(3)連接AC,是否存在點D,使得ACDE中有一個角與NCAo相等？若存在，求點D的橫坐標;

若不存在，請說明理由.

【變式3](2022九上?鄲州月考)如圖，已知拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A,B兩點，其中點A的坐

標為(-3,0),與y軸交于點C,點D(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求APAD周長的最小值；

(3)拋物線的對稱軸上有一動點M,當aMAD是等腰三角形時，直接寫出點M的坐標.

考點2：面積問題

典例2：（2021九上嘟城期末）如圖1,在平面直角坐標系xθy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點

（-2,5）,且與直線y=-∣x在第二象限交于點A,過點A作ABLx軸，垂足為點8（-4,0）.

若P是直線OZ上方該拋物線上的一個動點,過點P作PCIx軸于點C,交04于點D,連接OP，

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）求a∕10P的面積S的最大值；

（3）連接PB交。4于點E,如圖2,線段PB與AD能否互相平分？若能，請求出點E的坐標;

若不能，請說明理由.

【變式1］（2022九上,岳麓開學考）如圖，拋物線y=ɑ/+b%+6經(jīng)過4（一2,0）、B（4,0）兩點，與y軸

交于點C,點O是拋物線上一動點，設點。的橫坐標為m(l<τn<4),連結(jié)AC、BC,DB、DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

(2)當ABCO的面積等于AAOC的面積的J時，求Tn的值.

(3)當血=2時，若點M是％軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使

得以點8、0、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的的坐標；若不存在，

請說明理由.

【變式2](2022九上?舟山月考)如圖，拋物線y=α∕+bχ+c(αK0)經(jīng)過點A(2,O),B(-2,4),(-4,

0),直線AB與拋物線的對稱軸交于點E.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點M在直線AB上方的拋物線上運動，當AABM的面積最大時，求點M的坐標；

(3)若點F為平面內(nèi)的一點，且以點B,E,C,F為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出符合條件

的點F的坐標.

【變式3](2021九上?槐蔭期末)二次函數(shù)y=aχ2+bx+4(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(-4,0),B(1,0),

與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接BP、AC,過點P作PD,X軸于點D.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）連接PA,PC,求以p4C的最大值；

（3）連接BC,當NDPB=2NBC0時，求直線BP的表達式.

考點3：角度問題

典例3：(2022九下?磐安期中)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(α≠0)與x軸交于點4(1,0)，

B(9,0),與y軸交于點C,已知乙OAC=乙OCB.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點P在y軸上，在該拋物線的對稱軸上，是否存在唯一的點Q,滿足/-AQP=90°?

如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)若點P在y軸上，滿足sin?APB=|的點P是否存在？如果存在，請求出點P的坐標;

如果不存在，請說明理由.

【變式1](2021九上?潮安期末)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ɑ/+bx-3過點4(-3,0),

B（l,0），與y軸交于點C,連接BC,點N是第一象限拋物線上一點，連接NA,交y軸于點EsNAB=

ΛBCO.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求線段AN的長；

（3）若點M在第三象限拋物線上，連接MN,乙4NM=45。，則這時點M的坐標為

（直接寫出結(jié)果）.

【變式2】（2022?通遼）如圖，拋物線y=-/+bχ+c與X軸交于A,B兩點,與y軸交于C點，直線BC方

程為y=%-3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為拋物線上一點，若SAPBC=4S"BC，請直接寫出點P的坐標;

(3)點Q是拋物線上一點，若乙4CQ=45。，求點Q的坐標.

【變式3](2021九上海珠期末)如圖，已知直線y=-2x+m與拋物線相交于A,B兩點，且點A(l,

4)為拋物線的頂點，點B在X軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P是y軸上一點，當NAPB=90。時，求點P的坐標.

考點4：特殊三角形問題

典例4：(2022?湘西)定義：由兩條與X軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉

曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線CKy=χ2+2x-3與拋物線C2：y=ax?+2ax+c組成一個開口向上

的“月牙線”，拋物線G和拋物線C2與X軸有著相同的交點A(-3,0)、B(點B在點A右側(cè))，與y

軸的交點分別為G、H(0,-1).

(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標.

(2)點M是X軸下方拋物線Cl上的點，過點M作MNJ_x軸于點N,交拋物線Cz于點D,求線

段MN與線段DM的長度的比值.

(3)如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG,在X軸上是否存在點F,使得

△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式1](2021九上?南充期末)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線X=I,且與X

軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,-3),OB=OC.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在拋物線上是否存在點Q,使得XBCQ是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q

的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)設拋物線上的一點P的橫坐標為m,且在直線BC的下方，求使ABCP的面積為最大整數(shù)

時點P的坐標.

【變式21(2021九上?遂寧期末)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與X軸交于4(一2,0),B(6,0)兩

點，與y軸交于點C,直線/與拋物線交于A,D兩點，與y軸交于點E,且點D為(4,3);

(I)求拋物線及直線I的函數(shù)關系式；

(2)點F為拋物線頂點，在拋物線的對稱軸上是否存點G,使ΔAFG為等腰三角形，若存在,

求出點G的坐標；

(3)若點Q是y軸上一點，且乙4DQ=45。，請直接寫出點Q的坐標.

【變式3](2022九上?溫州月考)如圖1,拋物線y=aχ2+bx+3與X軸交于點A(3,0)、B(-1,0),

與y軸交于點C,點P為拋物線第一象限上的動點，點F為y軸上的動點，連結(jié)PA,PF,AF.

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,當點F的坐標為(0,-4),求出此時△AFP面積的最大值；

(3)如圖2,是否存在點F,使得AAFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點F

的坐標；若不存在，請說明理由.

考點5：特殊四邊形問題

典例5：(2022九下?重慶開學考)如圖，已知拋物線y=aχ2+bx-4與X軸交于A,B兩點，與y軸交于點

C,且點A的坐標為(-2,0),直線BC的解析式為y=?x-4.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,過點A作AD〃BC交拋物線于點D(異于點A),P是直線BC下方拋物線上一點,

過點P作PQ〃y軸，交AD于點Q,過點Q作QRLBC于點R,連接PR.求△PQR面積的最大值及此

時點P的坐標;

(3)如圖2,點C關于X軸的對稱點為點C1將拋物線沿射線CA的方向平移2√5個單位長度

得到新的拋物線y',新拋物線y'與原拋物線交于點M,原拋物線的對稱軸上有一動點N,平面直角坐

標系內(nèi)是否存在一點K,使得以D,M,N,K為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐

標；若不存在，請說明理由.

【變式1](2022九上?浦江期中)如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點A(4,0)的直線AB與y軸交

于點B(O,4).經(jīng)過原點。的拋物線y=-χ2+bx+c交直線AB于點A,C,拋物線的頂點為D.

(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達式；

(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當MN〃y軸且MN=2時，求點M的坐標；

(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內(nèi)一點.是否存在以點A,C,P,Q為頂點的四邊

形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式2】21.(2022九上?海曙期中)如圖，拋物線3/=-%2+加；+￡；交丫軸于點?1(0,2),交X軸于點

B(4,0)、C兩點，點D為線段OB上的一個動點(不與。、B重合)，過點D作。MJ.%軸，交AB于點M,

交拋物線于點N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AN和BN,當AABN的面積最大時，求出點D的坐標及△4BN的最大面積；

(3)在平面內(nèi)是否存在一點P,使得以點A,M,N,P為頂點，以4M為邊的四邊形是菱形？若存

在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式3](2022九上?義烏月考)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=χ2+bx+c與直線AB相交

于A,B兩點，其中A(-3,-4),B(O,-1),且拋物線的對稱軸與X軸的交點為Q.

備用圖

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA,PB,QA,QB,求四邊形PAQB面積的

最大值及此時P的坐標；

(3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y=a∣χ2+b∣x+c∣(aι≠0),平移后的拋物線與原拋

物線相交于點C,點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E,使以點B,C,

D,E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

考點6：相似三角形問題

典例6：(2022九上?鎮(zhèn)海區(qū)開學考)如圖，拋物線經(jīng)過點A(4,0)、B(1,0)、C(0,一2)三點.

2

(1)求此拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上的一個動點，過P作PMjLX軸，垂足為M,是否存在點P,使得以A、P、M為頂

點的三角形與a04C相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在直線AC上方的拋物線是有一點。，使得ADCA的面積最大，求出點D的坐標.

【變式1](2022九下?長沙開學考)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(αc≠0)與

X軸交于點A和點B(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C.若線段。4OB、OC的長滿足OC?=

OA-OB,則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線.如圖，拋物線y=ax2+bx+2(α≠0)為“黃金”拋物線,

其與X軸交點為A,B(其中B在A的右側(cè))，與y軸交于點C.且OA=4。8

(1)求拋物線的解析式;

(2)若P為AC上方拋物線上的動點，過點P作PDLAC,垂足為D.

①求PD的最大值;

②連接PC,當APCD與AACO相似時，求點P的坐標.

【變式2](2022九上?金東期末)已知拋物線y=](%+2)(x-m)與X軸負半軸交于點A,與X軸正半

軸交于點B,與y軸交于點C,點P為拋物線上一動點(點P不與點C重合).

(1)當AABC為直角三角形時，求AABC的面積.

(2)如圖，當APlIBC時，過點P作PQ_LX軸于點Q,求BQ的長；

(3)當以點A,B,P為頂點的三角形和△ABC相似時(不包括兩個三角形全等)，求m的值.

【變式3］（2022九下?寧波月考）如圖，已知拋物線y=-χ2+bx+3的圖象與X軸相交于點A和點B,與y

軸交于點C,圖象的對稱軸為直線X=-L連結(jié)AC,有一動點D在線段AC上運動，過點D作X軸的

垂線，交拋物線于點E,交X軸于點F.設點D的橫坐標為m.

（2）連結(jié)AE、CE,當AACE的面積最大時，求點D的坐標:

（3）直接寫出m為何值時，AADF與ACDE相似.

考點7：解析幾何問題（韋達定理）

典例7：（2022九上?杭州開學考）已知二次函數(shù)y=mχ2-2mx+3,其中m#）.

（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1,4）,求二次函數(shù)表達式；

（2）若該二次函數(shù)圖象開口向上，當-l≤xW2時，二次函數(shù)圖象的最高點為M,最低點為N,點M

的縱坐標為6,求點M和點N的坐標；

（3）在二次函數(shù)圖象上任取兩點（x∣,y∣）,（X2,y2）,當a≤x1<x2Sa+2時，總有y∣>y2,求a的取

值范圍.

【變式1】(2022九上福建競賽)已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c與直線：y=ax+c,y=cx+a

中的每一條都至多有一個公共點.

⑴求標的最大值；

(2)當W取最大值時，設直線y=^a交拋物線y=α%2+bχ+c于A,B兩點，C為拋物線

的頂點，若^ABC內(nèi)切圓的半徑為1,求a的值.

【變式2](2022九上?桐廬月考)已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+b-a(a≠0).

(1)若a=b時，求二次函數(shù)與X軸的交點坐標；

(2)若a>0,二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2,求該函數(shù)的最小值(用字母a表示)；

(3)若該拋物線與直線y=ax+a(a≠0)交于A(x∣,yι),B(X2,y2)兩點，當XlVO<X2時，都

有y∣<y2,求證：b<2a.

【變式3](2022九上?溪湖開學考)已知：拋物線的：y=αx2+hx+c(α>0).

(1)若頂點坐標為(1,1)，求。和C的值(用含α的代數(shù)式表示)；

(2)當c<O時，求函數(shù)y=-2022∣αχ2+bx+c∣-1的最大值；

(3)若不論Jn為任何實數(shù)，直線y=m(χ-i)一苧與拋物線Cl有且只有一個公共點，求α,b,C的

值；此時，若k≤x≤k+l時，拋物線的最小值為k,求k的值.

專題10二次函數(shù)綜合問題

一、【知識回顧】

【思維導圖】

二次函數(shù)

【類型清單】

二、【考點類型】

考點1：線段周長問題

典例1：(2022?漳州)如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點M是拋物線在X軸下方上的動點，過點M作MN〃y軸交直線BC于點N,求線段MN

的最大值；

(3)在(2)的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸1上是否存在點P,使APBN是

等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：將點B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=χ2+bx+c中，

得：｛°=：+3b+c,解得：｛h=^4,

I3=c<?c=3

.?.拋物線的解析式為y=χ2-4x+3.

(2)解：設點M的坐標為(m,m2-4m+3),設直線BC的解析式為y=kx+3,

把點點B(3,0)代入y=kx+3中，

得：0=3k+3,解得:k=-l,

.?.直線BC的解析式為y=-x+3.

VMN∕7y軸，

點N的坐標為(m,-m+3).

：拋物線的解析式為y=χ2-4x+3=(x-2)2-l,

.?.拋物線的對稱軸為x=2,

.?.點(1,0)在拋物線的圖象上，

Λl<m<3.

：線段MN=-m+3-(m2-4m+3)--tn2+3m=-?+,

.?.當m=I時，線段MN取最大值，最大值為I.

(3)解：假設存在.設點P的坐標為(2,n).

當m=I時，點N的坐標為（I,I）,

222

,PB=J（2-3）+（π-0）=√l+n>PN=J（2-1/+（n-1/，BN=J（3-1/+（0-1/=

3√2

-2-'

△PBN為等腰三角形分三種情況：

22

①當PB=PN時，即=J（2-∣）+（n-∣），

解得：n=1,

此時點P的坐標為（2,?）；

②當PB=BN時，即行能=挈，

解得：n=±孚，

此時點P的坐標為（2,-孚）或（2,孚）；

③當PN=BN時，即J（2_|:+（n_|）2=挈，

解得：n=當IZ,

此時點P的坐標為（2,3-嚴）或（2,3+嚴）.

綜上可知：在拋物線的對稱軸1上存在點P,使APBN是等腰三角形，點的坐標為（2,1）、（2,-

孚）、（2,孚）、（2,立尹）或（2,3土棄）.

【解析】【分析】（1）由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）設出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的

解析式，結(jié)合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關于m的函數(shù)關系式，

再結(jié)合點M在X軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）假設存在，設出點P的坐標為（2,n）,結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點N的坐標，結(jié)合點N、B的坐

標利用兩點間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n

值，從而得出點P的坐標.

【變式1】（2018?大慶）如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A、B兩點，B點坐標為（4,0）,與y軸

交于點C(O,4).

(2)點P在X軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求

PE+EF的最大值；

(3)點D為拋物線對稱軸上一點.

①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，直接寫出點D的坐標；

②若ABCD是銳角三角形，直接寫出點D的縱坐標n的取值范圍.

【答案】⑴解：把B(4,0),C(0,4)代入y=χ2+bx+c,得*+：匕。。，解得｛1;:...

拋物線的解析式為y=χ2-5x+4.

(2)解：由B(4,O),C(0,4)易得BC的解析式為y=-x+4,

由OB=OC,可得△BOC為等腰直角三角形，/BCO=/CBO=45。，

由直線y=x+m可得F(O,m),與X軸的交點為Q(-m,0),則OF=OQ,

.*.NEFC=45°,

.?.AECF為等腰直角三角形，EF=乎CF=苧(4-Tn),

作PG〃y軸交BC于G,

?EPG為等腰直角三角形，PE=烏PG,

設P(t,t2-5t+4)(l<t<4),則G(t,-t+4),m=t2-6t+4

.??PG=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4l,EF=^(4-t2+6t-4)=+3√2t，

ΛPE=芋PG=-乎產(chǎn)+2√2t，

.?.PE+EF=-^t2+2√2t-^t2+3√2t=-√2t2+5√2t=-√2(t-f)2+?^

當t=搟時，PE+EF的最大值為軍；

24

(3)解：①如圖，

圖2

拋物線的對稱軸為直線X=I,設D(I,n),則BC2=42+42=32,DC2=(I)2+(n-4)2,BD2=

(4-I)2+n2=I+n2,當ABCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2,

EP32+(I)2+(n-4)2=I+n2,解得n=5,此時D點坐標為(*,竽).

當ABCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+BD2=DC2,即32+%+M=(?)2+

4Z

(n-4)2,解得n=-1,此時D點坐標為(搟，一|)；

綜上所述，符合條件的點D的坐標是(I,竽)或(I,_|).

②當ABCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2+DB2=BC2,BP(?)2+(n-4)2++n2=32,解

Z4

得m=生典，3上其，此時D點坐標為(I,更I)或(，生卓I),

,△BCD是銳角三角形，點D的縱坐標的取值范圍為生爐<n<學或Y<y<上算.

【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式：將B(4,0)和C(0,4)代入二次函數(shù)解

析式，聯(lián)立方程解出b,c即可；(2)求PE+PF的最大值，一般可以通過幾何分析得到特殊點，或者將

PE+PF運用含字母的代數(shù)式表示出來，分析字母的取值范圍，得到PE+PF的最值；由點P是拋物線與

直線y=x+m的交點，即點P為動點，不妨設P(t,t2-5t+4)(lVtV4),嘗試結(jié)合直線y=x+m及直線

BCy=-x+4的特殊性，可得NBCO=NCFE=45。，用t表示出PE及EF的長度，并求出PE+EF的和;

(3)①直角三角形中已知B(4,O),C(0,4),且D的橫坐標為I,：BC為直角邊，則需要分類

討論，BD為斜邊時，CD為斜邊時點D的坐標：由勾股定理及兩點坐標的距離公式，構(gòu)造方程解出點

D的縱坐標即可；

②結(jié)合①的結(jié)論，以及當△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，由勾股定理可求得此時D的坐標，

結(jié)合圖形將①和②所求得的點D的坐標在圖中標出來，可確定點D在哪些位置時，△BCD是銳角三

角形.

【變式2】(2022九上?東陽月考)如圖，拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，過點D做DQlx軸于點M,DQ與BC相交于點M.DE±BC

于E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求線段DE長度的最大值；

(3)連接AC,是否存在點D,使得ACDE中有一個角與NCAo相等？若存在，求點D的橫坐標;

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：：拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點，

二設拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),

將C(0,3)代入，得:a×(0+1)×(0-3)=3,

解得：a=-l,

Λy=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3,

???拋物線解析式為y=-x2+2x÷3

(2)解：設D(m,-r∩2+2m+3),且OVmV3,如圖1,

yl

D

/??se??

fII?

“。|s?x*

圖1

在RtZkBOC中，BO=3,0C=3,

2222

'BC=√BO+OC=√3+3=3√2，

設直線BC的解析式為y=kx+n,將B(3,O),C(0,3)代入,

得：產(chǎn)+n∕0

In=3

解得：金=31

I九=3

???直線BC的解析式為y=-x÷3,

.*.G(m,-m÷3),

ΛDG=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

VDE±BC,

???NDEG=NBOC=90。，

?.?DGJ_x軸，

?，.DG〃y軸，

ΛZDGE=ZBCO,

Λ?DGESZiBCO,

.DE_BO

**DG=BC,

,DE=3

**—m2+3m3√r2,

?∏p-√2.3√f2√2,32,9√2

υb2λ

??—二Z4+FZ-TΠ=一于Z(m—幻L÷-oQ-

.?.當m=∣時，DE取得最大值，最大值是等.

(3)解：存在點D,使得ACDE中有一個角與NCFo相等.

：點F是AB的中點,A(-1,0),B(3,0),C(0,3),

ΛF(1,0),

ΛOF=1,OC=3,BC=4,

MCFO=浣=3,

如圖2所示，過點B作BG1.BC,交CD的延長線于點G,過點G作GH_LX軸于點H,

①若/DCE=NCFO,

tanZDCE=tanZCFO=3,

?.?tan∕DCE=??=3,

DC

ΛGB=12,

VBG±BC,GHJ_x軸，

.?.ZCBG=ZGHB=ZBCO=90o,

.β.ZCBO+ZGBH=ZBGH÷ZGBH=90o,

ΛZCBO=ZBGH,

Λ?CBO^?BGH,

?GH_HB_GB

?φB0=OC=BC,

.?.GH=9,HB=9,

.?.OH=OB+BH=3+9=12,

ΛG(12,9),

設直線CG的解析式為y=k∣x+bι,

?1

1

k=-

解得12

b

=3

1

...直線CG的解析式為y=4χ+3,

；

=尹1+

聯(lián)立方程組，得:y3

y-—X2+2%+3

r3

f-_

得

解2,二;（不合題意，舍去）,

:l-

<15

l一4

k

)

3π.15；

2~2

.?.D(|1竽)；

②若NCDE=∕CFO,

ΛtanZCDE=tanZCFO=3,

VBG±BC,DELBC,

.*.ZCBG=ZCED=90o,

ΛGB/7DE,

.?.NCDE=NCGB,

.,.tanNCDE=tanNCGB=煞=3,

UD

?"?GB=^?BC=^×3??∕2=?/?>

V?CBO<^?BGH,

.GH_HB_GB

'"BO=^OC=^BC'

.?.GH=∣BO=1,HB=∣OC=1,

ΛOH=OB+BH=3+1=4,

.?.G(4,1)；

同①方法，易求得直線CG的解析式為y=-lx+3,

_1,?

聯(lián)立方程組，得y-2x+i

V=-X2+2x+3

5

X-

1=2

得

解7(×2=°（不合題意,舍去）,

-

了=3

14σ2=

57

--

.D24

綜上所述，存在點D使得ACDE中有一個角與/CFO相等，點D的坐標為修竽）或4，Z）.

【解析】【分析】(1)利用"兩根式“待定系數(shù)法求解,由拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過A式1,O),B(3,0),

C(0,3)三點，設拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),再代入點坐標求解即可；

(2)設D(m,-m-+2m+3),且0<m<3,利用勾股定理求得BC的長，再利用待定系數(shù)法求出直線

BC的解析式，再證明ADGEs^BCO,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，用含m的代數(shù)式表示出DE,再利用二

次函數(shù)最值即可求解；

(3)ZiCDE中有一個角與/CAO相等，分兩種情況：①若NDCE=NCF0,②若∕CDE=∕CFO,

過點B作BG_LBC,交CD的延長線于點G,過點G作GHLX軸于H,運用三角函數(shù)定義和相似三角

形性質(zhì)求出直線CG的解析式，再聯(lián)立方程組并求解方程組，即可求得使得△CDE中有一個角與NCFo

相等的點D的坐標.

【變式3](2022九上嘟州月考)如圖，已知拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A,B兩點，其中點A的坐

標為(-3,0),與y軸交于點C,點D(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求APAD周長的最小值；

(3)拋物線的對稱軸上有一動點M,當△MAD是等腰三角形時，直接寫出點M的坐標.

【答案】(1)解：由題意得

9—3b+c=0

Aa—26+c=-3

???拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

(2)解：連接BD交對稱軸于點P,

?.?點A,B關于對稱軸對稱，

二AP=BP,

.?.AP+PD+AD=BP+PD+AP=BD+AD,

???兩點之間線段最短，

,此時APAD的周長為BD+AD為最小，

當y=0時x2+2x-3=0

解之：xι=-3,x2=l,

二點B(1,0),

VA(-3,0),D(-2,-3),

'BD=√(-2-l)2+32=3√2)

AD=√(-3+2)2+32=√Tθ

：.△PAD的周長為3√Σ+√10.

(3)解：設點M(-?,n),

?.?A(-3,0),D(-2,-3),

.,.AM2=(-1+3)2+n2=n2+4,AD2=(-3+2)2+9=10,

MD2=(-1+2)2+(n+3)2=n2+6n+10

當AM=AD時M+4=l(),

解之：n∣=√6,∏2=-√6.

點M(-1,√6)或(-1,-√5);

當AM=MD時n2+4=n2+6n+10

解之：n=-l,

：.點、M(-1,-1)

當AD=DM時n2+6n+10=10

解之：n∣=(),∏2=-6;

.?.點P(-1,0),(-1,-6),

設AD的函數(shù)解析式為y=kx+b

.(—3k+b=0

Y-2∕c+b=-3

解之：憶二;

/.AD的函數(shù)解析式為y=-3x-9,

當X=-I時y=3-9=-6,

.,.(-1,-6)在直線AD上，

.?.點(-1,-6)不符合題意，舍去

.?.當△MAD是等腰三角形時，點M的坐標為(-1,√6)或(-?,-√6)或(-1,-1)或(-1,0).

【解析】【分析】(1)將點A,D的坐標分別代入函數(shù)解析式，可得到關于b,c的方程組，解方程組求

出b,c的值，可得到拋物線的解析式.

(2)連接BD交對稱軸于點P,利用對稱軸的應用-最短問題及二次函數(shù)的對稱性，可知此時APAD的

周長為BD+AD為最小，由y=0求出對應的X的值，可得到點B的坐標；再利用勾股定理求出BD,

AD的長，然后求出APAD的周長.

(3)設點M(-1,n),利用平面直角坐標系中的兩點之間的距離公式，分別求出AM?,AD2,MD?,

再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當AM=MD時；當AM=AD時；當MD=AD時，分別可得到

關于n的方程，分別解方程求出n的值，可得到點P的坐標；再求出直線AD的函數(shù)解析式，可知點

(-1,-6)在此函數(shù)圖象上，綜上所述可得到符合題意的點P的坐標.

考點2：面積問題

典例2：(2021九上?鄂城期末)如圖1,在平面直角坐標系xθy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點

(-2,5),且與直線y=-∣x在第二象限交于點A,過點A作ABLx軸，垂足為點β(-4,0).

若P是直線。/上方該拋物線上的一個動點,過點P作PCLx軸于點C,交。4于點D,連接OP,

PA.

圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)求XAoP的面積S的最大值；

(3)連接PB交。4于點E,如圖2,線段PB與AD能否互相平分？若能，請求出點E的坐標;

若不能，請說明理由.

【答案】(1)解：ABLx軸，點8(-4,

y=—?×4=—2,

4(-4,2)，

又拋物線經(jīng)過(-2,5)，

1

r16Q=-

一

解得9

κ=-

l4^4?bb-

2-2

.?.拋物線的解析式為y=-x2-^x

(2)解：設點P(t,-t2-∣t),則點D(t

??PD=(-“—?t)—(—?t)=-t?—4t

11,

?'?S=&?PD,4=2■(-t2-4t),4=-2(t+2尸+8

."?t=-2時，SmaX=8；

(3)解：線段PB與AD能相互平分.理由如下：如圖，連接BD

：線段PB與AD相互平分，

.?.四邊形ABDP是平行四邊形，

...PD=AB,

???力（-4,2）,PD=一戶一4匕

???—12—4t=2,

??t=-2+√2或t=-2—V2

當t=-2+√Σ時，則D（-2+√Σ,1-孝），

?：E為AD的中點，

.?.點E的坐標為（二竽旦,殳普）

當t=-2-√Σ時，則D（-2-√∑,1+孝），

???E為力。的中點，

.?.點E的坐標為（弓正，安2）

.?.點E的坐標為（心磐，與&）或（二與&，岑馬?

【解析】【分析】（1）根據(jù)ABLX軸可得點A、B的橫坐標均為-4,將χ=4代入y=-ax中求出y,據(jù)

此可得點A的坐標，將點A的坐標及（-2,5）代入y=aχ2+bx中求出a、b,據(jù)此可得拋物線的解析式；

（2）設P（31_/），則D（t,-∣t）,表示出PD,然后根據(jù)三角形的面積公式可得S,接下來結(jié)合

二次函數(shù)的性質(zhì)可得S的最大值;

(3)連接BD,則四邊形ABDP是平行四邊形，得到PD=AB,據(jù)此可得I的值，進而得到點D的坐標,

然后由E為AD的中點就可得到點E的坐標.

【變式1](2022九上?岳麓開學考)如圖，拋物線丁=。/+加:+6經(jīng)過4(一2,0)、8(4,0)兩點，與y軸

交于點C,點D是拋物線上一動點，設點。的橫坐標為m(l<m<4),連結(jié)4C、BC、DB、DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

(2)當ABCO的面積等于AAOC的面積的擠時，求他的值.

(3)當m=2時，若點M是“軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使

得以點B、。、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的的坐標；若不存在，

請說明理由.

【答案】(1)解：由拋物線交點式表達式得：y=α(x+2)(X-4)=α(x2-2x-8)=ax2—2ax-8a,

即—8a―6)解得：a=—,`

故拋物線的表達式為：y=-∣X2+∣X+6；

(2)解：由拋物線的表達式知，點C(0,6),

由點B、C的坐標，得直線BC的表達式為：y=-∣x+6，

如圖所示，過點。作y軸的平行線交直線BC于點H，

OOO

設點O(m,-ξττι2+2÷6)，則點H(Tn,—+6)

則S>BDC=2HD×OB=2(—4ττι^+jτπ+6+^?πι-6)=2(—,τrι^+3m)

3r31「Q9

?',LACO=ξ×2×6×2=2

即：2(-,m2+3m)=5，

解得：m=1或3(舍去1),

故τn=3；

(3)解：當m=2時，點DQ,6),

設點M(X,0),點N(t,n)>貝!∣n=—*t?+怖t+6(T)

①當BD是邊時,

點B向左平移1個單位向上平移6個單位得到點O,同樣點M(N)向左平移1個單位向上平移6

個單位得到點N(M)，

故H或｛M：：②，

'聞—1-√33-l

(X=3x=----2----

聯(lián)立①②并解得：t=2或.l+√33或,1-屈(不合題意的值已舍去)；

(TI=6t=F-m=^-

.n=—6n=-6

故點M的坐標為(3,0)或(嗯T,0)或(一號T,0)；

②當BD是對角線時,

扣+4)=%+m)③,

由中點公式得:

T(6+0)=T(n+0),

m=3

聯(lián)立①③并解得n=6，

.x=4

故點M的坐標為(4,0);

綜上，點M的坐標為(3,0)或(叼-1,0)或(一號T,0)或(4,0).

【解析?分析［(1)由A、B的坐標可設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)=a(χ2-2x-8)=aχ2-2ax-8a,則-8a=6,

求出a的值，進而可得拋物線的解析式；

(2)由拋物線的表達式知C(0,6),求出直線BC的解析式，過點D作y軸的平行線交直線BC于點

H,設D(m,-∣m2+‰+6),則H(m,-∣m+6),根據(jù)三角形的面積公式表示出SABDc,結(jié)合題意可

4ZZ

得m的值；

(3)當m=2時，點D(2,6),設M(x,0),N(t,n),貝IJn=Yt2+柒6,然后分①BD是邊，②BD

4Z

為對角線，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得X、t、m、n的值，進而可得點M的坐標.

【變式2](2022九上?舟山月考)如圖，拋物線y=四2+?。?以。10)經(jīng)過點人(2,0),B(-2,4),(-4,

0),直線AB與拋物線的對稱軸交于點E.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點M在直線AB上方的拋物線上運動，當AABM的面積最大時，求點M的坐標；

(3)若點F為平面內(nèi)的一點，且以點B,E,C,尸為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出符合條件

的點F的坐標.

【答案】(1)解：將點A(2,0),B(-2,4),C(-4,0)分別代入y=ɑ/+bX+c得：

4α+2b+c=0fɑ=—i

16a—4b+c=0,解得《人_1.

Ua-2fe+c=4Γ^7

.?.拋物線的表達式為y=-lχ2-x+4.

(2)解：如圖，作MNlly軸交直線AB于點N,

、1

設點M(m,—2巾2—m+4)?

設直線AB的方程為y=Zct+九，將4(2,0),5(-2,4)代入解析式得:

(2fc+n=0

t-2/c+n=4'

解得｛);7

.?.直線AB的解析式為：y=-x+2,

11

??N(τtir—n?+2),MN=—,—τπ+4—(—τn+2)=—,Tn之+2，

??SAABM=；MN(X4XB)=?×(—+2)x(2+2)=-τn^+4(-2VzM)>

V-KO,且-2<0<2,

.?.當m=O時，AABM的面積最大，此時一/小2一6+4=%所以M的坐標為(0,4).

(3)解：?.?拋物線的對稱軸為直線4=__!=__二―=_1，