2023中考數(shù)學(xué)練習(xí) 10 二次函數(shù)綜合問(wèn)題（學(xué)生版+解析版）

專(zhuān)題10二次函數(shù)綜合問(wèn)題

一、【知識(shí)回顧】

【思維導(dǎo)圖】

二次函數(shù)

【類(lèi)型清單】

二、【考點(diǎn)類(lèi)型】

考點(diǎn)1：線段周長(zhǎng)問(wèn)題

典例1：(2022?漳州)如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)M是拋物線在X軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN〃y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN

的最大值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸1上是否存在點(diǎn)P,使APBN是

等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2018?大慶)如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),與y軸

交于點(diǎn)C(O,4).

(2)點(diǎn)P在X軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,求

PE+EF的最大值；

(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn).

①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若ABCD是銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍.

【變式2](2022九上?東陽(yáng)月考)如圖，拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,O),B(3,O),C(0,3)

三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D做DQLX軸于點(diǎn)M,DQ與BC相交于點(diǎn)M.DE±BC

于E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求線段DE長(zhǎng)度的最大值；

(3)連接AC,是否存在點(diǎn)D,使得ACDE中有一個(gè)角與NCAo相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式3](2022九上?鄲州月考)如圖，已知拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求APAD周長(zhǎng)的最小值；

(3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)aMAD是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

考點(diǎn)2：面積問(wèn)題

典例2：（2021九上嘟城期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xθy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（-2,5）,且與直線y=-∣x在第二象限交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作ABLx軸，垂足為點(diǎn)8（-4,0）.

若P是直線OZ上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PCIx軸于點(diǎn)C,交04于點(diǎn)D,連接OP，

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）求a∕10P的面積S的最大值；

（3）連接PB交。4于點(diǎn)E,如圖2,線段PB與AD能否互相平分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1］（2022九上,岳麓開(kāi)學(xué)考）如圖，拋物線y=ɑ/+b%+6經(jīng)過(guò)4（一2,0）、B（4,0）兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)O是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為m(l<τn<4),連結(jié)AC、BC,DB、DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)ABCO的面積等于AAOC的面積的J時(shí)，求Tn的值.

(3)當(dāng)血=2時(shí)，若點(diǎn)M是％軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使

得以點(diǎn)8、0、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2](2022九上?舟山月考)如圖，拋物線y=α∕+bχ+c(αK0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,O),B(-2,4),(-4,

0),直線AB與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AABM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)F為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)B,E,C,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件

的點(diǎn)F的坐標(biāo).

【變式3](2021九上?槐蔭期末)二次函數(shù)y=aχ2+bx+4(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),B(1,0),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC,過(guò)點(diǎn)P作PD,X軸于點(diǎn)D.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接PA,PC,求以p4C的最大值；

（3）連接BC,當(dāng)NDPB=2NBC0時(shí)，求直線BP的表達(dá)式.

考點(diǎn)3：角度問(wèn)題

典例3：(2022九下?磐安期中)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(α≠0)與x軸交于點(diǎn)4(1,0)，

B(9,0),與y軸交于點(diǎn)C,已知乙OAC=乙OCB.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P在y軸上，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在唯一的點(diǎn)Q,滿(mǎn)足/-AQP=90°?

如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)P在y軸上，滿(mǎn)足sin?APB=|的點(diǎn)P是否存在？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2021九上?潮安期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ɑ/+bx-3過(guò)點(diǎn)4(-3,0),

B（l,0），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)N是第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接NA,交y軸于點(diǎn)EsNAB=

ΛBCO.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求線段AN的長(zhǎng)；

（3）若點(diǎn)M在第三象限拋物線上，連接MN,乙4NM=45。，則這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（直接寫(xiě)出結(jié)果）.

【變式2】（2022?通遼）如圖，拋物線y=-/+bχ+c與X軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方

程為y=%-3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若SAPBC=4S"BC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若乙4CQ=45。，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【變式3](2021九上海珠期末)如圖，已知直線y=-2x+m與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(l,

4)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在X軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)NAPB=90。時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

考點(diǎn)4：特殊三角形問(wèn)題

典例4：(2022?湘西)定義：由兩條與X軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉

曲線稱(chēng)為“月牙線”，如圖①，拋物線CKy=χ2+2x-3與拋物線C2：y=ax?+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上

的“月牙線”，拋物線G和拋物線C2與X軸有著相同的交點(diǎn)A(-3,0)、B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))，與y

軸的交點(diǎn)分別為G、H(0,-1).

(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)M是X軸下方拋物線Cl上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MNJ_x軸于點(diǎn)N,交拋物線Cz于點(diǎn)D,求線

段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值.

(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接EG,在X軸上是否存在點(diǎn)F,使得

△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2021九上?南充期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線X=I,且與X

軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),OB=OC.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得XBCQ是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè)拋物線上的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,且在直線BC的下方，求使ABCP的面積為最大整數(shù)

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式21(2021九上?遂寧期末)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與X軸交于4(一2,0),B(6,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線/與拋物線交于A,D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,且點(diǎn)D為(4,3);

(I)求拋物線及直線I的函數(shù)關(guān)系式；

(2)點(diǎn)F為拋物線頂點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存點(diǎn)G,使ΔAFG為等腰三角形，若存在,

求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且乙4DQ=45。，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【變式3](2022九上?溫州月考)如圖1,拋物線y=aχ2+bx+3與X軸交于點(diǎn)A(3,0)、B(-1,0),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA,PF,AF.

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,-4),求出此時(shí)△AFP面積的最大值；

(3)如圖2,是否存在點(diǎn)F,使得AAFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)5：特殊四邊形問(wèn)題

典例5：(2022九下?重慶開(kāi)學(xué)考)如圖，已知拋物線y=aχ2+bx-4與X軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),直線BC的解析式為y=?x-4.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AD〃BC交拋物線于點(diǎn)D(異于點(diǎn)A),P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作PQ〃y軸，交AD于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QRLBC于點(diǎn)R,連接PR.求△PQR面積的最大值及此

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,點(diǎn)C關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C1將拋物線沿射線CA的方向平移2√5個(gè)單位長(zhǎng)度

得到新的拋物線y',新拋物線y'與原拋物線交于點(diǎn)M,原拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)N,平面直角坐

標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K,使得以D,M,N,K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2022九上?浦江期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線AB與y軸交

于點(diǎn)B(O,4).經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的拋物線y=-χ2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A,C,拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；

(2)M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN〃y軸且MN=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊

形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2】21.(2022九上?海曙期中)如圖，拋物線3/=-%2+加；+￡；交丫軸于點(diǎn)?1(0,2),交X軸于點(diǎn)

B(4,0)、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與。、B重合)，過(guò)點(diǎn)D作。MJ.%軸，交AB于點(diǎn)M,

交拋物線于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AN和BN,當(dāng)AABN的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△4BN的最大面積；

(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,M,N,P為頂點(diǎn)，以4M為邊的四邊形是菱形？若存

在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式3](2022九上?義烏月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=χ2+bx+c與直線AB相交

于A,B兩點(diǎn)，其中A(-3,-4),B(O,-1),且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與X軸的交點(diǎn)為Q.

備用圖

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA,PB,QA,QB,求四邊形PAQB面積的

最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)；

(3)將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y=a∣χ2+b∣x+c∣(aι≠0),平移后的拋物線與原拋

物線相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)B,C,

D,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)6：相似三角形問(wèn)題

典例6：(2022九上?鎮(zhèn)海區(qū)開(kāi)學(xué)考)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)、B(1,0)、C(0,一2)三點(diǎn).

2

(1)求此拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMjLX軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以A、P、M為頂

點(diǎn)的三角形與a04C相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)。，使得ADCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【變式1](2022九下?長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(αc≠0)與

X軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.若線段。4OB、OC的長(zhǎng)滿(mǎn)足OC?=

OA-OB,則這樣的拋物線稱(chēng)為“黃金”拋物線.如圖，拋物線y=ax2+bx+2(α≠0)為“黃金”拋物線,

其與X軸交點(diǎn)為A,B(其中B在A的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.且OA=4。8

(1)求拋物線的解析式;

(2)若P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDLAC,垂足為D.

①求PD的最大值;

②連接PC,當(dāng)APCD與AACO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式2](2022九上?金東期末)已知拋物線y=](%+2)(x-m)與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與X軸正半

軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合).

(1)當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，求AABC的面積.

(2)如圖，當(dāng)APlIBC時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ_LX軸于點(diǎn)Q,求BQ的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)以點(diǎn)A,B,P為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似時(shí)(不包括兩個(gè)三角形全等)，求m的值.

【變式3］（2022九下?寧波月考）如圖，已知拋物線y=-χ2+bx+3的圖象與X軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y

軸交于點(diǎn)C,圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-L連結(jié)AC,有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作X軸的

垂線，交拋物線于點(diǎn)E,交X軸于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m.

（2）連結(jié)AE、CE,當(dāng)AACE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo):

（3）直接寫(xiě)出m為何值時(shí)，AADF與ACDE相似.

考點(diǎn)7：解析幾何問(wèn)題（韋達(dá)定理）

典例7：（2022九上?杭州開(kāi)學(xué)考）已知二次函數(shù)y=mχ2-2mx+3,其中m#）.

（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1,4）,求二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng)-l≤xW2時(shí)，二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為M,最低點(diǎn)為N,點(diǎn)M

的縱坐標(biāo)為6,求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)（x∣,y∣）,（X2,y2）,當(dāng)a≤x1<x2Sa+2時(shí)，總有y∣>y2,求a的取

值范圍.

【變式1】(2022九上福建競(jìng)賽)已知開(kāi)口向上的拋物線y=ax2+bx+c與直線：y=ax+c,y=cx+a

中的每一條都至多有一個(gè)公共點(diǎn).

⑴求標(biāo)的最大值；

(2)當(dāng)W取最大值時(shí)，設(shè)直線y=^a交拋物線y=α%2+bχ+c于A,B兩點(diǎn)，C為拋物線

的頂點(diǎn)，若^ABC內(nèi)切圓的半徑為1,求a的值.

【變式2](2022九上?桐廬月考)已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+b-a(a≠0).

(1)若a=b時(shí)，求二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若a>0,二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,求該函數(shù)的最小值(用字母a表示)；

(3)若該拋物線與直線y=ax+a(a≠0)交于A(x∣,yι),B(X2,y2)兩點(diǎn)，當(dāng)XlVO<X2時(shí)，都

有y∣<y2,求證：b<2a.

【變式3](2022九上?溪湖開(kāi)學(xué)考)已知：拋物線的：y=αx2+hx+c(α>0).

(1)若頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，求。和C的值(用含α的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)c<O時(shí)，求函數(shù)y=-2022∣αχ2+bx+c∣-1的最大值；

(3)若不論Jn為任何實(shí)數(shù)，直線y=m(χ-i)一苧與拋物線Cl有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求α,b,C的

值；此時(shí)，若k≤x≤k+l時(shí)，拋物線的最小值為k,求k的值.

專(zhuān)題10二次函數(shù)綜合問(wèn)題

一、【知識(shí)回顧】

【思維導(dǎo)圖】

二次函數(shù)

【類(lèi)型清單】

二、【考點(diǎn)類(lèi)型】

考點(diǎn)1：線段周長(zhǎng)問(wèn)題

典例1：(2022?漳州)如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)M是拋物線在X軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN〃y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN

的最大值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸1上是否存在點(diǎn)P,使APBN是

等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)解：將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=χ2+bx+c中，

得：｛°=：+3b+c,解得：｛h=^4,

I3=c<?c=3

.?.拋物線的解析式為y=χ2-4x+3.

(2)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2-4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,

把點(diǎn)點(diǎn)B(3,0)代入y=kx+3中，

得：0=3k+3,解得:k=-l,

.?.直線BC的解析式為y=-x+3.

VMN∕7y軸，

點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,-m+3).

：拋物線的解析式為y=χ2-4x+3=(x-2)2-l,

.?.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,

.?.點(diǎn)(1,0)在拋物線的圖象上，

Λl<m<3.

：線段MN=-m+3-(m2-4m+3)--tn2+3m=-?+,

.?.當(dāng)m=I時(shí)，線段MN取最大值，最大值為I.

(3)解：假設(shè)存在.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n).

當(dāng)m=I時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（I,I）,

222

,PB=J（2-3）+（π-0）=√l+n>PN=J（2-1/+（n-1/，BN=J（3-1/+（0-1/=

3√2

-2-'

△PBN為等腰三角形分三種情況：

22

①當(dāng)PB=PN時(shí)，即=J（2-∣）+（n-∣），

解得：n=1,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,?）；

②當(dāng)PB=BN時(shí)，即行能=挈，

解得：n=±孚，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,-孚）或（2,孚）；

③當(dāng)PN=BN時(shí)，即J（2_|:+（n_|）2=挈，

解得：n=當(dāng)IZ,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3-嚴(yán)）或（2,3+嚴(yán)）.

綜上可知：在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸1上存在點(diǎn)P,使APBN是等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）、（2,-

孚）、（2,孚）、（2,立尹）或（2,3土棄）.

【解析】【分析】（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的

解析式，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出線段MN的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，

再結(jié)合點(diǎn)M在X軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；

（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,n）,結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)N、B的坐

標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類(lèi)討論即可求出n

值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式1】（2018?大慶）如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,與y軸

交于點(diǎn)C(O,4).

(2)點(diǎn)P在X軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,求

PE+EF的最大值；

(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn).

①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若ABCD是銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍.

【答案】⑴解：把B(4,0),C(0,4)代入y=χ2+bx+c,得*+：匕。。，解得｛1;:...

拋物線的解析式為y=χ2-5x+4.

(2)解：由B(4,O),C(0,4)易得BC的解析式為y=-x+4,

由OB=OC,可得△BOC為等腰直角三角形，/BCO=/CBO=45。，

由直線y=x+m可得F(O,m),與X軸的交點(diǎn)為Q(-m,0),則OF=OQ,

.*.NEFC=45°,

.?.AECF為等腰直角三角形，EF=乎CF=苧(4-Tn),

作PG〃y軸交BC于G,

?EPG為等腰直角三角形，PE=烏PG,

設(shè)P(t,t2-5t+4)(l<t<4),則G(t,-t+4),m=t2-6t+4

.??PG=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4l,EF=^(4-t2+6t-4)=+3√2t，

ΛPE=芋PG=-乎產(chǎn)+2√2t，

.?.PE+EF=-^t2+2√2t-^t2+3√2t=-√2t2+5√2t=-√2(t-f)2+?^

當(dāng)t=搟時(shí)，PE+EF的最大值為軍；

24

(3)解：①如圖，

圖2

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=I,設(shè)D(I,n),則BC2=42+42=32,DC2=(I)2+(n-4)2,BD2=

(4-I)2+n2=I+n2,當(dāng)ABCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DC2=BD2,

EP32+(I)2+(n-4)2=I+n2,解得n=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(*,竽).

當(dāng)ABCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+BD2=DC2,即32+%+M=(?)2+

4Z

(n-4)2,解得n=-1,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(搟，一|)；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是(I,竽)或(I,_|).

②當(dāng)ABCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，DC2+DB2=BC2,BP(?)2+(n-4)2++n2=32,解

Z4

得m=生典，3上其，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(I,更I)或(，生卓I),

,△BCD是銳角三角形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為生爐<n<學(xué)或Y<y<上算.

【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式：將B(4,0)和C(0,4)代入二次函數(shù)解

析式，聯(lián)立方程解出b,c即可；(2)求PE+PF的最大值，一般可以通過(guò)幾何分析得到特殊點(diǎn)，或者將

PE+PF運(yùn)用含字母的代數(shù)式表示出來(lái)，分析字母的取值范圍，得到PE+PF的最值；由點(diǎn)P是拋物線與

直線y=x+m的交點(diǎn)，即點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)P(t,t2-5t+4)(lVtV4),嘗試結(jié)合直線y=x+m及直線

BCy=-x+4的特殊性，可得NBCO=NCFE=45。，用t表示出PE及EF的長(zhǎng)度，并求出PE+EF的和;

(3)①直角三角形中已知B(4,O),C(0,4),且D的橫坐標(biāo)為I,：BC為直角邊，則需要分類(lèi)

討論，BD為斜邊時(shí)，CD為斜邊時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)：由勾股定理及兩點(diǎn)坐標(biāo)的距離公式，構(gòu)造方程解出點(diǎn)

D的縱坐標(biāo)即可；

②結(jié)合①的結(jié)論，以及當(dāng)△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，由勾股定理可求得此時(shí)D的坐標(biāo)，

結(jié)合圖形將①和②所求得的點(diǎn)D的坐標(biāo)在圖中標(biāo)出來(lái)，可確定點(diǎn)D在哪些位置時(shí)，△BCD是銳角三

角形.

【變式2】(2022九上?東陽(yáng)月考)如圖，拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D做DQlx軸于點(diǎn)M,DQ與BC相交于點(diǎn)M.DE±BC

于E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求線段DE長(zhǎng)度的最大值；

(3)連接AC,是否存在點(diǎn)D,使得ACDE中有一個(gè)角與NCAo相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)解：：拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點(diǎn)，

二設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),

將C(0,3)代入，得:a×(0+1)×(0-3)=3,

解得：a=-l,

Λy=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3,

???拋物線解析式為y=-x2+2x÷3

(2)解：設(shè)D(m,-r∩2+2m+3),且OVmV3,如圖1,

yl

D

/??se??

fII?

“。|s?x*

圖1

在RtZkBOC中，BO=3,0C=3,

2222

'BC=√BO+OC=√3+3=3√2，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n,將B(3,O),C(0,3)代入,

得：產(chǎn)+n∕0

In=3

解得：金=31

I九=3

???直線BC的解析式為y=-x÷3,

.*.G(m,-m÷3),

ΛDG=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

VDE±BC,

???NDEG=NBOC=90。，

?.?DGJ_x軸，

?，.DG〃y軸，

ΛZDGE=ZBCO,

Λ?DGESZiBCO,

.DE_BO

**DG=BC,

,DE=3

**—m2+3m3√r2,

?∏p-√2.3√f2√2,32,9√2

υb2λ

??—二Z4+FZ-TΠ=一于Z(m—幻L÷-oQ-

.?.當(dāng)m=∣時(shí)，DE取得最大值，最大值是等.

(3)解：存在點(diǎn)D,使得ACDE中有一個(gè)角與NCFo相等.

：點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),A(-1,0),B(3,0),C(0,3),

ΛF(1,0),

ΛOF=1,OC=3,BC=4,

MCFO=浣=3,

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BG1.BC,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GH_LX軸于點(diǎn)H,

①若/DCE=NCFO,

tanZDCE=tanZCFO=3,

?.?tan∕DCE=??=3,

DC

ΛGB=12,

VBG±BC,GHJ_x軸，

.?.ZCBG=ZGHB=ZBCO=90o,

.β.ZCBO+ZGBH=ZBGH÷ZGBH=90o,

ΛZCBO=ZBGH,

Λ?CBO^?BGH,

?GH_HB_GB

?φB0=OC=BC,

.?.GH=9,HB=9,

.?.OH=OB+BH=3+9=12,

ΛG(12,9),

設(shè)直線CG的解析式為y=k∣x+bι,

?1

1

k=-

解得12

b

=3

1

...直線CG的解析式為y=4χ+3,

；

=尹1+

聯(lián)立方程組，得:y3

y-—X2+2%+3

r3

f-_

得

解2,二;（不合題意，舍去）,

:l-

<15

l一4

k

)

3π.15；

2~2

.?.D(|1竽)；

②若NCDE=∕CFO,

ΛtanZCDE=tanZCFO=3,

VBG±BC,DELBC,

.*.ZCBG=ZCED=90o,

ΛGB/7DE,

.?.NCDE=NCGB,

.,.tanNCDE=tanNCGB=煞=3,

UD

?"?GB=^?BC=^×3??∕2=?/?>

V?CBO<^?BGH,

.GH_HB_GB

'"BO=^OC=^BC'

.?.GH=∣BO=1,HB=∣OC=1,

ΛOH=OB+BH=3+1=4,

.?.G(4,1)；

同①方法，易求得直線CG的解析式為y=-lx+3,

_1,?

聯(lián)立方程組，得y-2x+i

V=-X2+2x+3

5

X-

1=2

得

解7(×2=°（不合題意,舍去）,

-

了=3

14σ2=

57

--

.D24

綜上所述，存在點(diǎn)D使得ACDE中有一個(gè)角與/CFO相等，點(diǎn)D的坐標(biāo)為修竽）或4，Z）.

【解析】【分析】(1)利用"兩根式“待定系數(shù)法求解,由拋物線y=aχ2+bx+c經(jīng)過(guò)A式1,O),B(3,0),

C(0,3)三點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),再代入點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；

(2)設(shè)D(m,-m-+2m+3),且0<m<3,利用勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再利用待定系數(shù)法求出直線

BC的解析式，再證明ADGEs^BCO,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，用含m的代數(shù)式表示出DE,再利用二

次函數(shù)最值即可求解；

(3)ZiCDE中有一個(gè)角與/CAO相等，分兩種情況：①若NDCE=NCF0,②若∕CDE=∕CFO,

過(guò)點(diǎn)B作BG_LBC,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GHLX軸于H,運(yùn)用三角函數(shù)定義和相似三角

形性質(zhì)求出直線CG的解析式，再聯(lián)立方程組并求解方程組，即可求得使得△CDE中有一個(gè)角與NCFo

相等的點(diǎn)D的坐標(biāo).

【變式3](2022九上嘟州月考)如圖，已知拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求APAD周長(zhǎng)的最小值；

(3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)解：由題意得

9—3b+c=0

Aa—26+c=-3

???拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

(2)解：連接BD交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,

?.?點(diǎn)A,B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

二AP=BP,

.?.AP+PD+AD=BP+PD+AP=BD+AD,

???兩點(diǎn)之間線段最短，

,此時(shí)APAD的周長(zhǎng)為BD+AD為最小，

當(dāng)y=0時(shí)x2+2x-3=0

解之：xι=-3,x2=l,

二點(diǎn)B(1,0),

VA(-3,0),D(-2,-3),

'BD=√(-2-l)2+32=3√2)

AD=√(-3+2)2+32=√Tθ

：.△PAD的周長(zhǎng)為3√Σ+√10.

(3)解：設(shè)點(diǎn)M(-?,n),

?.?A(-3,0),D(-2,-3),

.,.AM2=(-1+3)2+n2=n2+4,AD2=(-3+2)2+9=10,

MD2=(-1+2)2+(n+3)2=n2+6n+10

當(dāng)AM=AD時(shí)M+4=l(),

解之：n∣=√6,∏2=-√6.

點(diǎn)M(-1,√6)或(-1,-√5);

當(dāng)AM=MD時(shí)n2+4=n2+6n+10

解之：n=-l,

：.點(diǎn)、M(-1,-1)

當(dāng)AD=DM時(shí)n2+6n+10=10

解之：n∣=(),∏2=-6;

.?.點(diǎn)P(-1,0),(-1,-6),

設(shè)AD的函數(shù)解析式為y=kx+b

.(—3k+b=0

Y-2∕c+b=-3

解之：憶二;

/.AD的函數(shù)解析式為y=-3x-9,

當(dāng)X=-I時(shí)y=3-9=-6,

.,.(-1,-6)在直線AD上，

.?.點(diǎn)(-1,-6)不符合題意，舍去

.?.當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,√6)或(-?,-√6)或(-1,-1)或(-1,0).

【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于b,c的方程組，解方程組求

出b,c的值，可得到拋物線的解析式.

(2)連接BD交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,利用對(duì)稱(chēng)軸的應(yīng)用-最短問(wèn)題及二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可知此時(shí)APAD的

周長(zhǎng)為BD+AD為最小，由y=0求出對(duì)應(yīng)的X的值，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；再利用勾股定理求出BD,

AD的長(zhǎng)，然后求出APAD的周長(zhǎng).

(3)設(shè)點(diǎn)M(-1,n),利用平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)之間的距離公式，分別求出AM?,AD2,MD?,

再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當(dāng)AM=MD時(shí)；當(dāng)AM=AD時(shí)；當(dāng)MD=AD時(shí)，分別可得到

關(guān)于n的方程，分別解方程求出n的值，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；再求出直線AD的函數(shù)解析式，可知點(diǎn)

(-1,-6)在此函數(shù)圖象上，綜上所述可得到符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).

考點(diǎn)2：面積問(wèn)題

典例2：(2021九上?鄂城期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xθy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(-2,5),且與直線y=-∣x在第二象限交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作ABLx軸，垂足為點(diǎn)β(-4,0).

若P是直線。/上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PCLx軸于點(diǎn)C,交。4于點(diǎn)D,連接OP,

PA.

圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)求XAoP的面積S的最大值；

(3)連接PB交。4于點(diǎn)E,如圖2,線段PB與AD能否互相平分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)解：ABLx軸，點(diǎn)8(-4,

y=—?×4=—2,

4(-4,2)，

又拋物線經(jīng)過(guò)(-2,5)，

1

r16Q=-

一

解得9

κ=-

l4^4?bb-

2-2

.?.拋物線的解析式為y=-x2-^x

(2)解：設(shè)點(diǎn)P(t,-t2-∣t),則點(diǎn)D(t

??PD=(-“—?t)—(—?t)=-t?—4t

11,

?'?S=&?PD,4=2■(-t2-4t),4=-2(t+2尸+8

."?t=-2時(shí)，SmaX=8；

(3)解：線段PB與AD能相互平分.理由如下：如圖，連接BD

：線段PB與AD相互平分，

.?.四邊形ABDP是平行四邊形，

...PD=AB,

???力（-4,2）,PD=一戶(hù)一4匕

???—12—4t=2,

??t=-2+√2或t=-2—V2

當(dāng)t=-2+√Σ時(shí)，則D（-2+√Σ,1-孝），

?：E為AD的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（二竽旦,殳普）

當(dāng)t=-2-√Σ時(shí)，則D（-2-√∑,1+孝），

???E為力。的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（弓正，安2）

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（心磐，與&）或（二與&，岑馬?

【解析】【分析】（1）根據(jù)ABLX軸可得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)均為-4,將χ=4代入y=-ax中求出y,據(jù)

此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)及（-2,5）代入y=aχ2+bx中求出a、b,據(jù)此可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（31_/），則D（t,-∣t）,表示出PD,然后根據(jù)三角形的面積公式可得S,接下來(lái)結(jié)合

二次函數(shù)的性質(zhì)可得S的最大值;

(3)連接BD,則四邊形ABDP是平行四邊形，得到PD=AB,據(jù)此可得I的值，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),

然后由E為AD的中點(diǎn)就可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).

【變式1](2022九上?岳麓開(kāi)學(xué)考)如圖，拋物線丁=。/+加:+6經(jīng)過(guò)4(一2,0)、8(4,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為m(l<m<4),連結(jié)4C、BC、DB、DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)ABCO的面積等于AAOC的面積的擠時(shí)，求他的值.

(3)當(dāng)m=2時(shí)，若點(diǎn)M是“軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使

得以點(diǎn)B、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)解：由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=α(x+2)(X-4)=α(x2-2x-8)=ax2—2ax-8a,

即—8a―6)解得：a=—,`

故拋物線的表達(dá)式為：y=-∣X2+∣X+6；

(2)解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0,6),

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得直線BC的表達(dá)式為：y=-∣x+6，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，

OOO

設(shè)點(diǎn)O(m,-ξττι2+2÷6)，則點(diǎn)H(Tn,—+6)

則S>BDC=2HD×OB=2(—4ττι^+jτπ+6+^?πι-6)=2(—,τrι^+3m)

3r31「Q9

?',LACO=ξ×2×6×2=2

即：2(-,m2+3m)=5，

解得：m=1或3(舍去1),

故τn=3；

(3)解：當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)DQ,6),

設(shè)點(diǎn)M(X,0),點(diǎn)N(t,n)>貝!∣n=—*t?+怖t+6(T)

①當(dāng)BD是邊時(shí),

點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)O,同樣點(diǎn)M(N)向左平移1個(gè)單位向上平移6

個(gè)單位得到點(diǎn)N(M)，

故H或｛M：：②，

'聞—1-√33-l

(X=3x=----2----

聯(lián)立①②并解得：t=2或.l+√33或,1-屈(不合題意的值已舍去)；

(TI=6t=F-m=^-

.n=—6n=-6

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0)或(嗯T,0)或(一號(hào)T,0)；

②當(dāng)BD是對(duì)角線時(shí),

扣+4)=%+m)③,

由中點(diǎn)公式得:

T(6+0)=T(n+0),

m=3

聯(lián)立①③并解得n=6，

.x=4

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0);

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0)或(叼-1,0)或(一號(hào)T,0)或(4,0).

【解析?分析［(1)由A、B的坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)=a(χ2-2x-8)=aχ2-2ax-8a,則-8a=6,

求出a的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

(2)由拋物線的表達(dá)式知C(0,6),求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)

H,設(shè)D(m,-∣m2+‰+6),則H(m,-∣m+6),根據(jù)三角形的面積公式表示出SABDc,結(jié)合題意可

4ZZ

得m的值；

(3)當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)D(2,6),設(shè)M(x,0),N(t,n),貝IJn=Yt2+柒6,然后分①BD是邊，②BD

4Z

為對(duì)角線，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得X、t、m、n的值，進(jìn)而可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

【變式2](2022九上?舟山月考)如圖，拋物線y=四2+??；+以。10)經(jīng)過(guò)點(diǎn)人(2,0),B(-2,4),(-4,

0),直線AB與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AABM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)F為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)B,E,C,尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件

的點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】(1)解：將點(diǎn)A(2,0),B(-2,4),C(-4,0)分別代入y=ɑ/+bX+c得：

4α+2b+c=0fɑ=—i

16a—4b+c=0,解得《人_1.

Ua-2fe+c=4Γ^7

.?.拋物線的表達(dá)式為y=-lχ2-x+4.

(2)解：如圖，作MNlly軸交直線AB于點(diǎn)N,

、1

設(shè)點(diǎn)M(m,—2巾2—m+4)?

設(shè)直線AB的方程為y=Zct+九，將4(2,0),5(-2,4)代入解析式得:

(2fc+n=0

t-2/c+n=4'

解得｛);7

.?.直線AB的解析式為：y=-x+2,

11

??N(τtir—n?+2),MN=—,—τπ+4—(—τn+2)=—,Tn之+2，

??SAABM=；MN(X4XB)=?×(—+2)x(2+2)=-τn^+4(-2VzM)>

V-KO,且-2<0<2,

.?.當(dāng)m=O時(shí)，AABM的面積最大，此時(shí)一/小2一6+4=%所以M的坐標(biāo)為(0,4).

(3)解：?.?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線4=__!=__二―=_1，